嵌套函数相关问题 专题

嵌套函数相关问题

【问题提出】 问题1：设函数2222, 0(), 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若(())2f f a =，则a ＝_______

2

变式：设函数f (x )＝22+0

,0x x x x x ⎧<⎨-≥⎩

，,若

f (f (a ))≤2,则实数a 的取值范围是

__________.

2≤a

问题2：对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的

不动点．已

知函数()()()211,0f x ax b x b a =+++-≠． （1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；

（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．

【探究拓展】

探究1：若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ,且11(=f x x ）则关于x 的方程 0)(2))((32=++b x af x f 的不同实根个数是______

．3

变式1：设函数⎩⎨⎧<≤≤=0

,,0,sin 2)(2

x x x x x f π，则函数1)]([-=

x f f y 的零点个数为

_______.4 变式2：函数

,0,00,11

)(⎪⎩

⎪⎨⎧≠≠-=x x x x f 方程[]0)()(2

=++c x bf x f 有

7个根的充要条件

是 ________,

变式3：设定义域为R的函数

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

+

+

≥

-

=

-

,4

4

,0

,1

5

)

(

2

1

x

x

x

x

x

f

x

，若关于x的方程[]0

)

(

)1

2(

)

(2

2=

+

+

-m

x

f

m

x

f有7个不同的实数解，则.

_______

=

m 2

变式4：已知函数)(x

f

y=和)(x

g

y=在]2,2

[-的图象如下图表示：

给出下列四个命题：

①方程0

)]

(

[=

x

g

f有且仅有6个根；②方程0

)]

(

[=

x

f

g有且仅有3个根；

③方程0

)]

(

[=

x

f

f有且仅有5个根；④方程0

)]

(

[=

x

g

g有且仅有4个根；

其中正确命题的是__________(注：把你认为是正确的序号都填上).

变式5：已知函数1

)

(-

=x

x

f，关于x的方程0

)

(

)

(2=

+

-k

x

f

x

f，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.

其中真命题的序号为______①②③④______．

变式6：(2020年福建高考第10题)函数2

()(0)

f x ax bx c a

=++≠的图象关于

直线2b x a

=-对称. 据此可推测，对任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方

程[]

2

()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是（ ）D

A. {}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4

D {}1,4,16,64

变式7：已知函数

13)(23+-=x x x f ，⎪⎩

⎪

⎨⎧≤--->+=0,86,0,41)(2x x x x x

x x g ，试讨论方程0)]([=-a x f g 的解的情况.

变式8：已知函数

⎩⎨

⎧>≤+=0,log ,

0,1)(2

x x x ax x f ，若函数1))((+=x f f y 有4个不同的零

点，则实数a 的取值范围是_______. 0>a

探究2：定义在R 上的函数

lg 22

()1=2

x x f x x ⎧-≠⎪=⎨

⎪⎩，， ,关于x 的方程

()2()0f x bf x c ++=

有5个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则f (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝________. 变式1： 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[0，1]

x ，x ∉[0，1].

则使

f [f (x )]＝2成立的实数x 的

集合为 . 答案：{x |0≤x ≤1,或x =2}

变式2：已知定义在R 上的函数⎩⎨

⎧∉-∈=]

1,0[3]

1,0[1)(x x x x f ，则1)]([=x f f 成立的

整数x

的取值的集合为 ． {}74310，，，，

变式3：（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数