学院青年教师讲课比赛获奖课件--洛必达法则

原式 e 1 .
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
lim 例9. 求 x 0
解: 注意到
tan x x x 2 sin x
.
0 型 0
sec 2 x 1 3x 2
原式 lim
～ tan x x
x0
lim
x tan 2 x
3x
2
3
lim
x 0
x 0
sec 2 x 1 tan 2 x
xk
xn
x k 1
用夹逼准则
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说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x ,
e x ( 0)
后者比前者趋于 更快 . 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如,
用洛必达法则
例3. lim 而 例4. lim
x0
lim
例6. 求 lim (sec x tan x) .
x
2
型
1 sin x lim 1 sin x ) 解: 原式 lim ( cos x x cos x cos x x 2 2 cos x lim sin x x 2
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x sin x 例如, lim x x

1 cos x lim x 1
极限不存在
sin x lim (1 ) 1 x x
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三、其他未定式:
解决方法:
洛必达法则
型
f g 1 g 1 f 1 g 1 f
0 0 ,1 , 0 型

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洛必达法则
推论1. 定理 1 中 x a 换为
x a ,
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x) 理1条件, 则
x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
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例1. 求 解: 原式 lim
wenku.baidu.com
lim
x2 x
2
x 1
lim
x
x
1 1 1 1 2

思考: 如何求 lim
2
arctan n
1 n
n
( n 为正整数) ?
二、 型未定式
定理 2.
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2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 存在 (或为∞) 3) lim x a F ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim lim (洛必达法则) x a F ( x ) x a F ( x ) 注: 定理中 x a 换为 x a , x a , x , x , x 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
定理条件:
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 3) lim 存在 (或为 ) x a F ( x )
证: 无妨假设 f (a) F (a) 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 西定理条件, 故 f ( x) f ( x) f (a) f ( ) ( 在 x , a 之间) F ( x) F ( x) F (a ) F ( ) f ( ) 3) lim x a F ( )
1 3
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内容小结
00 ,1 , 0 型
洛必达法则
令
y fg
型
f g
11 g f 11 g f
0 型 0 型
取对数
0 型
f g f
1 g
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思考与练习
f ( x) f ( x) 极限 1. 设 lim 是未定式极限 , 如果 g ( x) g ( x) f ( x) 不存在 , 是否 的极限也不存在 ? 举例说明 . g ( x)
x 0
x sin x x sin x lim x0 x3 lim

x0
1 cos x 3x
2
x0
2 x 1 cos x ～ 1 2
1 x2 lim 2 2 x0 3 x
1 6
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作业：p-1327 习题3-2
1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),
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例7. 求lim x .
x 0
x
00 型
x ln x
解: lim x lim e
x0 x0
x
利用 例5
e0 1
例8
求 lim (cot x )
x 0
1 ln x
.
1 ln x
解 取对数得 (cot x )
e
1 ln(cot x ) ln x
,
1 1 2 1 lim ln(cot x ) lim cot x sin x x 0 ln x 1 x 0 x x lim x 0 cos x sin x
3 2
1 分析: 原式 lim 2 x0 3 sin x x 2 cos 1 x x
ln(1 x) ～ x
1 (3 0) 2
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3. 分析: 原式 lim
1 6
cos x ( x sin x)
2
sin x ～ x
lim cos x 1

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例3. 求
型
x
解: 原式 lim
例4. 求 lim
nx
1 x n 1
lim
1 nx
n
x
0
型
xn
x e x
(n 0 , 0) .
解: (1) n 为正整数的情形. n2 n x n1 n(n 1) x lim 原式 lim x x e x 2 e x n! lim n x 0 x e
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例4. 求 lim
xn
x e x
(n 0 , 0) .
(2) n 不为正整数的情形. 存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
x k x n x k 1
从而 由(1)
x x x e e e xk x k 1 lim x lim x 0 x e x e n x lim x 0 x e
0 型 0
x1
3x 3 2 3x 2 x 1
2
6x 3 lim x1 6 x 2 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
6x lim x1 6 x 2

6 lim 1 x1 6
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例2. 求
1
2
0 型 0
1 x 解: 原式 lim x 1 2 x
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第二节 洛必达法则
0 一. 不定式极限 0 二. 不定式极限
三.其他不定式极限
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函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究: 函数之商的极限
转化
(
或
型)
洛必达法则
导数之商的极限
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0 一、 型未定式 0
定理 1.

2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导,
f ( x) 3) lim 存在 (或为 x a F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim 则 x a F ( x ) x a F ( x )
)
(洛必达法则)
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0 型 0 型
令y f 取对数
g
0 型
f g f 1g
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例5. 求 lim x n ln x (n 0).
x0
0 型
1 x n 1
解: 原式 lim
ln x
x n x0 n x xn lim ( ) 0 n x 0
ln x x n x
n
x
0
0
(n 0) .
(n 0 , 0) .
x e x
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f ( x) 3) 若 lim 不存在 ( )时 , F ( x) f ( x) lim F ( x)

f ( x) lim . F ( x)