河北省2020年全国高中数学联合竞赛预赛试题(河北卷)

2020年河北省高中数学竞赛试题

参考解答与评分标准

说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1. 已知53[

,]42

ππ

θ∈ D ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ

解答：因为53[,]42

ππ

θ∈cos sin cos sin θθθθ--+

2cos θ=。正确答案为D 。

2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ C ）

A. 2

B.

C. 2±

D. ±

42a =⇒=±。正确答案为C 。

3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ B ）

A. 充分且必要条件

B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件

D. 非充分且非必要条件 解答：P 是q 的充分非必要条件。正确答案为B 。

4. 过椭圆2

212

x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ C ）

解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得

21243400,33

x x x x AB -=⇒==

⇒==。正确答案为C 。 5. 函数150()51

x

x

x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ A ）

A. 单调增加函数、奇函数

B. 单调递减函数、偶函数

C. 单调增加函数、偶函数

D. 单调递减函数、奇函数

解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A 。

6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）

正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形） A. 4+

52π B. 4+32π C. 4+2

π D. 4+π 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2

π

），所以该几何体的体积为5221342

2

π

π

π⨯⨯+-

=+

。正确答案为A 。 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依 次记为：1122(,),(,),

,(,),

;n n x y x y x y 若程序运行中

输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ B ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．8 答案 经计算32x =。正确答案为 B 。

8. 在平面区域{}

(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点

(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ A ）

A. 4

B.8

C. 16

D. 32

解答：平面区域{}

(,)||1,||1x y x y ≤≤的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足22ax by -≤，即有

22,22,22,22a b a b a b a b +≤-≤--≤-+≤

由此计算动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A 。

9. 已知函数()sin(2)6f x x m π

=-

-在0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上有两个零点，则m 的取值范围为（ C ） A. 1, 12⎛⎫

⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1, 12⎛⎤

⎥⎝⎦

2

2 2

2

1

2

2

3

1

解答：问题等价于函数()sin(2)6f x x π

=-

与直线y m =在0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上有两个交点，所以m 的取值范围为1

, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭

。正确答案为C 。

10. 已知[1,1]a ∈-，则2

(4)420x a x a +-+->的解为（ C ）

A. 3x >或2x <

B. 2x >或1x <

C. 3x >或1x <

D. 13x << 解答：不等式的左端看成a 的一次函数，2

()(2)(44)f a x a x x =-+-+ 由2

2

(1)560,(1)3201f x x f x x x -=-+>=-+>⇒<或3x >。 正确答案为C 。

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）

11. 函数()2sin

2

x

f x x =的最小正周期为______4π____。 解答：最小正周期为4π。

12. 已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=____6_______. 解答：由1513072S a d =⇒+=，而181513(7)6a a a a d ++=+=。

13. 向量(1,sin )a θ=，(cos b θ=，R θ∈，则a b -的取值范围为 [1，3] 。

解答：(1cos a b -=

-=

，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。

14. 直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ∆是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点（含端点），D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。则直线,AP PE 的夹角为_90_。 解答：因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ⊥BC ，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以 AD ⊥PE ，又PE ⊥PD ，PE ⊥平面APD ，所以PE ⊥PD 。即夹角为90。 15．设y x ,为实数，则

=+=+)(m ax 2210452

2y x x

y x _____4________。

解答：2

2

2

2

54104105002x y x y x x x +=⇒=-≥⇒≤≤

22222224()1025(5)2534x y x x x x y +=-=--≤-⇒+≤