二次函数(第二课时)
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二次函数第二课时
冲上新顶峰
4、已知函数y=(m+2)x㎡+m-4是关于的二次函数求： 、已知函数 是关于的二次函数求： （1）满足条件的 的值 ）满足条件的m的值 为何值时， （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最 ） 为何值时 抛物线有最低点？ 低点。在此条件下， 为何值时 为何值时， 随 的增大 低点。在此条件下，当x为何值时，y随x的增大 增大？ 增大？ 为何值时， （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ ） 为何值时 函数有最大值？最大值是多少？ 在此条件下， 为何值时 为何值时， 随的 增大而减小？ 随的x增大而减小 在此条件下，当x为何值时，y随的 增大而减小？
向上并且向上无限伸展
向下并且向下无限伸展 向下并且向下无限伸展
动画演示 当x=0时，最小值为 。 当x=0时，最大值为 。 时 最小值为0。 时 最大值为0。
y= x
2
当a>0时，在对称轴的 时 左侧， 随着 随着x的增大而 左侧，y随着 的增大而 减小。 减小。 当a>0时，在对称轴的 时 右侧， 随着 随着x的增大而 右侧，y随着 的增大而 增大。 增大。 当a<0时，在对称轴的 时 左侧， 随着 随着x的增大而 左侧，y随着 的增大而 增大。 增大。 当x=-2时，y=4 时 时 当x=1时，y=1 当x=-1时，y=1 时 当x=2时，y=4 时
y = x2
观察右图， 观察右图， 并完成填空。 并完成填空。
y = −x2
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 极值
y=ax2(a﹥0 )
（0，0） ， ） y轴或直线（x=0) 轴或直线（ 轴或直线
y=ax2(a﹤0)
（0，0） ， ） y轴或直线（x=0) 轴或直线（ 轴或直线
2.2二次函数的图像和性质(第二课时) 课件 2022—2023学年北师大版数学九年级下册
y y=x2+1
10
8
6
4
2 y=x2-1
-5 -2
5
x
讨论 （1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的 开口方向、对称 轴、顶点各是什么？
抛物线 y=X2+1
y=x2-1
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
y轴
(0，1)
向上
y轴
(0，-1)
y y=x2+1
10
8
6
4
2 y=x2-1
-5 -2
5
x
讨论 （2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2 有什么位置关系？
就得到抛物线y=ax2+k； 把抛物线y=ax2向下平移k个单位，
下
就得到抛物线y=ax2-k
减
在同一直角坐标系中，
y
画出下列二次函数的图象：
2
y=-0.5x2， y=-0.5x2+2 ,
1
y=-0.5x2-2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
观察三条抛物线的相互关系， 并分别指出它们的开口方向、 对称轴及顶点。
x 2和y=2x 2 的(图1)像列表
(2) 描点
当a＜0时，它 的图象又如 何呢？
10 9
y
y
2x2
8
7
y 1 x2 2
(3) 连线
6
函数
y=
1 2
x
2,
y=2x
2
5 4
的图像与函数 y=x 2(图中
3 2
虚线图形)的图像相比，有
1
什么共同点和不同点?
-5-4-3-2-1 o1 2 3 4 5 x
二次函数复习第2课时PPT课件
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
21x-1
y
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、 o
B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
A
Bx
△=22-4×(-8)=36>0
x2-2x-8=0 解方程得:x1=4, x2=-2
P
∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9) ∴S△ABC=27
-1
o1 x
7.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图
所示，关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0
的一个解x1=3，另一个解x2=__-_1__.
8.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2，-3)，且图象过
点(-3，-2)，则此二次函数的解析式y=x2+4x+1 ;设此
二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，则
b=0
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
b2-4ac>0
与x轴有一个交点
b2-4ac=0
与x轴无交点
b2-4ac<0
（5）a+b+c的符号：因为x=1时，y=a+b+c,
所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。
当x=1时，y>0, 则a+b+c>0
当x=1时，y<0，则a+b+c<0
A. b2-4ac>0 B. abc>0
y
C. a+b+c=0 D. a-b+c<0
4.方程x2-3x=0的两根是x1=0，x2=3,抛物线
最新人教版初中九年级下册数学【二次函数 第二课时】教学课件
二次函数（第二课时）
初中数学
学习目标
1 会用函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，建 立知识之间的联系；
2 会利用函数图象解决问题，进一步体会数形结合思想； 3 灵活运用函数与方程的有关知识解决问题，提高分析
和解决问题的能力．
初中数学
用函数观点看一元二次方程、不等式
一元二次方程 令y=0 二次函数 令y>0 一元二次不等式
初中数学
• 完成课后作业中的题目
作业
初中数学
谢谢
形
求抛物线y=ax2+bx+c与与直x轴线y=m 交点的横坐标.
形
在直线y=m
求抛物线y=ax2+bx+c与直上线方y的=m点交点
的横坐标范围.
初中二数次学函数与一元二次方程之间的关系
解一元二次方程aaxx2+2+bbxx++cc==mm(xa+≠0n)（m ≠0 ） 数
当二次函数y=ax2+bx+c的 函数值与一次函数y=mx+n的函数值相等 时，求自变量x的函值数. 值y=m
3 关于x的方程ax2+bx+c=3 (a≠0)的解 为 x=-2或0 .
4 若 关于x的方程ax2+bx+c=k (a≠0)有两个 不 相等的实数根，则k的取值范围为 k<4 .
初中数学
例题讲解
例2.二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=-1，
与x 轴的一个交点为 （1,0），与 y轴的交点为 （0,3）.
（1）关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解 为 x=-3或1 .
初中数学
学习目标
1 会用函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，建 立知识之间的联系；
2 会利用函数图象解决问题，进一步体会数形结合思想； 3 灵活运用函数与方程的有关知识解决问题，提高分析
和解决问题的能力．
初中数学
用函数观点看一元二次方程、不等式
一元二次方程 令y=0 二次函数 令y>0 一元二次不等式
初中数学
• 完成课后作业中的题目
作业
初中数学
谢谢
形
求抛物线y=ax2+bx+c与与直x轴线y=m 交点的横坐标.
形
在直线y=m
求抛物线y=ax2+bx+c与直上线方y的=m点交点
的横坐标范围.
初中二数次学函数与一元二次方程之间的关系
解一元二次方程aaxx2+2+bbxx++cc==mm(xa+≠0n)（m ≠0 ） 数
当二次函数y=ax2+bx+c的 函数值与一次函数y=mx+n的函数值相等 时，求自变量x的函值数. 值y=m
3 关于x的方程ax2+bx+c=3 (a≠0)的解 为 x=-2或0 .
4 若 关于x的方程ax2+bx+c=k (a≠0)有两个 不 相等的实数根，则k的取值范围为 k<4 .
初中数学
例题讲解
例2.二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=-1，
与x 轴的一个交点为 （1,0），与 y轴的交点为 （0,3）.
（1）关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解 为 x=-3或1 .
数学：26.1《二次函数》(第2课时)课件(人教新课标九年级下)
有一天浏览网页，突然被央视“走近科学”栏目曾经播出的纪录片《卡拉麦里的精灵》震撼了。讲述的是野马回归大自然的故事，其中的生离死别场面十分感人。
我们在草原上时而拔河，时而躲进车子里避雨，时而又到仅有的沙地里轮滑，时而遇见龙卷风来势汹汹。我们这才知道，草原，并不像画面中那般宁静悠远，真实的草原，是这般风起云涌，气象万 千的。ag网上游艺开户 再看小季，跟着大伙完全融入到无边草原中。她忘记了身上刚刚隐去的温热，在明朗的晴空下飞奔。她的笑声，从未见过的爽朗通透，传到了很远很远的地方。 那日，我们坐在草原深处的湖边，遥想当年皇家围猎的图景，似与时空有了短暂了接壤，还能听见马蹄声起。恍惚间，山河涌动，久远的过去向我们逐步走来。我望着身边的小季，回想她从昨日的 坚守，到今日的康健以及深入原野的享受，似乎看到了一种前所未有的力量，从她的身上萌发出来。她笑笑说： “草原是我朝思暮想的地方，她在我身上植入了根，若这次不来，我会非常遗憾的。妈妈，你看，我坚持了一下，这个梦想就实现了，我感到自己无比强大呢。” 小季的眼睛带着笑意，我分明看到了她眼睛澄澈，与蓝天碧水以及辽阔无边的草原融成了一体。 我默默地感谢小季，她的坚持，让我有了一次不可复刻的经历。
我们在草原上时而拔河，时而躲进车子里避雨，时而又到仅有的沙地里轮滑，时而遇见龙卷风来势汹汹。我们这才知道，草原，并不像画面中那般宁静悠远，真实的草原，是这般风起云涌，气象万 千的。ag网上游艺开户 再看小季，跟着大伙完全融入到无边草原中。她忘记了身上刚刚隐去的温热，在明朗的晴空下飞奔。她的笑声，从未见过的爽朗通透，传到了很远很远的地方。 那日，我们坐在草原深处的湖边，遥想当年皇家围猎的图景，似与时空有了短暂了接壤，还能听见马蹄声起。恍惚间，山河涌动，久远的过去向我们逐步走来。我望着身边的小季，回想她从昨日的 坚守，到今日的康健以及深入原野的享受，似乎看到了一种前所未有的力量，从她的身上萌发出来。她笑笑说： “草原是我朝思暮想的地方，她在我身上植入了根，若这次不来，我会非常遗憾的。妈妈，你看，我坚持了一下，这个梦想就实现了，我感到自己无比强大呢。” 小季的眼睛带着笑意，我分明看到了她眼睛澄澈，与蓝天碧水以及辽阔无边的草原融成了一体。 我默默地感谢小季，她的坚持，让我有了一次不可复刻的经历。
二次函数图像和性质第二课时
求解二次函数参数a,b,c和变换
参数a
- a的正负性决定了抛物线的开 口方向；
- a的值越大，抛物线越窄，变 化越剧烈；
- a的值越小，抛物线越平缓， 变化越缓和。
参数b,c
- b表示对称轴位置，c表示纵向 位移；
- b,c的正负性和大小决定了抛 物线的位置和位置的变化。
变换操作
- 平移：改变b,c的值，使抛物 线沿坐标轴平移；
2
货币政策
利用二次函数模型研究通货膨胀、货币供给和利率等经济指标的关系。
3
投资和金融
使用二次函数拟合和预测各种金融数据，如收益率、股票价格、区块链价格等。
二次函数技巧和常用小技巧
判断开口方向
- 系数a为正，开口向上； - 系数a为负，开口向下。
判断位置关系
- 当一个二次函数图像位于另 一个二次函数图像上方时， 两者的交点为前者二次函数 的根。
二次函数在信息学中的应用
图像处理
- 图像矫正模型: y = ax² + bx + c - 非线性滤波器: y = $(1 + ax + bx²) / (1 + cx + dx²)$
信号处理
- 带通滤波器: y = ax² / (1 + bx + cx²) - 频率合成模型: y = a cos(2πfx)
求解零点的特殊技巧
- 配方法：将二次函数式通分， 并将 ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + (c - b²/4a) 化为一次 项加完全平方项的形式；
- 模拟除法法：模拟二次函数 根式的格式，用正负分别代 入函数式得到两个零点。
二次函数综合练习及答案解析
二次函数的图像与性质第二课时说课课件
讲授新课：逐步深入，化解难点
引入二次函数的定义和一般形式，解释 二次函数系数对图像的影响。
通过图像展示二次函数的开口方向、对 称轴和顶点等性质，帮助学生形成直观
认识。
详细讲解二次函数的最大值和最小值问 题，引导学生理解最值的求解方法和实
际意义。
巩固练习：针对训练，提高能力
提供多种类型的练习题，包括求解析 式、判断图像形状、求最值等，让学 生全面巩固所学知识。
课后拓展延伸建议
深入研究
选择一个具体的二次函数 ，深入研究其图像和性质 ，并撰写研究报告；
拓展应用
尝试将二次函数应用于实 际问题中，例如解决最优 化问题；
自主探索
探索二次函数与其他数学 知识点的联系，例如与三 角函数、数列等的结合。
个性化辅导策略
针对学生的不同兴趣点，提供与二次函数相关的趣味 数学题目或数学史话等阅读材料，激发学生的学习兴 趣；
知识点梳理与分析
知识点2
二次函数的图像特征
分析
学生需要掌握二次函数的图像是一条抛物线，理解抛物线的开口方向、顶点、对称轴等基本概念，并能够根据函 数的表达式绘制出相应的图像。
知识点梳理与分析
知识点3
二次函数的性质
分析
学生需要深入理解二次函数的性质，包括开口方向（由$a$的正负决定）、顶点坐标（可以通过公式 $-frac{b}{2a},f(-frac{b}{2a})$求得）、对称轴（$x=-frac{b}{2a}$）等。同时，要了解这些性质在实 际问题中的应用。
定期查看学生作业，了解学生对知 识点的掌握情况。
小组讨论表现
评估学生在小组讨论中的贡献，包 括提出问题和解答问题的能力。
结果性评价方法
单元测试
高中数学课件-二次函数的第二课时
(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=m2－4m+8=(m－2)2+4. 所以当m=2时，|x1－x2|最小，最小值是2.
能力训练
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在下
列各不等式中成立的个数是__①__④___⑤_____
y
-1
1
x
0
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b2-4ac > 0
2
所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y =1 x2 经一系列变换得到
2 的，具体地说：先将y = 1 x2 的图像向左移动4个单位，再向下移
动2个单位得到
f (x)
1
2
(x
4)
2
2
的图像
2
（2）函数与x轴的交点是： (－6，0)和( －2，0)
函数与y轴的交点：
（0，6）
（3）函数图像的对称性质：
b
2
x
b 2a
时，ymax
4ac 4a
b2
y y
x
x
（二）研究二次函数的一般方法: （1）配方 （2）求函数的图象与x轴的交点 （3）列表描点作图 （4）函数图象的对称性质 （5）函数的增减性，最值
例1.研究函数 f (x) 1 x2 4x 6 的图像与性质.
2 解：（1）配方得 f (x) 1 (x 4)2 2
例3. 已知二次函数y=x2－mx+m－2， （1）证明：无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个 交点； （2）m为何值时，这两个交点之间的距离最小。
解：（1）△=m2－4m+8=(m－2)2+4>0， 所以无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；
能力训练
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在下
列各不等式中成立的个数是__①__④___⑤_____
y
-1
1
x
0
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b2-4ac > 0
2
所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y =1 x2 经一系列变换得到
2 的，具体地说：先将y = 1 x2 的图像向左移动4个单位，再向下移
动2个单位得到
f (x)
1
2
(x
4)
2
2
的图像
2
（2）函数与x轴的交点是： (－6，0)和( －2，0)
函数与y轴的交点：
（0，6）
（3）函数图像的对称性质：
b
2
x
b 2a
时，ymax
4ac 4a
b2
y y
x
x
（二）研究二次函数的一般方法: （1）配方 （2）求函数的图象与x轴的交点 （3）列表描点作图 （4）函数图象的对称性质 （5）函数的增减性，最值
例1.研究函数 f (x) 1 x2 4x 6 的图像与性质.
2 解：（1）配方得 f (x) 1 (x 4)2 2
例3. 已知二次函数y=x2－mx+m－2， （1）证明：无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个 交点； （2）m为何值时，这两个交点之间的距离最小。
解：（1）△=m2－4m+8=(m－2)2+4>0， 所以无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；
二次函数第二课时.doc
二次函数+c的性质开口方向：①函数y = ax2-^c图像< 对称轴：顶点坐标：②增减性：③最值：(3” = —3 兀2+1 (4)y = 3”+l在坐标系中画出这两个二次函数的大致图像，然后从上述几个方面来讨论函数图像的性质。
2、二次函数y = a(x-h)2的性质开口方向：①函数y = a(x-h)2图像 < 对称轴：顶点坐标：②增减性：③最值：(5)y = -3(x-2)2(6)y = 3(x+2)2在坐标系中画出这两个二次函数的大致图像，然后从上述几个方面来讨论函数图像的性质。
3、二次函数y = a(x-h)2+k的顶点坐标为(从)，函数尸做2的顶点坐标为(0,0)，可以看成是由y = 向右平移力〉0个单位，向上平移£〉0个单位。
(7)y = -3(x-2)2+l (8)y = 3(x-2)2+l在坐标系中画出这两个二次函数的大致图像，然后从上述几个方面来讨论函数图像的性质。
例1、填空1. _____________________________________ 二次函数y = x2-\的图象是一条,顶点坐标为： _________________________________________ ,与兀轴的交点为_____________ 与y轴的交点为： ____________ ,图象有最点。
2•二次函数y = -(x-2)2+l开口向___________ ,顶点坐标为： ____________ ,与x轴的交点为_________________ 与y轴的交点为：______________ ,对称轴为：__________ o3•二次函数y = _(x + 2)2-4顶点坐标为：______ ，对称轴为：__________ ，与y轴的交点为：______________ ,与兀轴的交点为_______________ O4. ____________________________________ 二次函数尸(兀-2尸-3的顶点坐标为：，对称轴为： ______________________________________ ,与x轴的交点为 _______________ ,与y轴的交点为：______________ o5. ____________________________________ 二次函数尸_3(兀+2尸的顶点坐标为：，对称轴为： ______________________________________ 与兀轴的交点为 _______________ ,与y轴的交点为：_______________ o6•二次函数y = -3〒_4的顶点坐标为：_________ ,对称轴为：,与x轴的交点为 _______________ , y轴的交点为：________________ o4、二次函数y = ax2+bx^c的性质思考：1 ) 是否任何的一个二次函数y = a^2 +/2X + C都能化成y = °(兀-加『+力的形式？如果能，怎么化？特别的，当b = 0时，二次函数的图像有什么特点？当c = 0时，二次函数的图像有什么特点？当方=0且c = 0时，二次函数的图像有什么特点？(1 ) ^ = 2兀2 -3%-5 (2 ) y = -2x2+4x + 4 例厶用配方法求出下列函数的顶点坐标及对称轴1 2 3=——对-X——2 2的平移1）函数y =处2、y = ax1是如何平移、变换的c>0 ,沿y轴向上平移c个单位y = ax2----------------------- - > y = ax2 + c c<0,沿y轴向下平移|c|个单位2 ）函数y = ax2s y = a（x-m）2是如何平移、变换的m > 0,沿兀轴向右平移m个单位—个单位得到的函数y = ^x 2-6图像 个单位得到的函数尸新图像、 练习： 1•求y 十+6“的顶点坐标？怎样平移得到y 十2. 在平面直角坐标系中，如果抛物线/=2A 2不动，通过怎样平移得到下列函数？(1)y = 2(x ・ 2)2 + 2 (2)y = 2(x + 2)2 ・ 2 (3)y = 2(x ・ 2)2 ・ 2 (4)y = 2(x + 2)2 + 2 6、二次函数 y = ax 2+ 加 + c 与坐标轴的交点①与y 轴的交点：当x = 0时，图像过点 _____ ;当c = 0时，图像经过原点 △ >0时:②与兀轴的交点：当y = 0时，｛△ = ()吋:A <0吋:y = ax 2加<0,沿兀轴向左平移网个单位1、 函数y = 向一2、 函数宀一6向 此时顶点在 ________例4•求下列函数与坐标轴的交点(2)>—非+4—l例5、( 1 )已知抛物线y = x 2-10x + c 在y 轴上的截距是 _____ ，若顶点在x 轴上，c= ____ (2 )对称轴是y 轴且过点A ( 1 , 3 ).点B( - 2 ,・6)的抛物线的解析式为 _____________________巩固练习2 .抛物线y = x 2+ (m - 2)x + (m 2 - 4)的顶点在原点，则加= _______ (1 ) y = X 2 - 2x + 1 抛物线y = -2/ +4兀+ 1在兀轴上彳 得的线段长度是 _________________3 •抛物线j = -x2 -2x + m ,若其顶点在x轴上,则加= ___________ 7、函数图像上两点（心刃,（兀2，刃可知：对称轴为直线x = U乞例6、1 ）已知一个二次函数过两点（・1,0 ）,（7,0 ）,则这个二次函数的对称轴是 ___2 ）已知一个二次函数过两点（3,4 ）,（9,4 ）,则这个二次函数的对称轴是_____3 ）抛物线y = -2/+4兀+ 1在兀轴上1 得的线段长度是_________________ 小结：⑴参数a,b,c对二次函数y = ax2 +bx + c的图像位置的影响当°>0吋当G < 0时当a相同时当同越大吋当b二0时②（当b>0时当b〈0时当c二0时③（当c>0时当。
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)(课件)九年级数学上册(人教版)
C. y=(x-2)2-1
D. y= 1 (x-2)2-1 2
分层作业
3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 y= 1 x2-2x+3 相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为( )
2
A. y= 1 (x-2)2+1
2
B. y= 1 (x+2)2-1
2
C. y= 1 (x+2)2+1
2
D. y= 1 (x-2)2-1
分层作业
【拓展延伸作业】
6.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点 D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积.
分层作业
解：(1)：抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC， ∴OC=OB=3. ∴C(0.3), 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，将 C(0，3)代入得， -3a=3. ∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；
∴DE=4-2=2，
∴S△CDB= 1 DE·OB= 1 ×2×3=3
2
2
分层作业
7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(0，-1)和(2，7)
(1)求二次函数解析式及对称轴
(2)若点(-5，y1)(m，y2)是抛物线上不同的两个点，且 y1+y2=28，求 m 的值
解：把（0，-1)和(2，7)分别代入 y=x2+bx+c 可得： (2)把 x=-5 代入二次函数得：y1=14，
二次函数第二课时
2
向下 顶点坐标是______,对称轴是_______. (0,0) 是_____,顶点坐标是______,对称轴是_______. _____,顶点坐标是______,对称轴是 y轴 (2)二次函数 (2)二次函数 y = ax 与 y = −2x 开口大小,形状一样, 开口大小,形状一样, 开口方向相反, 开口方向相反,则 a = _______. 2
(2)怎么样得到二次函数的图象呢 (2)怎么样得到二次函数的图象呢?请同学们画出 怎么样得到二次函数的图象呢? 2 的图象. 函数 y = x 的图象.
合作交流,解读探究 合作交流 解读探究
【探究1】画函数 探究1
y = x 的图象. 的图象.
2
9
4
1
0
Hale Waihona Puke 149共同探究:此函数图象有何特征? 共同探究:此函数图象有何特征? ①形状是开口向上的抛物线. 形状是开口向上的抛物线. ②图象关于y轴对称. 图象关于y轴对称. ③有最低点,没有最高点. 有最低点,没有最高点.
2
【反思】函数y = ax与 反思】
2
y = −ax 的图象之间有何关系? 的图象之间有何关系?
2 2
【拓展】已知函数 y = ax 经过点(1,2). 拓展】已知函数 经过点(1,2). (1)求 的值; (1)求a的值; (2)当 (2)当 x < 0 , y的值随 x值的增大而变化的 时 情况. 情况.
9 8 ... 2
【共同探究】:比较图中三个抛 共同探究】 物线,找出它们的异同? 物线,找出它们的异同? 相同点: 相同点: 顶点相同,其坐标都为(0,0); ①顶点相同,其坐标都为(0,0); ②对称轴都相同,都是y轴. 对称轴都相同,都是y ③开口方向都相同,它们的 开口方向都相同, 开口方向都是向上. 开口方向都是向上. 不同点:开口大小不同. 不同点:开口大小不同.
向下 顶点坐标是______,对称轴是_______. (0,0) 是_____,顶点坐标是______,对称轴是_______. _____,顶点坐标是______,对称轴是 y轴 (2)二次函数 (2)二次函数 y = ax 与 y = −2x 开口大小,形状一样, 开口大小,形状一样, 开口方向相反, 开口方向相反,则 a = _______. 2
(2)怎么样得到二次函数的图象呢 (2)怎么样得到二次函数的图象呢?请同学们画出 怎么样得到二次函数的图象呢? 2 的图象. 函数 y = x 的图象.
合作交流,解读探究 合作交流 解读探究
【探究1】画函数 探究1
y = x 的图象. 的图象.
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Hale Waihona Puke 149共同探究:此函数图象有何特征? 共同探究:此函数图象有何特征? ①形状是开口向上的抛物线. 形状是开口向上的抛物线. ②图象关于y轴对称. 图象关于y轴对称. ③有最低点,没有最高点. 有最低点,没有最高点.
2
【反思】函数y = ax与 反思】
2
y = −ax 的图象之间有何关系? 的图象之间有何关系?
2 2
【拓展】已知函数 y = ax 经过点(1,2). 拓展】已知函数 经过点(1,2). (1)求 的值; (1)求a的值; (2)当 (2)当 x < 0 , y的值随 x值的增大而变化的 时 情况. 情况.
9 8 ... 2
【共同探究】:比较图中三个抛 共同探究】 物线,找出它们的异同? 物线,找出它们的异同? 相同点: 相同点: 顶点相同,其坐标都为(0,0); ①顶点相同,其坐标都为(0,0); ②对称轴都相同,都是y轴. 对称轴都相同,都是y ③开口方向都相同,它们的 开口方向都相同, 开口方向都是向上. 开口方向都是向上. 不同点:开口大小不同. 不同点:开口大小不同.
二次函数的图象与性质(第二课时)课件
当c> 0 时,向上平移c个单位长度得到；
当c＜ 0 时,向下平移-c个单位长度得到；
规律：上加下减
课堂小结
图
象
抛
物
线
开口方向
性 质
对称轴:轴
增 减 性
与y=ax 2
的关系
轴对称图形
随堂训练
1.填表：
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
向下
（, ）
y轴
有最高点
向上
(, )
y轴
有最低点
−
=
为
.
4.从＝ −3的图象上可以看出，当− ≤ ≤ 时，的取值范围是 − ≤ ≤ .
5.在同一坐标系中，函数 = + 与 = + 的图象的相对位置可以是（ A
O
O
A
B
O
C
O
D
6.已知二次函数＝ + ,当x取，（ ≠ ）时，函数值相等，则当x＝x1+x2
向下
(, −)
y轴
有最高点
2
x +2的顶点坐标是 (, ) ，对称轴是
y轴
2.抛物线 = −
，在对
称轴的左侧，随的增大而 增大 ；当 =
时，有最 大 值
是 .它可以由抛物线 = − x2向 上 平移 个单位得到.
3.已知二次函数 = − 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式
图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
y=3x2-1
当c＜ 0 时,向下平移-c个单位长度得到；
规律：上加下减
课堂小结
图
象
抛
物
线
开口方向
性 质
对称轴:轴
增 减 性
与y=ax 2
的关系
轴对称图形
随堂训练
1.填表：
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
向下
（, ）
y轴
有最高点
向上
(, )
y轴
有最低点
−
=
为
.
4.从＝ −3的图象上可以看出，当− ≤ ≤ 时，的取值范围是 − ≤ ≤ .
5.在同一坐标系中，函数 = + 与 = + 的图象的相对位置可以是（ A
O
O
A
B
O
C
O
D
6.已知二次函数＝ + ,当x取，（ ≠ ）时，函数值相等，则当x＝x1+x2
向下
(, −)
y轴
有最高点
2
x +2的顶点坐标是 (, ) ，对称轴是
y轴
2.抛物线 = −
，在对
称轴的左侧，随的增大而 增大 ；当 =
时，有最 大 值
是 .它可以由抛物线 = − x2向 上 平移 个单位得到.
3.已知二次函数 = − 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式
图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
y=3x2-1
二次函数 的图象和性质_第二课时-课件
把C（2，8）代入上式，
则有a（2+2）（2-1）=8，∴a=2。 ∴此函数的表达式为y=2x2+2x-4。
其顶点坐标为 ( 1 ， 9)。 22
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识★▲ 活动2 提升型例题
例4：如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为
把A（﹣1，0）、B（4，0）代入原函数解
析式得出：a 5，b 15。
4
4
所以这个二次函数的 解析式为：
y 5 x2 15 x 5。 44
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识★▲
活动2 提升型例题
例4：如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为 （﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC。 （1）求点C的坐标； （2）求二次函数的解析式，并化成一般形式。
解析：可设交点式y＝a（x－1）（x－3），然后把B 点坐标代入求出a即可；
解：∵对称轴是直线x＝2， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0）。 设抛物线解析式为y＝a（x－1）（x－3）， 把B（0，－3）代入得a（－1）×（－3）＝－3，解得a＝－1， ∴抛物线解析式为y＝－（x－1）（x－3）＝－x2＋4x－3。
（0，-3），则有 9a 3b
c
0，
4a 2b c 3， 解得
c 3。
a 1， b 2， c 3。
∴函数的表达式为y=x2-2x-3，其对称轴为直线x=1。
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识★▲
第二课时二次函数(共14张PPT)
第二课时二次函数
第1页，共14页。
复习
1.二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是什么形状？ 二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是一条抛物线。
2.二次函数y=ax2的性质是什么？
开口方向
对
称
解析式 a＞0 a＜0 轴
顶点
坐标
函数的增减性
a＞0
a＜0
y = ax2 ﹙a≠0﹚
向
上
向
下
（0，0） 对称轴左 对称轴左
抛物线解析式为 y= - 2(x.– 2) ( - 2, 0) (0, - 12)
(4) y= -x2-4 画出二次函数 (1) y=2(x+3)2
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
2
类似的抛物线下移，高度变低，要使y变小，则需要减。
6.抛物线y=3(x-8)2最小值为 说出下列二次 函数的开口方向、对称轴及顶点坐标
．
－4 －2
24
y 1x12
2
－2
y 1x12
－4
2
y 1 x2
第7页，共14页。
2
－6
y 1x12
2
❖ 上下平移时：上加下减（抛物线上移，高度 变高，要使y变大，则需要加；类似的抛物线 下移，高度变低，要使y变小，则需要减。）
❖ 左右平移时：左加右减（抛物线左移，高度 不变，左移后x变小了，要使y不变，则需要 加；类似的抛物线右移，高度不变，右移后x 变大了，要使y不变，则需要x 减。）
x
··· －3 －2 －1 0
1
2
3 ···
y 1x12
2
···
－2
1 2
0
第1页，共14页。
复习
1.二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是什么形状？ 二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是一条抛物线。
2.二次函数y=ax2的性质是什么？
开口方向
对
称
解析式 a＞0 a＜0 轴
顶点
坐标
函数的增减性
a＞0
a＜0
y = ax2 ﹙a≠0﹚
向
上
向
下
（0，0） 对称轴左 对称轴左
抛物线解析式为 y= - 2(x.– 2) ( - 2, 0) (0, - 12)
(4) y= -x2-4 画出二次函数 (1) y=2(x+3)2
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
2
类似的抛物线下移，高度变低，要使y变小，则需要减。
6.抛物线y=3(x-8)2最小值为 说出下列二次 函数的开口方向、对称轴及顶点坐标
．
－4 －2
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y 1x12
2
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y 1x12
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y 1 x2
第7页，共14页。
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－6
y 1x12
2
❖ 上下平移时：上加下减（抛物线上移，高度 变高，要使y变大，则需要加；类似的抛物线 下移，高度变低，要使y变小，则需要减。）
❖ 左右平移时：左加右减（抛物线左移，高度 不变，左移后x变小了，要使y不变，则需要 加；类似的抛物线右移，高度不变，右移后x 变大了，要使y不变，则需要x 减。）
x
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y 1x12
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0
，
0 时，y<0.
6、若抛物线 y 6 x 上点P的坐标为 (2，a)，则抛物线上与P点对称的点 P’的坐标为 。
2
7、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的 是 y ( ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b y x2 的函数值相等; o x (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. (D) 对任意实数x,都有y＞0.
yx
抛物线 y x 与它的对称轴的交点 （0，0）叫做抛物线 y x 2 的顶点
2
抛物线与对称轴 有交点吗？
它是抛物线 y x 的最低点．
2
1 2 例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 2 x 和y=2x2的图象 解: (1) 列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(3)y=(2x-1)2-4x2.
用描点法画二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 列表时应注意 y … 9 4 1 什么问题？ 0 1 4 9 … y 描点法 (2) 描点 你还记得用描 10
列表 描点
9 8 2 y = x 7 描点时应以哪些数 6 5 值作为点的坐标？ 4 3 2 1
对称轴： y 轴
1 2 增减性：y 轴左侧，y随x增大而增大 y x 2
y 轴右侧，y随x增大而减小
不同点: 开口大小不同; a越小，
y x2 抛物线的开口越小．
-5
y 2 x 2
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于x轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
8 6
y 2 x2
4
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小． 2 －4 －2 2
y
4
1 2 x 2
探究
画出函数
1 2 y x , y x , y 2 x 2 2
2
的图象．
解: (1) 列表
x y=－x2
y=－ 1 x2 2 …
…
-2
-1.5
-1 -１
-０.５
-0.5 -0.25
22.1.2 二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数 y ax 的图象和性质
2
二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是 函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 在下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x+5; (2)y=(x+3)2-5x;
(2) 描点
y= 2 x2
1
… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
0 0.5 1 1.5 2
… …
x (3) 连线
…
-2 -1.5 -1 -0.5 8
4.5
y=2x2 …
2
0.5
0 0.5 2 4.5 8 y 2x2 y y x2 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 y x 2
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大, 抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
耐心填一填
1、函数y=4x2的图象的开口向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) ; y轴 2 2、函数y=－3x 的图象的开口 向下 ,对称轴是 ,顶点是 ___ (0,0)
点法画函数图像的 (3) 一般步骤 ? 连线
连线时应注意 什么问题？
连线
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， y 10 实际上, 二次函数的图象都是抛物线， 9 2 8 7 6 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0） 5 4 的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c 3 2 这条抛物线是轴对称 1 图形吗？如果是， 二次函数y = x 2 的图象是轴对称图形， -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x 对称轴是什么？ 对称轴是y轴
;
3、函数y= 3x2的图象的开口
是 ,顶点是
y轴
向上 ,对称轴
;
(0,0)
4、函数y= －0.2x2的图象的开口
y轴 顶点是 对称轴是___,
向下 ,
; (0,0)
5、抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0） , 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
y随着x的增大而增大；在 对称轴的左 侧，
y随着x的增大而减小，当x=
0
时，
2 2 下 y x （2）抛物线 方（除顶点外）， 3 在x轴的
函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。 当 x〈 0 时，y随着x的 增大而增大 ； 当 x 〉0 时，y随着x的 增大而减小 ， 当 x = 0 时，函数y的值最大，最大值是 当x
(2) 描点 (3) 连线
-4
yx
2
-5
y 2 x 2
12 2的图象与函数y=－x2 函数y=－x , y = － 2 x 2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点? 相同点：开口：向上，
1
-3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4
y
1 2 3 x
顶点：原点（0,0）——最高点
-０.１２５
0 ０ ０
0.5 -0.25
-０.１２５
1 -１
-０.５
1.5
2
…
-４ -2.25
-2.25 -４ …
-１.１２５
…
-2
-１.１２５
-2
…
y=－2x2
… -８
-4. 5
-２
-０ . ５ ０
-０ . ５
-２
-4. 5
-８ …
1
-3 -2 -1 0 -1 -2 -3
y
1 2 3 x
1 2 y x 2
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
1 2 y x , y 2x2 2 有什么共同点和不同点？
函数
相同点：开口：向上，
的图象与函数 y=x2
的图象相比，
顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
y x2
y x2
在同一坐标系内,抛物线 y ax 与 2 抛物线 y ax 是关于x轴对称的.
2
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0
y
O
a<0 y
x
开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
极值
向上 (0 ,0) y轴
x
向下 (0 ,0) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。