二次函数第二课时
二次函数第二课时
冲上新顶峰
4、已知函数y=(m+2)x㎡+m-4是关于的二次函数求： 、已知函数 是关于的二次函数求： （1）满足条件的 的值 ）满足条件的m的值 为何值时， （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最 ） 为何值时 抛物线有最低点？ 低点。在此条件下， 为何值时 为何值时， 随 的增大 低点。在此条件下，当x为何值时，y随x的增大 增大？ 增大？ 为何值时， （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ ） 为何值时 函数有最大值？最大值是多少？ 在此条件下， 为何值时 为何值时， 随的 增大而减小？ 随的x增大而减小 在此条件下，当x为何值时，y随的 增大而减小？
向上并且向上无限伸展
向下并且向下无限伸展 向下并且向下无限伸展
动画演示 当x=0时，最小值为 。 当x=0时，最大值为 。 时 最小值为0。 时 最大值为0。
y= x
2
当a>0时，在对称轴的 时 左侧， 随着 随着x的增大而 左侧，y随着 的增大而 减小。 减小。 当a>0时，在对称轴的 时 右侧， 随着 随着x的增大而 右侧，y随着 的增大而 增大。 增大。 当a<0时，在对称轴的 时 左侧， 随着 随着x的增大而 左侧，y随着 的增大而 增大。 增大。 当x=-2时，y=4 时 时 当x=1时，y=1 当x=-1时，y=1 时 当x=2时，y=4 时
y = x2
观察右图， 观察右图， 并完成填空。 并完成填空。
y = −x2
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 极值
y=ax2(a﹥0 )
（0，0） ， ） y轴或直线（x=0) 轴或直线（ 轴或直线
y=ax2(a﹤0)
（0，0） ， ） y轴或直线（x=0) 轴或直线（ 轴或直线
2.2二次函数的图像和性质(第二课时) 课件 2022—2023学年北师大版数学九年级下册
y y=x2+1
10
8
6
4
2 y=x2-1
-5 -2
5
x
讨论 （1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的 开口方向、对称 轴、顶点各是什么？
抛物线 y=X2+1
y=x2-1
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
y轴
(0，1)
向上
y轴
(0，-1)
y y=x2+1
10
8
6
4
2 y=x2-1
-5 -2
5
x
讨论 （2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2 有什么位置关系？
就得到抛物线y=ax2+k； 把抛物线y=ax2向下平移k个单位，
下
就得到抛物线y=ax2-k
减
在同一直角坐标系中，
y
画出下列二次函数的图象：
2
y=-0.5x2， y=-0.5x2+2 ,
1
y=-0.5x2-2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
观察三条抛物线的相互关系， 并分别指出它们的开口方向、 对称轴及顶点。
x 2和y=2x 2 的(图1)像列表
(2) 描点
当a＜0时，它 的图象又如 何呢？
10 9
y
y
2x2
8
7
y 1 x2 2
(3) 连线
6
函数
y=
1 2
x
2,
y=2x
2
5 4
的图像与函数 y=x 2(图中
3 2
虚线图形)的图像相比，有
1
什么共同点和不同点?
-5-4-3-2-1 o1 2 3 4 5 x
二次函数复习第2课时PPT课件
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
21x-1
y
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、 o
B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
A
Bx
△=22-4×(-8)=36>0
x2-2x-8=0 解方程得:x1=4, x2=-2
P
∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9) ∴S△ABC=27
-1
o1 x
7.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图
所示，关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0
的一个解x1=3，另一个解x2=__-_1__.
8.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2，-3)，且图象过
点(-3，-2)，则此二次函数的解析式y=x2+4x+1 ;设此
二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，则
b=0
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
b2-4ac>0
与x轴有一个交点
b2-4ac=0
与x轴无交点
b2-4ac<0
（5）a+b+c的符号：因为x=1时，y=a+b+c,
所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。
当x=1时，y>0, 则a+b+c>0
当x=1时，y<0，则a+b+c<0
A. b2-4ac>0 B. abc>0
y
C. a+b+c=0 D. a-b+c<0
4.方程x2-3x=0的两根是x1=0，x2=3,抛物线
最新人教版初中九年级下册数学【二次函数 第二课时】教学课件
初中数学
学习目标
1 会用函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，建 立知识之间的联系；
2 会利用函数图象解决问题，进一步体会数形结合思想； 3 灵活运用函数与方程的有关知识解决问题，提高分析
和解决问题的能力．
初中数学
用函数观点看一元二次方程、不等式
一元二次方程 令y=0 二次函数 令y>0 一元二次不等式
初中数学
• 完成课后作业中的题目
作业
初中数学
谢谢
形
求抛物线y=ax2+bx+c与与直x轴线y=m 交点的横坐标.
形
在直线y=m
求抛物线y=ax2+bx+c与直上线方y的=m点交点
的横坐标范围.
初中二数次学函数与一元二次方程之间的关系
解一元二次方程aaxx2+2+bbxx++cc==mm(xa+≠0n)（m ≠0 ） 数
当二次函数y=ax2+bx+c的 函数值与一次函数y=mx+n的函数值相等 时，求自变量x的函值数. 值y=m
3 关于x的方程ax2+bx+c=3 (a≠0)的解 为 x=-2或0 .
4 若 关于x的方程ax2+bx+c=k (a≠0)有两个 不 相等的实数根，则k的取值范围为 k<4 .
初中数学
例题讲解
例2.二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=-1，
与x 轴的一个交点为 （1,0），与 y轴的交点为 （0,3）.
（1）关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解 为 x=-3或1 .
二次函数图像和性质第二课时
求解二次函数参数a,b,c和变换
参数a
- a的正负性决定了抛物线的开 口方向；
- a的值越大，抛物线越窄，变 化越剧烈；
- a的值越小，抛物线越平缓， 变化越缓和。
参数b,c
- b表示对称轴位置，c表示纵向 位移；
- b,c的正负性和大小决定了抛 物线的位置和位置的变化。
变换操作
- 平移：改变b,c的值，使抛物 线沿坐标轴平移；
2
货币政策
利用二次函数模型研究通货膨胀、货币供给和利率等经济指标的关系。
3
投资和金融
使用二次函数拟合和预测各种金融数据，如收益率、股票价格、区块链价格等。
二次函数技巧和常用小技巧
判断开口方向
- 系数a为正，开口向上； - 系数a为负，开口向下。
判断位置关系
- 当一个二次函数图像位于另 一个二次函数图像上方时， 两者的交点为前者二次函数 的根。
二次函数在信息学中的应用
图像处理
- 图像矫正模型: y = ax² + bx + c - 非线性滤波器: y = $(1 + ax + bx²) / (1 + cx + dx²)$
信号处理
- 带通滤波器: y = ax² / (1 + bx + cx²) - 频率合成模型: y = a cos(2πfx)
求解零点的特殊技巧
- 配方法：将二次函数式通分， 并将 ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + (c - b²/4a) 化为一次 项加完全平方项的形式；
- 模拟除法法：模拟二次函数 根式的格式，用正负分别代 入函数式得到两个零点。
二次函数综合练习及答案解析
二次函数的图像与性质第二课时说课课件
讲授新课：逐步深入，化解难点
引入二次函数的定义和一般形式，解释 二次函数系数对图像的影响。
通过图像展示二次函数的开口方向、对 称轴和顶点等性质，帮助学生形成直观
认识。
详细讲解二次函数的最大值和最小值问 题，引导学生理解最值的求解方法和实
际意义。
巩固练习：针对训练，提高能力
提供多种类型的练习题，包括求解析 式、判断图像形状、求最值等，让学 生全面巩固所学知识。
课后拓展延伸建议
深入研究
选择一个具体的二次函数 ，深入研究其图像和性质 ，并撰写研究报告；
拓展应用
尝试将二次函数应用于实 际问题中，例如解决最优 化问题；
自主探索
探索二次函数与其他数学 知识点的联系，例如与三 角函数、数列等的结合。
个性化辅导策略
针对学生的不同兴趣点，提供与二次函数相关的趣味 数学题目或数学史话等阅读材料，激发学生的学习兴 趣；
知识点梳理与分析
知识点2
二次函数的图像特征
分析
学生需要掌握二次函数的图像是一条抛物线，理解抛物线的开口方向、顶点、对称轴等基本概念，并能够根据函 数的表达式绘制出相应的图像。
知识点梳理与分析
知识点3
二次函数的性质
分析
学生需要深入理解二次函数的性质，包括开口方向（由$a$的正负决定）、顶点坐标（可以通过公式 $-frac{b}{2a},f(-frac{b}{2a})$求得）、对称轴（$x=-frac{b}{2a}$）等。同时，要了解这些性质在实 际问题中的应用。
定期查看学生作业，了解学生对知 识点的掌握情况。
小组讨论表现
评估学生在小组讨论中的贡献，包 括提出问题和解答问题的能力。
结果性评价方法
单元测试
二次函数(第二课时)
0
，
0 时，y<0.
6、若抛物线 y 6 x 上点P的坐标为 (2，a)，则抛物线上与P点对称的点 P’的坐标为 。
2
7、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的 是 y ( ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b y x2 的函数值相等; o x (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. (D) 对任意实数x,都有y＞0.
yx
抛物线 y x 与它的对称轴的交点 （0，0）叫做抛物线 y x 2 的顶点
2
抛物线与对称轴 有交点吗？
它是抛物线 y x 的最低点．
2
1 2 例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 2 x 和y=2x2的图象 解: (1) 列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(3)y=(2x-1)2-4x2.
用描点法画二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 列表时应注意 y … 9 4 1 什么问题？ 0 1 4 9 … y 描点法 (2) 描点 你还记得用描 10
列表 描点
9 8 2 y = x 7 描点时应以哪些数 6 5 值作为点的坐标？ 4 3 2 1
对称轴： y 轴
1 2 增减性：y 轴左侧，y随x增大而增大 y x 2
y 轴右侧，y随x增大而减小
不同点: 开口大小不同; a越小，
y x2 抛物线的开口越小．
-5
y 2 x 2
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于x轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
8 6
高中数学课件-二次函数的第二课时
能力训练
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在下
列各不等式中成立的个数是__①__④___⑤_____
y
-1
1
x
0
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b2-4ac > 0
2
所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y =1 x2 经一系列变换得到
2 的，具体地说：先将y = 1 x2 的图像向左移动4个单位，再向下移
动2个单位得到
f (x)
1
2
(x
4)
2
2
的图像
2
（2）函数与x轴的交点是： (－6，0)和( －2，0)
函数与y轴的交点：
（0，6）
（3）函数图像的对称性质：
b
2
x
b 2a
时，ymax
4ac 4a
b2
y y
x
x
（二）研究二次函数的一般方法: （1）配方 （2）求函数的图象与x轴的交点 （3）列表描点作图 （4）函数图象的对称性质 （5）函数的增减性，最值
例1.研究函数 f (x) 1 x2 4x 6 的图像与性质.
2 解：（1）配方得 f (x) 1 (x 4)2 2
例3. 已知二次函数y=x2－mx+m－2， （1）证明：无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个 交点； （2）m为何值时，这两个交点之间的距离最小。
解：（1）△=m2－4m+8=(m－2)2+4>0， 所以无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；
2.2 二次函数的图像与性质第二课时
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向 增减性
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
对称轴
顶点坐标
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
y=ax2(a>0)
y
当x>0 (在对称轴的右侧) 时, y随着x的增大而增大.
抛物线y=ax2在x轴的上方(除 顶点外),顶点是它的最低点,开
口向上,并且向上无限伸展;当
x=0时,函数y的值最小,最小值 是0.
0
x
y=a（x-h）²+k （a>0）
=2(x-2)2-1
化成y=a（x-h）²+k 的形式呗
因此二次函数 =2x2-8x+7图像开口向上； 对称轴x=2，顶点坐标x（2,-1）. 配方后的表达式通常 称为配方式或顶点式
例2
求二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴和顶点坐标. 解: 把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得
y ax bx c
（x+3）²-1/2的图像，你是怎样得到的？与同伴交流.
议一议
二次函数y=a（x-h）²+k与y=ax²的图像有什么关系？
一般地，平移二次函数的图像便可得到二次函数的图 像.因此，二次函数的图像是一条抛物线，它的开口方向，
对称轴和顶点坐标如下表所示：
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)(课件)九年级数学上册(人教版)
C. y=(x-2)2-1
D. y= 1 (x-2)2-1 2
分层作业
3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 y= 1 x2-2x+3 相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为( )
2
A. y= 1 (x-2)2+1
2
B. y= 1 (x+2)2-1
2
C. y= 1 (x+2)2+1
2
D. y= 1 (x-2)2-1
分层作业
【拓展延伸作业】
6.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点 D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积.
分层作业
解：(1)：抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC， ∴OC=OB=3. ∴C(0.3), 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，将 C(0，3)代入得， -3a=3. ∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；
∴DE=4-2=2，
∴S△CDB= 1 DE·OB= 1 ×2×3=3
2
2
分层作业
7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(0，-1)和(2，7)
(1)求二次函数解析式及对称轴
(2)若点(-5，y1)(m，y2)是抛物线上不同的两个点，且 y1+y2=28，求 m 的值
解：把（0，-1)和(2，7)分别代入 y=x2+bx+c 可得： (2)把 x=-5 代入二次函数得：y1=14，
二次函数的图象与性质(第二课时)课件
当c＜ 0 时,向下平移-c个单位长度得到；
规律：上加下减
课堂小结
图
象
抛
物
线
开口方向
性 质
对称轴:轴
增 减 性
与y=ax 2
的关系
轴对称图形
随堂训练
1.填表：
函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
向下
（, ）
y轴
有最高点
向上
(, )
y轴
有最低点
−
=
为
.
4.从＝ −3的图象上可以看出，当− ≤ ≤ 时，的取值范围是 − ≤ ≤ .
5.在同一坐标系中，函数 = + 与 = + 的图象的相对位置可以是（ A
O
O
A
B
O
C
O
D
6.已知二次函数＝ + ,当x取，（ ≠ ）时，函数值相等，则当x＝x1+x2
向下
(, −)
y轴
有最高点
2
x +2的顶点坐标是 (, ) ，对称轴是
y轴
2.抛物线 = −
，在对
称轴的左侧，随的增大而 增大 ；当 =
时，有最 大 值
是 .它可以由抛物线 = − x2向 上 平移 个单位得到.
3.已知二次函数 = − 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的解析式
图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
?
y=3x2-1
二次函数 的图象和性质_第二课时-课件
把C（2，8）代入上式，
则有a（2+2）（2-1）=8，∴a=2。 ∴此函数的表达式为y=2x2+2x-4。
其顶点坐标为 ( 1 ， 9)。 22
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识★▲ 活动2 提升型例题
例4：如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为
把A（﹣1，0）、B（4，0）代入原函数解
析式得出：a 5，b 15。
4
4
所以这个二次函数的 解析式为：
y 5 x2 15 x 5。 44
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识★▲
活动2 提升型例题
例4：如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为 （﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC。 （1）求点C的坐标； （2）求二次函数的解析式，并化成一般形式。
解析：可设交点式y＝a（x－1）（x－3），然后把B 点坐标代入求出a即可；
解：∵对称轴是直线x＝2， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0）。 设抛物线解析式为y＝a（x－1）（x－3）， 把B（0，－3）代入得a（－1）×（－3）＝－3，解得a＝－1， ∴抛物线解析式为y＝－（x－1）（x－3）＝－x2＋4x－3。
（0，-3），则有 9a 3b
c
0，
4a 2b c 3， 解得
c 3。
a 1， b 2， c 3。
∴函数的表达式为y=x2-2x-3，其对称轴为直线x=1。
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练。重点、难点知识★▲
第二课时二次函数(共14张PPT)
第1页，共14页。
复习
1.二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是什么形状？ 二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是一条抛物线。
2.二次函数y=ax2的性质是什么？
开口方向
对
称
解析式 a＞0 a＜0 轴
顶点
坐标
函数的增减性
a＞0
a＜0
y = ax2 ﹙a≠0﹚
向
上
向
下
（0，0） 对称轴左 对称轴左
抛物线解析式为 y= - 2(x.– 2) ( - 2, 0) (0, - 12)
(4) y= -x2-4 画出二次函数 (1) y=2(x+3)2
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
2
类似的抛物线下移，高度变低，要使y变小，则需要减。
6.抛物线y=3(x-8)2最小值为 说出下列二次 函数的开口方向、对称轴及顶点坐标
．
－4 －2
24
y 1x12
2
－2
y 1x12
－4
2
y 1 x2
第7页，共14页。
2
－6
y 1x12
2
❖ 上下平移时：上加下减（抛物线上移，高度 变高，要使y变大，则需要加；类似的抛物线 下移，高度变低，要使y变小，则需要减。）
❖ 左右平移时：左加右减（抛物线左移，高度 不变，左移后x变小了，要使y不变，则需要 加；类似的抛物线右移，高度不变，右移后x 变大了，要使y不变，则需要x 减。）
x
··· －3 －2 －1 0
1
2
3 ···
y 1x12
2
···
－2
1 2
0
九年级数学上册教学课件《二次函数的图象和性质(第2课时)》
________________
．
解：∵抛物线y＝3(x＋ 2 )2的对称轴为x＝－ 2，a＝3＞0，开口向上，
∴当x＜－ 2时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；当x＞－ 2时，
即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
∵点A的坐标为(－3 2，y1)，
∴点A在抛物线上关于x=- 2的对称点A′的坐标为( 2，y1)．
y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大
而减小；x＜h时，y随x
的增大而增大.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
素养考点 二次函数y = a（x-h）2 的图象和性质
例 若抛物线y＝3(x＋ 2 )2的图象上的三个点，A(－3 2 ，y1)，
B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为
22.1 二次函数的图像和性质
能力提升题
在同一坐标系中，画出函数y＝2x2 与y＝2(x-2)2 的图
象，分别指出两个图象之间的相互关系．
y
解：图象如右图.
y = 2x2
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的
图象向右平移2个单位得到.
x
O
2
课堂检测
22.1 二次函数的图像和性质
拓广探索题
y 1 x2
式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a =
因此平移后二次函数关系式为y＝
1
(x－3)2.
4
1
，
4
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，
括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号二次函数的图像和性质
22.1 二次函数的图像和性质(第二课时)(解析版)
22.1 二次函数的图像和性质第二课时【知识梳理】知识点一 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质函数y =ax 2+bx +c （a >0）y =ax 2+bx +c （a <0）开口方向向上向下顶点坐标（2b a -，244ac b a-）（2b a -，244ac b a-）对称轴x =2ba -x =2b a-增减性x >2b a -时，y 随x 的增大而增大；x <2b a -时，y 随x 的增大而减小x >2b a -时，y 随x 的增大而减小；x <2b a -时，y 随x 的增大而增大最大（小）值当x =2b a -时，y 最小值=244ac b a- 当x =2b a -时，y 最大值= 244ac b a-知识点二 二次函数的三种解析式⑴一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0）. 对称轴，顶点坐标（2b a -，244ac ba-）.⑵顶点式：y =a （x -h ）2+k （a ≠0）. 对称轴x= h ，顶点坐标（h ，k ）.⑶交点式：y =a （x -x 1）（x -x 2）. 对称轴，顶点坐标.知识点三 二次函数的平移问题解析式y =a （x +m ）2+n （a 、m 、n 都是常数，a ≠0）分情况讨论m >0，n >0m >0，n <0m <0，n >0m <0，n <0变换过程由y =ax 2向左平移|m |个单位，向上平移|n |个单位由y =ax 2向左平移|m |个单位，向下平移|n |个单位由y =ax 2向右平移|m |个单位，向上平移|n |个单位由y =ax 2向右平移|m |个单位，向下平移|n |个单位总结左加右减，上加下减a b x 2-=221x x x +=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2221221x x a x x ，【题型探究】题型一、把一般式化成顶点式1．用配方法将二次函数y =x 2﹣8x ﹣9化为y =a （x ﹣h ）2+k 的形式为（ ）A ．y =（x ﹣4）2+7B ．y =（x +4）2+7C ．y =（x ﹣4）2﹣25D ．y =（x +4）2﹣25【答案】C【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y =x 2-8x -9=x 2-8x +16-25=（x -4）2-25．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．2．学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式2y ax bx c =++（a ≠0）化成2()y a x h k =-+的形式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式如下：两位同学做法正确的是（ ）A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都不正确【答案】C【分析】此题根据配方的步骤结合利用到的等式性质判断即可．【详解】解：两位同学做法都正确，甲同学利用配方的要求只对函数式右边的整式同时加或者减同一个数原式结果不变进行配方；乙同学对利用等式的性质对函数式两边同时进行加减配方，故都正确；故答案选：C ．【点睛】此题考查了配方法的实际配方过程，涉及到等式性质，难度一般．3．把二次函数2241y x x =-+-配方成顶点形式()22y x h k =-++，则h ，k 的值分别为（ ）A ．1h =-，1k =B ．1h =-，2k =-C ．1h =，1k =D ．1h =，3k =-【分析】利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，即可得到答案．【详解】解：Q 二次函数()()22224122121211y x x x x x =--=--++-=--++，1h \=-，1k =，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．题型二、二次函数的平移问题4．把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．()2y 211x =-++B ．()2y 211x =--+C ．()2y 211x =---D ．()2y 211x =-+-【答案】B【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】抛物线22y x =-向上平移1个单位，可得221y x =-+，再向右平移1个单位得到的抛物线是()2211y x =--+．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．5．在平面直角坐标系中，抛物线(2)(4)y x x =+-经变换后得到抛物线(2)(4)y x x =-+，则下列变换正确的是（ ）A ．向左平移6个单位B ．向右平移6个单位C ．向左平移2个单位D ．向右平移2个单位【答案】C【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y =（x +2）（x ﹣4）=（x ﹣1）2﹣9，顶点坐标是（1，9）．y =（x ﹣2）（x +4）=（x +1）2﹣9，顶点坐标是（﹣1，9）．所以将抛物线y =（x +2）（x ﹣4）向左平移2个单位长度得到抛物线y =（x ﹣2）（x +4），【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为（ ）A ．22y x =--B ．22y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =+【答案】A【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式2C ，再因为关于x 轴对称的两个抛物线，自变量x 的取值相同，函数值y 互为相反数，由此可直接得出抛物线3C 的解析式．【详解】解：抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ：()()2+12+13=-+y x x ，即抛物线2C ：22y x =+;由于抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为：22y x =--.故选：A ．【点睛】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x 轴对称的两个抛物线，自变量x 的取值相同，函数值y 互为相反数．题型三、待定系数法求二次函数解析式7．已知，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()10A -，，与y 轴交于点()03B -，，求该抛物线的解析式和顶点坐标．【答案】2=23y x x --；()14-，【分析】先将抛物线与坐标轴的交点代入解析式，即可求得b c ，的值，从而得出抛物线的解析式，再将其化为顶点式即可得到顶点坐标．【详解】解：Q 抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()10A -，，与y 轴交于点()03B -，，103b c c -+=ì\í=-î，解得23b c =-ì\í=-î，\抛物线的解析式为：2=23y x x --，()222314y x x x =--=--Q ，\顶点坐标为：()14-，，故答案为：2=23y x x --；()14-，．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式和顶点坐标，根据题意将已知点代入进行求解是解本题的关键．8．根据下列已知条件，求二次函数的解析式．(1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为；(2)已知二次函数的顶点在y 轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为 ；(3)已知二次函数的顶点在x 轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为 ；(4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为 ；(5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为；(6)已知二次函数图象经过点A (3，0)，对称轴为直线x ＝1，与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝2，则二次函数的解析式为；(7)将抛物线y ＝4x 2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为．解方程组即可得到答案；（7）根据函数图象平移的规律即可得到答案．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为y ＝2ax ，把点(2，－4)代入得，﹣4＝4a ，解得a ＝﹣1，∴二次函数的解析式为y ＝2x -；故答案为：y ＝2x -（2）解：设二次函数的解析式为y ＝22ax +，把点(1，4)代入得，4＝a ＋2，解得a ＝2，∴二次函数的解析式为y ＝222x +；故答案为：y ＝222x +（3）解：设二次函数的解析式为y ＝()22a x -，把点(1，－4)代入得，﹣4＝()212a -，解得a ＝﹣4，∴二次函数的解析式为y ＝()242x --,即y ＝241616x x -+-；故答案为：y ＝241616x x -+-（4）解：∵二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，∴可设二次函数的解析式为y ＝()()31a x x +-，把点(0，3)代入得，3＝()()0301a +-，解得a ＝﹣1，∴二次函数的解析式为y ＝()()31x x -+-，即y ＝223x x --+；故答案为：y ＝223x x --+（5）解：设二次函数的解析式为y ＝2ax bx c ++，把点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)代入得，541a b c c a b c -+=-ìï=-íï++=î，解得234a b c =ìï=íï=-î，9．已知抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同，顶点在直线1x =上，且顶点到x 轴的距离为5，则此抛物线的解析式为_________．【答案】226y x x =-+或224y x x =--或224y x x =-++或226y x x =-+-【分析】两个抛物线的形状相同，可知1a =±，则抛物线的解析式为2y x bx c =±++；顶点在1x =上，可以求出b 的值；又顶点到x 轴的距离是5，可以得到这个二次函数顶点纵坐标的绝对值是5，分情况讨论即可求出c 的值．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同，∴1a =±，∴抛物线解析式为2y x bx c =±++；，∵抛物线顶点在直线1x =上，∴1a =±，题型四、根据二次函数的图像判断系数符号10．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④30a c +<；⑤1c a ->．其中所有正确结论有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．511．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为=1x -，且过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，有下列结论：①0abc >；②240b ac ->；③2b a =；④420a b c -+=；其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④12．在平面直角坐标系中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②20a b -=；③930a b c ++>；④24b ac >；⑤a c b +<．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个∴2a+b＝0，故②错误；③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，∴9a＋3b+c＜0，故③错误；④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故④正确；⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，+<，∴a c b故⑤正确．综上所述，正确的结论是：④⑤．故选：B．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．题型五、一次函数、二次函数的图像综合问题13．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】由二次函数图象的开口及与y轴交点的位置可确定m的正负，再利用一次函数y=-mx-m经过的象限确定m 的正负，对比后即可得出结论．【详解】解：∵y =-mx -m =-m （x +1），∴一次函数图像经过点（-1，0），故C 、D 不合题意；A 、由二次函数y =mx 2的图象开口向上，可知m ＞0，由一次函数y =-mx -m 的图象经过第一、二、三象限可知m ＜0，结论矛盾，A 选项不合题意；B 、由二次函数y =mx 2的图象开口向下，可知m ＜0，由一次函数y =-mx -m 的图象经过第一、二、三象限可知m ＜0，结论一致，B 选项符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象，根据二次函数的图象和一次函数图像找出每个选项中m 的正负是解题的关键．14．如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P ．若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，熟悉相关性质是解答本题的关键．15．一次函数y ＝abx +c 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一平面直角内坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】先由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像得到字母系数的正负，再与一次函数y ＝acx +b 的图像相比较看是否一致，即可判定．【详解】解：A 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＞0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＞0，c ＞0，故本选项不合题意；B 、由抛物线可知，a ＜0，b ＜0，c ＞0，则ab ＞0，由直线可知，ab ＞0，c ＞0，故本选项符合题意；C 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＞0，c ＜0，故本选项不合题意；D 、由抛物线可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，则ab ＜0，由直线可知，ab ＜0，c ＜0，故本选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．题型六、根据二次函数的对称性求值16．二次函数21(2)12y x a =--+的图象上有两点()()121,,5,y y -，则12y y -的值是（ ）A ．负数B ．零C ．正数D ．不能确定【答案】B【解析】直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y 1，y 2的值即可.A mB m，则b的值为____________．17．抛物线2y x bx c=++的图象上有两点(1,),(5,)18．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____．【答案】－3＜x＜1【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．【详解】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x =﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．故答案为：﹣3＜x ＜1．【点睛】考点：二次函数的图象．题型七、利用二次函数的对称性求最短路径19．如图，在抛物线2y x =-上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2；在y 轴上有一动点C ，当BC AC +最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0.0）B ．（0，1-）C ．（0，2）D ．（0，2-）【答案】D 【详解】解：如图，点A 关于y 轴的对称点A ′的横坐标为﹣1，连接A ′B 与y 轴相交于点C ，点C 即为使AC +BC 最短的点，当x ＝﹣1时，y ＝﹣1，当x ＝2时，y ＝﹣4，所以，点A ′（﹣1，﹣1），B （2，﹣4），设直线A ′B 为y kx b =+124k b k b -+=-ì\í+=-î1k \=- 2b =-2y x \=--当x=0时，y=-2即C （0，-2）故选D【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C 的位置是解题的关键．20．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，点M 的坐标为（3，6），P 是抛物线2114y x =+上一动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．5B ．9C ．11D ．13【答案】C 【分析】如图所示过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，由抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，得到PE =PF ，则△PMF 的周长=FM +PM +PF ，则要使△PMF 周长最小，则PM +PF 最小，即PM +PE 最小，故当P 、M 、E 三点共线时，PM +PE 的值最小，最小为ME ，由此求解即可．【详解】解：如图所示过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∵抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离相等，∴PE =PF ，∴△PMF 的周长=FM +PM +PF ，∴要使△PMF 周长最小，则PM +PF 最小，即PM +PE 最小，∴当P 、M 、E 三点共线时，PM +PE 的值最小，最小为ME ，∵M 坐标为（3，6），∴ME =6，∴PF +PM =6∵F （0，2），【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF．21．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．(1)求抛物线的解析式；(2)点D在抛物线的对称轴上，当V ACD的周长最小时，点D的坐标为．\D15 2⎛⎫- ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线对称性求线段和的最小值，掌握对称性是解题的关键．题型八、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质综合问题22．如图，对称轴为直线2x =的抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(10)-，．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在抛物线的对称轴上，求AD CD +的最小值；(3)若点P 是第四象限内抛物线上一个点，求PBC S V 的最大值．（3）解：如图，∵B 点坐标为(50)，，C 点坐标为设直线BC 的解析式为y kx b =+∴505k b b +=ìí=-î，解得：15k b =ìí=-î，∴BC 的解析式为：=5y x -，()2(23．如图，已知二次函数223y x x =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点()2,3D --在抛物线上：(1)请直接写出A、B、C三点的坐标；(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PADV周长最小，若存在，求出P点的坐标；(3)若点M是直线AC下方的抛物线上的一动点，过M作y轴的平行线与线段AC交于点N，求线段MN的最大值．424．已知抛物线经过点()2,3-，它的对称轴为直线1x =，且函数有最小值为4-．(1)求抛物线的解析式：(2)若抛物线与x轴的交点为A，B（A在B左侧），与y轴的交点为C，在第四象限的抛物线上找一点P，使V的一半，求出此时点P的横坐标．BCPV的面积为ABC设直线BC 的解析式为303k b b +=ìí=-î，解得：b ìíî∴直线BC 的解析式为()2【随堂演练】1．平移抛物线y ＝﹣（x ﹣1）（x +3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（ ）A ．向左平移1个单位B ．向上平移3个单位C ．向右平移3个单位D ．向下平移3个单位【答案】B【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.【详解】解：y ＝﹣（x ﹣1）（x +3）=-（x+1）2+4A 、向左平移1个单位后的解析式为：y ＝-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意；B 、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意；C 、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；D 、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.2．如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，下列结论中：①0abc >；②0a b c -+<；③210ax bx c +++=有两个相等的实数根；④4a 2a b -<<-.其中正确结论的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④3．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）A．B．C．D．【答案】A【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y=-k x+1经过的象限，对比后即可得出结论．【详解】解:由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．4．如图，直线y34=-x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（ ）A．4B．4.6C．5.2D．5.65．当x ＝x 1和x ＝ x 2（x 1≠x 2）时，二次函数y ＝3x 2﹣3x +4的函数值相等、当x ＝x 1+x 2时，函数值是_________．6．如图，函数2y ax bx c =++经过点()3,0，对称轴为直线1x =：①240b ac ->；②0abc <；③930a b c -+=；④50a b c ++=；⑤若点()11,A a y +、()22,B a y +在抛物线上，则12y y >；⑥2am bm a b +³+（m 为任意实数），其中结论正确的有______．【答案】①④⑥【分析】①根据图象与x 轴有两个交点，0D >即可判断；②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y 轴的交点即可判断；③根据图象可得对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)，则另一个交点为(1,0)-，再根据抛物线增减性即可判断；④根据图象抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)，可得930a b c ++=，对称轴为1x =，可得2b a =-，将24b a =-代入930a b c ++=，即可判断；⑤根据图象可得0a >，即可得出112a a <+<+，再结合对称轴为1x =，运用二次函数增减性即可判断；⑥根据1x =和x m =时的y 值，结合抛物线的对称轴和开口方向得出当1x =时，y 取最小值，可得2am bm c a b c ++³++，即可判断．【详解】解：①Q 抛物线与x 轴有两个交点，\0D >，240b ac \->，故①正确；②Q 抛物线开口向上，0a \>，Q 抛物线对称轴在y 轴右侧，b \与a 异号，即0b <，Q 抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c \<，0abc \>，故②错误；③Q 抛物线对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)，\抛物线与x 轴的另一个交点为(1,0)-，Q 抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x 增大而减小，\当3x =-时，0y >，930a b c \-+>，故③错误；④Q 抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)，930a b c \++=，Q 抛物线对称轴为直线1x =，7．已知抛物线223y ax x =-+经过点()2,3A ．若点(),B m n 在该抛物线上，且23m -<<，则n 的取值范围为______．【答案】211n £<【分析】将点()2,3A 代入求出抛物线的解析式，再求出对称轴为直线1x =，开口向上，自变量离对称轴越远，因变量越大即可求解．【详解】解：将()2,3A 代入223y ax x =-+中得到：3443=-+a ，解得1a =，∴抛物线的对称轴为直线1x =，且开口向上，根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，当2m =-时，对应的n 最大为：=4+4+3=11n ，当1m =时，对应的n 最小为：1232=-+=n ，故n 的取值范围为：211n £<，故答案为：211n £<．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，点在抛物线上，将点的坐标代入即可求解．8．把2288y x x =-+-配方成()2y a x h k =-+的形式为____________，并将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为___________．9．如图，抛物线2520533y x x =-+与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是_____．10．已知二次函数()211y a x a=--+，当122x££时，函数有最大值2a，则=a______．11．已知抛物线y =ax 2－2ax －3+2a 2 （a <0）．(1)求这条抛物线的对称轴；(2)若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的函数解析式；12．求分别满足下列条件的二次函数解析式：(1)二次函数图像经过(1,2),(0,1),(2,3)-三点．(2)二次函数图像的顶点坐标是()2,3-，并经过点()1,2．13．为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点(1,1)--，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．[观察发现]请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．[思考交流]小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y 轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x 轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．[概括表达]小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数2y ax bx c =++的图象与系数a ，b ，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．【答案】[观察发现]2y x =-，图象见解析；[思考交流]∵二次函数的图象不经过第一象限，14．已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值．,A B Q 关于=1x -轴对称PA PB\=APD △的周长等于AD PA PD ++当,,D P B 三点共线时，APD △的周长取得最小值，最小值为由抛物线解析式223y x x =+-，令0y =，即2230x x +-=解得123,1x x =-=数图象的性质是解题的关键．，．15．如图，已知抛物线23=-与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(30)y x mx++(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；V的面积；(2)求ABC+的值最小时，求点P的坐标．(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∵点()03C ，，点()30B ，，∴033k b b =+ìí=î，解得：13k b =-ìí=î．∴直线BC 的解析式为：3y x =-+，当1x =时，132y =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为：()12，．【点睛】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点P 的位置是解此题的关键．【高分突破】一、单选题1．已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数22y x kx k =+-向右平移3个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--；再向上平移1个单位，得：22(3)(3)y x k x k =-+--+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点∴220(03)(03)k k =-+--+1即20310k k +-=解得：5k =-或2k =2．如果把对称轴为直线1x =的抛物线24y ax bx a =++-沿y 轴平移，使得平移后的抛物线与x 轴有且只有一个交点，那么下列平移方式正确的是（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向上平移2个单位D ．向下平移2个单位3．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc <；②20a b +=；③320b c -<；④2+³+（m为实数）．其中正确结论的个数是（）am bm a bA．1个B．2个C．3个D．4个本题正确的结论有：②③④，3个；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当0a >时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0ab >），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0ab <），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于()0,c ．4．在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出0a >，0b >，0c <是解题的关键．5．若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，则一次函数y ＝（m+1）x+m ﹣1的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（﹣m ）＜0，解得m ＜﹣1，然后根据一次函数的性质进行判断．【详解】∵二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m ）＜0，解得m ＜﹣1，∵m +1＜0，m ﹣1＜0，∴一次函数y ＝（m +1）x +m ﹣1的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故选A ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了一次函数的性质．6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（ ）A ．0a >B ．当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大C ．点B 的坐标为()4,0D ．420a b c ++>【答案】D 【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．【详解】解：A 、根据图像可知抛物线开口向下，即a<0，故该选项不符合题意；B 、根据图像开口向下，对称轴为1x =，当1x >，y 随x 的增大而减小；当1x <，y 随x 的增大而增大，故当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；当1x >，y 随x 的增大而减小，故该选项不符合题意；7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．48．点()112,P y -，()222,P y ，()334,P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．231y y y >>B ．213y y y >=C ．132y y y =>D ．123y y y =>【答案】B【分析】根据二次函数解析式得出的图象的开口向下，对称轴是直线1x =，然后根据二次函数的图象的性质进行判断即可．【详解】∵()22211y x x c x c =-++=--++，∴这个二次函数的图象开口向下，对称轴是直线1x =．∵()112,P y -关于对称轴的对称点为()14,y ，点3P 的坐标是()34,y ，∴13y y =，∵2P ，3P 都在这个二次函数的图象的对称轴的右侧，124<<，∴23y y >，∴213y y y >=，故选：B ．【点睛】本题主要考查对二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的图象的性质等知识点的理解和掌握，能熟练运用二次函数的图象的性质进行推理是解本题的关键．二、填空题9．已知抛物线 y= -x 2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y 的最大值是6，则 m 的值是___________．10．若抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称，则m+n ＝_____．【答案】5．【分析】根据关于y 轴对称的点的坐标规律，将解析式中的x 换成-x ，y 不变，化简即可得出答案.【详解】Q 抛物线C 1：y ＝x 2+mx+2与抛物线C 2：y ＝x 2﹣3x+n 关于y 轴对称\x 2+mx+2=（-x ）2-3（-x ）+n= x 2+3x+n\m=3，n=2\m+n=3+2=5故答案为5【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，掌握关于y 轴对称的点的坐标规律是解题的关键.11．如图，二次函数()2=++0y ax bx c a ¹的函数图像经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中 －1＜1x ＜0，1＜2x ＜2，下列结论：①0abc >；②20a b +<；③420a b c -+>；④当()12x m m =<<时，22am bm c <+-；⑤1b > ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．12．如图，把抛物线y=1x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点2x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．为P，它的对称轴与抛物线y=12。
二次函数第二课时课件
二次函数y=ax2的性质
函数
y＝ax2 a>0
a<0
图象图象 图像
开开口方口向方向
向上
对对称称轴轴 顶顶点点坐坐标标
y轴（直线x＝0）
（0，0）
增增减性减性 最最值 值
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小。
当x＝0时，y最小值为0
向下
y轴 （直线x＝0）
（0，0）
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
yy
y x2
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.对称轴与抛物
线的交点叫做 抛物线的顶点.
观察函数的表达式,选择适当的x值, 并计算相应的y值,进行列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y
在对称轴的左侧
时,y随着x的增大
y x2
而增大.
在对称轴的右侧
时, y随着x的增大
而减小.
抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点外),
顶无当当限点xx==伸是--21时时展它,,yy的;==当--最41x=高0时点,,函开数口y向的下当当值xx,=并=最12时且时大,,y向y,== 下--14
?
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
描点,连线
y 2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 -2
-4
-6
-8
-10 y=-x2
4x
y x2 y x2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
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根据表中x,y的数值 在坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=x2的图 像.
下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图象,你认为他们的作 图正确吗?为什么?
y
从图象可以看出,二次函数y=x2和 y=－x2的图像都是一条曲线，这 条曲线叫做抛物线
y=x2
o
y=x2的图像叫做抛物线y=x2 y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2
y
x
实际上，二次函数的图像都是抛 物线，它们的开口向上或者向下， 一般地，二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c
o
x
y=－x2
y
从图象可以看出,二次函数y=x2 和y=－x2的图像都是轴对称图形,y 轴是它们的对称轴.
像相比,有什么共同点和不同点? 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 共同点: 顶点是抛物线的最高点 除顶点外,图像都在x轴下方 不同点: 开口大小不同
1 y
1 2 函数y=－2 x ,y=－2x2的图像与y=-x2的图
性质：当a＜0时， 图象开口向下，顶 点是抛物线的最高 点，a越大，抛物线 的开口越大。
22.1.2二次函数 y
ax 的图象与性质
2
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
一次函数的图像是什么样子的？有哪些性质？ 怎样画一次函数的图像呢？
还记得如何用 描点法画一个 函数的图象呢？
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
1 函数y=2 x2,y=2x2的图像与函数y=x2的
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线 的最低点，对称轴是y轴， 除顶点外,图像都在x轴上方 不同点: 开口大小不同
y= 2x2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
3、函数y=3 x2的图象的开口向上 ,对称轴是 y轴,顶 点是 (0,0) ;顶点是抛物线的最 低 点 4、函数y= －0.2x2的图象的开口向下,
对称轴是___, y轴 顶点是(0,0);
观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的 是( A ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b y 的函数值相等; (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. o x (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. (D) 对任意实数x,都有y＞0.
• 本节课由最特殊最简单的二次函数出发，通过类比一 次函数的图象和性质的研究内容和研究方法，从特殊 到一般地对二次函数的图象和性质进行探究，继续加 深对函数的一般性认识．
• 学习目标： 1．会用描点法画出形如 y = ax 2 的二次函数图象，了 解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数 y = ax 2 的图象特 征和性质； 3．在类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质的过程 中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法 和数形结合的思想． • 学习重点： 观察图象，得出二次函数 y = ax 2 的图象特征和性质．
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
请画函数y=－x2的图像
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
1 y -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 y= － x -7 -8 -9 -10
画函数y=x2的图像
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 x … -3 -2 -1 0 y … 9 4 1 0
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 1
y
2 4
3 … 9 …
y=x2
根据表中x,y的数值 在坐标平面中描点 (x,y),再用平滑曲线顺 次连接各点,就得到 y=x2的图像.
y x2 y ax 2
y x2
y ax 2
y ax
2
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 减小。 当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 增大。 当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 增大。
y ax
2
当a<0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 a ＞0
O
a＜0
O
开口 对称性 顶点
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴x2的图象的开口 向上 ,对称 轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) ; 2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴 (0,0) 顶点是抛物线的最 高 点 是 y轴 ,顶点是___
o
y=x2
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点. 抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点. 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛 物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶 点。顶点是抛物线的最低点或最高点
y o y=－x2
x
x
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 2 解:(1)列表 x … -4 -3 -2 -1 0 (2)描点 (3)连线
（除顶点外），它的开口向上，并且向 上无限伸展；a越大，抛物线的开口越小 当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方 （除顶点外），它的开口向下，并且向 下无限伸展。a越大，抛物线的开口越大。
思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？ 一般地，抛物线y=ax2 与抛物线y= -ax2呢？ 答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称，又关于原点对称。抛物线y=ax2 与抛物线y= -ax2也有同样的关系。
巩固练习
2 2 抛物线 y x ，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而 3 增大 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 减小 ．
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）本节课是如何研究二次函数 y = ax 2 的图象和 性质的？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 3，4 题．
1 2 y=2 x
1 2 x 和y=2x2的图像 1 2 3
4 … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
-2 -1.5 y -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
x
…
y=2x2 … 8
4.5 2 0.5
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
0 0.5 2 4.5 8 …
y
y=x2 y= 0.5x2
性质：a>0，图象开 口向上，顶点是抛 物线的最低点，a越 大开口越小，反之 越大
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
在同一直角坐标系中画出函数y=－1 x2和y=－2x2的图像
2
x
1 y=- x2 2
… …
-4 -8
-3
9 2
-2 -2
-1
1 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
x
1 2 y=－ x 2
y=－2x2
y=x2
y ax 2
二次函数y=ax2的性质
y ax
2
1、抛物线y=ax2的顶点是 原点，对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方
0
1
1 2
1 2
2 -2
3
9 2
4 -8
… …
0
x
y=2x2
…
…
-2
-8
-1.5 -1
9 2
-0.5
1 2
0
0
0.5
1
-2
1.5
9 2
2
-8
…
…
-2
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 2 -9 y=－ x 2 2 -10 y=－2x