解分式方程的特殊方法与技巧

分式方程意义及解法
一、容综述：
1．解分式方程的基本思想
在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程
2．解分式方程的基本方法
(1)去分母法
去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。

所以，必须验根。

产生增根的原因：
当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．
检验根的方法：
（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。

（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。

必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．
用去分母法解分式方程的一般步骤：
(i)去分母，将分式方程转化为整式方程；
(ii)解所得的整式方程；
(iii)验根做答
(2)换元法
为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．
用换元法解分式方程的一般步骤：
(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；
(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；
(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；
(iv)检验做答．
注意：
（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。

它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。

（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。

（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。

二、例题精析：
例1．解分式方程：。

分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。

解：方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得
x+4-x=2(x+2)+x(x+2)
整理后，得x2+4x=0
解这个方程，得x1=0, x2=-4,
代入公分母检验：
当x1=0时，x(x+2)=0×(0+2)=0, ∴x=0是增根；
当x2=-4时，x(x+2)=-4×(-4+2)≠0, ∴x=-4是原方程的根。

故原方程的根是x=-4。

例2．解方程：。

分析：本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法），；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项，将方程化简。

解：
即，
移项，整理，得，
即，
亦即
去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7. 经检验，x=7是原方程的根。

∴原方程的根是x=7。

例3．解方程。

解法1：方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得(x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3)
=(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5)
即4x+14=0, ∴，
经检验知是原方程的解。

解法2：方程两边分别通分，得
，
即，
∴(x+5)(x+4)=(x+2)(x+3)
解得。

解法3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。

原方程可化为
即：，
两边分别通分，得，
解之，得。

例4．解方程。

解：设，则原方程变形为y2-5y+6=0,
解得y1=2, y2=3,
由=2，解得x1=4;
由，解得x2=3.
经检验x1=4, x2=3，都是原方程的根。

例5．用换元法解方程.
解：设2x2+3x=y，于是原方程变为,
整理，得y2-4y-5=0
解得y1=5, y2=-1.
当y=5时，即2x2+3x=5,
解得x1=1, ,
当y=-1时，2x2+3x=-1，解得x3=-1, ,
经检验，都是原方程的根。

∴原方程的根为。

例6．解方程。

分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解。

解：设，所以原方程变形为：y+=7,
整理得：y2-7y+10=0
解得y1=2, y2=5，
当y1=2时，即，
∴x1=0, x2=2;
当y2=5时，，
即x2-5x+9=0 （Δ<0，此方程无实根）
经检验，x1=0, x2=2是原方程的解。

例7．解方程.
分析：此方程初看起来容易把，，而实际上，所以.但是,就是说原方程可变形为
, 变形后才可用换元法解此方程。

解：原方程可化为
即,
设, 则原方程可化为：2y2-3y-5=0
解得y1=-1, y2=,
当y=-1时，,
去分母整理，得x2+x+1=0
解这个方程，∵Δ<0, ∴方程无解。

当y= 时，, 去分母整理，得2x2-5x+2=0
解得x1=2, ,
经检验，x1=2, 都是原方程的根。

∴原方程的根是x1=2, 。

注意：切勿把。

例8．若分式方程有增根x=2，求a的值。

分析：将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)，
得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，则x=2一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出a。

解：原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0
把x=2代入所得方程，得4a+1+0=0, a=-,
∴当a=-时, x=2是原分式方程的增根。

测试
选择题
1．方程x- =2-的根的情况是（）
A、只有一解x=2
B、任意实数都是解
C、无解
D、解为x≠2
2．用换元法解方程+ =，下列变形正确的是（）
A、设=y，原方程变形为y+ = ，去分母得2y2+5y+2=0
B、设=y，原方程变形为y+ -1=，去分母得2y2-7y+2=0
C、设=y，原方程变形为+ = ，去分母得y2-5y+3=0
D、设=y，原方程变形为+ =，去分母得y2-5y+6=0
3．如果设y= -5，则对于方程( -5)2+-13=0，下面变形正确的是（）A、y2-2y-8=0 B、y2+2y-3=0
C、y2+2y-13=0
D、y2-2y-23=0
4．若x=1是方程的增根，则m的值为（c ）
A、1
B、-1
C、-3
D、3
5．方程会产生增根,则a的值为（c ）
A、1
B、-2
C、1或-2
D、以上都不对。

6．方程=0的根是（）
A、-1
B、2
C、-1或2
D、1或-2
7．使分式方程产生增根的k的值是（）
A、0
B、0或2
C、1
D、2
8．用换元法解方程, 设，则方程变形为（）。

A、6y2+5y-38=0
B、6y2+5y-40=0
C、6y2+5y-26=0
D、6y2+5y-50=0
9．方程的根为（）
A、x=2
B、x=
C、x=3
D、x=-5,或x=3
10．某项工程，甲独做需a天，乙独做需b天，甲、乙合做完成任务需要的天数是（）。

A、B、C、a+b D、
答案与解析
答案：1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、B 7、A 8、D 9、D 10、D 解析：
1、答案：选C。

移项，整理得x=2，但当x=2时，分母x-2=0，则x=2为增根，原方程无解。

2、答案：2．选D。

3、答案：选B。

原方程
整理得：，
设原方程变为：y2+2y-3=0。

4．答案：选C。

原方程两边乘以(x-1)(x-2)得：
x2-4+x2+2x-3=m即：2x2+2x-7-m=0
则x=1是方程2x2+2x-7-m=0的根，代入x=1得：
∴2+2-7-m=0, m=-3.
5.答案：选C。

两边乘以x(x-1) 得x2+2x-2-a=0,
若原方程有增根，则有增根x=1或x=0，而x=1或x=0是整式方程x2+2x-2-a=0的两根，将x=1或x=0代入整式方程得a=1或a=-2，选C。

6．答案：选B。

由，去分母得(x+1)(x-2)=0 得x=-1或x=2，经检验，x=-1是增根，则原方程的根为x=2。

7．答案：选A。

分式方程的增根为x=2或x=-2，
而x=2或x=-2，一定是去分母得到的整式方程的解。

原方程两边乘以(x-2)(x+2)得x2-2x-x2+4=k2x+2k2
整理得：(k2+2)x=4-2k2,
∴,
则：，
解得：k=0.
8．答案：选D。

分析：原方程变形为，则原方程变形为
6(y2-2)+5y-38=0，整理得：6y2+5y-50=0.
9．答案：选D。

方程两边乘以x2-4 得15=2x+4+x2-4 即：x2+2x-15=0,
解得：x1=-5或x2=3，经检验，x=-5或x=3都是原方程的根。

10．答案：选D。

整个工程看成整体1，则甲，乙的工作效率分别为，则合作工作效率为，则甲，乙合作用的时间为。

中考解析
分式方程
考点讲解
1．解分式方程的基本思想方法是：把分式方程通过去分母或换元转化成整式方程，然后用解整式方程的方法去求解，但在转化过程中，可能会使分式方程增根，所以最后一定要验根。

2．去分母法解分式方程的步骤：（1）去分母，即方程两边同乘以各分母的最简公分母，约去分母，得到一个整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根。

3．用换元法解分式方程的步骤：（1）根据分式方程中的特点设某一分式为另一未知字母；（2）写出符合原方程式的用新字母表示的变形方程；（3）解换元所得新方程，求得未知字母的值；（4）把新未知字母值代入第一步所设的分式，求得原方程未知数的值；（5）验根。

4．分式方程验根的方法：（1）将解得整式方程的根代入原方程，使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的根，否则是增根；（2）将解得整式方程的根代入最简公分母中，如果不使最简公分母等于0，就是原方程的根，反之则为增根。

考题评析
1．（省）一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生的人数是（）
（A）8 （B）10 （C）12 （D）30
考点：分式方程的应用
评析：该题是一列方程解的应用题，解决应用题的关键是找到等量关系，本题的等量关系有两个：一个是人数变化，前后的总费用不变，二是增加2人后，每人少分
摊3元。

根据条件，依据第二个等量关系列方程比较容易解得此题,设原来这组学生
的人数x人，所以列方程为：，解得x=8,经检验x=8是原方程的根。

答案：A
说明：所列方程是一个分式方程，求出结果后必须检验。

2．(市)（本题8分）解方程：
考点：分式方程的解法
评析思路：此题可用去分母、化分式方程为整式方程的方法，来解此方程注一定要检验。

答案：x=2
3．（市）方程的解是__________。

考点：分式方程的解法
评析：思路：本题运用等式的性质两边乘以x(x－1)化分式方程为整式方程，然
后求解。

说明：右边的1必须乘以x(x－1)同时要进行验根。

答案：x＝2
4．(省)解方程：。

考点：分式方程。

评析思路，根据方程的形式可知用换元法解本方程，设，方程变为关于y
的整式方程，然后求解。

说明：分式方程一定要检验。

答案：x=2 或x=
5．（省）用换元法解方程.
考点：分式方程的解法——换元法
评析思路：设，原方程可变为关于y的一元二次方程是y2-5y-6=0.
该题用换元法变为整式方程将用y代替即可。

答案：x= 或x=
6．（省）解方程+ = 时，设y=, 则原方程可化为：（）
A、5y2+5y-26=0
B、5y2+y-26=0
C、5y2-y-26=0
D、5y2-26y+5=0
考点：换元法解分式方程
评析:原方程是一个分式方程，其中两个分式互为倒数，当设y=时，原方程变为y+ = 化简得5y2–26y+5=0，所以正确选项是D
分式方程（组）的特殊解法
吴行民王爱灵
同学们已经知道，把分式方程的两边同乘以各分母的最简公分母，化为整式方程，是解分式方程的基本思路。

而对于一些特殊的分式方程（组），我们还可以根据它的特
征，采取灵活多变的方法求解。

下面以课本习题、中考题和竞赛题为例，介绍解分式方程（组）的若干特殊方法与技巧。

一、观察法
例1、解关于x的方程：
精讲与解：由限制条件和方程两边a，b及x的“对称”关系不难看出，当x=ab时等式成立。

而该方程是一个可化为一元一次方程的分式方程，最多只有一个解，故原方程的解是x=ab。

二、拆项法
例2、解方程：。

精讲与解：先注意，将左边第一个分式“一分为二”，就可以避开“去分母”而另辟新路。

原方程可化为，即1=8，这是不可能的，故原方程无解。

试一试：解方程：。

提示：将拆成。

三、添项法
例3、解方程：。

精讲与解：原方程可化为。

即。

∴。

解之，得x=7。

经检验，x=7是原方程的解。

试一试：用拆项法来解此题。

四、消去常数法
例4、解方程组：
精讲与解：两个方程左边的分母都是x+y和，右边的常数都是3，因此，消去常数就能得到x、y之间更为明显的数量关系。

，得。

去分母、整理，得x=6y。

代入②，解之得。

故x=18。

经检验，是原方程组的解。

五、整体消元法
例5、解方程组：
精讲与解：常规方法是通过换元化为二元一次方程组求解。

如果把“”看成一个整体，代入消元，则更加简捷。

将①代入②，得，解之，得x=18。

把x=18代入①，得y=9。

经检验，是原方程组的解。

六、倒数法
例6、解方程组：
精讲与解：对每一个方程进行取倒数处理，原方程组可化为
④+⑤+⑥，整理，得⑦
⑦分别减去④、⑤、⑥，可得
经检验，它们是原方程组的解。

该题应用两个数相等（0除外），这两个数的倒数也相等这一关系，对原方程组进行简化，从而找到了解题的简捷方法。