二次函数第二课时

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
请画函数y=－x2的图像
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
1 y -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 y= － x -7 -8 -9 -10
1 2 y=2 x
1 2 x 和y=2x2的图像 1 2 3
4 … … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
-2 -1.5 y -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
x
…
y=2x2 … 8
4.5 2 0.5
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
0 0.5 2 4.5 8 …
（除顶点外），它的开口向上，并且向 上无限伸展；a越大，抛物线的开口越小 当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方 （除顶点外），它的开口向下，并且向 下无限伸展。a越大，抛物线的开口越大。
思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？ 一般地，抛物线y=ax2 与抛物线y= -ax2呢？ 答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称，又关于原点对称。抛物线y=ax2 与抛物线y= -ax2也有同样的关系。
根据表中x,y的数值 在坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=x2的图 像.
下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图象,你认为他们的作 图正确吗?为什么?
y
从图象可以看出,二次函数y=x2和 y=－x2的图像都是一条曲线，这 条曲线叫做抛物线
y=x2
0
1
1 2
1 2
2 -2
3
9 2
4 -8
… …
0
x
y=2x2
…
…
-2
-8
-1.5 -1
9 2
-0.5
1 2
0
0
0.5

1
-2
1.5
9 2
2
-8
…
…
-2
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 2 -9 y=－ x 2 2 -10 y=－2x
画函数y=x2的图像
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 x … -3 -2 -1 0 y … 9 4 1 0
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 1
y
2 4
3 … 9 …
y=x2
根据表中x,y的数值 在坐标平面中描点 (x,y),再用平滑曲线顺 次连接各点,就得到 y=x2的图像.
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
x
1 2 y=－ x 2
y=－2x2
y=x2
y ax 2
二次函数y=ax2的性质
y ax
2
1、抛物线y=ax2的顶点是 原点，对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方
巩固练习
2 2 抛物线 y x ，其对称轴左侧，y 随 x 的增大而 3 增大 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 减小 ．
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）本节课是如何研究二次函数 y = ax 2 的图象和 性质的？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 3，4 题．
y x2 y ax 2
y x2
y ax 2
y ax
2
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 减小。 当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 增大。 当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 增大。
y ax
2
当a<0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小。
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-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
1 函数y=2 x2,y=2x2的图像与函数y=x2的
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线 的最低点，对称轴是y轴， 除顶点外,图像都在x轴上方 不同点: 开口大小不同
y= 2x2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y
y=x2 y= 0.5x2
性质：a>0，图象开 口向上，顶点是抛 物线的最低点，a越 大开口越小，反之 越大
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
在同一直角坐标系中画出函数y=－1 x2和y=－2x2的图像
2
x
1 y=- x2 2
… …
-4 -8

-3
9 2
-2 -2
-1
1 2
o
y=x2的图像叫做抛物线y=x2 y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2
y
x
实际上，二次函数的图像都是抛 物线，它们的开口向上或者向下， 一般地，二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c
o
x
y=－x2
y
从图象可以看出,二次函数y=x2 和y=－x2的图像都是轴对称图形,y 轴是它们的对称轴.
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2 图象 a ＞0
O
a＜0
O
开口 对称性 顶点
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
增减性
耐心填一填
1、函数y=4x2的图象的开口 向上 ,对称 轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) ; 2、函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴 (0,0) 顶点是抛物线的最 高 点 是 y轴 ,顶点是___
22.1.2二次函数 y
ax 的图象与性质
2
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0) 的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
一次函数的图像是什么样子的？有哪些性质？ 怎样画一次函数的图像呢？
还记得如何用 描点法画一个 函数的图象呢？
o
y=x2
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点. 抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点. 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛 物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶 点。顶点是抛物线的最低点或最高点
y o y=－x2
x
x
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 2 解:(1)列表 x … -4 -3 -2 -1 0 (2)描点 (3)连线
像相比,有什么共同点和不同点? 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 共同点: 顶点是抛物线的最高点 除顶点外,图像都在x轴下方 不同点: 开口大小不同
1 y
1 2 函数y=－2 x ,y=－2x2的图像与y=-x2的图
性质：当a＜0时， 图象开口向下，顶 点是抛物线的最高 点，a越大，抛物线 的开口越大。
3、函数y=3 x2的图象的开口向上 ,对称轴是 y轴,顶 点是 (0,0) ;顶点是抛物线的最 低 点 4、函数y= －0.2x2的图象的开口向下,
对称轴是___, y轴 顶点是(0,0);
观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的 是( A ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b y 的函数值相等; (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. o x (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. (D) 对任意实数x,都有y＞0.
• 本节课由最特殊最简单的二次函数出发，通过类比一 次函数的图象和性质的研究内容和研究方法，从特殊 到一般地对二次函数的图象和性质进行探究，继续加 深对函数的一般性认识．
• 学习目标： 1．会用描点法画出形如 y = ax 2 的二次函数图象，了 解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数 y = ax 2 的图象特 征和性质； 3．在类比探究二次函数 y = ax 2 的图象和性质的过程 中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法 和数形结合的思想． • 学习重点： 观察图象，得出二次函数 y = ax 2 的图象特征和性质．