高中物理课件-5.7圆周运动的临界问题
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O
A
O’
3、如图,细绳的一端系着质量m=0.6kg的物体, 静止在水平面上,另一端通过光滑小孔吊着质 量M=3kg的物体,m的中点与圆孔的距离为0.2m, 已知m和平面的最大静摩擦力为2N,现使m沿此 平面绕中心轴线转动,问角速度在什么范围M会 相对水平面静止?
4.如图，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用 细线相连的质量均为m的A、B两个小物块。A离轴心的 距离r1=20cm，B离轴心的距离r2=30cm，A和B与盘面间 相互作用的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，求：
（1）当火车的速度为 v1=10m/s时，轨道受到的 侧压力多大？方向如何？ （2）当火车的速度为 v2=20m/s时，轨道受到的 侧压力多大？方向如何？
专题： 圆周运动中的临界问题
丰城九中 熊文杰
处理有关圆周运动问题的步骤
①确定研究对象；
②确定做圆运动物体的轨道平面及圆心位置； ③对研究对象进行受力分析；
④在向心加速度方向和垂直于向心加速度方向 上建立直角坐标系，若需要可对物体所受力进 行适当的正交分解；
⑤依据牛顿运动定律和向心加速度的公式列方 程，解方程，并讨论解的合理性.
A．两人的线速度相同，约为0.4m/s B．两人的角速度相同，约为5rad/s C．两人的运动半径相同，都是0.45m D．两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m
2.水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到 转轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，
物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，
求转盘转动的最大角速度是多大？
平面内做圆周运动。
v2 B
o
试分析：
（1）当小球在最低点A 的速 度为v1时，绳的拉力与速度的
关系如何？
L
（2）当小球在最高点B 的速
A
v1 度为v2 时，绳的拉力与速度的
关系又如何？
v2 mg
T2
o T1
最低点：
T1
mg
m
v12 L
T1
m
v12 L
mg
v1
最高点：
T2
mg
m v22 L
mg 当：
（1）若细线上没张力，圆盘转 动的角速度应该满足什么条件？ （2）欲使A、B与盘间不发生相 对滑动，圆盘转动的最大角速度 为多少？A、B与盘间刚要发生相 对滑动时细线的张力？
O
BA
O’
5.如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面 上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角 为θ＝30°，一条长度为L的绳（质量不计），一 端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着 一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体 以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
F3
最低点：F1
mg
m v12 R
G
V2
最高点:
mg
F2
m v22 R
F2
;
mg
F3
m
v22 R
F1
思考：小球在最高点的最小速
V1
度可以是多少？
G
最小速度v=0，此时mg=F3
F3
最高点:
mg
F2
m v22 R
V2
G
mg
F3
m
v22 R
F2
思考：在最高点时，什么时候
外管壁对小球有压力，什么时
提供物体做圆
周运动的向心 力(受力分析)
m
v
2
F合 mr2r
物体做圆周
运动所需
m
2
T
2
r
要的向心力
当"供""需"平衡时,物体
做匀速圆周运动。
1．如图所示，甲、乙两名滑冰运动员，M甲 =80kg，M乙=40kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运 动的溜冰表演，两人相距0.9m，弹簧秤的示数为 600N，下列判断中正确的是（ ）
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动 的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同， 所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
N
N
mg
O 绳
mg
O 轨道
mg O 杆
mg
O 管道
物体在最高点的最小速度取决于该点所受的 最小合外力。
作业：如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长 为Ｌ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水平 轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求：
其临界速度。
临界速度：F 0, v0 gL
当v<v0，杆对球有向上的支持力； 当v>v0，杆对球有向下的拉力。
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放 置的管型轨道，其半径为R， 管内有一质量为m的小球有做 圆周运动，小球的直径刚好略 小于管的内径。问：
（1）小球运动到最高点时，速度与受力的关系 如何？ （2）小球运动到最低点时，速度与受力的关系 又是如何？
(1) 在最高点时，绳的拉力？
(2) 在最高点时水对小杯底的压力？
(3) 为使小杯经过最高点时 水不流出, 在最高点时最小 速率是多少?
mg O 绳
mg
O 轨道
拓展：物体沿竖直内轨运动
有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半径为r，
质量为m 的小球沿它的内表面做圆周运动，分
析小球在最高点A的速度应满足什么条件？
A
mg FN
mg
FN
v2 m
r
思考：小球过最高点的最小速度
是多少? FN 0,v0 gr
当v=v0，小球刚好能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点； 当v>v0，小球能够通过最高点。
9、质量为1kg 的物体，在粗糙的水平面上运动，
在A点初速度为6m/s，运动到B点进入竖直光滑 的半圆形轨道，若物体刚好能够通过轨道最高 点C，已知AB段动摩擦因数为μ=0.2，轨道半径 为0.4m,AB=4m，求：（1）通过B点瞬间对轨道 的压力（2）再次落在平面时距B点的距离
mg
m
v22 L
拉力
F1
v1 A mg
mg
-
F3
m
v22 L
支持力
思考:最高点的最小速度是多少?
最小速度v=0，此时mg=F3
问题2：杆球源自文库型：
B F3
v2
最高点：F2
mg
m
v22 L
拉力
mg
F2
o
F1
mg
-
F3
m
v22 L
支持力
思考:在最高点时，何时杆表现为
拉力？何时表现为支持力？试求
v1 A mg
v2 v0 gL
T2 0
T2
m
v22 L
mg
当v=v0，小球刚好能够通过最高点；
当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；
当v>v0，小球能够通过最高点。
8、如图，质量为m=0.5kg的小杯里盛有M=1kg的 水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星” 表演，转动半径为R=1m，小杯通过最高点的速度 为v=4m/s，g取10m/s2,求：
;
F1
候内管壁对小球有支持力?什么
V1
时候内外管壁都没有压力？
G
临界速度：F 0, v0 gR
当v<v0，内壁对球有向上的支持力； 当v>v0，外壁对球有向下的压力。
10．如图所示，半径为R，内径很小的光滑固定 半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B，
以不同的速度进入管内，A通过最高点C时，对
问题2：杆球模型：
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小
球在竖直平面内做圆周运动。
B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度
为v2时，杆的受力与速度的关
系怎样？
（2）当小球在最高点B的速度
为v1时，杆的受力与速度的关
A
系怎样？
问题2：杆球模型：
B
F3
v2
最低点：F1
mg
m
v12 L
mg
F2
o
最高点：F2
管壁上部的压力为3mg，B通过最高点时，对管 壁下部的压力为0.75mg。求A、B两球落地点间
的距离。
竖直平面内圆周运动的临界问题：由于物体在 竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轨道、 轻杆、管道等）不同，所以物体在通过最高点 时临界条件不同.
物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点受 的最小合外力，不同情况下的最小合外力决定了 不同情况下的最小速度.
⑴当 v 1 gL 时，求绳对物体的拉力；
6
⑵当 v 3 gL 时，求绳对物体的拉力。
2
6.如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，
上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为
30°与45°，问：
A
（1）球的角速度在什么范围内，
30°
两绳始终张紧。
B 45°
（2）当角速度为3 rad／s时，
（１）当小球在最高点的速度 为多大时，小球对杆的作用力 为零？ （２）当小球在最高点的速度 分别为６m/s和1.5m/s时，杆对 小球的作用力的大小和方向 （３）小球在最高点的速度能 否等于零？
质量为100t的火车在轨道上行驶，火车内、外轨 连线与水平面的夹角为α=37°，如下图所示，弯 道半径R=30m，重力加速度取10m/s2．求：
上、下两绳拉力分别为多大？
C
7.飞机做特技表演时，常做俯冲拉起运动，如 图所示，此运动在最底点附近可看作是半径 r=500m的圆周运动。若飞行员的质量为m=65㎏， 飞机经过最底点时的速度为v=360km/h，则这 时飞行员对座椅的压力为多大?
问题1：绳球模型
长为L的细绳拴着质量为m 的小球在竖直
A
O’
3、如图,细绳的一端系着质量m=0.6kg的物体, 静止在水平面上,另一端通过光滑小孔吊着质 量M=3kg的物体,m的中点与圆孔的距离为0.2m, 已知m和平面的最大静摩擦力为2N,现使m沿此 平面绕中心轴线转动,问角速度在什么范围M会 相对水平面静止?
4.如图，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用 细线相连的质量均为m的A、B两个小物块。A离轴心的 距离r1=20cm，B离轴心的距离r2=30cm，A和B与盘面间 相互作用的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，求：
（1）当火车的速度为 v1=10m/s时，轨道受到的 侧压力多大？方向如何？ （2）当火车的速度为 v2=20m/s时，轨道受到的 侧压力多大？方向如何？
专题： 圆周运动中的临界问题
丰城九中 熊文杰
处理有关圆周运动问题的步骤
①确定研究对象；
②确定做圆运动物体的轨道平面及圆心位置； ③对研究对象进行受力分析；
④在向心加速度方向和垂直于向心加速度方向 上建立直角坐标系，若需要可对物体所受力进 行适当的正交分解；
⑤依据牛顿运动定律和向心加速度的公式列方 程，解方程，并讨论解的合理性.
A．两人的线速度相同，约为0.4m/s B．两人的角速度相同，约为5rad/s C．两人的运动半径相同，都是0.45m D．两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m
2.水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到 转轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，
物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，
求转盘转动的最大角速度是多大？
平面内做圆周运动。
v2 B
o
试分析：
（1）当小球在最低点A 的速 度为v1时，绳的拉力与速度的
关系如何？
L
（2）当小球在最高点B 的速
A
v1 度为v2 时，绳的拉力与速度的
关系又如何？
v2 mg
T2
o T1
最低点：
T1
mg
m
v12 L
T1
m
v12 L
mg
v1
最高点：
T2
mg
m v22 L
mg 当：
（1）若细线上没张力，圆盘转 动的角速度应该满足什么条件？ （2）欲使A、B与盘间不发生相 对滑动，圆盘转动的最大角速度 为多少？A、B与盘间刚要发生相 对滑动时细线的张力？
O
BA
O’
5.如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面 上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角 为θ＝30°，一条长度为L的绳（质量不计），一 端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着 一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体 以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
F3
最低点：F1
mg
m v12 R
G
V2
最高点:
mg
F2
m v22 R
F2
;
mg
F3
m
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F1
思考：小球在最高点的最小速
V1
度可以是多少？
G
最小速度v=0，此时mg=F3
F3
最高点:
mg
F2
m v22 R
V2
G
mg
F3
m
v22 R
F2
思考：在最高点时，什么时候
外管壁对小球有压力，什么时
提供物体做圆
周运动的向心 力(受力分析)
m
v
2
F合 mr2r
物体做圆周
运动所需
m
2
T
2
r
要的向心力
当"供""需"平衡时,物体
做匀速圆周运动。
1．如图所示，甲、乙两名滑冰运动员，M甲 =80kg，M乙=40kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运 动的溜冰表演，两人相距0.9m，弹簧秤的示数为 600N，下列判断中正确的是（ ）
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动 的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同， 所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
N
N
mg
O 绳
mg
O 轨道
mg O 杆
mg
O 管道
物体在最高点的最小速度取决于该点所受的 最小合外力。
作业：如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长 为Ｌ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水平 轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求：
其临界速度。
临界速度：F 0, v0 gL
当v<v0，杆对球有向上的支持力； 当v>v0，杆对球有向下的拉力。
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放 置的管型轨道，其半径为R， 管内有一质量为m的小球有做 圆周运动，小球的直径刚好略 小于管的内径。问：
（1）小球运动到最高点时，速度与受力的关系 如何？ （2）小球运动到最低点时，速度与受力的关系 又是如何？
(1) 在最高点时，绳的拉力？
(2) 在最高点时水对小杯底的压力？
(3) 为使小杯经过最高点时 水不流出, 在最高点时最小 速率是多少?
mg O 绳
mg
O 轨道
拓展：物体沿竖直内轨运动
有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半径为r，
质量为m 的小球沿它的内表面做圆周运动，分
析小球在最高点A的速度应满足什么条件？
A
mg FN
mg
FN
v2 m
r
思考：小球过最高点的最小速度
是多少? FN 0,v0 gr
当v=v0，小球刚好能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点； 当v>v0，小球能够通过最高点。
9、质量为1kg 的物体，在粗糙的水平面上运动，
在A点初速度为6m/s，运动到B点进入竖直光滑 的半圆形轨道，若物体刚好能够通过轨道最高 点C，已知AB段动摩擦因数为μ=0.2，轨道半径 为0.4m,AB=4m，求：（1）通过B点瞬间对轨道 的压力（2）再次落在平面时距B点的距离
mg
m
v22 L
拉力
F1
v1 A mg
mg
-
F3
m
v22 L
支持力
思考:最高点的最小速度是多少?
最小速度v=0，此时mg=F3
问题2：杆球源自文库型：
B F3
v2
最高点：F2
mg
m
v22 L
拉力
mg
F2
o
F1
mg
-
F3
m
v22 L
支持力
思考:在最高点时，何时杆表现为
拉力？何时表现为支持力？试求
v1 A mg
v2 v0 gL
T2 0
T2
m
v22 L
mg
当v=v0，小球刚好能够通过最高点；
当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；
当v>v0，小球能够通过最高点。
8、如图，质量为m=0.5kg的小杯里盛有M=1kg的 水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星” 表演，转动半径为R=1m，小杯通过最高点的速度 为v=4m/s，g取10m/s2,求：
;
F1
候内管壁对小球有支持力?什么
V1
时候内外管壁都没有压力？
G
临界速度：F 0, v0 gR
当v<v0，内壁对球有向上的支持力； 当v>v0，外壁对球有向下的压力。
10．如图所示，半径为R，内径很小的光滑固定 半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B，
以不同的速度进入管内，A通过最高点C时，对
问题2：杆球模型：
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小
球在竖直平面内做圆周运动。
B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度
为v2时，杆的受力与速度的关
系怎样？
（2）当小球在最高点B的速度
为v1时，杆的受力与速度的关
A
系怎样？
问题2：杆球模型：
B
F3
v2
最低点：F1
mg
m
v12 L
mg
F2
o
最高点：F2
管壁上部的压力为3mg，B通过最高点时，对管 壁下部的压力为0.75mg。求A、B两球落地点间
的距离。
竖直平面内圆周运动的临界问题：由于物体在 竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轨道、 轻杆、管道等）不同，所以物体在通过最高点 时临界条件不同.
物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点受 的最小合外力，不同情况下的最小合外力决定了 不同情况下的最小速度.
⑴当 v 1 gL 时，求绳对物体的拉力；
6
⑵当 v 3 gL 时，求绳对物体的拉力。
2
6.如图所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，
上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为
30°与45°，问：
A
（1）球的角速度在什么范围内，
30°
两绳始终张紧。
B 45°
（2）当角速度为3 rad／s时，
（１）当小球在最高点的速度 为多大时，小球对杆的作用力 为零？ （２）当小球在最高点的速度 分别为６m/s和1.5m/s时，杆对 小球的作用力的大小和方向 （３）小球在最高点的速度能 否等于零？
质量为100t的火车在轨道上行驶，火车内、外轨 连线与水平面的夹角为α=37°，如下图所示，弯 道半径R=30m，重力加速度取10m/s2．求：
上、下两绳拉力分别为多大？
C
7.飞机做特技表演时，常做俯冲拉起运动，如 图所示，此运动在最底点附近可看作是半径 r=500m的圆周运动。若飞行员的质量为m=65㎏， 飞机经过最底点时的速度为v=360km/h，则这 时飞行员对座椅的压力为多大?
问题1：绳球模型
长为L的细绳拴着质量为m 的小球在竖直