双曲线标准方程的求解方法
双曲线的定义及标准方程(1)
-5
F2(-c,0)
F1(c,0)
5
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
即: x a
2 2
-5
y b
2
2
1
C2=a2+b2
思考
5
如果双曲线的焦点在y轴上，焦点的 方程是怎样？
P(x,y)
F1(0,c)
y a
5
2 2
x b
2
2
1
-5
F2(0,-c)
C2=a2+b2
-5
双曲线的标准方程
立体几何课件（十一）
11.4 双曲线的定 义及标准方程
[复习]
1、求曲线方程的步骤
一、建立坐标系，设动点的坐标；
二、找出动点满足的几何条件； 三、将几何条件化为代数条件；
四、化简，得所求方程。
2、椭圆的定义
到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于 |F1F2|）为常数的点的轨迹
PF
的标准方程有几类？
[两类]
x a
2 2
y b
2
2
1(焦点在x轴上)
x y b a
2 2
2
2
1(焦点在y轴上)
[思考]
到平面上两定点F1，F2的距离之差（小于 |F1F2|）为常量的点的轨迹是什么样的图 形?
看图
双曲线标准方程的推导
5
P(x,y)
一、建立坐标系；设动 点为P(x,y)
又 b2=c2-a2=25-9=16
所求双曲线的方程为:
x
2
9
y
2
16
1
2、求b=3,焦点为F1（0，-5）、F2（0，5） 的双曲线标准方程。
双曲线及其标准方程
双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当a >c 时，P 点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线．2．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(（4）．双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是m （5）．若双曲线x )x ±ny ＝0.( )2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 222．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )()A ．2B ．22C ．4D ．423．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.454．(教材改编)过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是()A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．825．已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为__________．双曲线的定义的应用例题：（1）已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A.x 22－y 216＝1(x ≤－2) B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 216＝1 D.x 22－y 214＝1（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______________(4)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝__________.(5)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为()A ．1B ．52C ．2D ．5(6)．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2(8)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为()A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1(9)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16(10)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A的坐标为(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋317双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法:(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)．例题：（1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为()A.y 24－x 25＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1(3)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是()A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1（4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1（5）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A ．x12－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝1（6）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(7)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON |－|NF 2|＝2b ，∠ONF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为23，则该双曲线的方程为__________．双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程例：（1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x（2）已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为()A ．y ＝±153xB ．y ＝±53xC ．y ＝±33x D ．y ＝±55x (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x(4)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±32x B ．y ＝±233xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x求双曲线的离心率(范围)例：(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13（2）．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__________．(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为()A ．3B ．1＋3C ．2＋3D ．4＋23(4)(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(5)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A ．(2，5)B.⎪⎭⎫⎝⎛2535，C.⎪⎭⎫⎝⎛2545，D ．(5，2＋1)双曲线几何性质的综合应用例：（1）已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3333， B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6363，C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322322， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332332，逻辑推理(2020·新高考卷Ⅰ)(多选)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.()A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线直线与双曲线的位置关系例题：若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．双曲线课后练习1．方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为()A.3B．23C．33D．433.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|为()A．13B．14C．15D．224．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则C的渐近线方程为()A．y＝±13x B．y＝±33x C．y＝±3x D．y＝±3x5．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A到一条渐近线的距离为223a，则双曲线的离心率为()A．223B．13C．3D．226．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________7．已知双曲线x24－y25＝1的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为(1,3)，则△PMF周长的最小值为()A．5＋10B．10＋10C．5＋13D．9＋138．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB 的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．12B．1C．2D．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|.若cos ∠F 1PF 2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22 B.52C ．2 D.3＋110．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．3211．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°，若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝()A ．11＋43B ．13＋53C ．16－63D ．19－10312．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为()A.52 B.5C.2D ．213．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为)______________14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线C 的实轴长为4，则△F 1PF 2的面积为__________．15．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于_____________16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N .若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|＝|NF 2|，则双曲线的离心率为____________.17．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为_____________，其离心率为__________.18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．19．(2021·山东淄博二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论错误的是()A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14。
已知两点求双曲线方程的方法
已知两点求双曲线方程的方法
要求解双曲线的方程，至少需要知道一条焦点和一条渐近线。
有以下两种求解方法：
1. 根据焦点和渐近线求解双曲线方程：
a. 假设一条焦点为（h，k）的双曲线。
该双曲线的标准方程为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 或 (y-k)²/b² - (x-h)²/a² = 1，其中 a 和b 分别为双曲线的半轴长度。
b. 将已知的焦点代入双曲线方程中得到一个未知常数。
c. 由于已知双曲线的渐近线方程，将双曲线方程化简，可以得到 a 和 b 之间的关系。
d. 将已知点代入化简后的双曲线方程，求解最终的双曲线方程。
2. 根据两点求解双曲线方程：
a. 假设一条双曲线的焦点为（h，k1）和（h，k2），其中 k1 和 k2 是焦点的纵坐标。
b. 由于双曲线对称于 x 轴，渐近线的斜率等于 (k2 - k1)/2h。
c. 通过焦点和斜率的信息，可以确定双曲线的标准方程。
(x-h)²/a² - (y-k1)²/b² = 1 或 (x-h)²/a² - (y-k1)²/b² = -1 或 (y-k1)²/b² - (x-h)²/a² = 1 或 (y-k1)²/b² - (x-h)²/a² = -1。
根据已知信息的不同，使用上述方法之一，可以求解双曲线的方程。
2.3.1 双曲线的标准方程
2
由上述过程可知，双曲线上的点的坐标（x,y） 都满足上面这个方程，并且满足上面这个方程的 点（x,y）都在已知的双曲线上. 这样就得到焦点为F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线 的方程. 类似地可以得到焦点为F1（0，-c）,F2（0，c） 的双曲线的方程
y x 1 (a 0, b 0) . a b
例3 已知A，B两地相距800m，一炮弹在某处爆炸， 在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处迟 2s. 设声速为 340 m/s， （1）爆炸点在什么曲线上？ （2）求这条曲线的方程.
解:（1）设M为爆炸点，由题意得
MA-MB=340×2=680 .
因为爆炸点离A点比离B点距离更远，所以爆炸点
在以A，B为焦点且距B较近的双曲线的一支上.
因此，所求双曲线的方程为
x2 y2 1 (x 0) . 115 600 44 400
提升总结：待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤
根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上， 还是两种都有可能
2 2 2 2 x y y x 根据焦点位置，设其方程为 1 或 1 a 2 b2 a 2 b2
F(0，±c) 在 y 轴上
c2=a2+b2
注：哪一项的系数为正，焦点就在相应的哪条坐标轴 上！
思考1：若已知一个曲线的轨迹是双曲线，如何求 其标准方程呢？ 提示：设出其双曲线的标准方程，求出参数a,b的 值即可. 思考2：在设双曲线的标准方程时，首先应注意什 么问题？ 提示：应注意双曲线焦点的位置，是在x轴上还是 在y轴上.
2 2
b2 =c2-a2 =52-42 =9.
x y 1. 因而所求双曲线的标准方程为 16 9
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
双曲线的标准方程
.
o
. F
2
x
线段F1F2的垂直平分线 。
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
y
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2
2 y x 6. 若方程 | k | 2 5 k 1 表示双曲线，求实数k的
取值范围. -2<k<2或k>5
7. 双曲线16x 2 9 y 2 144 的焦点为F1，F2，点 P在双曲线 （1）若|PF1|=8，则|PF2|=_____ （2）若∠F1PF2=600，求△F1PF2周长。
2.设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式
F1
O
F2
x
|MF1| - |MF2|=±2a
即
4.化简
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c)
M
.
. F
2
x
三、这个常数要是非零常数。
1.||MF1| - |MF2|| = 2a(2a<2c)
双曲线 双曲线的右支 双曲线的左支
y
M
2.|MF1| - |MF2|= 2a(2a<2c) 3.|MF2| - |MF1|= 2a(2a<2c)
4.||MF1| - |MF2|| = 2a(2a=2c)
求双曲线标准方程的方法
求双曲线标准方程的方法
随着互联网技术的不断发展，双曲线标准方程在计算机编程和机器视觉方面发挥着越来越重要的作用。
在这里，我们来介绍求双曲线标准方程的方法。
求双曲线标准方程的基本步骤：
一、找出双曲线的端点坐标和焦点坐标。
根据双曲线的可视特征，可以确定双曲线的端点坐标和焦点坐标，这样就可以计算出双曲线的离心率e。
二、求取双曲线的标准方程。
根据离心率e和双曲线的焦点坐标来计算双曲线的标准方程。
最后，结合上述步骤，我们可以得出双曲线标准方程。
双曲线标准方程的式子为：(x-x1)^2/a^2 - (y-y1)^2/b^2 = 1 ，其中(x1,y1)为焦点，a和b分别为半长轴和半短轴。
若双曲线在原点（0，0）上，则标准方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
总之，求双曲线标准方程并不困难，要做的关键是要先分析出双曲线的图形特征，然后依据离心率及其他信息推导出该双曲线的标准方程，使用该标准方程可以帮助计算机或机器视觉更好地完成一些高级任务。
双曲线的两种标准方程
双曲线的两种标准方程双曲线是数学中的一种重要曲线形式，具有许多有趣的性质和应用。
它可以通过两种不同的标准方程来描述，这两种方程分别是：横轴为对称轴的标准方程和纵轴为对称轴的标准方程。
首先，让我们来探讨横轴为对称轴的标准方程。
对于一个横轴为对称轴的双曲线，其数学表达式为：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1在这个方程中，a和b分别代表双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长。
这个方程描述了双曲线上所有点的坐标，其中横轴上的坐标x 满足条件x≥a，纵轴上的坐标y可以取任意实数值。
这种方程形式下的双曲线呈现出左右两翼向无穷远处延伸的形状。
接下来，我们来看看纵轴为对称轴的标准方程。
对于一个纵轴为对称轴的双曲线，其数学表达式为：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1同样地，a和b分别代表双曲线的横轴半轴长和纵轴半轴长。
在这个方程中，纵轴上的坐标y满足条件y≥a，横轴上的坐标x可以取任意实数值。
这种方程形式下的双曲线呈现出上下两翼向无穷远处延伸的形状。
双曲线作为一种特殊的曲线形式，具有广泛的应用。
在物理学中，双曲线常被用来描述粒子的轨迹和电磁场的分布。
在工程学中，双曲线常被用来建模和分析无线电信号传播和天线指向性。
在经济学中，双曲线也被用来描述供需曲线和市场行为。
总结起来，双曲线有两种标准方程形式：横轴为对称轴和纵轴为对称轴。
通过这两种方程，我们可以准确描述双曲线的形状和性质。
双曲线在数学以及各个领域中都有重要的应用，深入理解和掌握双曲线的标准方程对于进一步研究和应用双曲线具有重要意义。
希望通过这篇文章，你能够对双曲线的两种标准方程有更清晰的理解，并能进一步探索其在数学和实际应用中的深远意义。
双曲线的标准方程公式
双曲线的标准方程公式
双曲线标准公式：x^2/a^2+y^2/b^2=1。
一般的，双曲线（希腊语“ὑπερβολή”，字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。
直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。
微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。
为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。
这就要我们考虑可微曲线。
但是可微曲线也是不太好的，因为可能存在某些曲线，在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。
正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。
2.3.1双曲线的标准方程
2
轴的距离是（ C ）
4 （A） 3 （C）2 3 3 5 （B） 3
（ D） 3Leabharlann 2.3.1双曲线的标准方程
中国人民大学附属中学
我们已经知道，平面内与两个定点F1， F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的 轨迹是椭圆，
那么平面内与两个定点F1，F2的距离的 差等于非零常数的点的轨迹是怎样的曲线 呢？
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零) 的点的轨迹叫做双曲线， 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦 点的距离叫做双曲线的焦距。 以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段
2．在方程mx2－my2=n中，若mn<0，则
方程表示的曲线是（ D ） （A）焦点在x轴上的椭圆 （B）焦点在x轴上的双曲线 （C）焦点在y轴上的椭圆
（D）焦点在y轴上的双曲线
3．若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2+y2 =k2－1表示的曲线是（ C ）
（A）焦点在x轴上的椭圆
（B）焦点在y轴上的椭圆
由余弦定理得
| PF1 | | PF2 | | F1F2 | cos F1PF2 2 | PF1 | | PF2 |
2 2 2
100 100 0 2 32
所以∠F1PF2=90°.
课堂练习
1．已知F1(－8，3)、F2(2，3)为定点，动 点P满足|PF1|－|PF2|=2a，当a=3和a=5时， P点的轨迹为（ ） D （A）双曲线和一条直线 （B）双曲线的一支和一条直线 （C）双曲线和一条射线 （D）双曲线的一支和一条射线
2 2 2 2
a
2c ( x c) y ( x c) y x a
双曲线标准方程的八种求法
双曲线标准方程的八种求法一、定义法例1：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，求点C 的轨迹。
变式1：已知动圆M 与C 1：，C 2：均外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是____________________。
变式2：设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段二、待定系数法例2：焦点为(0,6),(0,6)-，且经过点(2,5)-，求双曲线的标准方程。
变式1：求经过点(1,3)A-，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．三、第二定义法例3：点()P x y，到定点(01)A-，的距离与定直线14y=-，求动点P的轨迹方程．变式1：点M(x,y) 与定点F(5,0)距离和它到定直线16:5l x=的距离之比是常数54,求点M的轨迹方程.四、奇思妙解法-----一般方程法例4：求经过点(3,P ,()Q -的双曲线标准方程。
变式1：求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点P （）和Q （，6）两点的双曲线方程。
五、奇思妙解法-----同焦点（同焦距算两次）例5：已知过点()2，且与双曲线216x －24y ＝１有共同焦点的双曲线的标准方程。
例6：经过点(C，且与双曲线221816x y-=有共同的渐近线，求双曲线的标准方程。
变式1：求经过点(-，且与双曲线29x－216y＝１有相同渐近线的双曲线方程。
例7:一条渐近线方程为0x =，且与椭圆22464x y +=有相同的焦点，求双曲线的标准方程。
变式1：求一条渐近线方程为3x ＋4y ＝０，一个焦点是()4,0的双曲线方程。
八、奇思妙解法-----同离心率例8: 求经过点()2,0，且与双曲线264x －216y ＝１的离心率相同的双曲线的标准方程。
变式1: 实轴长为2，且与双曲线22x －2y ＝１的离心率相同的双曲线的标准方程。
双曲线标准方程的推导
双曲线标准方程得推导把平而内与两个定点，得距离得差得绝对值等于常数（小于）得点 得轨迹叫做双曲线、其中这两个定点叫做双曲线得焦点，两定点间得 距离叫做双曲线得焦距、即当动点设为时，双曲线即为点集 分析：当丨MF 】丨> | MF 2 |时，丨MF 】| - | MF 2 | =2a （M 在双曲线右支上）当 || < | MF 2 I 时，| MF 】| 一 | MF 2 I =・2 a （M在双曲线左支上）当丨MFi | - | MF 2丨=2a 时，有：7(x + 02 + y 2-yj(x- c)2 +y 2=2 a (移项) aj (x + c)2 +y 2 = 2a+J(% - c)2 + y 2 (两边平方) =>(x + c)2 + y 2 = 4a 2 +4a7(x — c)2+ y 2+(x — c)2 + y 2 (展开)=>x2 + 2 c x +c2 + y2=4a2+4 a — c）2 + y2+x2-2cx+c2 + 移项）=>x2— x2+2cx + 2 ex + c2— c2 + y2-y2 =4a2 +4a7（x — c）2 + y2（合并同类项）=>4c x =4a2 + 4 aj（x — c）2 + y?（两边除以 4）tex = a2 +8^/（% - c）2 + y2（移项）=> c x -a2 = aj（x— c）? + 护（两边平方）=>c2x2-2a2cx+a4 = a2［（x — c）2 + y2］（展开）=>c2x2- 2 a2cx+a4=a2［x2- 2 cx+c2+y2］（展开）=>c2x2-2a2cx + a4=a2x2-2a2 cx+a2c2 + *护（移项）=>-2a2cx + 2a2cx+c2x2-a2x2-a2y2 = a2c2-a4（合并同类项）=>c2x2 - a2x2-a2y2 = a2c2 - a4（按 x, y 顺序提取公因式）=>（c2-a2）x2-a2y2 = a2（c2-a2）（c2=a2+fe2 ,等量代替）b2x2-a2y2 = a2b2（两边除以a2b2）x2 v2亏讣论>0,b>0）7(x + c)2 + y2—y!(x — c)2 +y2=_ 2 a (移项)(x + c)2 + y2 = - 2 a +y/(x- c)2 +y2(两边平方)=>(x + c)2 + y2=4a2- 4 a^(x - c)2 + y2+(x 一 c)2 + y2 (展开)=>x2+2cx+c2 + y2 = 4a2-4 a J(x — c)2 + y2+x2- 2 cx+c2 + y2 (移项) =>x2— x2 + 2 cx+2cx +c2— c2 + y2-y2=4a2 - 4aJ(x— c)2 + y2 ( 并同类项)=>4 c x =4a2-4a7(x — c)2 + y2(两边除以 4 )=>cx=a2-a7(x — c)2 + y2(移项)=>c x -a2 =—a^(x — c)2 + y2(两边平方)=>c2x2-2a2cx+a4=a2[(x — c)2 + (展开)=>c2x2- 2 a2cx + a4=a2 [ x2- 2 ex + c2+y2](展开)=>c2x2~2a2CK+a4f=a2x2-2a z cx+a2c2+a2y2 (移项)=>~2a2cx + 2a2cx+c2x2 - a2x2-a2y2 = a2c2 - a4（合并同类项）=>c2x2-a2x2-a2y2 = a2c2 - a4 (按 x,y 顺序提取公因式)=> (c2-a2>)x2-a2y2 = a2(c2-a2) ( c2 = a2+b2,等量代替)b2x2-a2y2 = a2b2(两边除以a2b2)x2 v2$ •計2>0 , b>0)2 2通过以上推导可知，一个方程缶・^=1(a>0,b>0 )涵盖了动点M 左右两支运动轨迹，而不就就是一支运动轨迹。
双曲线怎么求标准方程
双曲线怎么求标准方程双曲线是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在学习双曲线的过程中，求其标准方程是一个基础且必须掌握的内容。
本文将详细介绍双曲线的标准方程求解方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 双曲线的定义。
在直角坐标系中，双曲线是一类特殊的曲线，其定义可以通过几何、代数或者参数方程进行描述。
在本文中，我们主要讨论双曲线的代数定义，即通过方程的形式来描述双曲线。
双曲线的代数定义为，设a、b为正实数，且a≠b，点F1(-c,0)和F2(c,0)为平面上两定点，且2c=2a。
点P(x,y)到F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|PF1-PF2|=2a，则点P(x,y)的轨迹方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1。
2. 求解双曲线的标准方程。
双曲线的标准方程是指将双曲线的方程化为一种特定的标准形式，便于对其性质进行分析和研究。
双曲线的标准方程通常采用以下形式，(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1或者(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=-1。
求解双曲线的标准方程的一般步骤如下：步骤一，将双曲线的方程化为标准形式。
首先，我们需要将给定的双曲线方程化为标准形式。
具体的方法是利用平移变换和坐标轴旋转等技巧，将双曲线的方程化为上述所述的标准形式。
步骤二，确定标准方程中的参数。
在将双曲线的方程化为标准形式后，我们需要确定标准方程中的参数。
其中，参数(h,k)表示双曲线的中心坐标，参数a表示双曲线在x轴上的半轴长度，参数b 表示双曲线在y轴上的半轴长度。
步骤三，写出标准方程。
最后，根据确定的参数，我们可以将双曲线的标准方程写出来。
在写出标准方程时，需要保证等式两边的平方项系数分别为1，且一项为正一项为负。
3. 求解实例。
接下来，我们通过一个具体的实例来演示如何求解双曲线的标准方程。
例，求双曲线x^2/16-y^2/9=1的标准方程。
解，首先，我们将给定的双曲线方程化为标准形式，得到(x-0)^2/16-(y-0)^2/9=1。
3.2.1 双曲线及其标准方程(课件
9A＋21265B＝1， 因为点 P，Q 在双曲线上，则2596A＋25B＝1，
A＝－116， 解得B＝19.
故双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
总结
求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确 定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定 a2，b2 的数值，常由条件列方程组求解． 提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方 程为 mx2＋ny2＝1 的形式，注意标明条件 mn＜0.
二．双曲线的标准方程
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－bx22＝1 (a＞0，b＞0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c 的关系
c2＝ a2＋b2
思考：如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？
焦点 F1，F2 的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲 线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若 x2 项的系数为正， 则焦点在 x 轴上；若 y2 项的系数为正，则焦点在 y 轴上．
题型二 双曲线中焦点三角形问题
例 2 若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个焦点． (1)若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，求点 M 到另一个焦点 的距离；
(2)如图，若 P 是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2 的面积．
解：双曲线的标准方程为x92－1y62 ＝1，故 a＝3，b＝4，c＝ a2＋b2＝5. (1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离 等于 16，假设点 M 到另一个焦点的距离等于 x，则|16－x|＝6，解得 x＝10 或 x＝22. 故点 M 到另一个焦点的距离为 10 或 22. (2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6 两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2 中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2＝1020×－31200＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)， 所以∠F1PF2＝90°， 故 S△F1PF2 ＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.