历年高考立体几何大题试题

20１５年高考立体几何大题试卷

1.【２015高考新课标2，理19】

如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ,=10BC ,18AA =,点E ，F 分别在11A B ，

11C D 上，114A E D F ==.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．

（１题图）

（Ⅰ）在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)； （Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.

2.【2０１5江苏高考，16】如图，在直三棱柱111C B A ABC -中,已知BC AC ⊥，

1CC BC =,设1AB 的中点为D ,E BC C B =11 .求证：(1）C C AA DE 11//平面； （2）11AB BC ⊥．

(2题图)

（３题

图）

3. 【2015高考安徽，理１9】如图所示,在多面体111A B D DCBA ，四边形

11AA B B ,11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1

CD 于 F.

D D C

A E

F A

B

C B A

B C

D E A

B

C

（Ⅰ)证明:1//EF B C ;(Ⅱ)求二面角11E A D B --余弦值.

4. 【2０１5江苏高考，２2】如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，

且四边形ABCD 为直角梯 形,2

ABC BAD π

∠=∠=

,2,1PA AD AB BC ====

（1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;

（２)点Q 是线段B Ｐ上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长

(４题图)

G F B

A

C

D

E

（5题图）

５ .【2０15高考福建，理17】如图,在几何体ＡB ＣＤＥ中，四边形A ＢCD 是矩形,AB 平面BEC ，ＢE

EC,AB=B Ｅ＝EC=２，G ，F 分别是线段BE,D Ｃ的中点．

(Ⅰ）求证://GF 平面ADE ; （Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.

6.【２0１５高考浙江,理17】如图,在三棱柱111ABC A B C --中，

90BAC ∠=,2AB AC ==,14A A =,1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的

中点.

(１）证明：1A Ｄ⊥平面1A B C ； （2)求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.

P A B

C

D

Q

(6题图）

(7题图)

7.【2０１5高考山东，理１7】如图，在三棱台DEF ABC -中,2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；

(Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，,AB BC CF DE ⊥= ,45BAC ∠=,求平面FGH 与平面

ACFD 所成的角（锐角)的大小.

8 .【2015高考天津,理17】如图,在四棱柱1111ABCD

A B C D 中,侧棱

1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB ,

12,5AC

AA AD CD ,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.

(I)求证://MN 平面ABCD ; （ＩI ）求二面角1

1D AC B 的正弦值;

(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为

1

3

，求线段1A E 的长

N

M

C 1

B 1

1

D

A

B

D 1

(8题图)

题（19）图

P

C

E

D B

A

(9题图）

9．【２015高考重庆，理19】如题(１9）图，三棱锥P ABC -中,PC ⊥平面

,3,.,2

ABC PC ACB D E π

=∠=

分别为线段,AB BC 上的点，且

2,2 2.CD DE CE EB ====

(1）证明：DE ⊥平面PCD （2)求二面角A PD C --的余弦值。

１0 .【201５高考四川，理１8】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC 的中点为M ,GH 的中点为N （1)请将字母,,F G H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由) (2)证明:直线//MN 平面BDH （3）求二面角A EG M --的余弦值.

(10题图)

11 .【2015高考湖北,理19】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马

P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB

于点F ,连接,,,.DE DF BD BE

（Ⅰ)证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写

出结论)；若不是，说明理由；

(Ⅱ）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3

，求

DC

BC

的值. (11题图）

12 .【2015高考陕西,理18】如图1，在直角梯形CD AB 中,D//C A B ,D 2

π

∠BA =

,C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的

交点.将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置,如图2． （I)证明：CD ⊥平面1C A O ；

（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ,求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．