15导数的应用1
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3
【自主解答】 (1)由已知 f′(x)＝3x2－a. ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成 立． 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立． ∵3x2≥0，∴只要 a≤0. 又∵a＝0 时，f′(x)＝3x2≥0， 3 ∴f(x)＝x －1 在 R 上是增函数，a≤0.
解：(1)由已知条件得f ′(x)＝3mx2＋2nx， 又f ′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.
题 型一
Leabharlann Baidu
利用导数研究函数的单调性
(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2， (2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2， 2 ∴f′(x)＝3mx2－6mx. ∴f′(x)＝3mx －6mx. 令 f′(x)>0，即 3mx2－6mx>0， 令 f′(x)>0，即 3mx2－6mx>0， 当 m>0 时，解得 x<0 或 x>2，则函数 f(x)的单调增 当 m>0 时，解得 x<0 或 x>2，则函数 f(x)的单调增 区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当 当 是(0,2). 是(0,2). m<0 时，解得 m<0 时，解得 0<x<2，则函数 0<x<2，则函数 f(x)的单调增区间 f(x)的单调增区间
f ( x) 0
/
；
若函数 y
f (x)
在
( a , b ) 上单调减，则
.
2.导数研究函数单调性解决的两类问题： (1)研究函数单调区间； (2)已知函数单调性，求参数取值范围.
题 型一
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 已知函数 f(x)＝mx3＋nx2 (m， n∈R， m≠0)， 函数 y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与 x 轴平 行. (1)用关于 m 的代数式表示 n； (2)求函数 f(x)的单调增区间.
2
探究提高 已知函数f(x)的单调性求参数取值范围的步骤为：
(1)求导数f ′(x)； / (2)在函数f(x)的单调区间内 f ( x ) (3)分离参数； (4)求最值并确定参数取值范围.
， ＋∞) xx2 (x(x2＋∞) 2 2， x1 x (0，x1) ＋∞) x2) x2 (x2， x2 ) f′(x) ＋＋ 00 － ＋ 00 f′(x) ＋ － ＋ 0 0 f′(x) － ＋ 极大 极小 f(x) 极大值 极小 极小值 极大 f(x) f(x) 值 值 值 值 2 2 2 a－ a 2 a＋ a 22 2 －8 a＋ －8 a－ a －8 a＋ a a －8 上单调递 此时 f(x)在0，a－ a 2－8，a＋ a －8 a－ a －8 ，＋∞ 2 2 －8，＋∞上单调 此时 f(x)在0， 此时 f(x)在0， ， ， ，＋∞上单调 ，＋∞ 上单调 此时 f(x)在0， ， 22 2 2 2 a－ a－ 222－8 a2－8 2 －8 a－2－8 －8 a＋ a 2 a a a a＋ a＋ 2－8 a a－ a －8 a＋ a －8 递增，在 增，在 上单调递减． ， 上单调递减． 上单调递减． 递增，在 2 2， ， 2 递增，在 2 2 上单调递减． ， 2 2 2 x x (0，x1) 1) (0，x x1x1
综上, 当 m>0 时, 函数 f(x)的单调增区间是(－∞, 0) 综上, 当 m>0 时, 函数 f(x)的单调增区间是(－∞, 0) 和(2，＋∞)；当 m<0 时，函数 f(x)的单调增区间是(0,2). 和(2，＋∞)；当 m<0 时，函数 f(x)的单调增区间是(0,2).
题 型一
利用导数研究函数的单调性
②当 Δ＝0,即 a＝2 2时,
f ( x ) ≥ 0
,此时 f(x)也
是 ( 0 , ) 上的单调递增函数．
③当 Δ>0 即 a>2 2时，方程 g(x)＝0 有两个不同的实根， ③当 Δ>0 即 2 a>2 2时，方程 g(x)＝0 有两个不同的实根 ③当 Δ>0 即 a>2 2时，方程 g(x)＝0 有两个不同的实根 a－ a a2－8 －8 a＋ a22－8 a－ 2 ，x2 2＝a＋ a2－8，0< x <x2. x1＝＝a－ a －8 ，x＝ a＋ a －8，0< x11<x2. x1 22 2 x1 ＝ ，x2＝ ，0< x1<x2. 2 2 2
探究提高
利用导数求函数f(x)的单调区间的一般 步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f ′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0和f ′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
变式训练 1
1.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取得极值－2. (1)试用c表示a，b； (2)求f(x)的单调递减区间.
(x x (x111， (x ， 2) ，
函数的单调性与导数 题 型 二 已知函数单调性求参数取值范围 例 2：已知函数 f(x)＝x －ax－1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围． (2)是否存在实数 a， f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在， 使 求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)f′(x)＝3x22＋2ax＋b， ＋2ax＋b， 解：(1)f′(x)＝3x22 2＋2ax＋b， 解：(1)f′(x)＝3x 解：(1)f′(x)＝3x ＋2ax＋b， 3＋2a＋b＝0 解：(1)f′(x)＝3x 2＋2ax＋b， ＋2ax＋b， f′(1)＝0 解：(1)f′(x)＝3x f′(1)＝0 f′(1)＝0 3＋2a＋b＝0 3＋2a＋b＝0 由已知条件 f′(1)＝0 ，即 3＋2a＋b＝0 3＋2a＋b＝0 由已知条件f′(1)＝0 ，即3＋2a＋b＝0 由已知条件 ，即 f′(1)＝0 f(1)＝－2 ，即 1＋a＋b＋c＝－2 f(1)＝－2 ，即 1＋a＋b＋c＝－2 由已知条件f(1)＝－2 ，即1＋a＋b＋c＝－2 由已知条件 由已知条件f(1)＝－2 f(1)＝－2 1＋a＋b＋c＝－2 1＋a＋b＋c＝－2 f(1)＝－2 1＋a＋b＋c＝－2 解得 a＝c，b＝－3－2c. 解得 a＝c，b＝－3－2c. 解得 a＝c，b＝－3－2c. 解得 a＝c，b＝－3－2c. 解得 a＝c，b＝－3－2c. 解得 a＝c，b＝－3－2c. (2)f′(x)＝3x22＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1) ＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1) (2)f′(x)＝3x22 2＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1) (2)f′(x)＝3x (2)f′(x)＝3x ＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1) (2)f′(x)＝3x 2＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1) (2)f′(x)＝3x ＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1) x＋3＋2c(x－1) x＋3＋2c(x－1) ＝3 x＋3＋2c (x－1) ＝3 3＋2c ＝3 3＋2c 3 3 ＝3x＋ 3＋2c(x－1) ＝3 x＋ 3 (x－1) ＝3 x＋ 3 (x－1) 3 3
3＋2c 3＋2c ＝1，即 c＝－3，f′(x)＝3(x－1)2≥0. 2 ①若－ 3＋2c ①若－3＋2c＝1，即 c＝－3，f′(x)＝3(x－1)22≥0. 3 ＝1，即 c＝－3，f′(x)＝3(x－1) ≥0. ①若－3＋2c＝1，即 c＝－3，f′(x)＝3(x－1)2≥0. ①若－ 3 ＝1，即 c＝－3，f′(x)＝3(x－1) ≥0. 3 ①若－ 3 3 f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3 应舍去. f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3 应舍去. f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3 应舍去. f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3 应舍去. 3＋2c 3＋2c <1，即 c>－3 时， f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3 应舍去. ②若－ 3＋2c ②若－3＋2c<1，即 c>－3 时， ②若－3＋2c<1，即 c>－3 时， 33 <1，即 c>－3 时， ②若－ 3 <1，即 c>－3 时， ②若－ 3 －3＋2c，1； 3 3＋2c f(x)的递减区间为－3＋2c，1； － 3 f(x)的递减区间为 3＋2c ，1； f(x)的递减区间为 －3＋2c，1 ； f(x)的递减区间为－ 3 ，1； 3 f(x)的递减区间为 3＋2c 3 3＋2c >1，即 c<－3 时， 3 ③若－ 3＋2c ③若－3＋2c>1，即 c<－3 时， ③若－3＋2c>1，即 c<－3 时， 33 >1，即 c<－3 时， ③若－ 3 >1，即 c<－3 时， ③若－ 3 1，－3＋2c. 3 f(x)的递减区间为1，－3＋2c. 3＋2c 1，－3＋2c. f(x)的递减区间为 f(x)的递减区间为 1，－3＋2c. 33 f(x)的递减区间为1，－ 3 . f(x)的递减区间为 3 3
导数的应用一 单调性
要点梳理
忆一忆知识要点
1．函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内可导， f′(x)>0， f(x) 若 则 增函数 减函数 为__________；若 f′(x)<0，则 f(x)为__________．
(2)若函数 y f ( x ) 在
( a , b ) 上单调增，则 f / ( x ) 0
2..已知函数 f(x)＝x－ ＋a(2－ln x) a>0， 讨论 f(x)的单调 性．
2 x
解：(1) f(x)的定义域是(0，＋∞)， 解：(1) f(x)的定义域是(0，＋∞)， 解：(1) f(x)的定义域是(0，＋∞)， x2x2－ax＋2 22 a a －ax＋2 导函数 ′(x)＝1＋ 2－ a＝ . 导函数 ff ′(x)＝1＋x2－x＝ x2－ax＋2 . 2 x2x2 x 导函数 f 22 ′(x)＝1＋ 2－x ＝ . 2 x x x 设 g(x)＝x －ax＋2， 设 g(x)＝x －ax＋2， 设 g(x)＝x2－ax＋2， 二次方程 g(x)＝0 的判别式 Δ＝a2－8. 二次方程 g(x)＝0 的判别式 Δ＝a22－8. 二次方程 即 0<a<2 2时，对一切 －8. 都有 f′ (x)>0. g(x)＝0 的判别式 Δ＝a x>0 ①当 Δ<0 ①当 Δ<0 即 0<a<2 2时，对一切 x>0 都有 f′ (x)>0 ①当 Δ<0 即 0<a<2 2时，对一切 x>0 都有 f′ (x) 此时 f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数． 此时 f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数． >0.此时 f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
(2)由 f′(x)＝3x －a≤0 在(－1,1)上恒成立． 2 ∴a≥3x ，x∈(－1,1)恒成立． 又∵－1＜x＜1， ∴3x2＜3，只需 a≥3. 当 a＝3 时， f′(x)＝3(x2－1)在 x∈(－1,1)上，f′(x)＜0， 即 f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3. 故存在实数 a≥3，使 f(x)在(－1,1)上单调递减．
【自主解答】 (1)由已知 f′(x)＝3x2－a. ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成 立． 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立． ∵3x2≥0，∴只要 a≤0. 又∵a＝0 时，f′(x)＝3x2≥0， 3 ∴f(x)＝x －1 在 R 上是增函数，a≤0.
解：(1)由已知条件得f ′(x)＝3mx2＋2nx， 又f ′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.
题 型一
Leabharlann Baidu
利用导数研究函数的单调性
(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2， (2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2， 2 ∴f′(x)＝3mx2－6mx. ∴f′(x)＝3mx －6mx. 令 f′(x)>0，即 3mx2－6mx>0， 令 f′(x)>0，即 3mx2－6mx>0， 当 m>0 时，解得 x<0 或 x>2，则函数 f(x)的单调增 当 m>0 时，解得 x<0 或 x>2，则函数 f(x)的单调增 区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当 当 是(0,2). 是(0,2). m<0 时，解得 m<0 时，解得 0<x<2，则函数 0<x<2，则函数 f(x)的单调增区间 f(x)的单调增区间
f ( x) 0
/
；
若函数 y
f (x)
在
( a , b ) 上单调减，则
.
2.导数研究函数单调性解决的两类问题： (1)研究函数单调区间； (2)已知函数单调性，求参数取值范围.
题 型一
利用导数研究函数的单调性
【例 1】 已知函数 f(x)＝mx3＋nx2 (m， n∈R， m≠0)， 函数 y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与 x 轴平 行. (1)用关于 m 的代数式表示 n； (2)求函数 f(x)的单调增区间.
2
探究提高 已知函数f(x)的单调性求参数取值范围的步骤为：
(1)求导数f ′(x)； / (2)在函数f(x)的单调区间内 f ( x ) (3)分离参数； (4)求最值并确定参数取值范围.
， ＋∞) xx2 (x(x2＋∞) 2 2， x1 x (0，x1) ＋∞) x2) x2 (x2， x2 ) f′(x) ＋＋ 00 － ＋ 00 f′(x) ＋ － ＋ 0 0 f′(x) － ＋ 极大 极小 f(x) 极大值 极小 极小值 极大 f(x) f(x) 值 值 值 值 2 2 2 a－ a 2 a＋ a 22 2 －8 a＋ －8 a－ a －8 a＋ a a －8 上单调递 此时 f(x)在0，a－ a 2－8，a＋ a －8 a－ a －8 ，＋∞ 2 2 －8，＋∞上单调 此时 f(x)在0， 此时 f(x)在0， ， ， ，＋∞上单调 ，＋∞ 上单调 此时 f(x)在0， ， 22 2 2 2 a－ a－ 222－8 a2－8 2 －8 a－2－8 －8 a＋ a 2 a a a a＋ a＋ 2－8 a a－ a －8 a＋ a －8 递增，在 增，在 上单调递减． ， 上单调递减． 上单调递减． 递增，在 2 2， ， 2 递增，在 2 2 上单调递减． ， 2 2 2 x x (0，x1) 1) (0，x x1x1
综上, 当 m>0 时, 函数 f(x)的单调增区间是(－∞, 0) 综上, 当 m>0 时, 函数 f(x)的单调增区间是(－∞, 0) 和(2，＋∞)；当 m<0 时，函数 f(x)的单调增区间是(0,2). 和(2，＋∞)；当 m<0 时，函数 f(x)的单调增区间是(0,2).
题 型一
利用导数研究函数的单调性
②当 Δ＝0,即 a＝2 2时,
f ( x ) ≥ 0
,此时 f(x)也
是 ( 0 , ) 上的单调递增函数．
③当 Δ>0 即 a>2 2时，方程 g(x)＝0 有两个不同的实根， ③当 Δ>0 即 2 a>2 2时，方程 g(x)＝0 有两个不同的实根 ③当 Δ>0 即 a>2 2时，方程 g(x)＝0 有两个不同的实根 a－ a a2－8 －8 a＋ a22－8 a－ 2 ，x2 2＝a＋ a2－8，0< x <x2. x1＝＝a－ a －8 ，x＝ a＋ a －8，0< x11<x2. x1 22 2 x1 ＝ ，x2＝ ，0< x1<x2. 2 2 2
探究提高
利用导数求函数f(x)的单调区间的一般 步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f ′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0和f ′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
变式训练 1
1.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取得极值－2. (1)试用c表示a，b； (2)求f(x)的单调递减区间.
(x x (x111， (x ， 2) ，
函数的单调性与导数 题 型 二 已知函数单调性求参数取值范围 例 2：已知函数 f(x)＝x －ax－1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围． (2)是否存在实数 a， f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在， 使 求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)f′(x)＝3x22＋2ax＋b， ＋2ax＋b， 解：(1)f′(x)＝3x22 2＋2ax＋b， 解：(1)f′(x)＝3x 解：(1)f′(x)＝3x ＋2ax＋b， 3＋2a＋b＝0 解：(1)f′(x)＝3x 2＋2ax＋b， ＋2ax＋b， f′(1)＝0 解：(1)f′(x)＝3x f′(1)＝0 f′(1)＝0 3＋2a＋b＝0 3＋2a＋b＝0 由已知条件 f′(1)＝0 ，即 3＋2a＋b＝0 3＋2a＋b＝0 由已知条件f′(1)＝0 ，即3＋2a＋b＝0 由已知条件 ，即 f′(1)＝0 f(1)＝－2 ，即 1＋a＋b＋c＝－2 f(1)＝－2 ，即 1＋a＋b＋c＝－2 由已知条件f(1)＝－2 ，即1＋a＋b＋c＝－2 由已知条件 由已知条件f(1)＝－2 f(1)＝－2 1＋a＋b＋c＝－2 1＋a＋b＋c＝－2 f(1)＝－2 1＋a＋b＋c＝－2 解得 a＝c，b＝－3－2c. 解得 a＝c，b＝－3－2c. 解得 a＝c，b＝－3－2c. 解得 a＝c，b＝－3－2c. 解得 a＝c，b＝－3－2c. 解得 a＝c，b＝－3－2c. (2)f′(x)＝3x22＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1) ＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1) (2)f′(x)＝3x22 2＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1) (2)f′(x)＝3x (2)f′(x)＝3x ＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1) (2)f′(x)＝3x 2＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1) (2)f′(x)＝3x ＋2cx－3－2c＝(3x＋3＋2c)(x－1) x＋3＋2c(x－1) x＋3＋2c(x－1) ＝3 x＋3＋2c (x－1) ＝3 3＋2c ＝3 3＋2c 3 3 ＝3x＋ 3＋2c(x－1) ＝3 x＋ 3 (x－1) ＝3 x＋ 3 (x－1) 3 3
3＋2c 3＋2c ＝1，即 c＝－3，f′(x)＝3(x－1)2≥0. 2 ①若－ 3＋2c ①若－3＋2c＝1，即 c＝－3，f′(x)＝3(x－1)22≥0. 3 ＝1，即 c＝－3，f′(x)＝3(x－1) ≥0. ①若－3＋2c＝1，即 c＝－3，f′(x)＝3(x－1)2≥0. ①若－ 3 ＝1，即 c＝－3，f′(x)＝3(x－1) ≥0. 3 ①若－ 3 3 f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3 应舍去. f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3 应舍去. f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3 应舍去. f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3 应舍去. 3＋2c 3＋2c <1，即 c>－3 时， f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3 应舍去. ②若－ 3＋2c ②若－3＋2c<1，即 c>－3 时， ②若－3＋2c<1，即 c>－3 时， 33 <1，即 c>－3 时， ②若－ 3 <1，即 c>－3 时， ②若－ 3 －3＋2c，1； 3 3＋2c f(x)的递减区间为－3＋2c，1； － 3 f(x)的递减区间为 3＋2c ，1； f(x)的递减区间为 －3＋2c，1 ； f(x)的递减区间为－ 3 ，1； 3 f(x)的递减区间为 3＋2c 3 3＋2c >1，即 c<－3 时， 3 ③若－ 3＋2c ③若－3＋2c>1，即 c<－3 时， ③若－3＋2c>1，即 c<－3 时， 33 >1，即 c<－3 时， ③若－ 3 >1，即 c<－3 时， ③若－ 3 1，－3＋2c. 3 f(x)的递减区间为1，－3＋2c. 3＋2c 1，－3＋2c. f(x)的递减区间为 f(x)的递减区间为 1，－3＋2c. 33 f(x)的递减区间为1，－ 3 . f(x)的递减区间为 3 3
导数的应用一 单调性
要点梳理
忆一忆知识要点
1．函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内可导， f′(x)>0， f(x) 若 则 增函数 减函数 为__________；若 f′(x)<0，则 f(x)为__________．
(2)若函数 y f ( x ) 在
( a , b ) 上单调增，则 f / ( x ) 0
2..已知函数 f(x)＝x－ ＋a(2－ln x) a>0， 讨论 f(x)的单调 性．
2 x
解：(1) f(x)的定义域是(0，＋∞)， 解：(1) f(x)的定义域是(0，＋∞)， 解：(1) f(x)的定义域是(0，＋∞)， x2x2－ax＋2 22 a a －ax＋2 导函数 ′(x)＝1＋ 2－ a＝ . 导函数 ff ′(x)＝1＋x2－x＝ x2－ax＋2 . 2 x2x2 x 导函数 f 22 ′(x)＝1＋ 2－x ＝ . 2 x x x 设 g(x)＝x －ax＋2， 设 g(x)＝x －ax＋2， 设 g(x)＝x2－ax＋2， 二次方程 g(x)＝0 的判别式 Δ＝a2－8. 二次方程 g(x)＝0 的判别式 Δ＝a22－8. 二次方程 即 0<a<2 2时，对一切 －8. 都有 f′ (x)>0. g(x)＝0 的判别式 Δ＝a x>0 ①当 Δ<0 ①当 Δ<0 即 0<a<2 2时，对一切 x>0 都有 f′ (x)>0 ①当 Δ<0 即 0<a<2 2时，对一切 x>0 都有 f′ (x) 此时 f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数． 此时 f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数． >0.此时 f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
(2)由 f′(x)＝3x －a≤0 在(－1,1)上恒成立． 2 ∴a≥3x ，x∈(－1,1)恒成立． 又∵－1＜x＜1， ∴3x2＜3，只需 a≥3. 当 a＝3 时， f′(x)＝3(x2－1)在 x∈(－1,1)上，f′(x)＜0， 即 f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3. 故存在实数 a≥3，使 f(x)在(－1,1)上单调递减．