弹簧结构参数多目标优化

x1 d D X x 2 2 x3 n
解：由于需要同时考虑结 构重量最轻、弹簧自由高 度最小和自振频率最高等 三个设计目标，所以属于 多目标优化问题。 1、建立统一目标函数 1）确定设计变量 按照题意取弹簧丝直径、 中径和工作圈数等三个独 立设计参数作为设计变量

3）分目标函数的规格化处理 为了平衡三个分目标函数在数量级上的差异，按 照下式对它们进行规格化处理
* f ( X ) f X ) / i i( i f ( X ) ( i 1 , 2 , 3 ) i Q i 式中， i 是因 f i 数量级而异的一个裕量，防止规
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Af ( X ) Bf ( X ) Cf ( X ) D 0 1 2 3


式中，常系数 A 可以根据平面方程三 、 B 、 C 、 D 点式确定。 对各坐标轴的 A ,B , C 取理想平面 L法向量 S 方向余弦，作为各个分目标的加权因子
2 B 2 2 2 2 A B C
格化后的 f i 出现负值； f i* ( X ) 是各个分目标函数的最优解； Q i 是各个分目标函数值上限与下限差的绝对值。
/

4）确定规格化加权系数 由各分目标函数的最优值
i * i * f f ( X )( i 1 , 2 , 3 和 j 1 , 2 , 3 ) j j

在以各分目标函数为坐标轴的三维广义设计空 间中确定理想平面 L，它的一般形式是
4）为防止气门弹簧产生共振，应使其自 振频率大于工作频率10倍以上
d f 3 . 56 10 2 10 f r r D n 2 4 2 g ( X ) 1 7 . 0225 10 x x / x 0 4 2 3 1
5


5）刚度条件
4 4 4 hGd 16 . 59 8 10 d F 3 3 8 nD 8 nD 2 2
2 C 3 2 2 2 A B C
2 A 1 2 2 2 A B C


因此，规格化加权的统一目标函数为
f (X) j f j (X)
j 1 3
2、建立约束函数

1）强度条件
0 . 86 8 FD D 2 2 K 3 2770 . 57 [ ] 2 . 86 d d
g ( X ) 1 30 /( x x ) 0 8 1 2 g ( X ) 1 ( x x ) / 60 0 9 1 2
g ( X ) 1 x / 9 . 5 0 7 1


这是一个有10个约束条件的三维优化设计问题。
3、优化方法和计算结果



采用约束随机方向法，取初始步长 0 0.1，迭 4 代收敛精度 10 ，在转折点搜索的最大数 目 Nm ax50 。 1 ）对各个分目标优化分别取不同的可行初始 点进行搜索，得到各个分目标的优化 X ), ( i 1 , 2 , 3 ) ，确定理想平面 L和规格化加 解 fi*( i 1 , 2 , 3 ) ，再建立统一目标函数。 权系数 i,( 2）对统一目标函数进行优化求解 ，优化计算 结果如下表所示。
2）建立分目标函数


①弹簧的结构重量最轻
2 W ( n n ) D g d / 4 2 2

4 2 f ( X ) 1 . 886 10 x x ( x 1 . 8 ) 1 1 2 3
②弹簧的自由高度最小
H ( n n 0 . 5 ) d 0 2 b
3 3 4 g ( X ) 1 4 . 1 10 x x / x 0 5 2 3 1
6）弹簧结构要求确定的边界条件

要求弹簧丝直径 2 ，故 . 5 d 9 mm
g ( X ) 1 2 . 5 / x 0 6 1


要求弹簧外径 30 ，故 D 60 mm 要求工作圈数 n 3 ，故 g ( X ) 1 3 / x 0 10 3
弹簧结构参数多 目标优化


例7-8 要求设计一个内燃机用气门弹簧，工作载 16 . 59 mm 荷 F ， 工作频 680 N ，工作行程 h 6 H 率 fr 25 ，要求寿命循环次数 。弹簧丝材 N 10 Z 料采用 50CrVA ，许用应力 [ 。弹簧的结 ]405 MP a 构要求：弹簧丝直径 2 ，弹簧外 . 5 d 9 mm n2 1 .8 30 D 60 mm 径 ，工作圈数 n3 ，支承圈数 （采用YI型端部结构），弹簧指数C 6 ，弹簧压并高 1 . 1 h 18 . 25 mm 度 。 b 试在满足弹簧的强度条件、刚度条件、稳定性条件、 旋绕比条件和结构尺寸边界条件等约束条件下，确定 弹簧的弹簧丝直径 d 、中径 D 2和工作圈数 n 等三个 设计参数，使它的结构重量最轻、弹簧自由高度最小 和自振频率最高。
f ( X ) x ( x 1 . 3 ) 18 . 25 2 1 3

③弹簧的自振频率最高（取其倒数作为分目标函 数，追求它的最小）
d fr 3 .56 10 2 D 2n 1 6 2 f ( X ) 2 . 8 10 x x /x 3 2 3 1 f r
5


0 . 86 2 . 86 g ( X ) 1 6 . 841 x / x 0 1 2 1
2）弹簧指数条件
C D2 6 d

g ( X ) 1 6 x / x 0 2 1 2

3）弹簧在无导杆或套筒的情况下的稳定 性条件

H ( n 1 . 3 ) d 18 . 25 0 5 . 3 D D 2 2 g ( X ) 1 0 . 18868 (( x 1 . 3 ) x 18 . 25 ) / x 0 3 3 1 2