一元函数微分学及其应用练习题与自测题
一元函数微分学练习题
第一部分、一元函数微分学习题集1一、选择题1.下列命题正确的是（ ）0(A)()lim ().x x f x x f x →=∞若在的任意空心邻域内无界，则0(B)lim (),().x x f x f x x →=∞若则在的任意空心邻域内无界(C)lim (),lim ().x x x x f x f x →→=∞若不存在则1(D)lim (),lim.()x x x x f x f x →→=∞若=0则 2.{}n x 关于数列下列命题正确的个数是（ ）{}(1)lim .n n n x A x →∞⇒若=存在有界(2)lim lim .n n k n n x A k x A +→∞→∞=⇔=存在对任意确定正整数有221(3)lim lim lim .n n n n n n x A x x A -→∞→∞→∞=⇔==存在1(4)lim lim1.n n n n nx x A x +→∞→∞=⇒=存在(A)1 (B)2 (C)3 (D)43. 下列命题正确的是( )00,0()()lim (),lim ()x x x x x x f x g x f x A g x B A B δδ→→∃><-<>==>(A)若当时， 且均存在，则0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<>(B)若，则，当时 00lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<≥(C)若，则，当时0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→>∃><-<>(D)若，则，当时4 ()()()cos 1sin ,02x x x x x x πααα-=<→设,当时( )x (A)比高阶的无穷小 x (B)比低阶的无穷小 x (C)与同阶但不等价的无穷小 x (D)与是等价的无穷小5. 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( )(A) 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ）1,4k c == （D ）3,4k c ==- 6.20()sin ()ln(1)x f x x ax g x x bx →=-=-当时，与是等价无 a 穷小,则=( )b=( )1111(A)1,(B)1,(C)1,(D)1,6666a b a b a b a b ==-===-=-=-=-7.设()(1231,1,1a x a a =-=+=.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( ) （A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a8.(](](),lim (),(),x f x b f x A f x b →-∞-∞=-∞设在上连续,则存在是在上有界的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9.[]11()tan (),( ) ()xxe e xf x x x e e ππ+=-=-设在上的第一类间断点是0 1 22ππ(A) (B)(C)- (D)10. 1()( )(1)ln xx f x x x x-=+函数的可去间断点的个数为0 1 2(A) (B)(C) (D)311.()20sin ()lim 1,( ) x tt t f x x →⎛⎫+-∞+∞ ⎪⎝⎭函数=在内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点12.曲线y= 1ln(1)x e x++, 渐近线的条数为 ( )A.0B.1C.2D.313. 已知()f x 在0x =附近有定义，且()00f =，则f(x)在0x =处可导的充要条件为 ( )（A ）()22limx f x x →存在. （B ）()1lim xx f ex→-存在.(C) ()201cos limx f x x →-存在. (D)()02()lim x f x f x x→-存在.14. 已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导15. 已知函数()2321cos ,0()arcsin ,0x x f x xg x x x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩，其中g (x )是有界函数，则f (x )在x =0处（ ） （A ）极限不存在 （B ）极限存在但不连续 （C ）连续但不可导 （D ）可导16.[]0(),(0)1y f x f δδδ∃>=-=若使得在上有定义,且满足20ln(12)2()lim 0()x x xf x x →-+=，则 ''(A)()0 (B)()0(C)()0(0)0 (D)()0(0)1f x x f x x f x x f f x x f ======在处不连续在处连续但不可导在处可导，且在处可导，且17.'1cos ,0()()00, 0x x f x f x x x x αβαβ⎧>⎪==⎨⎪≤⎩设，(>0,>0),若在处连续，则( )(A) 1 (B)0 1 (C) 2 (D)0 2 αβαβαβαβ-><-≤-><-≤18.()2()cos ln 1lim 1?n y f x xy y x f n →∞⎡⎤⎛⎫=+-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦设是由所确定,则n （ ）(A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2--19.()()''0,()0 , f x f x +∞>设函数在上具有二阶导数，且 令(),1,2,3,,n u f n n ==则下列结论正确的是( ).{}{}{}{}12121212(A), (B),(C), (D),n n n n u u u u u u u u u u u u >><<若则必收敛若则必发散若则必收敛若则必发散20.()()()2'2arctan limx f x x f x xfx ξξ→==设，若则=( )211(A)1 (B) (C) (D)32321.21,y ax b y x a b x=+=设直线同时与曲线及y=相切，则为( )(A)4, 4 (B)3, 4(C)4, 3 (D)3, 3a b a b a b a b =-=-=-=-=-=-=-=-22.()()()0,()0,()gf xg x g x g x a x ''<=设函数具有二阶导数，且若是()()0f g x x 的极值，则在取极大值的一个充分条件是( )(A) ()0f a '< (B)()0f a '> (C)()0f a ''< (D)0)(>''a f 23.设函数0()y f x x =在的某邻域内具有二阶导数，且0''0()lim 0x x f x A x x →=<-，则（ ） ()()0000(A)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凹的，当时是凸的()()0000(B)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凸的，当时是凹的()00(C)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凹的()00(D)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凸的 24. 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则 ( ) （A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点25.''22()()(1,1)2()f x y f x x y f x =+=设 不变号，且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间(1,2)内( ).(A), (B),(C), (D),有极值点无零点无极值点有零点有极值点有零点无极值点无零点26.设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且''0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲率2()y f x =的曲率，则在0x 的某个邻域内，有 （ ）（数一、二做）12(A)()()()f x f x g x ≤≤ 21(B)()()()f x f x g x ≤≤ 12(C)()()()f x g x f x ≤≤ 21(D)()()()f x g x f x ≤≤ 27.设商品的需求函数为()215()150082Q p p p p =--<<其中Q ， p 分别为需求量和价格，ε为商品需求弹性，若1ε<，则p 的取值范围 （ ）（数三做）(A)03p << (B)58p << (C)35p << (D)05p <<二、填空题 1. 212lim tan1x xx x →∞-=+ . 2. 0ln(1sin )lim cos 1x x x x →+-= .3.cos 0x x →= .4. tan sin 0limx xx e e →=- .5.limx →∞= .6.(lim sin x →∞-= .7.设0()ln 1lim 3x f x x x x→⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，则20()lim x f x x →= .8. []()21cos ()()lim 1(0) 1()xx xf x f x f ef x →-==-已知函数连续且，则 . 9. 已知函数()f x满足x →=02，则lim ()____x f x →=0.10.20()()x x kx x αβ→==当时，与 k 是等价无穷小则= .11.3231lim (sin cos )2x x x x x x x →∞+++=+求 .12.20ln cos lim _________.x xx →=13. 30arctan sin lim x x x x →-⎛⎫=⎪⎝⎭求 .14.()11lim _________nn n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭.15.101+2lim 2xxx →⎛⎫= ⎪⎝⎭求 . 16.10ln(1)lim 2xx x x →+⎛⎫-= ⎪⎝⎭.17.20lim x x →-= .18.21lim tan 4n n n π→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭.19.21000lim xx e x--→= .20.()2224cos limx x e x x xe ex-→-= .21.若2260sin 3()lim 0x x x f x x→+=，则403()lim →+=x f x x . 22.()21,()=, .2, x x cf x c x c x ⎧+≤⎪-∞+∞=⎨>⎪⎩设函数在内连续则23. x =0是1()1arctanf x x x=-的 间断点.24. x =1是221()lim 1n nn x f x x →∞-=+的 间断点. 25. 曲线()322arctan 11x y x x=+++的斜渐近线方程为 . 26. 曲线1y x =-+的水平渐近线方程为 ，垂直渐近线方程为 ，斜渐近线方程为 .27.1()(()) .21,1x edyx f x y f f x dx x x =⎧≥===⎨-<⎩设，,则28.'()y f x f =设是以3为周期的周期函数，且(7)=1,则(1)(13tanh)lim.h f h f h→+--=29.'f 设(1)=1,则0(1)(12sin )lim .2sin x f x f x x x→+--+=30. ()2()1,0lim . 2n n y f x y x x nf n →∞⎛⎫==-=⎪+⎝⎭曲线和在点处有切线,则31.111cos '1(0)1(0)3lim . nn n f f f n -→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭设，,则32. 2cos cos .41sin x t t t y tπ⎧=+=⎨=+⎩曲线上对应于点的法线斜率为33.()21ln(1),()2arctan x t t y f x y t ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩设为参数则在任意点处的曲率22 ,() .()d yK dx==数一、二做数三做34.曲线arctan y x=在(1,0)点的切线方程为 .35. 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为 .36.()12 ln 0(0)13n x y x n y x -===+函数在处的阶导数 . 37.()2()sin cos (0).n f x x x x f=设 ,则 =38.()23 ()3+ 0, f x x Ax x A A -=>设为正常书，则至少取时f(x)20.≥有39. 若曲线y x ax bx =+++3214有拐点(1,3),则b=_____________.40. 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为_________. （数学一、二做） 41.已知动点P 在曲线3x y =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l 。
高数(一元函数微积分)试卷含答案
《高等数学》（一元微积分）考试试卷试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分 一、填空题：(共5小题，每小题2分，共10分) 1. 函数5()(3)(4)(5)x f x x x x -=---无穷型间断点是 34x x ==， ；2. 曲线()2132x f x x x -=-+的水平渐近线有 0y = ；3. 定积分141(sin +)d x x x x -=⎰23；4. 设方程23210x xy y -+-=确定函数()y y x =,则d d x yx-=32; 5.不定积分(x x x =⎰ 5321235x x C ++ .二、单项选择题： (共5小题，每小题2分，共10分) 1.若函数2sin x 是()f x 的一个原函数，则()f x =（C ）. (A) 2sin x C + (B) 22sin x x (C) 22cos x x (D) 2sin x 2. 函数()3f x x=在[0,3]上满足拉格朗日中值定理中的ξ=（C ）. (A)(D) 以上都不对 3.设)(x f 在[]b a ,上连续，且t x 与无关，则（ B ） （A ）()d ()d bbaatf x t t f x t =⎰⎰ （B ）()d ()d bbaatf x x t f x x =⎰⎰（C ）()d ()d b b aatf x x f x t x =⎰⎰ (D) ()d ()d b baaf tx x t f x x =⎰⎰4. 下列广义积分收敛的个数是（ B ）. (1)211d x x +∞⎰；（2）31d ln x x x +∞⎰；（3）1211d x x -⎰；（4）10x ⎰ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5.曲线21e x y += 在(,0)-∞内是（ A ）.（A ）凹曲线 （B ）凸曲线 （C ）增加曲线 （D ）有界曲线.三、判断题：（正确的填对，错误的填错）：(共5小题，每小题2分，共10分) 1.一切初等函数在其定义域内连续（ 错 ）；2.区间上连续函数一定存在最大值与最小值（ 错 ）；3.闭区间上连续函数一定可积（ 对 ）；4.函数()f x 在点0x 连续是在点0x 可导的必要条件（对 ）；5. 若()f x 连续，则21()d ()d 2a axf x x f u u =⎰⎰（ 错 ）.四、计算下列各题:(共7小题，每小题5分，共35分) 1.求极限 3lim()3xx x x →∞+-, 解 36663366lim()=lim(1+)=lim(1+)333x xx x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞+=---.2. 求极限2030lim(cos 1)t t xt t-→+⎰．解: 原式2301lim 2tt x t -→==⎰200112sin()1lim 2233t t t t t --→→-==-. .3.设20,()1x x f x e ax bx →=---是2x 的高阶无穷小，求,a b .解 由220012lim0,lim 012x x x x e ax bx e ax b b x x→→-----==⇒=， 021lim 022x x e a a →-=⇒=.4.已知1ln1xy x-=+，求d y ； 解 221(1)(1)21(1)11x x y x x x x-+---'==-+-+，22d =d 1y x x--.5. 设sin 1cos .x t t y t =-⎧⎨=-⎩，求d d y x 与22d d yx .解d sin =d 1cos y tx t-， 222d sin 11=1cos 1cos d (1cos )y t t t x t -'=---（）.6. 求不定积分sin cos d sin cos x xx x x-+⎰．解 原式22(sin cos )11d d(sin cos )(sin cos )(sin cos )sin cos x x x x x C x x x x x x'+=-=-+=++++⎰⎰ . 7. 求定积分120e d x x x -⎰.解 12201e d =13e )4x x x ---⎰（五、解答下列各题(共3小题，每小题10分，共30分).1．试问a 为何值时，函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．解 因为2()3f x x a '=+．函数()f x 在1x =处取得极值，则(1)0f '=，得3a =-．由()6f x x ''=，得(1)60f ''=>，故函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极小值，此极小值为2021.2. 设函数1sin ,0,()0,0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（2）220,()2sin cos ()2sin cos x f x x x x x x x x x'≠=+⋅-=-.3．设抛物线2(0),y x x =≥与直线1,0y x ==所围图形为D ， （1）求D 的面积；（2）求图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.六、证明题(共1小题，5分，) .证明方程5310x x -+=在0,1（）内至少有一个实根.证明 令5()=31f x x x -+，由于()f x 在[0,1]上连续，且(0)=10,(1)10f >=-<，则零点存在定理。
第二章 一元函数微分学测试卷
第二章 一元函数微分学测试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共计15分）1．设()f x 在0x x =可导，则下列各式中结果等于0()f x '的是 （） A ．000()()lim x f x f x x x∆→-+∆∆；B ．000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆C ．000(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-∆； D ．000(2)()lim x f x x f x x x∆→+∆-+∆∆． 2．函数()1f x x =-（）A ．在1x =处连续可导B ．在1x =处不连续C ．在0x =处连续可导D ．在0x =处不连续 3．设x x y =,则='y（ ）A ．)1(ln +x x xB ．)1ln (+x x x xC ．x x x lnD ．x x4．若函数()f x 在[],a b 上连续，在),(b a 内可导，且（ ）时，则在(),a b 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立．A ．()()f a f b =；B ．()()f a f b ≠；C ．0)()(>b f a f ；D ．0)()(<b f a f ． 5．若()f u 可导，且()x y f e =，则有dy（ ）A ．()x f e dx '；B ．()x x f e de ；C ．[()]x x f e de '；D ．[()]x x f e e dx '．二、填空题（每小题3分，共计15分）1．已知 2ln sin y x =，则y '= ； 2．求极限：1lim1ln xx x xx x→--+= ；3．已知曲线方程为2323x t t y t t ⎧=-⎨=-⎩，则()y x ''= ； 4．已知函数410()3f x x e =，则(10)y = ； 5．曲线ln sec y x =在点(,)x y 处的曲率半径为 ； 三、计算题（每题5分，共30分）1．1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+2．tan 0lim x x x +→3．0limln(1)x x x x→+-4.已知ln(y x =-，求()y x ¢5.已知 y x x y =，求d y d x四、解答题（每题8分，共40分）1、设曲线)(x f y =与x y sin =在原点处相切，求极限)2(lim nnf n ∞→ 2、当20π<<x 时，证明xx x <<sin 2π.3.若曲线32y ax bx cx d =+++在点0x =处有极值0y =，点(1,1)为拐点，求,,,a b c d 的值.4.已知221sin ,0()0,01sin ,0x x x f x x x x x ìïï<ïïïï==íïïïï>ïïïî，讨论()f x 的连续性与可导性. 5.用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物，已知每次拖4只小船，一日能来回16次，每次拖7只，则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？参考答案：一、选择题：（每小题3分，共计15分）1-5． DCAAC二、填空题（每小题3分，共计15分）1．22cot x x ；2． 2；3．34(1)t -；4．0；5．232sec (1tan )xx +三、计算题（每题5分，共30分）1．1ln(1)lim cot x x arc x→+∞+222211()11ln(1)11:limlim lim1cot 122limlim1212x x x x x xxx xarc x x x xx x →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⋅-+++==+-+===+解2．tan 0lim xx x+→tan 221ln :lim lim exp tan ln exp lim exp lim cot csc sin exp lim 1xx x x x x x x xx x xx x e x+++++→→→→→===--===解3．0limln(1)x x x x→+-:limtan 1cos lim ln(1)11cos 1sin limlim12ln(1)2111sin (1)1lim22x x x x x x x xx xx x x x xx x x→→→→→=-=⋅+--==+--++==--解原极限4.已知ln(y x =-，求()y x ¢12211(1)2:x xy---⋅'===-解5．已知y xx y=，求d yd x: :ln lnln lnlnlnlnlny x x yy yy x y xx yyyx y yxyx y x xxy=''+=+⋅--'==--解两边取对数得四、解答题（每题8分，共40分）1、解:因为曲线)(xfy=与xy sin=在原点处相切,000,sin0(0)0,cos1,(0)1x xx y fy x f======''===当时且则00lim lim2()()()(0)lim lim lim(0)120limn nn x xnff x f x fn fx xn→∞→∞→∞→∞→→→∞→∞∴==-'====-∴==2、sin,(0,]:()21,0xxf x xxπ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩证明构造函数2cos sin ()[0,](0,),(0,),()<0 222x x xf x x f xx πππ-'∴∀∈=在上连续.在内可导且对于总有2sin ()[0,],(0,),()<()<(0)1,2222s 2s in n <1,i #<x f x x f f x f xx xx x x ππππππ<<∴∀∈===在上单调递减所以有即所以3.32:00,y ax bx cx d x y =+++==解在处有极值232,(0)0,(0)=0(1,1)62(1)=620(1)113,2213,,0,022y ax bx c y c y d y ax b y a b y a b c d a b a b c d '=++'∴===''=+''∴+==+++==-=∴=-===为拐点,解得4.已知221sin ,0()0,01sin ,0x x x f x x x x x ìïï<ïïïï==íïïïï>ïïïî，讨论()f x 的连续性与可导性.22222:(00)lim (00)lim (00)(00)(0)0()0,R (0)lim 1sin1sin1sin1sin1sinlim 0(0)lim 1sinlim 0()0x x x x x x f f f f f f x x f x x xx xx xxx f x x x xf x x -+--++→→-→→+→→-=+=-=+==='==-'====-=--=解所以在处连续从而在上处处连不存在在所以续处不可导5.用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物，已知每次拖4只小船，一日能来回16次，每次拖7只，则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？:,.744121610162(12)2(12)012,0,12,n x z y nxz x n x nn y n zy n zy n y z n y =--=⇒=---∴=-'=-'''===-<=解设每日来回次每次拖只小船每只小船的运货量为 则一天的运货总量为令得故时最大所以每日来回12次,每次拖6只小船能使运货总量达到最大.一元函数微分学测试卷（B ）一、单项选择题：（每小题3分，共计15分） 1．设()f x 在x a =可导，则0()()limx f a x f a x x®+--=（ ）A ．()f a ¢B ．2()f a ¢C ．()f x ¢D ．(2)f a ¢ 2．下列结论错误的是（ ） A ．如果函数()f x 在x a =处连续，则()f x 在x a =处可导B ．如果函数()f x 在x a =处不连续，则()f x 在x a =处不可导C ．如果函数()f x 在x a =处可导，则()f x 在x a =处连续D ．如果函数()f x 在x a =处不可导，则()f x 在x a =处也可能连续 3．在曲线ln y x =与直线x e =的交点处，曲线ln y x =的切线方程是 （ ）A ．0x ey -=B ．20x ey --=C ．0ex y -=D ．0ex y e --=4. 若函数()f x 在[],a b 上连续，在),(b a 内可导，则()f x '在(),a b 内 （ ）A ．只有一实根B ．至少有一个实根C ．至少有两个实根D ．没有实根 5．2cos 2y x =，则dy =( )A ．2(cos 2)(2)x x dx ''B ．2(cos 2)cos 2x d x 'C. 2cos 2sin 2x xdx -D. 2cos 2cos 2xd x二、填空题（每小题3分，共计15分） 1．已知 1arctan 1x y x+=-，则y '= ；2．求极限： 21sin(1)lim1x x x →--= ；3．已知曲线方程为cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩，则()y x '= ；4．已知函数ln y x x =，则(10)y = ；5．椭圆2244x y +=在点(0,2)处的曲率为 ； 三、计算题（每题5分，共30分） 1．求011lim ()1xx xe ®--2．求()1lim 1sin x x x ®+3．0limx ®4. 已知xx xxe e y e e---=+，求()y x ¢5. 已知 ln y x y =+，求d y d x四、解答题（每题8分，共40分） 1、设22ln(1)lim2x x ax bxx®+--=，求,a b 的值.2. 已知4321y x x =-+，求其单调区间，极值点，凸凹区间及拐点.3、已知221sin ,0()0,0x x f x x x ìïï¹ï=íïï=ïî，讨论()f x 的连续性与可导性.4. 设()f x 在[]0,a 上连续，()0,a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=5.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m ,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角θ 最大) ?参考答案：一、单项选择题：（每小题3分，共计15分）1-5 BAABD二、填空题（每小题3分，共计15分）1．211x+；2．2；3．cot b t a-；4．98!x；5．2三、计算题（每题5分，共30分）1．求011lim ()1xx xe ®--1111lim ()limlim1(1)(1)11limlim112xxxxx xx xx xxxxx xe x e xe x e e xeee e xex解： ----==---+===++++2．求()1lim 1sin x x x ®+()()111ln(1sin )lim 1sin lim exp[ln 1sin ]exp lim sin exp limx x xx x x x x x xxe ex解： ®++=+====3．0limx ®1.41.8θ332212limlimlim1sin 236limlim61cos sin x xx x xxxx xxx xx解： ==-===-4. 已知x x xxe e y e e---=+，求()y x ¢22()()()()4()()()x xxx xxxxxxxxe ee e e ee e y x e ee e解：------++---¢==++5. 已知 ln y x y =+，求d y d xln 111y x y dy dy dx y dxdy y dx y 解：=+=+=-四、解答题（每题8分，共40分）1、设22ln(1)lim2x x ax bxx®+--=，求,a b22222212ln(1)1limlim22120lim[2]011lim[2]1111212ln(1)(1)1limlimlim22215lim22(1)2x xx x x xx x a bx x ax bxxxxx x a bx xa bx xbbx x ax bxx xxxb x 解：且当为无穷小，即 ®® ®--+--+==甛--=+=-=+----+--++\===-\=-=-+2. 已知4321y x x =-+，求其单调区间，极值点，凸凹区间及拐点.43322122:21462(23)300,2121212(1)0,01y x x y x x x x y x x y x x x x y x =-+'=-=-'===''=-=-''==解令得驻点为时或33311(,),(-,),(,)22216(-,0)(1,),(0,1),(0,1)(1,0).∞∞-∞∞单调增区间为单调减区间为极小值点为凹区间为及凸区间为拐点为及3、已知221sin ,0()0,0x x f x x x ìïï¹ï=íïï=ïî，讨论()f x 的连续性与可导性. 222221:lim ()lim sin(0)0()0,()R 1sin 0()(0)1(0)limlimlim sin()0,()R .x x x x x f x x xf f x x f x x f x f xf x x xxf x x f x →→→→→===∴=--'====-∴=解在处连续则在上处处连续在处可导则在上处处可导4. 设()f x 在[]0,a 上连续，()0,a 内可导，且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=[]():()=(),()0,,0,,F(0)=F()=0,,(0,),F ()=0.()()0#x xf x x a a a a f f ξξξξξ''∃∈+=证明令F 则F 在上连续在内可导且从而满足罗尔中值定理条件所以使得即5.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m ,问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角θ 最大) ?2222222221.4 1.8 1.8arctanarctan ,(0,)3.2 1.8 1.4( 5.76)3.2 1.8( 3.2)( 1.8)0, 2.4(0m,,,, 2.4 ,)m .x x x x x x x x x x 则令得驻点根据问题的实际意义观察者最佳站位存在驻点又唯一因此观察者站在距离墙处看图最解：设观察者清楚与墙的距离为q q q +=-? ---¢=+=++++¢==?1.4 1.8。
一元函数微分学模拟试卷5(题后含答案及解析)
一元函数微分学模拟试卷5(题后含答案及解析)全部题型 2. 数学(选择题) 3. 数学(填空题) 4. 数学(解答题) 数学部分单项选择题1．若函数y＝f(x)有fˊ(x0)＝1／2，则当△x→0时，该函数在x＝x0点外的微分dy是( )．A．与△x等价的无穷小B．比△x低阶的无穷小C．比△x高阶的无穷小D．与△x同阶的无穷小正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学2．A是n阶矩阵，且A3＝0，则( )．A．A2-A＋E与A2＋A＋E均可逆B．A可逆，E＋A也可逆C．A不可逆，且A2必为0D．A不可逆，E-A也不可逆正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学3．设f(x)是连续函数，F(x)是，f(x)的原函数，则A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学4．若f”(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学5．设向量β可由向量组α1，α2，...，αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...，αm-1线性表示，向量组(Ⅱ):α1，α2，...，αm-1,β，则A．αm不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．B．αm不能由(I)线性表示，也可能由(Ⅱ)线性表示．C．αm可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．D．αm可由(I)线性表示，也不可由(Ⅱ)线性表示．正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学6．若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则A．α必可由β，y，δ线性表示．B．β必不可由α，γ，δ线性表示．C．δ必可由α，β，γ线性表示．D．δ必不可由α，β，γ线性表示．正确答案：C 涉及知识点：一元函数微分学7．设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能南α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关．C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．D．α1，α2，α3，kβ1+kβ2线性相关．正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学8．设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．正确答案：A 涉及知识点：一元函数微分学9．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是A．λ1≠0B．λ2≠0C．λ1=0D．λ2=0正确答案：B 涉及知识点：一元函数微分学10．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m ×n矩阵，下列选项正确的是A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs。
一元函数微分学
第二章一元函数微分学一．先回顾导数的定义：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为．注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义：1．=；2．；要特别关注处的导数有特殊形式：（更特别地，要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数在处可导的充要条件是对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知=A，试求下列极限的值（1）（2）。
例2．研究函数在处的可导性.解：因为同理，可求得.由于，所以在处不可导。
（记住这个结论）练习：设在处可导，求的值.解：（一）因为在处可导，从而在处也连续.所以，即（二）由得.例3．已知，试求在处的导数.解：因为，所以，由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.如把函数在一点处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。
这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如：，求.二．导数的几何意义关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。
一种题型是选择题或判断题。
比如：若函数在处可导，则曲线在处必有切线；（√）；反之，若曲线在处有切线，则在处必可导，则（×）.另一种题型是根据几何意义找切线.例4．求曲线与直线垂直的切线.解：设切点.切线斜率由题意，即故切线方程为下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来.例5．设为连续函数，且求曲线在点处的切线方程。
（08年研究生考试题）解：由于，且故（前面已讲过理由）而，所以，切线方程为三．导数的四则运算四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。
下面举几个小例子.例6．求的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：.例7．设求此题应先化简再求导：注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混.例8．求的导数.解：.四．反函数求导法则若函数，其反函数为.若在的某邻域内连续、严格单调且，则在点可导，且.例9．求的导数.解：设原函数，则其反函数为.根据反函数求导法则.有.五．复合求导法则大家可能还有印象，复合函数的导数是.（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？）如果记，则，故此题恰好满足等式：（*）这是否是巧合的？我们说不是.事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理:若函数在可导，而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导，且或（或.注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如：对函数，如记，则各变量间的关系是：有上式可通过连续使用两次链式法则得到。
考研数学二(一元函数微分学及应用)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在x=a处可导，则等于( )．A．f’(a)B．2f’(a)C．0D．f’(2a)正确答案：B解析：应选(B)．知识模块：一元函数微分学及应用2．F(x)=cosx｜sin2x｜在(0，2x)内( )．A．有一个不可导点B．有两个不可导点C．有三个不可导点D．可导正确答案：D解析：当x=时，F(x)=0．同理=0，故F(x)=cosx｜sin2x｜在(0，2π)内可导，应选(D). 知识模块：一元函数微分学及应用3．设f(x)=则f(x)在x=1处( )．A．极限不存在B．极限存在但不连续C．连续但不可导D．可导正确答案：D解析：由f(1-0)=f(1)=1，f(1+0)=1得f(x)在x=1处极限存在且连续因为f’-(1)=f’+(1)=2，所以f’(1)=2，应选(D)．知识模块：一元函数微分学及应用4．设f(x)可导，且F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)在x=0处可导，则( )．A．f(0)=0B．f’(0)=0C．f(0)=f’(0)D．f(0)=-f’(0)正确答案：A解析：F(0)=f(0)，因为F(x)在x=0处可导，所以F’-(0)=F’+(0)，于是f(0)=0，故应选(A)．知识模块：一元函数微分学及应用5．曲线上t=1对应的点处的曲率半径为( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：知识模块：一元函数微分学及应用6．下列曲线有斜渐近线的是( )．A．y=x+sinB．y-x2+sinxC．y=sinD．y=x2+sin2x正确答案：A解析：由=0得曲线y=x+sin有斜渐近线y=x，应选(A)．知识模块：一元函数微分学及应用填空题7．设f(x)=可导，则a=________，b=______．正确答案：a=3，b=-2．解析：f(1-0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因为f(x)在x=1处连续，所以a+b=1；因为f(x)在x=1处可导，所以a=3，故a=3，b=-2．知识模块：一元函数微分学及应用8．的斜渐近线为______正确答案：y=-x-2及y=x+2．解析：y=x+2为曲线的另一条斜渐近线．知识模块：一元函数微分学及应用解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
02一元函数微分学练习试题.docx
第二部分一元函数微分学[ 选择题 ]1. 若f x点 x x0处可导，则下列各式中结果等于f x0的是 [].f x0 f x0x（ B）lim f x0x f x0（ A）limx0x x0xf x0 2 x f x0（ D）lim f x0 2 x f x0x（ C）limx xx0x02.下列结论错误的是 [ ]（ A）如果函数f x 在点 x x0处连续，则f x 在点 x x0处可导（ B）如果函数f x 在点 x x0处不连续，则 f x 在点 x x0处不可导（ C）如果函数f x 在点 x x0处可导，则f x 在点 x x0处连续（ D）如果函数f x 在点 x x0处不可导，则 f x 在点 x x0处也可能连续x 2x 0x 在点x0 处[ ]3. 设f x1，则 fx3x＞0（A）左导数不存在，右导数存在（B）右导数不存在，左导数存在（C）左、右导数都存在（D）左、右导数都不存在4.若曲线 y x2ax b 和 y x3x 在点（1，2）处相切（其中a, b是常数），则a, b之值为 [ ].（ A）a2, b1（ B）a 1, b3（ C）a0, b2（ D）a3, b 15.设 f x cosx,则 lim f a f ax[]x0x（ A）sin a（B）sin a（ C）cosa（ D）cosa6. 设f x二阶可导，y f 1nx , 则y[]（ A ） f ' ' 1nx（ B ） f '' 1nx 1x 2（ C ）1f ' ' nxf ' nx1f ''1nx f'1nxx 211（D ）x 27. 若 f u可导 , 且 yf (e x ) 有 dy []（ A ） f 'e xdx（B ） f ' e x de x （ C ） f e xde x（ D ） f e x ' e x dx8．设函数 yf (x)在点 x 0 处可导， y f ( x 0 h) f ( x 0 ) ，则当 h 0 时，必有 [ ].(A) dy 是 h 的同价无穷小量 . (B)y - dy 是 h 的同阶无穷小量。
第二章一元函数微分学例题练习
第二章、一元函数微分学题型一、导数与微分的计算【例题2.2】设函数f (x )在(0,+∞)内有定义，且对任意的x >0,y >0，都有f (xy )=f (x )+f (y ),又f (1)存在且等于a ,求f ′(x )和f (x )【例题2.4】设函数f (x )=g (x )−cos x x,x =00,x =0其中，g (x )具有二阶连续导数,且g (0)=1,确定a 的值，使得f (x )在点x 0=0处连续，并求出f ′(x ),同时讨论f ′(x )在点x =0处的连续性【例题2.11】(利用Taylor 公式求高阶导数)设函数f (x )=sin 6x +cos 6x ,求f (n )(x )【例题2.13】设函数f (x )=11−x −x2求f (n )(0)题型二、微分中值定理的应用【例题2.21】求极限lim n →∞n n √n +1−n +1√n n √2−1 ln n 【例题2.22】求极限I =limx →0+e (1+x )1x−(1+x )exx 2【例题2.23】设函数f (x ),g (x )均为(0,+∞)上的非常数可导函数,且对任意的x,y ∈(−∞,+∞),恒有f (x +y )=f (x )f (y )−g (x )g (y ),g (x +y )=f (x )g (y )+g (x )f (y )已知f ′(0)=0,证明：对一切x ∈(−∞,+∞),恒有f 2(x )+g 2(x )=1【例题2.25】设n 为正整数，证明：对任意实数λ≥1,有nk =11(1+k )k√λ<λ【例题2.28】设f (x )在区间[−a,a ]上具有二阶连续导数，f (0)=0，(1)写出f (x )的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明：在区间[a,a ]上至少存在一点η，使得a 3f ′′(η)=3a−a f(x )dx【例题2.29】设函数y =f (x )((−1,1)内具有二阶连续导数，且f ′′(x )=0，证明：(1)对于(−1,1)内任意x =0，存在唯一的θ(x )，使得f (x )=f (0)+xf ′(θ(x )x )(2)lim x →0θ(x )=12题型三、导数的应用【例题2.30】设在(−∞,+∞)上f ′′(x )>0,f (0)<0，证明：f (x )x分别在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增【例题2.31】设函数f (x )=(1+x )1x ,x >0确定常数A,B,C ，使得当x →0+时，f (x )=Ax 2+Bx +C +o x 2【例题2.43】设函数f (x )在区间(−π,π)内连续可导，且满足f ′′(x )=sin 2x −[f ′(x )]2=13xg (x )，其中g (x )为连续函数，满足当x =0，g (x )x >0且lim x →0g (x )x =34，证明：(1)点x =0是f (x )在区间(−π,π)内唯一的极值点，且是极小值点；(2)曲线g =f (x )在区间(−π,π)内是向上凹的题型四、介值定理的论证方法【例题2.54】设函数f (x )在[0,1]上连续，(0,1)可导，并且f (0)=f (1)=0，已知对任意的x ∈(0,1)，都有f ′′(x )>0，且f (x )在[0,1]上的最小值m <0，求证：(1)对任意正整数n 都存在唯一的x n ∈(0,1)，使得f ′(x n )=m n；(2)数列{x n }收敛，且flim n →∞x n=m【例题2.58】设0<a <b,f (x )在[a,b ]上连续，在(a,b )内可导，求证：存在ξ,ηϵ(a,b )，使得f ′(ξ)=a +b 2ηf ′(η)【例题2.60】设函数f (x )在[a,b ]上连续， ba f (x )dx =b a f (x )e x dx =0，求证：f (x )在(a,b )内至少存在两个零点【例题2.61】f (x )在区间[a,b ]上连续，在(0,1)内可导，f ′(x )>0，f (0)=0,f (1)=1，证明：对任意给定的正数λ1,λ2,λ3···λn ，在(0,1)内存在不同的数，x 1,x 2,x 3···x n 使得ni =1λif ′(x i )=ni =1λi【例题2.62】设函数f (x )=x n +x −1，其中n 为正整数，证明：(1)若n 为奇数，则存在唯一的正实数x n ，使得f (x n )=0(2)若n 为奇数，则存在两个实数根x n ,y n ，且x n <0,y n >0(3)极限lim n →∞x n ,lim n →∞y 2n 都存在，并求出它们的值【例题2.63】设实数a,b ，满足b −a >π，函数f (x )在开区间(a,b )内可导，证明：至少存在一点ξ∈(a,b )，使得f 2(ξ)+1>f ′(ξ)。
1数学分析一元函数微分学试题答案
一、选择题：： 1.集合4|{2<=x x s的上确界为______B_______.A.-2B.2C.-4D. 4 答：22<<-x2．xxx 2sin lim0→=______C_______.A.1B.0C.21D. 2 答：()等价无穷小替换212lim 2sin lim00==→→x x x x x x3. 若2/53254lim x x x ox -→与αx 当0→x 时为等价无穷小量，则α=_____B________.A.25 B.52C.2D. 1 答：5/23254lim xx x ox -→=14、点0=x 为函数||sin )(x xx f =____B_____间断点.（选填：可去，跳跃，第二类） A. 可去 B. 跳跃 C.第二类 D. 非 答：因1||sin lim ,1||sin lim 00-==-+→→x x x x x x5．22)(cos lim x x x →=____D______.A. eB.1C.0D. 1-e答：1/2).1(cos lim 22222)1cos 1(lim )(cos lim --→→==-+=→e ex x x x x x x x x6．xx xx x sin tan lim0--→ _____B________.A. 1B.2C.0D. 不存在答：22/lim cos 11tan sec lim sin tan lim 22000==--=--→→→x x x x x x x x x x x x7．函数x x x f ln )(-=的稳定点为__B____.A. 0B.1C.2D. 3答：令011)('=-=xx f 可得，1=x 8．函数x x x f -=3)(的的单调递减区间为_______A__________.A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,0C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,33D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33解：根据13)('2-=x x f ，可得答案为A 。
一元函数微分学练习题(答案)
一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x xx x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nnm m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim 22022022020==+=-+=-+→→→→xx x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．x xx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x x xx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。
一元函数微分学练习题
一元函数微分学练习题一元函数微分学是微积分学中最重要的一个分支，它研究了一元函数的变化率，即函数在某一点处的斜率，以及函数的极大值和极小值等性质。
通过学习一元函数微分学，我们能够更好地理解函数的变化规律，解决各种实际问题。
下面是一些关于一元函数的微分学练习题，希望通过这些练习题的训练，提高大家对一元函数微分学的理解和运用能力。
1. 求函数f(x) = x^2在点x = 2处的导数。
2. 求函数f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 5的极值点。
3. 已知函数f(x) = e^x，求f'(1)。
4. 求函数f(x) = ln(x)在点x = 3处的导数。
5. 求函数f(x) = sin(x)在点x = π/2处的导数。
6. 求函数f(x) = cos^2(x)在点x = π/4处的导数。
7. 求函数f(x) = e^x * sin(x)在点x = 0处的导数。
8. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x的极值点。
9. 求函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x的极值点。
10. 求函数f(x) = sqrt(x)在点x = 4处的导数。
以上是一些关于一元函数微分学的练习题，希望大家通过自己的思考和计算，能够熟练掌握一元函数微分学的相关概念和计算方法。
在解答这些问题时，可以利用微分的定义和相关公式，同时也要注意使用函数的基本性质及其图像来推导和解决问题。
在解答题目时，可以采用以下步骤：1. 根据题目中给出的函数形式，求出函数的导数。
2. 使用导数的定义和性质，计算得到题目所要求的导数或导数的值。
3. 对于求函数的极值点，求导后令导数等于零，解得函数极值点的x坐标，再代入函数中求出对应的y坐标。
4. 对于函数的图像和性质，可以根据求导的结果，观察函数的增减性、凸凹性等。
通过不断的练习和掌握一元函数微分学的基本概念和计算方法，我们能够更好地理解函数的变化规律，解决各种实际问题。
高等数学一元函数微积分学题目与答案A
三、一元函数积分学练习题（A）一．选择题1. =+òdx x )1(cos （）Cx x A ++sin .Cx x B ++-s i n .Cx x C ++c o s .Cx xx D ++-cos .2. =òdx x 41（）CxA +-331.CxB +331.CxC +31.CxD +-31.3. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中()f x 的原函数是（）A 21x -B 21x +C 22x x -D 22x x+4. 已知函数()f x 在(,)-¥+¥内可导，且恒有()f x ¢=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = （）A 1 B -1 C 0 D x5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x ¢=（）A 1xB 21x-C ln xD ln x x6.定积分ò1221ln xdx x 值的符号为（）.A 大于零.B 小于零.C 等于零.D 不能确定7.曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为（）.A ò--10)2)(1(dx x x x ；.B ò--20)2)(1(dx x x x ；.C òò-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ；.D òò--+--2110)2)(1()2)(1(dxx x x dx x x x 8. 已知dt t x F xò+=21)(，则=)('x F （）212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D 9. =ò-dx x 115（ ） 2.-A 1.-B 0.C D .1 10.若()211xx F -=¢，()231p=F ，则()=x F （ ） A.x arcsin B. c x +arcsin C.p +x arccos D. p +x arcsin二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数 (1) 52x 的原函数为的原函数为 (2) cos x -的原函数为的原函数为(3) 12t 的原函数为的原函数为 (4) 221x--的原函数为的原函数为2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立 （1）dx = (51)d x -；（2）xdx = 2(2)d x -；（3）3x dx = 4(32)d x +； （4）2xe dx -= 2()xd e-；（5）219dx x=+ (a r c t a n 3d x ；（6）212dx x=+ (a r c t a n 2)d x ； （7）2(32)x dx -= 3(2)d x x -； （8）dx x= (3l n )d x ；（9）21dx x=- (2a r c si n d x -； （10）21xdx x=- 21d x -. 3. 若()1xf e x ¢=+,则()f x = 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小（1）120x dx ò13x d x ò（2）10xe dx ò1(1)x dx +ò5. _________3=òdx e x 6. __________1=òdx ex 7. ò+dx x xln 1=_____________ 8. 已知一阶导数已知一阶导数2(())1f x dx x ¢=+ò，则(1)f ¢= 9. 当x = 时，函数()ò-=xt dt te xI 02有极值. 10. 设()ïîïíì>£+=1,211,12x x x x xf ，()ò20dx x f = 11. 已知ò=xdt t xf y0)(，则=dx dy 12. dt t t x x x )1sin (1lim 030-ò®=三．计算题三．计算题 1.不定积分的计算不定积分的计算（1）1x x e dx e +ò （2）12x e dx x ò（3）ln dx x x ò（4）211x dx x --ò （5）3431xdx x -ò（6）12dx x -ò（7）223xdx x-ò（8）3xa dx ò（9）sin tdt tò （10）2cos ()x dx w j +ò（11）2cos ()sin()x x dx w j w j ++ò（12）22(arcsin )1dx x x-ò（13）3tan secx xdxò（14）sec(sec tan)x x x dx-ò（15）11cos2dxx+ò（16）2(4)x x dx-ò（17）32(32)x dx-ò（18）221dxx x-ò（19）1231dxx-+ò（20）sinx xdxò（21）xxe dx-ò（22）arcsin xdxò（23）2tte dt -ò（24）2arcsin 1xdx x-ò（25）sin cos xxe dx ò（26）1cos sin x dx x x++ò（27）dxx 43-ò （28）dx x 122-ò（29）dx xxe e --ò （30）e32x dx +ò（31）()232xx dx+ò （32）1252+òx dx（33）sin5xdxò（34）cos25xdxò（35）()()244522x dxx x+++ò（36）x dxx23412-ò（37）sin cossin cosx xx xdx+-ò3（38）dxx x(arcsin)221-ò（39）dxx x222-+ò（40）sin cossinx xxdx14+ò（41）2x xe dxò（42）23523x xx dx ×-×ò2.定积分的计算定积分的计算（1）1e xx dx-ò（2）e1lnx xdxò（3）41ln xdxxò（4）324sinxdxxppò（5）220e cosxxdxpò（6）221logx xdxò（7）π2(sin)x x dxò（8）e1sin(ln)x dxò（9）121ln(1)x x dx-++ò（10）41xdxò（11）dx xx x )1(241+ò（12）dx xxò+1241 （13）dx x ò+2241 （14）dx x x ò40tansec p（15）xdxò242cotpp（16）ò--112d x x x（17）dx ò2121)-(3x 1 （18）dx ò+3ln 0x xe 1 e（19）dxx xò-123 （20）ò1arctan xdx x3.反常积分的计算反常积分的计算（1）2048dx x x +¥++ò（2）21arctan xdx x +¥ò（3）101(1)dx x x -ò（4）1ln edx x x ò4. 4. 比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：比较下列各对积分的大小：（1）ò4arctan pxdx 与ò402)(arctan pdx x（2）ò43ln xdx 与ò432)(ln dx x（3）dx x ò-+1141与dxx ò-+112)1(（4）ò-2)cos 1(pdx x 与ò2221pdx x四．综合题四．综合题 1.求导数求导数（1）201xdt dt dx +ò （2）5ln 2xtdt e dt dx -ò（3）cos 2cos()xd t dt dx p ò （4）sin xd tdt dx tpò (0x >). 2. 验证下列等式验证下列等式(1)2311d 2-=-+òx x C x ； (2)(sin cos )cos sin x x dx x x C+=-++ò. 3. 求被积函数()f x . (1) 2()ln(1)f x dx x x C =+++ò；(2)21()1f x dx C x=++ò. 4 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 2y x =与22y x =- (2) xy e =与0x =及y e =(3) 24y x =-与0y =(4) 2y x =与y x =及2y x =5.5. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积： (1) ,1,4,0y x x x y ====，绕x 轴；轴；(2) 3,2,y x x x ==轴，分别绕x 轴与y 轴；轴； (3) 22,y x x y ==，绕y 轴；轴；(4) 22(5)1x y -+=，绕y 轴．轴．(5). 32y x =，x=4 ,绕y 轴．轴．6. 当k 为何值时，反常积分+2(ln )k dxx x ¥ò收敛?当k 为何值时，这反常积分发散? 7. 设1321()()1f x x f x dx x=++ò，求1()f x dx ò．8. 求函数2()(1)xtf x t e dt -=-ò的极值．的极值．9. 设()f x 在[],a b 上连续，且()1b af x dx =ò，求()baf a b x dx +-ò．10. 设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为xe -，求此曲线方程．11. 设3()1xxf e e ¢=+,且(0)1f =,求()f x . 12. 设()ïîïí죣=其它,00,sin 21p x x xf ，求()()ò=x dt t f x 0j . 13. 设()ïïîïïíì<+³+=时当时当0,110,11x ex x x f x ，求()ò-21dxx f . 14. 已知222(sin )cos tan 01f x x x x ¢=+<< ，求()f x . 三、一元函数积分学 练习题（ A ） 参考答案 一．选择题一．选择题1. A2. A3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. C 9. C 因为因为5x 为奇函数为奇函数 10. D 10. D二．填空题二．填空题1. 1. 写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数写出下列函数的一个原函数(1) 613x (2) sin x - (3) t (4) 2arcsin x -2. 2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立 （1）51；（2）21-；（3）121；（4）21-；（5）31；（6）21；（7）1- （8）31；（9）1-；（1010））1- 3. ()(1ln )ln f x x dx x x C=+=+ò4. 4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小根据定积分的性质，比较积分值的大小 （1）112300x dx x dx>òò；∵ 当[0,1]x Î时,232(1)0x x x x -=-³,即23x x ³,又2x3x ,所以112300x dx x dx >òò（2）110(1)xe dx x dx >+òò；令()1,()1xxf x e x f x e ¢=--=-,因01x ££,所以()0f x ¢>,从而()(0)0f x f ³=,说明1xe x ³+，所以1100(1)xe dx x dx >+òò5. C e x+33 6. C ex+-- 7. c x x ++2ln 21ln 8.229. 0. 10.38 11. )()(0x xf dt t f x +ò 12. 181- 三．计算题三．计算题1.1.不定积分的计算不定积分的计算不定积分的计算（1）1(1)ln(1)11xx xx x e dx d e e C e e =+=++++òò （2）11121xx xedx e d e C x x=-=-+òò （3）ln ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+òò （4）211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+òòò（5）3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---òòò（6）1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--òò （7）22222211(23)123263232323x dx d x dx x C xx x -==-=--+---òòò （8）33311(3)33ln x x xa dx a d x a C a ==+òò（9）sin 2sin 2cos t dt td t t C t ==-+òò（1010））21cos(22)cos ()2x x dxdx w j w j +++=òò 11 cos(22)(22)24x x d x w j w j w =+++ò11sin(22)24x x C w j w=+++ （1111））221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x w j w j w j w j w ++=-++òò 31cos ()3x C w j w=-++（1212））222arcsin 1(arcsin )arcsin (arcsin )1dxd xC x xx x==-+-òò（1313））32231tan sectan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+òòò （1414））2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C-=-=-+òò（1515））221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++òòò （1616））515173222222228(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+òòòò（1717））33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+òò （1818）令）令sin ()22x t t p p=-<<，则cos dx tdt =，所以，所以22222cos 1csc cot sincos 1dxtdtx tdt t C C t txxx-===-+=-+×-òòò（1919）令）令23x t -=,则23,2t x dx tdt +==,所以所以11(1)ln(1)11231tdt dxdt t t C t t x ==-=-++++-+òòò23ln(231)x x C =---++（2020））sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C=-=-+=-++òòò（2121））xxxxxxxe dxxdexee dxxeeC ------=-=-+=--+òòò（2222））222111arcsin arcsin arcsin (1)211xdx x x x dx x x d x xx=-×=+---òòò2arcsin 1x x x C =+-+ （2323））2222221111122224ttttttte dt tdetee dt tee C ------=-=-+=--+òòò（2424））22arcsin 1arcsin arcsin arcsin21x dx xd x x C x ==+-òò（2525））sin sin sin cossinx x x xe dx e dx e C==+òò（2626））1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x++==++++òò（2727））dx x 43-ò=1(43)1ln 434434d x x C x -=-+-ò。
一元函数微分微分学练习题
x 4 3 ( A B( x 1)) C ，求常数 A, B, C 。 ( x 1) 2
6．利用 1 x 的 2 阶 Maclaurin 公式，计算 62 的近似值，并估计这一近似的误 差。 1 x2 x3 7．估计 e x 1 x ， | x | 的绝对误差。 4 2 6 8．利用 Taylor 公式计算极限：
一元函数微分学练习题
§1 微分与导数的概念
1．半径为 5cm 的圆面，如果半径增加 0.1cm，试用求微分的方法计算圆面积会 增加多少？如果半径再增加 0.1cm，圆面积会比原来增加多少？ 2．求微分 dy ： （1） y ln( x 1) ； （2） y sin x 。 3．设函数 f 在 x a 处可导，且 f (a) 0 ，计算下列极限
d2y ： dx 2 （2） y ln( x y) ； （4） x y e xy 0 。
x t 2 2t , 5．求曲线 在 (1, 2) 处的切线方程。 3 y t 3t dy x 2t t , 6．求由参数方程 所确定的函数 y f ( x) 在 t 0 时的导数 。 2 dx y 5t 4t t
（10） lim
（13） lim
x ln( x 2e x ) ln( x e x )
1 x
2
x
x （14） lim x arcsin x 2 1 x2
（16） lim
h0
；
(1 x) e ； x 1 （17） lim 2 cot 2 x ； x0 x
n n
5．设 f ( x) 2 ，试计算 f (1) ， f (1) ，由此说明 f 在点 x 1 处的可导性。 6．求曲线 y e x 上的点 1, e 处的切线方程和法线方程。
一元函数微分学练习题（答案）
一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim 222-=-+=-+→x x x2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x 6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nn m m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim22022022020==+=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．xxx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x xxx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。
一元函数微分学练习题
高等数学 ( Ⅰ) 练习 第二章 一元函数微分学系专业 班 姓名 学号习题一导数概念一．填空题f (x 0 x) f ( x 0 ) f (x 0 )1．若 f ( x 0 ) 存在，则 limx=,x 0f (x 0 h)f ( x 0h) 2 f (x 0 )2．若 f ( x 0 ) 存在， limh=h 03．设 f ( x 0 )2 x14, 则 limf (x 0) )x 0f (x 0 2x). limf ( x 0 3 x)f (x 0 ) 3 f ( x 0 )x=.x 04．已知物体的运动规律为s tt 2 (米 )，则物体在 t2 秒时的瞬时速度为 5m/ s1 3 )1 2 3 ( x) 5．曲线 ycos x 在 x处的切线方程为y( x y22 ，法线方程为23 3336．用箭头 或 ? 表示在某一点处函数极限存在、连续、可导之间的关系，极限存在 ?连续?可导。
二、选择题1．设 f ( 0)0 ,且 f (0) 存在，则 limf ( x)=[B]x 0x（ A ） f (x)( B) f(0)(C) f (0)1 f ( 0)(D)22. 设 f ( x) 在 x 处可导， a , b 为常数，则f ( x a x)f ( x b x)[ B ]limx=x 0a b（ A ） f (x)( B) (ab) f ( x)(C) ( ab) f (x)(D) f ( x)23. 函数在点 x 0 处连续是在该点 x 0 处可导的条件[ B ]（ A ）充分但不是必要 （ B ）必要但不是充分 （ C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要4．设曲线 y x 2x2 在点 M 处的切线斜率为3，则点 M 的坐标为[B]（ A ）(0,1)( B)(1, 0)(C) ( 0,0)(D) (1,1)5．设函数 f ( x) | sin x | ，则 f ( x) 在 x0 处[B ]（ A ）不连续。
《一元函数微分学及其应用》自测题 (1)
第二章 《一元函数微分学及其应用》自测题 班级____________ 姓名_____________ 学号_______________一、填空与选择题(每题4分，共28分)1. 设函数)(x y y =由方程21e x x y y =+所确定，则_______________y '=2. 函数x x f sin ln )(=在]65,6[ππ上满足罗尔中值定理的条件,则定理结论中的_________=ξ3. 函数1)(3-=x x f 在]0,1[-上满足拉格朗日尔中值定理的条件,则定理结论中的_________=ξ4. 函数23)(3--=x x x f 的单调递增上凹区间为________________5.函数4314y x x =- 的单调递增凹区间为（ ） （A ）(,0)-∞ （B ）(0,2) （C ）(2,3) （D ）(3,)+∞6. 曲线233x x y -=在区间]1 , 0[上是（ ）（A ）单调递减上凸 （B ）单调递减上凹（C ）单调递增上凸 （D ）单调递增上凹7 .下列关于极值的命题中，正确的是（ ）（A ）若0)(0='x f ，则0x 必定是)(x f 的极值点.（B ）极大值一定大于极小值.（C ）若)(0x f '存在且0x 是)(x f 的极值点，则必有0)(0='x f .（D ）若)(x f 在0x 点连续但不可导，则0x 必为)(x f 的极值点.二、求下列极限（每小题5分，共30分）1．x x e xx 2sin 1lim 20-→ 2．011lim[]ln(1)x x x →-+3. 02lim ()tan 2x x x ππ→+- 4.20sin lim sin x x x x x →-5.011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 6.20tan sin lim sin x x x x x →-三、解答题（每小题7分，共28分）1设函数16arcsin 4x，求y '与y ''2. 已知函数arctan 3cot y x arc x =+，求()()''1,1f f -.3. 已知函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧+==t t t y t x cos sin sin ，确定，求.,22dx yd dx dy4.已知函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln ,arctan t y t x 确定，求.,22dx yd dx dy四、应用题（每小题7分，共14分）1.已知铁路AB长为120km,工厂C距A为30Km，并且AC垂直于AB.现要在铁路线上选一点D，向工厂修筑公路.已知铁路与公路每千米费用之比为3:5，为使货物从B到C的运费最省，求D的位置.2.从半径为R的圆上截下一个中心角为θ的扇形，将截下的扇形卷成一圆锥形漏斗。
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一元函数微分学及其应用练习题与自测题
习题2-1 导数
1．假定0()f x '存在，则000
()()
lim
h f x ah f x bh h
→+--= ．
2．求曲线ln y x =在点(,1)e 处的切线方程和法线方程． 3．过点(2,0)-作曲线x y e =的切线，求此切线方程．
4．若函数22,1
,1x x y ax b x ⎧+≤=⎨+>⎩
在1x =处可导，求,a b 的值．
5．已知2
1,0
(),0
x e x f x x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，求()f x '． 6．讨论函数2
1sin , 0
()0 , 0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性与可导性．
习题2-2 求导法则与求导公式
1．求下列函数的导数：
（1）24(1)y x x =++． （2
）y = （3）21sin y x x =． （4
）y = （5
）y e =． （6
）ln(0)y x a =+>．
2．讨论分段函数2
1cos sin ,0
(),0x x x f x x
x x ⎧+>⎪=⎨⎪≤⎩在分段点0x =处的连续性和可导性．
3．设()f x 可导，求(sin )y f x =的二阶导数22d y
dx
．
4．求函数2
x y xe =的二阶导数． 5．求函数x y xe =的n 阶导数．
习题2-3 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 1
．求由方程arctan
y
x
=()y y x =的导数； 2．过点(4,2)-作椭圆223x xy y ++=的切线，求此切线方程． 3．求下列函数的导数：
（1）1x
x y x ⎛⎫
= ⎪
+⎝⎭
（0x >）． （2
）y =
4．求由方程x
e xy e +=所确定的函数()y y x =的二阶导数22d y
dx
．
5．求由参数方程(sin )
(1cos )
x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >）所确定的函数的二阶导数22d y dx ：
6．某人以2/m s 的速度通过一座桥，桥面高出水面20m ，在此人的正下方有一
条小船以4
/3m s 的速度在与桥垂直的方向航行，求经5s 后，人与桥相分离的速
度．
习题2-4 函数的微分
1．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：
（1）d （ ）45
x dx -=． （2）d （ ）3x e dx -=． 2．求下列函数的微分：
（1
）y =． （2）22(1)n
n
x y x =+．
习题2-5 中值定理
1．函数32()452f x x x x =-+-在区间[0,1]上满足Lagrange 中值定理的
ξ= ．
2．试用中值定理证明不等式：arctan arctan a b a b -≤-．
3．设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明：至少存在一点
(0,)a ξ∈，使()()0f f ξξξ'+=．
习题2-6 L’Hospital 法则及其应用
1．求下列极限： （1）0
ln tan 7lim ln tan 2x x x
+
→． （2）sin 3lim tan 5x x
x π→．
（3）30
arcsin lim
sin x x x x →-． （4）1lim(1)tan 2
x x x π→-． （5）11lim 1ln x x x x →⎡⎤-⎢⎥-⎣
⎦． （6）()1
ln 0lim cot x x x +→． （7）()2
2
lim cos x
x x π
π
--→
．
2．当0x →时，()sin()f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，求,a b 的值．
3．当0x →时，2
112
x e x x ---是x 的k 阶无穷小，则k 等于多少？
习题2-7 泰勒公式
1．求函数()tan f x x =的带有佩亚诺型余项的3阶Maclaurin 公式．
2．利用Taylor 公式求极限
:22
20
112lim (cos )sin x x x x e x
→+
--．
习题2-8 函数的单调性与曲线的凹凸性
1．点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，则a = ，b = ． 2．求函数4222y x x =-+的单调增减区间．
3
．证明不等式：1ln(x x ++>0x >）． 4．求函数1
x
y x x =+-的凹凸区间及拐点．
习题2-9 函数的极值、最值及其应用
1
．求函数y =
的极值．
2．求函数2x y x e -=在区间[]3,7-上的最大值和最小值：
3．当a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在点3x π
=处具有极值？它是极
大值还是极小值？并求此极值．
4．在车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使小屋的面积最大？
习题2-10 函数图形的描绘 1．求函数1
ln(1)x y e x
=
++的渐近线方程． 2．描述函数21
y x x
=+的图形．
习题2-11 曲率
1．求曲线cos sin x a t
y b t =⎧⎨=⎩（,0a b >）的弧微分ds ．
2．对数曲线ln y x =上哪一点处的曲率最大？
一元微分学及其应用自测题
一.选择题
1．函数2
21sin cos ,0()1,0x x x f x x
x x ⎧+>⎪
=⎨⎪+≤⎩
在0x =处【 】． （A ）极限不存在 （B ）不连续． （C ）连续但不可导． （D ）可导． 2．设函数()arctan f x x =，若()'()f x xf ξ=，则2
2
lim
x x ξ→=【 】．
（A ）1． （B ）
23． （C ） 12． （D ）1
3
． 3. 函数23(1)(2)y x x x =--的不可导点个数为【 】． （A ）0． （B ）1． （C ）2． （D ）3． 4. 函数34(1)(2)y x x =--的拐点个数为【 】．
（A ）2． （B ）3． （C ）4． （D ）5．
5. 曲线221x x
y x +=-渐近线的条数为【 】．
（A ）0． （B ）1． （C ）2． （D ）3． 二.填空题
6．若3arctan (21)y x =+，则dy = [arctan(21)]d x +．
7．过点(0,2)作曲线22cos 1x
x y x x ⎛⎫
+=+ ⎪+⎝⎭
的切线，
则该切线方程为 ． 8．已知一质点的运动规律为2ln()1s s t t +++=，其中s 表示位移，t 表示时间，则当1t =，0s =时的速度为 （/m s ），加速度为 （2/m s ）．
9．由参数方程2112cos x t y t
⎧
=+⎪
⎨⎪=⎩所确定的函数()y y x =的二阶导数22d y dx = ．
10．设(arctan )y f x =，则22d y
dx
= ．
11．曲线1(6)x
y x e =+的斜渐近线方程为 ． 三.计算题
12．求极限(
)
2
1ln 0
lim 1x x
x e x
→--．
13．确定常数a 与n ，使得当0x →时，2
2ln[(1)]x e e x -+与n ax 为等价无穷小．
14．求函数2(1)3(1)x y x -=+的单调区间、凹凸区间、极值与拐点．
四.证明题
15．证明：22(1)ln (1)x x x ++<（01x <<）．
16. 设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()()'()0f f g ξξξ+=． 五.综合题
17．一根输油管从河一边的点P 处通过河，接到对岸的点Q 处（如图），水中每
单位长度输油管的成本比陆地上多50%，河宽500m ，
P 与Q 的水平距离是5000m ，
问点R应如何选择，才能使管子的总成本最省．。