导数在生活中的优化问题举例含答案
高中数学第一章 导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例(含答案解析)
1．4 生活中的优化问题举例考点 学习目标核心素养 优化问题了解利润最大、用料最省、效率最高等优化问题数学抽象导数的实际应用 会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题数学建模面积、容积最值问题请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？【解】 设OO 1为x m ，则1<x <4.由题设可得正六棱锥底面边长为32－（x －1）2＝8＋2x －x 2.于是底面正六边形的面积为 6·34·(8＋2x －x 2)2＝332(8＋2x －x 2)． 帐篷的体积为V (x )＝332(8＋2x －x 2)⎣⎡⎦⎤13（x －1）＋1＝32(16＋12x －x 3)． 求导数，得V ′(x )＝32(12－3x 2)． 令V ′(x )＝0，解得x ＝－2(不合题意，舍去)或x ＝2. 当1<x <2时，V ′(x )>0，V (x )为增函数； 当2<x <4时，V ′(x )<0，V (x )为减函数． 所以当x ＝2时，V (x )最大．解决优化问题的基本思路(1)优化问题往往涉及变量之间的变化，因而就产生了函数关系，这时就可以利用导数解决优化问题．(2)导数是解决优化问题的基本方法之一．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路是：用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x ，容器的容积为V ， 则V ＝(90－2x )(48－2x )x (0＜x ＜24)， 即V ＝4x 3－276x 2＋4 320x . 因为V ′＝12x 2－552x ＋4 320，由V ′＝12x 2－552x ＋4 320＝0，得x 1＝10，x 2＝36.因为0＜x ＜10时，V ′＞0，10＜x ＜36时，V ′＜0，x ＞36时，V ′＞0，所以当x ＝10时，V 有极大值V (10)＝19 600.又因为0＜x ＜24， 所以V (10)也是最大值．所以当x ＝10时，V 有最大值V (10)＝19 600.故当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm 3.用料(费用)最省问题现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【解】 (1)依题意得y ＝500x (960＋0.6x 2)＝480 000x＋300x ， 且由题意知，函数的定义域为(0，35]，即y ＝480 000x ＋300x (0<x ≤35)．(2)由第一问知，y ′＝－480 000x 2＋300， 令y ′＝0，解得x ＝40或x ＝－40(舍去)，因为函数的定义域为(0，35]，所以函数在定义域内没有极值点． 又当0<x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x ＋300x 在(0，35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式y ＝f (x )．(2)求函数f (x )的导数f ′(x )，并解方程f ′(x )＝0，即求函数可能的极值点．(3)比较函数f (x )在区间端点的函数值和可疑点的函数值的大小，得出函数f (x )的最大值或最小值．(4)根据实际问题的意义给出答案．一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解：设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例系数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006，则p ＝0.006v 3.又设当船的速度为每小时v 海里时，行1海里所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1海里所需时间为1v 小时，所以行1海里的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)，令q ′＝0，解得v ＝20.因为当v ＜20时，q ′＜0；当v ＞20时，q ′＞0， 所以当v ＝20时q 取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小．利润最大问题某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值． 【解】 (1)设日销量q ＝k e x ，则ke 30＝100，所以k ＝100e 30，所以日销量q ＝100e 30e x ，所以y ＝100e 30（x －20－t ）e x (25≤x ≤40)．(2)当t ＝5时，y ＝100e 30（x －25）e x ，所以y ′＝100e 30（26－x ）e x .由y ′>0，得x <26，由y ′<0，得x >26，所以y 在[25，26)上单调递增，在[26，40]上单调递减， 所以当x ＝26时，y max ＝100e 4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元．(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价格提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元)．(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大． 解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)，所以y 关于x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)． (2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，当0＜x ＜12时，y ′＞0；当12＜x ＜1时，y ′＜0， 所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12处取得极大值，即最大值．故改进工艺后，产品的销售价为20⎝⎛⎭⎫1＋12＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.因为x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)，当x ∈(0，9)时，y ′>0，当x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，所以y 先增后减．所以当x ＝9时函数取得最大值．选C.2．用长为24 m 的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为________．解析：设长方体的底面边长为x m ，则高为(6－2x )m ，所以x ∈(0，3)，则V ＝x 2(6－2x )＝6x 2－2x 3，V ′＝12x －6x 2，令V ′＝0得x ＝2或x ＝0(舍)，所以当x ∈(0，2)时，V ′>0，V 是增函数， 当x ∈[2，3)时，V ′<0，V 是减函数， 所以当x ＝2时，V max ＝22×2＝8(m 3)． 答案：8 m 33．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x 吨与每吨产品的价格p (元/吨)之间的函数关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨产品的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？解：依题意，知每月生产x 吨产品时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x )＝－15x 3＋24 000x －50 000(x >0)， 故f ′(x )＝－35x 2＋24 000.令f ′(x )＝0，得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为在(0，＋∞)内只有x ＝200使f ′(x )＝0，且x ＝200是极大值点，所以200就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．所以该厂每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．[A 基础达标]1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1D ．－8解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产产品台数为( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A.设利润为y ，则y ＝y 1－y 2 ＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x >0)， 所以y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)． 令y ′＝0，则x ＝0或x ＝6.经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． 所以生产产品6千台时利润最大．故选A.3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系式R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，每年生产的产品数量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析：选 D.由题意，总成本为C ＝20 000＋100x ，所以总利润为P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400，令P ′＝0，当0≤x ≤400时，得x ＝300；当x >400时，P ′<0恒成立，易知当x ＝300时，总利润最大．4．某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150 cm 2，上、下要留1.5 cm 空白，左、右要留1 cm 空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸为( )A ．左右长12 cm ，上下长18 cmB ．左右长12 cm ，上下长19 cmC ．左右长11 cm ，上下长18 cmD ．左右长13 cm ，上下长17 cm解析：选A.设所印文字区域的左右长为x cm ，则上下长为150x cm ，所以纸张的左右长为(x ＋2)cm ，上下长为⎝⎛⎭⎫150x ＋3cm ，所以纸张的面积S ＝(x ＋2)⎝⎛⎭⎫150x ＋3＝3x ＋300x＋156. 所以S ′＝3－300x 2，令S ′＝0，解得x ＝10.当x >10时，S 单调递增； 当0<x <10时，S 单调递减．所以当x ＝10时，S min ＝216(cm 2)，此时纸张的左右长为12 cm ，上下长为18 cm. 故当纸张的边长分别为12 cm ，18 cm 时最节约． 5．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R 解析：选C.设圆锥的高为h ，底面半径为r ，体积为V ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，所以r 2＝2Rh －h 2，所以V ＝13πr 2h ＝23πRh 2－π3h 3，所以V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0，解得h ＝43R 或h ＝0(舍去)．当0<h <43R 时，V ′>0；当43R <h <2R 时，V ′<0，所以h ＝43R 时，圆锥体积最大． 6．某箱子的体积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝⎛⎭⎫60－x 2(0<x <60)，则箱子底面边长为________时，它的体积最大．解析：V ′(x )＝－32 x 2＋60x ＝－32x (x －40)，当0<x <40时，V ′(x )>0，V (x )单调递增； 当40<x <60时，V ′(x )<0，V (x )单调递减， 所以x ＝40是V (x )的极大值点也是最大值点． 所以当箱子的底面边长为40时，体积最大． 答案：407．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则租金定为________元时可获得最大收入．解析：设没有租出去的公寓数为x ，则收入函数f (x )＝(1 000＋50x )(50－x )－100(50－x )，所以f ′(x )＝1 600－100x ，解得x ＝16，所以当x ＝16时，f (x )取得最大值，把租金定为1 800元时，收入最大．答案：1 8008．某厂生产x 件产品的总成本为C 万元，产品单价为P 万元，且满足C ＝1 200＋275x 3，P ＝500x，则当x ＝________时，总利润最高．解析：设总利润为L (x )万元，则由题意得L (x )＝x ·500x －1 200－275x 3＝－275x 3＋500x －1 200(x >0)．由L ′(x )＝－225x 2＋250x ＝0，得x ＝25.令L ′(x )>0，得0<x <25；令L ′(x )<0，得x >25，得L (x )在区间(0，25)上单调递增，在区间(25，＋∞)上单调递减，所以当x ＝25时，总利润最高．答案：259．已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(x －2)2成正比，比例系数为4.(1)写出今年商户甲的收益y (单位：万元)与今年的实际销售单价x 间的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．解：(1)由题意知，今年的销售量为[1＋4(x －2)2](万件)． 因为每销售一件，商户甲可获利(x －1)元，所以今年商户甲的收益y ＝[1＋4(x －2)2]·(x －1)＝4x 3－20x 2＋33x －17(1≤x ≤2)． (2)由(1)知y ＝f (x )＝4x 3－20x 2＋33x －17，1≤x ≤2， 从而y ′＝f ′(x )＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)． 令y ′＝0，解得x ＝32或x ＝116.列表如下：又f ⎝⎛⎭⎫32＝1，f (2)＝1，所以f (x )在区间[1，2]上的最大值为1(万元)． 而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益． 10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m ，高为h m ，体积为V m 3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m 2，底面的建造成本为160元/m 2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元． 根据题意，得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0且r >0，可得0<r <53， 故函数V (r )的定义域为(0，53)． (2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)． 当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0， 故V (r )在(0，5)上为增函数； 当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0， 故V (r )在(5，53)上为减函数．由此，可知V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8， 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．[B 能力提升]11．若球的半径为R ，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( ) A ．2πR 2 B ．πR 2 C ．4πR 2D.12πR 2 解析： 选A.设内接圆柱的高为h ，底面半径为x ，则 x ＝R 2－h 24， 所以S 侧＝2πxh ＝2πh R 2－h 24＝2π R 2h 2－h 44， 令t ＝R 2h 2－h 44，则t ′＝2R 2h －h 3，令t ′＝0，得h ＝2R (舍负)或h ＝0(舍去)，当0<h <2R 时，t ′>0，当2R <h <2R 时，t ′<0，所以当h ＝2R 时，圆柱的侧面积最大．所以侧面积的最大值为2π2R 4－R 4＝2πR 2，故应选A.12．海轮每小时使用的燃料费y (单位：元)与它的航行速度v (单位：n mile/h)的立方成正比．已知某海轮的最大航速为30 n mile/h ，当速度为10 n mile/h 时，它的燃料费是每小时25元．其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800 n mile ，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．解析：由题意，燃料费y 与航速v 之间满足y ＝a v 3(0≤v ≤30)． 又因为25＝a ·103，所以a ＝140. 设从甲地到乙地海轮的航速为v ，总费用为y 1， 则y 1＝a v 3×800v ＋800v ×400＝20v 2＋320 000v . 由y ′1＝40v －320 000v 2＝0，得v ＝20<30.当0<v <20时，y ′1<0；当20<v <30时，y ′1>0，所以当v ＝20时，y 1最小．答案：20 n mile/h13．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，解得a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3<x <6)． f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，解30(x －4)(x －6)＝0，得x 1＝4，x 2＝6(舍去)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x(3，4) 4 (4，6) f ′(x )＋ 0 － f (x )极大值42 由上表可得所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．14．(选做题)如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O ，半径为100 m ，其与城站路一边所在直线l 相切于点M ，MO 的延长线交圆O 于点N ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化，设△ABM 的面积为S (单位：m 2)．(1)以∠AON ＝θ(rad)为自变量，将S 表示成θ的函数；(2)求使绿化面积最大时点A 的位置及最大绿化面积．解：(1)由题意知，BM ＝100sin θ，AB ＝100＋100cos θ，故S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)．(2)因为S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)，所以S ′＝5 000(cos θ＋cos 2θ－sin 2θ)＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1)＝5 000(cos θ＋1)(2cos θ－1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，又θ∈(0，π)，故θ＝π3. 当0<θ<π3时，12<cos θ<1，S ′>0； 当π3<θ<π时，－1<cos θ<12，S ′<0. 故当θ＝π3时，S 取得极大值，也是最大值，最大值为3 7503，此时AB ＝150. 即当点A 距路边的距离为150 m 时，绿化面积最大，最大面积为3 750 3 m 2.。
1.4生活中的优化问题举例(三).ppt1
半径为 6cm时,利润最大 .
y 换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 (图 r3 2 1.4 4)上观察,你有什么发现? f r 0.8π 3 r 从图象上容 易看出,当 r 3 时,
f 3 0,即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
解：⑴P(x) = R(x) – C(x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275 (其中 xN 且 x[1, 20]). ⑵∵ P( x ) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) ∴当 1< x < 12 时, P( x ) > 0, P(x)单调递增, 当 12 <x < 20 时, P( x ) < 0 , P ( x ) 单调递减. ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,即年建造 12 艘船时, 公司 造船的年利润最大. ⑶由 MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (xN 且 x[1, 20]). ∴当 1< x ≤ 20 时，MP (x)单调递减. MP (x)是减函数说明:随着产量的增加,每艘利润与前一 台比较,利润在减少.
4 3 S 3 S S 3 h h 3h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h h 3
l′ = 3
S S S S =0, ∴ h = , 当 h < 时， l ′ <0, h > 时，l′>0. 2 4 4 4 h 3 3 3
导数在生活中的优化问题举例
1.4第一课时 生活中的优化问题举例一、课前准备 1．课时目标（1）了解函数极值和最值的基本应用. （2）会用导数解决某些实际问题. 2．基础预探利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的 ，写出实际问题中变量之间的 ，根据实际意义确定定义域.(2) 求函数()y f x =的导数f '(x )，解方程f '(x )＝0,求定义域内的根，确定 . (3) 比较函数在 和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值. (4) 还原到原 中作答. 三、学习引领1. 常见的优化问题主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一. 2.解决优化问题的方法首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 解决优化问题的基本程序是：读题 建模 求解 反馈 （文字语言） （数学语言） （导数应用） （检验作答）3. 需要注意的几个问题(1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响.(2) 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性. 四、典例导析题型一 几何图形中的优化问题例1请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE =FB =x cm（1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.思路导析:明确平面图形中切割的规则,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系,确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题（1）中,用底面边长把包装盒侧面积表示出来,观察其特点,用一元二次函数最值解决问题.问题(2)中,建立目标函数,依据目标函数的特征,通过求导,研究函数性质,求相应最值.解：设该盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得.300),30(22260,2<<-=-==x x xh x a（1）由题意包装盒侧面积,1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S 所以当15=x 时，S 取得最大值.（2）由题意知,)20(26),300(),30(22322x x V x x x h a V -='<<-==.由0='V 得0=x （舍）或20=x .由于当)20,0(∈x 时，0)30,20(;0<'∈>'V x V 时当,所以当20=x 时，V 取得极大值，而且为唯一极大值,故也是最大值,此时12h a =该盒的高与底面边长的比值为1.2规律总结：几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题,主要是对面积和体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助相应的公式进行. 上述题中,两个目标函数皆未给出,因此建立两个函数关系式是关键之一.建立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算. 因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导,并研究函数的性质,是解决该最值问题关键之二.变式训练1今有一块边长a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x 值应为多少？题型二 费用最省问题例3某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且r l 2≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为)3(,>c c .设该容器的建造费用为y 千元.（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成,而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的侧面积和两个半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式.解:（Ⅰ）因为容器的体积为803π立方米，所以3243r r l ππ+=803π,解得280433r l r =-,所以圆柱的侧面积为2rl π=28042()33r r r π-=2160833r r ππ-,两端两个半球的表面积之和为24r π,所以y =21608r r ππ-+24cr π,定义域为(0,2l).（Ⅱ）因为'y =216016r r ππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,所以令'0y >得:r >令'0y <得:0r <<所以r =, 该容器的建造费用最小. 规律总结:由于所得函数解析式为非基本初等函数,所以要求其最小值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.变式训练2 设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C,现要在铁路BC 之间某处D 修建一个原料中转车站,再由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省? 题型三 利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中63<<x ，a 为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. （I ）求a 的值;（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.思路导析:问题（I ）,由题设中的具体情形,代入函数解析式,解方程,求a 的值.问题（II ）,用x 表示该商场每日销售该商品所获得的利润,得函数关系式,对所得函数关系式求导,讨论极值和最值的情况,最后确定利润最大的时刻.解: （I ）因为当5=x 时,11=y ,代入210(6)3a y x x =+--得,2,11102==+a a. （II ）由（I ）知,该商品每日的销售量为2)6(1032-+-=x x y ,所以商场每日销售该商品所获得的利润为22)6)(3(102])6(1032)[3()(--+=-+--=x x x x x x f )3612)(3(1022+--+=x x x ,)63(<<x .所以,)6)(4(30)6)(3(20)6(10)(2--=--+-='x x x x x x f .于是,当x 变化时,)(),(x f x f '的变化情况如下表:由上表可知,4=x 是函数)(x f 在)6,3(上的极大值点,而且为唯一极大值点,即是最大值点,所以当4=x 时,函数)(x f 取得最大值,最大值为42.答:当销售价格为4元/千克时, 商场每日销售该商品所获得的利润最大.规律总结: 在上述问题中,首先需要建立利润的数学模型,即写出利润关于销售价格的函数关系式.由于所求得的函数解析式为非基本初等函数,所以为了求其最大值,需要利用函数的导数,先求函数的极值,再判断函数的最值情形.因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.变式训练 3 甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系，t x 2000=.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）.（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y =0.002t 2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？五、随堂练习1. 要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积为最大,则高为( )cm. A.33B.3310C.3316D.3320 2. 以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ( ) . A.10 B.15 C.25 D.503. 若一球的半径为r ,作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为 ( ) .A.22r πB.2r πC.24r π D.221r π 4. 要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m ，长和宽的和为20m ，则仓库容积的最大值为 .5. 统计结果表明,某种新型号的节能汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升),关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：)1200(880312800013≤<+-=x x x y ，已知甲乙两地相距100千米.当汽车以 (千米/小时)速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少?6. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？ 六、课后作业1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ,那么其表面积最小时,底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D.32V2. 制作一个圆柱形锅炉,容积为V 两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积价格为b 元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（ ）A. b a 2B.b a 22C. a b 2D. ab 223. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是π27,且用料最省则圆柱的底面半径为 .4. 去年初,某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价定为p 元，则销售量q (件)与零售价p (元)有如下关系21708300p p q --=．那么该商品零售价为 元时,毛利润最大?(毛利润=销售收入一进货支出)5. 现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别为x 和y 时，得到的回报是3231y x P =．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.6．如图所示，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（1）求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; （2）求面积S 的最大值．1.4第一课时 生活中的优化问题答案及解析一、2. 基础预探（1）数学模型；函数关系（2）极值点 （3）区间短点 （4）实际问题 三、变式练习1. 解：折成盒子后底面正三角形的边长为2(0)2a a x x -<<，高为tan 303h x x =⋅︒=设：容积为V ，则21(2)sin 602V sh a x ==- 2324a x ax x =-+.函数求导得:22324a V x ax '=-+,令0V '=得,62a a x x ==（舍去）,当06a x <<时，0V '>；当6a x >时，0V '<,所以当a x b =时，333334216362421654a a a a a V =-+==最大. 答：x 为6a 时，盒子的容积最大为354a2.解 ： 设BD 之间的距离为x km,则|AD|=2220+x ,|CD|=x -100.如果公路运费为a 元/km,那么铁路运费为53a元/km.故从原料供应站C 途经中转站D 到工厂A 所需总运费y 为:=y )100(53x a -+a4002+x ,(1000≤≤x ).对该式求导,得:y '=53a -+4002+x ax =4005)40035(22++-x x x a ,令0='y ,即得252x =9(2x 400+),解之得1x =15,2x =-15(不符合实际意义,舍去).且1x =15是函数y 在定义域内的唯一极小值点,所以1x =15是函数y 的最小值点.由此可知,车站D 建于B,C 之间并且与B 相距15km 处时,运费最省.3. 解：（I ）因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为： )0(2000≥-=t st t w因为ss t s st t w 221000)1000(2000+--=-=， 所以当21000()t s =时，w 取得最大值. 所以乙方取得最大利润的年产量21000()t s=吨 . （II ）设甲方净收入为v 元，则20.002v st t =-，将21000()t s=代入上式，得到甲方纯收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式：234100021000v s s ⨯=-， 又23232551000810001000(8000)s v s s s ⨯-'=-+=，令'0v =得20s =,当20s <时，'0v >；当20s >时，'0v <.所以20s =时，v 取得最大值.所以甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是20元. 四、随堂练习1. 答案：D. 解析：设圆锥的高为h ,则体积)200(,)400(312<<-=h h h V π, 034002=+-='ππh V ,解得3320=h ,由导数的意义,当3320=h 时,V 取极大值且唯一,故为最大值.故选D.2. 答案:D.解析:设圆的内接矩形的一边长为x ,则另一边长为2100x -,内接矩形的面积2100x x S -=,24222100)100(x x x x S +-=-=,02004)(32=+-='x x S ,解得0=x (舍去),50=x ,根据导数的意义知，内接矩形面积的最大值为50.3. 答案：A.解析:设内接圆柱的底面半径为)0(,r x x <<，则圆柱的侧面积224x r x S -=π，)(1622222x r x S -=π，求导，判断极大值点r x 22=,其侧面积最大为22r π. 4. 答案:300m 3解：设长为xm ，则宽为(20)x m -，仓库的容积为V,则2(20)33+60V x x x x =-⋅=-.660V x '=-+，令0V '=得10x =,当010x <<时，0V '>；当10x >时，0V '<,∴10x =时，3300()V m =最大.5.答案:80.解析;由题意可知,以速度x (千米/小时)从甲地到乙地耗油量为:=⋅=x y W 100415800128012-+x x ,08006402=-='xx W ,解得80=x ,且为唯一极小值点,所以80=x 为最小值点.6. 解:设船速度为(0)x x >时，燃料费用为Q 元，则3Q kx =，由3610k =⨯可得3500k =，∴33500Q x =，∴总费用3231396(96)500500y x x x x =+⋅=+，2696500y x x'=-，令0y '=得20x =，当(0,20)x ∈时，0y '<，此时函数单调递减，当(20,)x ∈+∞时，0y '>，此时函数单调递增，∴当20x =时，y 取得最小值，∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小． 五、课后作业1. 答案: C.解析:设底面等边三角形的边长为0,>x x ,直棱柱的高为h ,则h x V ⋅=432,所以234x Vh =.表面积x Vx x xV x S 3423343432222+=⋅⋅+⋅=,03432=-='x V x S ,解得34V x =,S 取极小值且唯一,即最小,故选C.2. 答案 C. 解析：设锅炉底面半径和高分别为h r ,,则22,rVh h r V ππ==,总造价r bV r a r V r b r a y 2222222+=⋅+=ππππ,0242=-='r bV r a y π,得b r Var ⋅=22π即ab h r 2=时取极大值,即最大值.故选C. 3. 答案：3.解析：设圆柱的底面半径为r ,高为h ,则2227,27rh h r ==ππ.无盖圆柱形水桶表面积r r r r r S ππππ54272222+=⋅+=,05422=-='rr S ππ,解得:3=r ,为唯一极小值点,即最小值点.4 .答案:30.解析:设毛利润y ,则q q p y 20-⋅==)20(-p q =)20)(1708300(2---p p p=1660001170015033-+--p p p ,所以01170030032=+--=p p y ,解得30=p或130-=p （舍去）. 根据导数的意义知，当30=p 时,y 最大.5. 解：由于10000=+y x ，所以100000,)10000(32313231≤≤-==y y y y x P ．考虑23)10000(y y P -=，由0320000)(23=-='y y P 得320000,021==y y ， 由于当320000<y 时，0)(3>'P ；当320000>y 时，0)(3<'P ， 所以3200002=y 是3P 的极大值点，从而也是P 的极大值点．故当投到产品开发的资金为320000元时，得到的回报最大.6． 解: 以AB 所在的直线为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为222214y x r r+= 设(,)C x y 则y =（1） 1(22)2(2S x r r x =+⋅=+ 定义域为 {}0x x r <<．（2） 由（1）知2(S r x =+=.设222g(x)=(r+x)(r -x ) 则22()(2)g (x)x r x r '=-+-. 由0g (x)'=得2rx =当02r x <<0g (x)'> 当2r x r << 0g (x)'<,∴当2rx =时g(x)取最大值,S 取最大值,．。
导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例_OK
(1)若f(x)在(0,+∞)内为单调函数，求p的取值范围； （2）当p≠0时，过点（1，0）作曲线y=f(x)的切线能作三条， 求p的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=px2-2x+p,x∈(0,+∞). ①p=0时,f′(x)=-2x<0,此时f(x)在(0,+∞)内单调递减.∴p=0.
②p>0时,f′(x)的对称轴为x= ∈(0,+∞),
(1)求全程运输成本Q（元）关于速度v的函数关系式；
（2）为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求
此时运输成本的最小值. 【解析】（1）Q=P·400
v
=
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=
=
(2)Q′= v-25v, 16
令Q′=0,则v=0（舍去）或v=80,
当0＜v＜80时，Q′＜0.
当80＜v≤100时，Q′＞0,
当a<0时，函数在(-∞,- ］上1 递减，
3a
在(- ,1)上递1增，在（ ,+∞）上1 递减，故当x取
3a 3a
3a
别取得1 极大值1和极小值，故选D.
3a
3a
,- 时分
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二、填空题（每小题3分，共9分）
6.函数y=2x3-2x2在区间［-1,2］上的最大值是____.
【解析】令y=f(x)=2x3-2x2, 则由f′(x)=6x2-4x=0.得x=0或x= . 2
∴当x=0时,f(x)max=m.∴m=3, 从而f(-2)=-37，f(2)=-5.∴最小值为-37.
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4.已知函数f(x)=ax3+bx2+c，其导函数
导数与生活中的优化问题及综合应用
【规范解答】(1)因为x=5时,y=11,所以a +10=11, 2
所以a=2.
(2)由(1)可知,该商品每日的销售量
y= +10(x-6)2,
2 所以x 商 3场每日销售该商品所获得的利润
f(x)=(x-3)[ +10(x-6)2]
=2+10(x-3)(x2-6)2,3<x<6. x3
从而f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
(1)求a的值.
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场
每日销售该商品所获得的利润f(x)最大.
【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时,每日可售出该 商品11千克”可知销售函数过点(5,11),将其代入可求得a的值. (2)利润为f(x)=(每件产品的售价-每件产品的成本)×销量,表示 出函数解析式后,可借助导数求最值.
x 1
a,b为常数)，曲线y=f(x)与直线 y 3 x 在(0,0)点相切.
①求a,b的值;
2
②证明:当0<x<2时，f(x)<
9x . x6
【思路点拨】(1)观察选项知,所要比较的两数为 f a 与 f 0
ea
e0
的大小,故可构造函数g(x)= f x,利 用其单调性来比较.
(2)①点在曲线上，则点的坐标ex满足曲线方程，同时根据导数
g′(x)＝3(x＋6)2－216＜0.
因此g(x)在(0,2)内是减函数，又由g(0)＝0，得
g(x)＜0，所以h′(x)＜0.
因此h(x)在(0,2)内是减函数，又h(0)＝0，得h(x)＜0.于是当
0＜x＜2时，f(x)<
3.4生活中的优化问题举例(1)
1dm
512 2x 8, x 0 x
128 解：设版心的高为xcm,则宽为 x dm,
2dm
此时四周空白面积为：
128 s ( x) ( x 4)( 2) 128 x 512 2x 8, x 0 x
128dm2
1dm
x + 4
求导数，有
令s '( x) 2
S '( x) 2
512 , 2 x
512 0, 解得，x=16 (x=-16舍去） 2 x 128 128 于是宽为 8 x 16 当x (0,16)时, s '( x) 0; 当x (16, )时, s '( x) 0;
因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。 答：当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
解：设容器高为xcm，则底面边长为(30－2x)cm， 则得容器的容积V是x的函数， V(x)＝(30－2x)2·x (0<x<15)
＝4x3－120x2＋900x. ∴V′(x)＝12x2－240x＋900， 令V′(x)＝0，得x＝5，或x＝15(舍去) 当0<x<5时，V′(x)>0，当5<x<15时，V′(x)<0.
∴f ′(x)＝12x2－240x＋900， 令f ′(x)＝0，得x＝5，或x＝15(舍去) 当0<x<5时，f ′(x)>0， 当5<x<15时，f ′(x)<0.
∴当x＝5时，f (x)取极大值，这个极大值就是f (x)的
最大值． 注意：区间（0，30）为开区间，f (x)无最小值．
512 8, x (0, ) 的最小值。 2）求函数 f ( x) 2 x x 512 8, x (0, ) 解: f ( x) 2 x x 512 令f '( x) 2 2 0, 得:x 16( x 0) x
3.5导数在函数中的应用(优化问题)
科 目数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 3.5导数在函数中的应用（优化问题）考纲定位 会利用导数求生活实际中的优化问题.【典型例题】一、利用导数求生活实际中的优化问题1、（2006 福建）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：)1200(880312800013≤<+-=x x x y 已知甲、乙两地相距100千米。
（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？2、（2009 湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x +万元。
假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为y 万元。
（Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式；（Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？3、（2013 湖南）京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，G808次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程S （t ）（单位：m ）和时间t （单位：s ）的关系为：．（1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值．【上本作业】《胜券在握》P32页第3题：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：kg ）与销售价格x （单位：元/kg ）满足关系式2()10(6),(36)3a f x x x x =+-<<-，已知销售价格为5元/kg 时，每日可销售出该商品11 kg.（1）求实数a 的值；（2）若该商品的成本为3元/kg ，试确定销售价格x 的值使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【课后反思】答案解析1、（2006 福建）解：（1）当x=40千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=小时 要耗油5.175.2)840803401280001(3=⨯+⨯-⨯（升） 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
生活中的优化问题举例
问题1:海报版面尺寸的设计
例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行 宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报， 要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空 1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最 小？ 128 dm , 解：设版心的高为xcm,则宽为 x 此时四周空白面积为：
L' 1 4 q 2 1, 令 L ' 0 ,
8
1 8 q 2 1q 1 0 0
2
1 8
q ) q (1 0 0 4 q )
求 得 q 84
当 L ' 0 时 ,q 8 4 ,
当 L ' 0 时 ,q 8 4 ,
当 产 量 q为 84时 ， 利 润 L最 大
当 r ( 2 ,6 ) 时 , f ' ( r ) 0 .
解： 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利 润为： y f ( r ) 0 . 2 4 r 0 . 8 r ( 0 r 6 )
3 2
3
令 f ' ( r ) 0 .8 ( r 2 2 r ) 0
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0. ∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个 极大值就是函数V (x)的最大值.
V ( 40 ) 40 (
2
60 40 2
) 16000 ( cm )
3
高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例练习含解析新人教A版选修11
高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例练习含解析新人教A 版选修11[学生用书P137(单独成册)])[A 基础达标]1．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时解析：选C.y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)．令y ′＝0，得t ＝8或t ＝－12(舍去)， 则当6≤t <8时，y ′>0， 当8<t ≤9时，y ′<0，所以当t ＝8时，通过该路段所用的时间最多．2．把一段长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.332cm 2B ．4 cm 2C ．3 2 cm 2D ．2 3 cm 2解析：选D.设一段为x ，则另一段为12－x (0<x <12)， 则S (x )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32×32＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 32×32 ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 29－8x 3＋16，所以S ′(x )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫49x －83. 令S ′(x )＝0，得x ＝6， 当x ∈(0，6)时，S ′(x )<0， 当x ∈(6，12)时，S ′(x )>0， 所以当x ＝6时，S (x )最小．所以S ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫2×19×62－83×6＋16＝23(cm 2)． 3．已知生产某产品x 单位的成本为C (x )＝5x ＋200(元)，所得收益为R (x )＝10x －0.01x 2(元)，则生产多少单位产品才能使总利润L 最大( )A ．200B ．250C ．300D ．260解析：选B.总利润L ＝R (x )－C (x )＝5x －0.01x 2－200，L ′＝5－0.02x ，令L ′＝0，得x ＝250.易知x ＝250是唯一的极大值点．因此，生产250单位的产品才能使总利润最大．4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：选D.由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000(0≤x ≤390)．P ′(x )＝－x 2300＋300，由P ′(x )＝0，得x ＝300. 当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．故选D.5．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每1 m 2的造价为15元，箱壁每1 m 2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为( )A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：选D.设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意得箱底面积为483＝16(m 2)，则长为x m 的一边的邻边长度为16x m ，则l ＝16×15＋(2×3x ＋2×3×16x)×12＝240＋72⎝⎛⎭⎪⎫x ＋16x ，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．6．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是________．解析：原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：－17．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为________．解析：设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，所以r 2＝2Rh －h 2， 所以V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3， V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R .当0<h <4R 3时，V ′>0；当4R3<h <2R 时，V ′<0.因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大．答案：43R8．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，当总利润最大时，则产量应定为________件．解析：设产品单价为a 元，产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，y ′＝250x －225x 2.由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0，25)时，y ′>0；当x ∈(25，＋∞)时，y ′<0， 所以x ＝25时，y 取最大值． 答案：259.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2 400 m 2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为 2 m ．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．解：设休闲广场的长为x m ，则宽为2 400xm ，绿化区域的总面积为S (x ) m 2.则S (x )＝(x －6)⎝⎛⎭⎪⎫2 400x －4＝2 424－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋6×2 400x＝2 424－4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3 600x ，x ∈(6，600)．所以S ′(x )＝－4⎝⎛⎭⎪⎫1－3 600x2＝－4（x ＋60）（x －60）x2. 令S ′(x )>0，得6<x <60；令S ′(x )<0，得60<x <600. 所以S (x )在(6，60)上是增函数，在(60，600)上是减函数， 所以当x ＝60时，S (x )取得极大值，也是最大值， 所以S (x )max ＝S (60)＝1 944.所以当休闲广场的长为60 m ，宽为40 m 时，绿化区域的总面积最大，最大面积为1 944 m 2.10．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：(1)若商品降低x 元，则一个星期多卖的商品为kx 2件． 由已知条件，得k ·22＝24，解得k ＝6.若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0，21]．(2)对(1)中函数f (x )求导得f ′(x )＝－18(x －2)(x －12)且f ′(x )的变化情况如下表：因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，f (21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．[B 能力提升]11．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( ) A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D ．12πr 2解析：选A.设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ， 则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21. 所以S ＝4πr 2r 21－r 41. 令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r . 此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22r 2＝4π·22r ·22r ＝2πr 2. 12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0，0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( )A ．0.016 2B ．0.032 4C ．0.024 3D ．0.048 6解析：选B.依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048 6kx 2，其中x ∈(0，0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.032 4时，y ′>0； 当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益． 13.如图，已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．解：设AD ＝2x (0<x <2)， 则A (x ，0)，AB ＝y ＝4－x 2，所以矩形面积为S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)， 即S ＝8x －2x 3，S ′＝8－6x 2， 令S ′＝0，解得x ＝23或x ＝－23(舍去)． 当0<x <23时，S ′>0；当23<x <2时，S ′<0，所以，当x ＝23时，S 取得最大值，此时S 最大值＝3239.即矩形的长和宽分别为83，433时，矩形的面积最大．14．(选做题)为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力，降低能耗从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价值a 万元的药品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a －x ) 和x 2的乘积成正比；②当x ＝a2时，y ＝a 3，并且技术改造投入比率为x2（a －x ）∈(0，t ]，t 为常数且t ∈(0，2]．(1)求y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y 的最大值及相应的x 值．解：(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2， 当x ＝a2时，y ＝a 3，即a 3＝k ·a 2·a 24，解得k ＝8.所以f (x )＝8(a －x )x 2. 因为0＜x2（a －x ）≤t ， 所以函数的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2at 2t ＋1. (2)因为f (x )＝8(a －x )x 2⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ≤2at 2t ＋1， 所以f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍去)或x ＝2a 3.当0＜x ＜2a 3时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上是增函数；当x ＞2a3时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞上是减函数． 所以x ＝2a 3为函数f (x )＝8(a －x )x 2的极大值点．当2at 2t ＋1≥2a 3，即1≤t ≤2时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝3227a 3；当2at 2t ＋1＜2a 3，即0＜t ＜1时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2at 2t ＋1＝32a 3t 2（2t ＋1）3.综上可得，当1≤t ≤2时，投入2a 3万元，y 的最大值为3227a 3；当0＜t ＜1时，投入2at 2t ＋1万元，y 的最大值为32a 3t2（2t ＋1）3.。
高中数学总结归纳 导数优化生活问题
导数优化生活问题五案例利用导数处理生活中的优化问题是新课标的一个考点, 它就是要把生活的实际问题先转化为一个数学问题,建立数学模型,再利用导数来求解函数的最优解.本文结合典型例题,对各类应用题进行讨论分析,供同学们复习参考.例1用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为(m)x ，则长为2(m)x ，高为181234.53(m)042x h x x -⎛⎫==-<< ⎪⎝⎭． 故长方体的体积为22323()2(4.53)96(m )02V x x x x x x ⎛⎫=-=-<<⎪⎝⎭． 从而2()181818(1)V x x x x x '=-=-．令()0V x '=，解得0x =（舍去）或1x =，因此1x =．当01x <<时，()0V x '>；当312x <<时，()0V x '<． 故在1x =处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值．从而最大体积233(1)91613(m )V V ==⨯-⨯=，此时长方体的长为2m ，高为1.5m ． 答：当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为33m ．点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的范围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。
例2 请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥。
试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO 1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m ）=于是底面正六边形的面积为：2262)42x x=⋅=+- m2帐篷的体积为231()2)(1)1(1612)232V x x x x x x⎡⎤=+--+=+-⎢⎥⎣⎦m3求导数，得2()3)V x x'=-令()0V x'=解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1<x<2时，()0V x'>,V(x)为增函数；当2<x<4时，()0V x'<,V(x)为减函数。
第十五节用导数解决生活中的优化问题
高考总复习•数学（理科） 所以切线AB的斜率k＝y′|x＝t＝－t， 所以切线AB的方程为y－(－ tx＋ t2＋2， t2＋2)＝－t(x－t)，即：y＝－
令y＝0得：x＝
，所以A
；
；
令y＝2得：x＝ t，所以B 所以S＝ 令f(t)＝t＋ ×2×2＝2 ，则f′(t)＝1－
；
， )，
令f′(t)＝0，得t＝
(舍去t＝－
高考总复习•数学（理科） 因为t∈(0， )时，f′(t)＜0，t∈( 所以f(t)有极小值为f( 所以t＝ ) ＝2 ，2) 时，f′(t)＞0 ，
每年生产的产品是________件．
高考总复习•数学（理科） 解析：由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20 000＋100x， 所以总利润函数为 P＝P(x)＝R(x)－C(x)＝
而P′(x)＝ 易知x＝300时，P最大． 答案：300
令P′(x)＝0，得x＝300，
高考总复习•数学（理科） 用料最省问题 【例3】
，该极小值也是最小值． . .
时，S有最小值为4
梯形ABCD的面积的最小值为4
高考总复习•数学（理科） 容积(体积)有关的优化问题 【例4】 用长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，
如果所制容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少 时容器的容积最大？并求出它的最大容积？
解析：设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5) m，高为：
1 当污染河道水中碱的浓度不低于 时，才能对污染产生有效的 3
抑制作用．
高考总复习•数学（理科） (1) 如果只投放 1个单位的固体碱，则能够维持有效的抑
导数——生活中的优化问题应用举例
导数——生活中的优化问题应用举例导言：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.本文主要阐述如何利用导数,解决一些生活中的优化问题.导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面: 1.与几何学有关的最值问题 2.与物理学有关的最值问题3.与利润及其成本有关的最值问题4.效率最值问题注意点：在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值.知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.典例剖析1.与几何学有关的最值问题例：（11江西文18）如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于点D,现将'',PDA .PDA PD PDA PBCD ∆∆⊥沿翻折至使平面平面 （1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为''.AC B DE ⊥的中点，求证：A 解：（1）设x PA =，则)2(31312xx x S PA V PDCB PBCDA -=⋅='底面- 令)0(,632)22(31)(32>-=-=x x x x x x f ，则232)(2x x f -='由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值。
第21讲 应用导数求解实际生活中的优化问题(解析版)-高考数学二轮复习
第21讲 应用导数求解实际生活中的优化问题一、知识与方法1生产,生活中的优化问题在一定条件下,“利润最大”用料最省”“面积最大”“效率最高”强度最大”等问题,在生产生活中经常用到,这些问题通常称为优化问题.解决优化问题的方法很多,如:判别式法、基本不等式法、线性规划及利用二次函数的性质等. 不少优化问题可以化为求函数最值问题,用导数法求最值是解这类问题的有效工具.2解决优化问题应当注意的问题（1）在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使()0f x '=的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点比较,也可以知道这就是最大(小)值.（3）在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.二、典型例题【例1】如图25-所示,羿形AOB 是一个观光区的平面示意图,其中AOB ∠的圆心角为23π,半径OA 为1km ,为了便于游客观光休闲,拟在观光区内铺设一条从人口A 到出口B 的观光道路,道路由弧AC ,线段CD 及线段BD 组成,其中D 在线段OB 上,且//CD AO ,设AOC θ∠=.(1)用θ表示CD 的长度,并写出θ的取值范围;(2)当θ为何值时,观光道路最长?【分析】解题时应充分利用正、余弦定理建立函数关系,并根据实际意义求自变量的范围,在求出用角θ表示的三角函数关系式后,通过求导探究问题中的最值是关键.【解西】(1)在OCD ∆中,由正弦定理,得sin sin sin CD OD CO COD DCO CDO==∠∠∠.又∵//,1,CD AO CO AOC θ=∠=2cos ,3CD πθθθ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,sin 0.cos ,23OD OD OB CD πθθθθθ=<∴<∴<<∴= θ的取值范围为0,.3π⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)设道路长度为()L θ,则()1cosL BD CD CA θθθθθ=++=++=cos 1,0,3πθθθθ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭()sin 1L θθθ'=-+,由()0L θ'=,得sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴6πθ=,列表如下：∴当6πθ=时,()L θ达到最大值,即当6πθ=时,观光道路最长.【例2】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为()r m ,高为()h m ,体积为()3V m ,假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元2/m ,底面的建造成本为160元2/m ,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V 表示成r 的函数()V r ,并求该函数的定义域;(2)讨论函数()V r 的单调性,并确定r 和h 为何值时,该蓄水池的体积最大.【分析】在求实际问题中的最大值或最小值时,一般先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域、利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合,用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据宋际意义该极值点也是最值,点.【解析】(1)蓄水池侧面的总成本为1002200rh rh ππ⨯=,底面的总成本为2160r π元,∴䕗水池的总成本为()2200160rh rππ+元. 根据题意得()22120016012000,30045rh r h r r πππ+=∴=-. 从而()23()30045V r r h r r ππ==-由0h >,且0r >,可得0r <<故函数()V r 的定义域为. (2)由(1)知()3()30045V r r r π=-,故()2()300125V r r π'=-. 令()0V r '=,解得125,5r r ==-(舍去).当[0,5)r ∈时,()0V r '>,故()V r 在(0,5)上为增函数;当r ∈时,()0V r '<,故()V r 在上为减函数.由此可知,()V r 在5r =处取得最大值,此时8h =.∴当5(m),8(m)r h ==时,该蓄水池的体积最大.三、易错提醒【例】从边长为2a 的正方形铁片的四个角各截去一小块边长为x 的正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,要求长方体的高度x 与底面正方形的比值不超过常数t ,问x 取何值时,长方体铁盒的容积V 有最大值.【错解】如图26-所示,22(22)4(),0V x a x x a x x a =⋅-=-<<,则22121644(3)()V x ax a x a x a '=-+=--∴0x a <<,则由0V '=得3a x =. 由题设22x t a x -,得2012ta x t <+, ∴V 在区间20,12ta t ⎛⎤ ⎥+⎝⎦上有唯一的极值点3a x =. 当3a x =时,231643327a a V a a ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭. 由本题的实际意义知,当3a x =时,V 有最大值31627a . （评析及正解上述解法看上去似乎天衣无缝,没有什么破绽,但问题出在没有对条件进行深入的讨论,没有讨论3a x =是否在区间20,12ta t ⎛⎤ ⎥+⎝⎦内,所以应该对此进行分类讨论. 【正解】 22(22)4(),0V x a x x a x x a =-=-<<则22121644(3)()V x ax a x a x a '=-+=--. ∴0x a <<,则由0V '=,得3a x =.由题设22x t a x -,得2012ta x t<+. ①当2312a ta t <+,即14t >时,由0V '=,得3a x =.这时V 在区间20,12ta t ⎛⎤ ⎥+⎝⎦上有唯一的极值点3a x =.由本题的实际意义知,当3a x =时,3max 1627V a =. ②当2312a ta t +,即104t <时,0V '.因而V 在区间20,12ta t ⎛⎤ ⎥+⎝⎦上单调递增. ∴当212ta x t =+时,V 有最大值23max 38281212(12)ta ta ta V a t t t ⎛⎫=-= ⎪+++⎝⎭ 因此,长方体铁盒的容积3max 33161,,27481,0.(12)4a t V ta t t ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪+⎩ 四、难题攻略【例】某企业拟建造如图27-所示的容器(不计厚度,长度单位:m ),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为380m 3π,且2l r ,假设该容器的建造费用仅与其表面积有关,已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分建造费用为(3)c c >千元,设该容器的建造费用为y 千元.(1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r .【分析】第（1）问，函数建模后，定义域必须优先考虑，不可忽视“2l r ”的作用;第(2)问,求函数最值,求导后必须对c 的取值进行分类讨论,当然本小题还可以结合基本不等式与导数一起考虑.【解析】（1）设容器的容积为V ,由题意知2343V r l r ππ=+.又803V π=, 故322248044203333V r l r r r r r ππ-⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭,由于2l r ,因此02r <. ∴建造费用2224202342343y rl r c r r r c r ππππ⎛⎫=⨯+=⨯-⨯+ ⎪⎝⎭. 因此21604(2),02y c r r rππ=-+<. （2）【解法一】(导数法) 由(1)得3221608(2)208(2)2c y c r r r r c πππ-⎛⎫'=--=- ⎪-⎝⎭,02r < 由于3,20c c >∴->,当3202r c =-时,r =m =,则()2228(2)0,()c m y r m r rm m r π->∴'=-++ E (i)当02m <<,即92c >时:当r m =时,0y '=;当(0,)r m ∈时,0y '<;当(,2)r m ∈时,0y '>.∴r m =是函数y 的极小值点,也是最小值点.(ii 当2m 即932c<时:当(0,2)r ∈时,0y '<,函数单调递减.∴2r =是函数y 的最小值点. 综上所述,当932c <时,建造费用最小时2r =;当92c >时,建造费用最小时r = 【解法二】（基本不等式法结合导数法)2380804(2)34(y c r c r r ππππ=-++-,当且仅当24(2)c r π-80r π=,即r =.当02<<,即92c >时,r =22,即932c <时,2160816y cr r r πππ'=--.(0,2)r ∈时,0y '<,函数单调递减.∴2r =是函数的最小值点.综上所述,当932c <时,建造费用最小时2r =;当92c >时,建造费用最小时r = 五、强化训练如图28-所示,某地有3家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点,A B 及CD 的中点P 处,已知20km,10km AB CB ==,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且与,A B 等距离的一点O 处建造一家污水处理厂,并铺设排污管道AO ,,BO PO ,记排污管道的总长为km y .(1)按下列要求写出函数关系:(1)设BAO θ∠=(rad ),将y 表示成θ的函数关系式;(2)设(km)PO x =,将y 表示为x 的函数.(2)选用(1)中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置,使铺设的排污管道的总长度最短.【解析】延长 PO 交 AB 于点 Q (如图所示).(1) 由题设可知 1102BQ AQ AB ===, ,10AO BO PO OQ ==-在 Rt AQO ∆ 中,10,10tan cos AO OQ θθ== ∴201010tan cos y AO BO PO θθ=++=+- 又易知 04πθ, 故 y 用 θ 表示的函数为 2010tan 100cos 4y πθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. (2) 由题设可知,在 Rt AQO ∆ 中, 222210(10)AO AQ OQ x =+=+-则 22210(10)y AO BO PO x x =++=++-显然 010x .∴y 用 x 表示的函数为 2220200(010)y x x x x =+-+.(2) 选用(1)中(1) 的函数关系 2010tan 100cos 4y πθθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 来确定符合要求的污水处理厂的 位置. 222222020sin 20sin cos sin 2sin 110tan 101010,1010cos cos cos cos cos cos y y θθθθθθθθθθθθ+-=-+=-⨯+∴'=-⨯=⨯由 0y '= 得 1sin 2θ=, 因为 04πθ, 哥 6πθ=. 当 0,6πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时, 0y '<; 当 ,64ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时, 0y '>. ∴ 函数 y 在 6πθ= 时取得极小值,这个极小值就是函数y 在 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上的最小值. 当 6πθ= 时, 10203cos 6AO BO π===.因此,当污水处理厂建在矩形区域内且到,A B两点的距离为km时,铺设的排污管3道的总长度最短.。
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生活中的优化问题举例1、如图所示，设铁路50=AB ，C B 、之间的距离为10， 现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路 费用为4，问在在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？2、一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为10海里/小时，燃料费每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？3、已知B A 、两地相距200km ，一条船从A 地逆水到B 地，水速为h km /8，船在静水中的速度为()08/v v h vkm ≤<，若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当h km v /12=时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？4、已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线24x y -=在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长。
5、扇形AOB 中，半径2,1π=∠=AOB OA ，在OA 的延长线上有一动点C ，过C 点作CD 与弧AB 相切于点E ，且与过点B 所作的OB 的垂线交于点D ，问当点C在什么位置时，直角梯形OCDB 的面积最小？6、从长为32cm 、宽为20cm 的矩形薄铁板的四角剪去边长相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？7、某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为t t 52+-(百万元)()50≤≤t(1)、若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)、现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额约为x x x 33123++-(百万元)；请设计一个资金分配方案，使公司由此获得的收益最大。
(注：收益=销售额-投入资金)8、一汽车以h km /50的速度沿直线行驶，同时一气球以h km /10的速度离开此车垂直上升，求1h 后他们彼此分离的速度。
9、设某物体一天中的温度()C T ︒是时间()h t 的函数：()()023≠+++=a d ct bt at t T ；0=t 表示12点，0>t ，表示12点以后，0<t 表示12点以前，若测得该物体在8点的温度为C ︒8，12点的温度为C ︒60，13点的温度为C ︒58，并且该物体的温度在8点和16点有相同的变化率。
(1)、写出该物体的温度T 与时间t 之间的函数表达式；(2)、该物体在10点到14点这段时间内(包括10点和14点)，在何时温度最高？最高值时多少？生活中的优化问题举例的答案1、设M 为AB 上的一点，且x MB =，则AM 上的运费为()x -502，MC 上的运费为22104x +，则由A 到C 的总运费为()()()50010045022≤≤++-=x x x x p()210042xx x p ++-='∴，令()0='x p ，解得310,331021-==x x (舍去) 当3310<x 时，()0<'x p ；当3310>x 时，()0>'x p ；∴当3310=x 时，()x p 取得最小值；∴在离B 点距离为3310的点M 处修筑公路至C 时，货物运费最省。
2、设速度为每小时v 海里的燃料费是每小时p 元，设3kv p =；由6,10==p v 得：3006.0;006.0v p k =∴=设当船的速度为每小时v 海里时，行1海里所需的总费用为q 元，则每小时所需的总费用为：96006.03+v (元)；而行1海里所需时间为v1小时，多以，行1海里的总费用为：()()8000012.096012.0;96006.096006.0132223-=-='∴+=+=v v v v q v v v v q 令0='q ，解得：20=v 当20<v 时，0<'q ；当20>v 时，0>'q ；∴20=v 时取得最小值；∴速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小。
3、设每小时的燃料费为1y ，比例系数为()0>k k ；则21kv y =，当12=v 时，7201=y2125;5;12720v y k k =∴=∴∙=∴设全程燃料费为y ，则()22218160001000;810008200--='∴-=-∙=v vv y v v v y y 令0='y ；解得16=v ；∴当160≥v 时，即16=v 时全程燃料费最省 当160<v 时，即(]0,8v v ∈时，y y ∴<',0在(]0,8v 上为减函数；0v v =∴时；81000020min-=v v y ； 综上所述，当160≥v 时，h km v /16=，全程燃料费最省，为32000元当160<v 时，则0v v =时全程燃料费最省，为8100002-v v 元。
4、如图；设矩形边长()202<<=x x AD ，则24x y AB -==()0>y ，则矩形的面积()()20422<<-=x x x s ，即328x x s -=268x s -='∴，令0='s ，解得332,33221-==x x (舍去)； 当3320<<x 时，0>'s ；当2332<<x 时，0<'s ∴当332=x 时，s 取得最大值，即3932max =s ∴矩形的边长为334、38时，矩形的面积最大。
5、如图所示，过D 作OA DF ⊥于F ，则OEC ∆≌DFC ∆；CD OC =∴；设()1>=x x OC 。
在CDF Rt ∆中，222DF CF CD +=，即();122+-=BD x x∴--=∴;12x x BD 梯形的面积()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∙+=1221212x x OB OC BD S⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='∴12212x x S ，令0='s ，解得332,33221-==x x (舍去)；当332>x 时，0>'s ；当3321<<x 时，0<'s ； ∴当332=x 时，s 取得最小值；∴当332=OC 时，直角梯形OCDB 的面积最小。
6、设去的正方形边长为x ；则容积()()()100220232<<--=x x x x v640208122+-='∴x x v ；令0='v ；解得340,421==x x (舍去)； 当40<<x 时，0>'v ；当104<<x 时，0<'v ；∴当4=x 时；()3max 1152cm v =∴去的正方形边长为4cm 时，箱子容积最大；最大容积是31152cm 。
7、(1)、设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为()t f (百万元)，则()()()204245222≤<+--=+-=-+-=t t t t t t t t f∴当2=t (百万元)时，()t f 取得最大值4百万元∴投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大。
(2)、设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为()x -3(百万元)()30≤≤x ，设由此获得的利润为()x g ，则()()()[]()30343133533313223≤≤++-=--+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=x x x x x x x x x g()42+-='∴x x g ，令()0='x g ；解得：2=x 或2-=x (舍去)当20<≤x 时，()0>'x g ；当32≤<x 时，()0<'x g ；()x g ∴在[]2,0上增函数，在[]3,2上是减函数∴当2=x 时，()x g 取得最大值∴将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的利益最大。
8、设时间为t ，路程为s ，则汽车与气球之间的距离为：()()()t t t t g 2610501022=+=；()2610='∴t s∴1h 后他们彼此分离的速度为h km /26109、(1)、由题意得：()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+++==+-+-∴⎪⎩⎪⎨⎧===-5860841664;58160084d c b a d d c b a T T T ； 该物体的温度在8点和16点有相同的变化率；()()c b a c b a T T c bt at T ++=+-∴'=-'∴++='848848;44;2320=∴b ；将0=b 代入上述方程组得：60,3,0,1=-===d c b a ；6033+-=∴t t T(2)、由(1)得，()()()()22113332≤≤-+-=-='t t t t t T ；令()0='t T 得1±=t 当t 变化时，()t T '和()t T 的变化情况如下表：t[)1,2--1-()1,1-1 (]2,1()t T ' + 0 -0 + ()t T可知1-=t 时是函数的极大值点，且极大值为()1;621==-t T 时是函数的极小值点，且极小值为()581=T ；而函数在区间[]2,2-的端点函数值为()()622,582==-T T ；∴当2=t 或1-时，()t T 取得最大值；∴在11点、14点时物体的温度最高，最高温度为C ︒62。