浅谈函数单调性的应用

浅谈函数单调性的应用

贵州省习水县第一中学袁嗣林

摘要：函数的单调性是函数的一条重要性质，本文概括、总结了五种方法判断函数的单调性. 同时对每种方法的特点及适用范围、注意事项采用举例的方式作了具体的介绍，这有助于读者更好地理解和掌握这些方法，从而能轻松的解决有关函数单调性的问题.

函数的单调性是函数的一条重要性质，反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本。

在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集. 接下来我就来谈谈函数单调性的应用。

一、函数单调性的判别

单调性是函数最重要的性质之一．导数的引入虽然给单调性的研究带来了极大的方便，但是它并不能解决与单凋性有关的所有问题．本文结合近几年的试题谈谈判断单调性的几种方法。．

1.定义法（自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数）

例1 判断函数的单调性

解因为==，显然当为正数且逐渐增加时, 也逐渐增加，则其倒数逐渐减小，即函数值逐渐减小，所以函数在区间(0，+∞)上为减函数．

2.函数变换法

由上面的定义法我们不难得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若f(x)、g(x)都是单凋增(减)函数，则f(x)+g(x)也是单凋增(减)函数；若f(x)单凋递增，g(x)单凋递减，则f(x)-g(x)单调递增；若f(x)单凋递减，g(x)单凋递增，则f(x)-g(x )单调递减.

例2 判断函数的单调性.

解设，显然当x>0时，函数g(x)单凋递增，而函数f(x)单调递减．由上面的运算法则知函数f(X)在区间(0，+∞)上为增函数.

3.复合函数法

设函数f(x)由两个函数g(x)与h(X)复合而成，则g(x)与h(x)单调性相同时，f(x)单调递增；g( x)与h(x)单调性不同时，f(x)单调递减，即通常所说的同增异减．多层复合，依此类推．

例3已知函数y=f(x)的图象与函数的图象关于直线对称，记，若y=g(x)在区间[ 1/2，2]上是增函数，则实数a的取值范围( )

(A)（０，+∞） (B)（0，1)U(1，2) (C) (D)

解因为，

所以-1

取特殊值

令则. 当，此时递增，又函数g （t）的图象开口向上，对称轴为，所以二次函数g（t）递增，故函数g（x）递增，满足题意.排除A.同理取特殊值，排除B，C可知选D.

4．作差比较法

根据定义证明函数单调性是判断函数单调性的最重要的方法。其步骤为：(1)设值：即在单调区间上设出两个不相等的自变量、，且< ；(2)比较：即比较)与大小，通常采用作差或作商的方法；(3)判断：即根据定义结合前两个步骤得出结论．

例4 (由2001年新课程卷题改编) 设，求证f(x)在(O，+∞)上是增函数.

证明设0<< ，则- =+-（+）

=（-）+（-）

=（）

由> 0，> 0，-> 0，+ 0，10，1-0

所以-< 0，即)<.从而，f(x)在(0，+∞)上是增函数.

5．等价变形法

根据单调性定义，易知增函数的等价形式是或（-）[

] 0有时直接用定义判断函数单凋性困难较大，采用等价形式则能帮我们化难为易.

例5 设f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意的a、b∈[-1，1]，当“a+b≠0时，都有，试判断单调性.

解设，∈[-1，1]，且<，则-∈ [-1，1]，

依题意有=

故）在 [-1，1]上是增函数.

二、单调性在解题中的应用

单调性有广泛的应用，主要用于如下几个方面：

1.比较两个数的大小

例6比较和的大小

分析从题设的两个对数，便联想起y= 在在(O，+∞)上是单调增函数，因此．只要比较两个真数的大小，原题就可获解.

解，解得

当时，有0<<．因函数y= 在上单调递增，故，

.

2.证明与正整数有关的命题

例7 已知，且，，n 2 求证.

证明构造函数，因为x>-1且x≠ 0，

故-==

所以，

所以是单调递减函数.

3.解方程

例8 解方程

解

在它们共同的定义域里，为单调递增函数，为单调递减函数．

又显然=，

所以方程=仅有一解．X=1．故原方程的解是x=1．

4.证明不等式

在证明不等式中，通过联想构造函数，将常量作为变量的瞬时状态，置于构造函数的单调区间内，利用其单调性证明一些不等式，十分便捷．

例9 已知a、b、c∈R ，|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证ab+bc+ca+1>0

解构造函数f(x )=(b+c)x +bc+1，只需证 x∈(-1，1)时f(x)>0恒成立．当b+c=时， =1一b2 >O恒成立．

当b+c≠ 0时，一次函数= (b+c)x+bc+1，在x∈(-1，1)上是单调的．

因为=bc+b+c+1= (b+1)(c+1)>0，，f(-1)= bc-b-c+1=(b-1)(c-1)>0，

所以=(b+c)x+bc+1在 x∈(-1，1)上恒大于零.

综上，当|a|<1时，(b+c)a+bc+1>0恒成立，从而得证．

例10 已知f(x)为R上的减函数,则满足的实数x的取值范围( ) A B C D

解析借助单调性将不等式转换为自变量应满足的关系式.很容易可以做出选C.

5.求参数的取值范围

例11已知f(x)是奇函数，在实数集R上又是单调递减函数，且时

求t的取值范围.

分析：因已知函数f（x）是奇函数将已知不等式移项后可得

根据是减函数脱去，然后由式子特征构造相应单调函数.

解<设x=sin0