向量解题技巧

一、怎么样求解向量的有关概念问题 掌握并

理解向量的基本概念 1 .判断下列各命题是否正确 (1)若 a b,b c,则a c ；

b 是向量a b 的必要不充分条件;

AB DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;

二、向量运算及数乘运算的求解方法

两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差 是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a 与b 不共线，则a b

与a b 是以a 与b 为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐

标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若A(x i , y-i ), B(x 2, y 2)

B.内心

C.重心

例5设G 是 ABC 内的一点，试证明：

(1)若G 是为 ABC 重心，则GA GB BC 0 ；

⑵AB CD 的充要条件是 A 与C 重合,

B 与D 重

合。

(2)两向量a 、b 相等的充要条件是

a

且a 、b 共线;

(1)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则

AB

OB OA

例1 若向量

例2 若向量

1 3

A. -a -b [ 2

2

(X 2,y 2)(X i ,y i ) (x 2 X i ,y 2 y -)。

a (3,2),b

a (1,1),

b .1a 3b

2 2 在平面直角

C 满足OC OA OB ,

(0, 1),则2b a 的坐标是

(1, 1),c ( 1,2)则 c

c.|a

坐标系

其中

D.却 1b

O 为坐标原点，已知两点 A(3,1), B( 1,3),

1，则点C 的轨迹为()

A.3X 2y C.2x y

11 0 B.(x 0 D.X

1)2 (y 2y 5 0

2)2 O 是平面上一定点，A 、

B 、

C 是平面上不共线的三个点，动点P

满足

OP OA

(担AC

AB

AC

[0,

则P 的轨迹一定过 ABC 的()

A.外心

D.垂心

例3

⑵若GA GB BC 0,则G 是为 ABC 重心。

三、三点共线问题的证法

证明A,B,C 三点共线，由共线定理(AB 与AC 共线)，只需证明存在实数 ，使AB AC ,，其 中必须有

公共点。

共线的坐标表示的充要条件，若

a (x 1, y 1),

b (x 2, y 2)，则

a //

b a b ^y ? X 2y 1

0(x 1 y ? X z yJ

例1已知A 、B 两点，P 为一动点，且 OP OA tAB ，其中t 为一变量。

例3对于非零向量a 、b,求证：a 四、求解平行问题

两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关, 只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。

已知 M (1,0), N(0,1), P(2,1),Q(1,y)且 MN//PQ ，求 y 的值。

已知点A(1, 2)，若向量AB 与a (2,3)同向，AB 2jT3,则B 点的坐标是

五、向量的数量积的求法

求数量积： 定义法：

a ?

b a ? b

c os

坐标法： a?b X 1X 2 yy

当a//b 时， 0和 180 两种可能。故a?b a ?b

若平行四边形ABCD 的顶点A(

证明：1.P 必在直线 AB 上；2.t 取何值时,

P 为A 点、B 点?

例2证明：始点在同一点的向量

a 、

b 、3a 2b 的终点在同一直线上

(1) 求3a 若(a (1) 已知点 平面内给定三向量 a (3,2),b

b 2c;

(2)求满足 a mb

kb)//(2b a),求实数 k;

(x, y)满足(d c)//(a A(4,0),B(4,4),C(2,6)， b)且d

(1,2),c (4,1)，则: nc 的实数m 、n

1,求 d.

求

AC 与DB 的交点，P 的坐标。 1, 2),B(3, 1),C(5,6),求顶点 D 的坐标。

一些重要的结论： a 2

a?a

a 2； (a b)2 a 2 2a?

b b 2； (a b)(a b) a 2 b 2

例2在ABC 中AB (2,3), AC (1,k),且 ABC 的一个内角为直角，求 k 的值。

例1设a, b,c 是任意的非零的向量，且相互不共线，则

①(a?b)c (c?a)b 0;②

其中是真命题的为( )

A ①②

B ②③

C ③④

D •②④

值等于

六、如何求向量的长度

2

22 cc —

2—

a 2a?

b b

七、如何求两向量的夹角

③(b?c)a (a ?c) ?b 不与c 垂直④(3a 2b)(3a

2b) 9a 2

4b

例2已知平面上三点 A 、B 、C ，满足AB

3, BC 4, CA 5,贝U AB?BC BC?CA CA?AB 的

例3已知向量a 和b 的夹角为120，且a

2,b 5,则(2a b)?a

形如 a b 的模长求法：先平方

转化为含数量积运算

开方，即:

例1 已知向量a,b, a

b 4,a 与b 的夹角为60 ,则a b

a b 与a 方向的夹角为

,a b 与a 方向夹角为 例2设向量a, b 满足a

1, 3a 2b 3,求 3a b 的值。

a?b

夹角公式：cos

X 1X 2 %丫2

例1已知

10, b 12,且(3a)?(1b) 5

36,求a,b 的夹角

例2若e ,与e 2是夹角为60的单位向量，且 a 2e 1 e 2,b

3e 1 2e 2,求a?b 及a 与b 的夹角。

八、垂直问题的求解 向量垂直的充要条件: a b a ?b X 1X 2 % y 2

例1若向量a,b 满足

a b,则a 与

b 所成的角。