灰色预测法1讲解
灰色系统预测方法介绍
指 标 p越 大 越 好 , p越 大 , 表 明 残 差 与 残 差 平 均 值 之 差 小 于 给 定 值 0.67451的 点 较 多 , 即 拟 合 值 ( 或 预 测 值 ) 分 布 比 较 均 匀 . 按 C , p两 个 指 标 , 可 综 合 评 定 预 测 模 型 的 精 度 . 模 型 的 精 度 由 后 验 差 和 小 误 差 概 率 共 同 刻 划 .一 般 地 ,将 模 型 的 精 度 分 为 四 级 , 见 表 2-1
设X 0 = { X 0 (1), X 0 (2),⋯ , X 0 ( n)} 为参考序列, 其它序列, 则X 0与X 1的关联系数为 :
X i = { X i (1), X i (2),⋯ , X i ( n)} , i = 1, 2,⋯ , m为
ε ij =
min X 0 ( j ) − X i ( j ) + ρ max max X 0 ( j ) − X i ( j )
1 ε i = ∑ ε ij n j =1
n
(2 − 39)
(0) (0) (0) (0) 设原始数据序列X 0 = { x0 (1), x0 (2),⋯ , x0 ( n)} 为
参考序列, 用m种灰色建模方法所得模型值分别为 ˆ X (0) = { x (0) (1), x (0) (2),⋯ , x (0) ( n)} , i = 1, 2,⋯ , m .求出该
表2 − 1 精度检验等级参照表
模型精度等级 均方差比值 均方差比值C 1级（好） 级 2级（合格） 级 合格） 3级（勉强） 级 勉强） C<=0.35 0.35<C<=0.5 0.5<C<=0.65 小误差概率p 小误差概率 0.95<=p 0.80<=p<0.95 0.70<=p<0.80 P<0.70
灰色预测法
解答： 以 X 1 为参考序列求关联度。 第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
1,0.9475,0.9235,0.9138 X1 1,1.063,1.1227,1.1483 X2 1,.097,1.0294,1.0294 X3 1,1.0149,0.805 X m1 i
i 1
k
•对非负数据，累加次数越多则随机性弱化越多， 累加次数足够大后，可认为时间序列已由随机序 列变为非随机序列。
•一般随机序列的多次累加序列，大多可用指数曲 线逼近。
累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列
累减是累加的逆运算，累减可将累加生成列还原 为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为：
X
1
k X k X k 1
0 0
三、关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方 法，在计算关联度之前需先计算关联系数。 （1）关联系数
设
ˆ 0 k X ˆ 0 1, X ˆ 0 2,..., X ˆ 0 n X
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
X 2 (39.1, 41.6, 43.9, 44.9)
农业
商业 试求关联度。
运输业 X 3 3.4, 3.3, 3.5, 3.5
X 4 6.7, 6.8, 5.4, 4.7
X4 参考序列分别为 X 1 , ，被比较序列为 X 2 , X 3 ,,
第二步：求序列差
2 0,0.1155,0.1992,0.2335
4 0,0.0674,0.1185,0.2148
第三步：求两极差
3 0,0.0225,0.1059,0.1146
第七章 灰色预测法
Yn ( X ( 0) (2), X ( 0) (3), X ( 0) (4),, 通最小二乘法求出 模型中两个参数 , ˆ ( B T B) 1 B T Yn a
5.将求出的参数代入微分 方程并求解 可得如下对一次累加序 列的预测模型:
(3), X
(1)
( 0)
( N )}
2.对原始序列作一次累加 生成X (1) X
(1)
{ X (1), X (2),, X (n)}
(1) (1) (1) k (0)
其中: X (k ) X
i 1
(i ) X (k 1) X
(1)
(0)
(k )
X (1) X
(1)
ç3 0.739411 0.632479 0.726354 1 0.789305 0.682872 0.630645
18
3.求关联度
1 n r0 k 0 k (t ) n t 1
例见Excel操作：
19
例5:求联度：
1 2 3 4 5 6 7 Ø Á ¹ ª ¶ È
ç1 0.475806 0.450157 0.621756 0.746231 0.826601 0.478729 0.335606 0.562126
试建立GM(1,1)模型并进行预测.
29
第一步:作一次累加生成(AGO):
设一次累加生成序列 X (1) X (1) { X (1) (1), X (1) (2), X (1) (3), X (1) (4), X (1) (5)} 其中: X (1) (k ) X ( 0) (i ) X (1) (k 1) X ( 0) (k )
i 1 k
数学建模灰色预测法
i1,2,...n,
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在建立模型后,还必须对模型进行精度检验,其 检验标准见表1。
表1 精度检验等级参照表
2021/10/10
30
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
与原始序列 X0i的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
28
二、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检
验和后验差检验。 （1）残差检验
按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将Xˆ 1i 累减生成 Xˆ0i, 然后计算原始序列X0i 与 Xˆ 0i的绝对误差序列及相
对误差序列。
0iX 0iX ˆ0i i1,2,...n,
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iX 00ii10% 0
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Ø累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列
• 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为：
X 1 k X 0 k X 0 k 1
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三、关联度
关联度分析是分析系统中各因素关联程度 的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。
X ˆ(0 )(k ) X ˆ(1 )(k ) X ˆ(1 )(k 1 )
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由灰色预测方法原理, - a 主要控制系统发展态
势的 大小,即反映预测的发展态势,被称为发展系数;
μ 的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量,
其中:
①当- a < 0.3 时, GM(1 ,1) 模型可用于中长期预测;
灰色预测法
k
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
X (m) (k) = ∑X (m−1) (i)
i=1 k
• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。
• 例1
x
(0)
={2,5,4,3,6 }
（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内 变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
• 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋 势的相似或相异程度，即进行关联度分 析，并通过对原始数据的生成处理来寻 找系统变动的规律，生成数据序列有较 强规律性，可以用它建立相应的微分方 程模型，从而预测事物未来发展趋势和 未来状况。
其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。
GM－Grey model －
a 设 α 为待估参数向量， α = ˆ ˆ µ
可利用最小二乘法求解得：
−1 T a T ˆ α = = ( B B) B Yn µ
1 − (x (1) (1) + x (1) (2)) 2 − 1 (x (1) (2) + x (1) (3)) B= 2 M 1 (1) − (x (n − 1) + x (1) (n)) 2
（3）后验差检验 1.计算原始序列标准差:
S1 =
∑[X (i) − X ]
(0) (0)
2
n −1
2. 计算绝对误差序列的标准差：
S2 =
∑[∆ (i) − ∆ ]
灰色预测方法
记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
生成列为：
X 1 X 11, X 12, X 13,...X 1n
X (1) (1) X (0) (1) X (1) (2) X (0) (1) X (0) (2) X (1) (1) X (0) (2)
第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
X1 1,0.9475,0.9235,0.9138 X 2 1,1.063,1.1227,1.1483 X3 1, 0.97,1.0294,1.0294
X 4 1,1.0149,0.805,0.7
x=[45.8 43.4 42.3 41.9]; x1=x./45.8
3、区间灰数的运算
设灰数1 ∈ [a, b], 2 ∈ [c,d] (a<b,c<d) (1) 1 + 2 ∈[a+c,b+d] (2) -1 ∈ [-a, -b]
(3) 1 - 2 =1 +(- 2) ∈[aa-d,b-c] (4) 1 ·2 ∈ [min{ac,ad,bc,bd},max{ac,ad,bc,bd}] (5) 1/ 2 ∈[min{a/c,a/d,b/c,b/d},max{a/c,a/d,b/c,b/a}] (6)若k为正实数， 则： k1 ∈[ka, kb]
（3）区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, a]
（4）连续灰数与离散灰数 a 在某一区间内取有限个值的灰数为离散灰数， 取值连续地取满整个区间的灰数为连续灰数。
（5）黑数与白数
当 ∈（- ∞， ∞）或 ∈(1, 2)，（即当 的上界、 下界皆为无穷或上、下界都是灰数时，称为黑数， 当 ∈ [a,a]且a=a,时，称为白数。
灰色预测模型GM(1-1)(精)
数学建模案例分析灰色预测模型GM(1,1)及其应用蠕变是材料在高温下的一个重要性能。
处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。
高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。
为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。
过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。
而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。
如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。
一、灰色预测模型GM（1,1）建模步骤如下：（1）GM（1,1）代表一个白化形式的微分方程：dX(1)+aX(1)=u （1） dt式中，a,u是需要通过建模来求得的参数；X(1)是原始数据X(0)的累加生成（AGO）值。
（2）将同一数据列的前k项元素累加后生成新数据列的第k项元素，这就是数据处理。
表示为：X不直接采用原始数据X(0)(1)(k)=∑X(0)(n) （2） n=1k建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。
（3）对GM（1,1），其数据矩阵为⎛-0.5[X(1)(1)+X(1)(2)] -0.5[X(1)(2)+X(1)(3)]B= -0.5[X(1)(N-1)+X(1)(N)]⎝向量YN=[X(0)(2),X(0)(3), ,X(0)(N)]T（4）作最小二乘估计，求参数a,u 1⎫⎪1⎪（3）⎪⎪1⎪⎭T-1Tˆ= ⎪α=(BB)BYN （4） u⎪⎝⎭⎛a⎫（5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为ˆ(1)(t+1)=(X(0)(1)-u)e-at+u （5） Xaa这就是要建立的灰色预测模型。
《灰色预测法》的应用[1]1
![《灰色预测法》的应用[1]1](https://img.taocdn.com/s3/m/32548bf09e31433239689329.png)
灰色预测法第一节灰色系统一、灰色预测的概念灰色预测是就灰色系统所作的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息末知为黑箱系统，部分信息已知、部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测，可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有本知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的，与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律。
灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色预测一般有四种类型。
1．数列预测。
对某现象随时间的顺延而发生的变化所作的预测定义为数列预测。
例如对消费物价指数的预测，需要确定两个变量，一个是消费物价指数的水平，另一个是这一水平所发生的时间。
2．灾变预测。
对发生灾害或异常突变事件可能发生的时间预测称为灾变预测。
例如对地震时间的预测。
3．系统预测。
对系统中众多变量间相互协调关系的发展变化所进行的预测称为系统预测。
例如市场中代用商品、相互关联商品销售量互相制约的预测。
4．拓扑预测。
将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测未来该定值所发生的时点。
二、系统功能模拟与灰色分析（一）系统模拟所谓系统模拟是指通过系统模型间接地模拟真实系统的过程。
系统模型建立起来后，在人为控制的条件下，通过改变特定参数，观察和研究模型的情况，以预测系统在真实环境下的特征、规律、作用、效率等。
这是组建系统的必经过程，也是研究系统的重要手段。
根据系统模型和系统真实情况相似关系的特点，一通常把模拟分为物理模拟与数学模拟两大类。
物理模拟是以系统模型和真实系统之间物理相似或几何相似为基础的一种模拟方法。
统计预测之灰色预测法
主要内容
What
How
Why
概念引入 灰色系统的定义
客观世界
白色系统
内部信息 完全确知
黑色系统
内部信息 一无所知
灰色系统
部分已知 部分未知
灰色系统理论是我
控制论专家邓聚龙 教授于1982 年创立 的。
研究对象
灰色系统理论
特点
核心
“部分信息已知，部分未知”的小 样本和“贫信息”不确定性系统
有限的离散的参数里寻找发展规 律，预测复杂系统
灰色动态模型，生成函数和灰色微 分方程
灰色预测法
➢ 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确 定信息的系统进行预测。
➢
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势
的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据
进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有
较强规律性的数据序列 ， 然后建立相应的微分
X 0 k X 0 1 , X 0 2 ,X . 0 . n .
则关联系数定义为：
(k)mm X ˆi0 X n ˆ ki0 n k X 0 X k0 k m m m am X ˆ x a a 0 X ˆ x k x a 0 k X x 0 X k0 k
X 2 1 ,1 .0,1 6 .13 2 ,1 .1 24 783
X 3 1 ,0 . ,9 1 .072 ,1 .0 92 4 94 X 4 1 ,1 .01 ,0 .8 4 ,0 0 .7 9 5
第二步：求序列差 2 0 ,0 .11 ,0 .1 59 ,0 5 .2 93 235
3 0 ,0 .02 ,0 .1 20 ,5 0 .1 51 946
k
Xmk Xm1 i i1
➢累减的定义
灰色预测法PPT
i
0i X 0i
100%
i 1,2,..., n
（2）关联度检验
根据前面所述关联度的计算方法算出 Xˆ 0i
与原始序列 X 0i 的关联系数，然后计算出关联
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便
10 灰色预测法
10.1 灰色预测理论 10.2 GM(1,1)模型 10.3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型
10.1 灰 色 预 测 理 论
一、灰色预测的概念 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系
统进行预测的方法。
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全充分的。
（1）数据处理方式 灰色系统常用的数据处理方式有累
加和累减两种。
累加 累加是将原始序列通过累加得到生成列。
累加的规则:
将原始序列的第一个数据作为生成列 的第一个数据，将原始序列的第二个数据 加到原始序列的第一个数据上，其和作为 生成列的第二个数据，将原始序列的第三 个数据加到生成列的第二个数据上，其和 作为生成列的第三个数据，按此规则进行 下去，便可得1
a
e ak
a
k 0,1,2..., n
二、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后 验差检验。
（1）残差检验 按预测模型计算 Xˆ 1i, 并将 Xˆ 1i 累减生成 Xˆ 0i, 然后计算原始序列 X 0i 与 Xˆ 0i的绝对误差序列及相 对误差序列。
记原始时间序列为：
X 0 X 01, X 02, X 03,...X 0n
灰色预测方法
X(1) =(1962,4051,5376,6371,8139,10121,12779,15432,18432, 21101,23678,26446,29089,32027,35677,38274,39961,41639)
累加生成前后的变化特征 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 0 5 10 15 20
关键：如何使灰色系统白化、模型化、优化 灰色系统视不确定量为灰色量，提出了灰色系统 建模的具体数学方法，它能用时间序列来确定微分方 程的参数。
•灰色系统理论能处理贫信息系统。
（只要求较短的观测资料即可）
（3）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统 进行预测的方法。 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内变 化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
X 1 1,0.9475,0.9235,0.9138
X 2 1,1.063,1.1227,1.1483
X 3 1, 0.97,1.0294,1.0294
X 4 1,1.0149,0.805,0.7
第二步：求序列差
2 0,0.1155,0.1992,0.2335
1 1 1
dX 1 称微分方程： aX 1 dt 为灰色微分方程X (0) (k ) aZ 1 (k ) 的白化方程，
也称影子方程。 （1）白化方程的解也称时间响应函数，其为
ˆ 1 t X 0 0 e at X a a 1 (0) （2） GM（1，1）灰微分方程 X (k ) aZ (k )
对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数 前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以 第一个数据。
预测方法——灰色预测模型
预测⽅法——灰⾊预测模型灰⾊预测模型主要特点是模型使⽤的不是原始数据序列，⽽是⽣成的数据序列，核⼼体系为灰⾊模型（GM），即对原始数据作做累加⽣成（累减⽣成，加权邻值⽣成）得到近似指数规律再进⾏建模。
优点：不需要很多数据；将⽆规律原始数据进⾏⽣成得到规律性较强的⽣成序列。
缺点：只适⽤于中短期预测，只适合指数增长的预测。
GM(1,1)预测模型GM(1,1)模型是⼀阶微分⽅程，且只含⼀个变量。
1. 模型预测⽅法2. 模型预测步骤1. 数据检验与处理为保证建模⽅法可⾏，需要对已知数据做必要的检验处理。
设原始数据列为x(0)=(x0(1),x0(2),….x0(n))，计算数列的级⽐λ(k)=x(0)(k−1)x(0)(k),k=2,3,...,n如果所有的级⽐都落在可容覆盖区间X=(e−2n+1,e2n+1)内，则数列可以建⽴GM（1，1）模型且可以进⾏灰⾊预测。
否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：y(0)(k)=x(0)(k)+c,k=1,2,...,n取c使得数据列的级⽐都落在可容覆盖内。
2. 建⽴模型根据1中⽅程的解，进⼀步推断出预测值ˆx(1)(k+1)=(x(0)(1)−ba)e−ak+ba,k=1,2,...,n−13. 检验预测值1. 残差检验ε(k)=x(0)(k)−ˆx(0)(k)x(0)(k),k=1,2,...,n如果对所有的|ε(k)|<0.1|ε(k)|<0.1，则认为到达较⾼的要求；否则，若对所有的|ε(k)|<0.2|ε(k)|<0.2，则认为达到⼀般要求。
2. 级⽐偏差值检验ρ(k)=1−1−0.5a1+0.5aλ(k)如果对所有的|ρ(k)|<0.1，则认为达到较⾼的要求；否则，若对于所有的|ρ(k)|<0.2,则认为达到⼀般要求。
4. 预测预报根据问题需要给出预测预报。
3. py实现import numpy as npimport pandas as pddata=[71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6] # 数据来源len=len(data) # 数据量# 数据检验lambdas=[]for i in range(1,len):lambdas.append(data[i-1]/data[i])X_Min=np.e**(-2/(len+1))X_Max=np.e**(2/(len+1))l_min,l_max=min(lambdas),max(lambdas)if l_min<X_Min or l_max> X_Max:print("该组数据为通过数据检验，不能建⽴GM模型！")else:print("改组数据通过检验")# 建⽴GM(1,1)模型data_1=[] # 累加数列z_1=[]data_1.append(data[0])for i in range(1,len):data_1.append(data[i]+data_1[i-1])z_1.append(-0.5*(data_1[i]+data_1[i-1]))B=np.array(z_1).reshape(len-1,1)one=np.ones(len-1)B=np.c_[B,one]Y=np.array(data[1:]).reshape(len-1,1)a,b=np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(B.T,B)),B.T),Y)print('a='+str(a))print('b='+str(b))## 数据预测data_1_prd=[]data_1_prd.append(data[0])data_prd=[] # 预测datadata_prd.append(data[0])for i in range(1,len):data_1_prd.append((data[0]-b/a)*np.e**(-a*i)+b/a)data_prd.append(data_1_prd[i]-data_1_prd[i-1])# 模型检验## 残差检验e=[]for i in range(len):e.append((data[i]-data_prd[i])/data[i])e_max=max(e)if e_max<0.1:print("数据预测达到较⾼要求！")elif e_max<0.2:print("数据预测达到⼀般要求！")# 输出预测数据for i in range(len):print(data_prd[i])灰⾊Verhulst预测模型主要⽤于描述具有饱和状体的过程，即S型过程，常⽤于⼈⼝预测，⽣物⽣长，繁殖预测及产品经济寿命预测等。
灰色预测法——精选推荐
灰⾊预测法灰⾊预测法摘要：1982年中国学者邓聚龙教授创⽴的灰⾊系统理论，是⼀种研究少数据、贫信息不确定性问题的新⽅法。
该理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“少数据”、“贫信息”不确性系统为研究对象，主要通过对“部分已知信息”的挖掘，提取有价值的信息，实现对系统运⾏⾏为、演化规律的正确描述和有效监控。
本⽂主要介绍灰⾊预测的基本概念，以及灰⾊预测法GM(1,1)模型和GM(1,1)残差修正模型，并以实例说明灰⾊预测法的适⽤领域。
关键词：灰⾊预测；关联度；GM(1,1)；残差修正⼀、灰⾊预测理论（⼀）灰⾊预测的概念1.⽩⾊系统、⿊⾊系统和灰⾊系统对于⼀个系统，根据其内部信息特征的可知程度不同分为以下三种情况：⽩⾊系统、⿊⾊系统和灰⾊系统。
(1)⽩⾊系统⽩⾊系统是指⼀个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。
(2)⿊⾊系统⿊⾊系统是指⼀个系统的内部信息对外界来说是⼀⽆所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。
(3)灰⾊系统灰⾊系统内的⼀部分信息是已知的，另⼀部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。
2.灰⾊预测法灰⾊预测法是⼀种对含有不确定因素的系统进⾏预测的⽅法，对既含有已知信息⼜含有不确定信息的系统进⾏预测，就是对在⼀定范围内变化的、与时间有关的灰⾊过程进⾏预测。
灰⾊预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，进⾏关联分析，并对原始数据进⾏⽣成处理来寻找系统变动的规律，⽣成有较强规律性的数据序列，然后建⽴相应的微分⽅程模型，从⽽预测事物未来发展趋势的状况。
3.灰⾊预测的四种常见类型灰⾊预测法⼴泛应⽤于社会、经济、农业、⼯业、⽣态、⽣物等许多系统，对于不同特征和适⽤性，灰⾊预测主要分为四种类型。
（1）灰⾊时间序列预测⽤观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰⾊预测模型，预测未来某⼀时刻的特征量，或达到某⼀特征量的时间。
（2）畸变预测通过灰⾊模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
灰色预测GM（1，1）方法
灰色预测法一、相关知识1、灰色预测通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。
2、灰数简介： （1）灰数的定义：是指未明确指定的数，即处在某一范围内的数，灰数是区间数的一种推广。
灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“⊗”表示灰数。
（2）灰数的分类：(Ⅰ)有下界而无上界的灰数[)∞∈⊗,a 或()a ⊗，如大树的重量必大于零，但不可能用一般手段知道其准确的重量,所以其重量为灰数[)∞∈⊗,0。
(Ⅱ)有上界而无下界的灰数(,]a ⊗∈-∞或()a ⊗，如一项投资工程，要有个最高投资限额，一件电器设备要有个承受电压或通过电流的最高临界值。
(Ⅲ)既有下界a 又有上界a 的灰数称为区间灰数，记为[]a a ,∈⊗。
如海豹的重量在20--25公斤之间，某人的身高在1.8-1.9米之间，可分别记为[]25,201∈⊗，[]9.1,8.12∈⊗(Ⅳ)黑数：当()∞∞-∈⊗,或()21,⊗⊗∈⊗，即当⊗的上、下界皆为无穷或上、下界都是灰数时，称⊗为黑数。
(Ⅴ)白数：当[,]a a ⊗∈且a a =时，称⊗为白数。
(3)本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如一般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微妙的“年龄”等都是本征灰数。
非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。
我们称此白数为相应灰数的白化值，记为⊗~，并用()a ⊗表示以a 为白化值的灰数。
如托人代买一件价格100元左右的衣服，可将100作为预购衣服价格()100⊗的白化数，记为()100100~=⊗。
例：（1）气温不超过36℃，[]36,0∈⊗。
（2）预计某地区今年夏粮产量在100万吨以上，[)∞∈⊗,100；（3）估计某储蓄所年底居民存款总额将达7000万到9000万，[]9000,7000∈⊗； （4）如某人希望至少获得1万元科研经费，并且越多越好，[)∞∈⊗,10000；（5）有的数，从系统的高层次，即宏观层次、整体层次或认识的概括层次上看是白的，可到低层次上，即到系统的微观层次、分部层次或认识的深化层次则可能是灰的。
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据上，其和作为生成列的第三个数据，
按此规则进行下去，便可得到生成列。
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记原始时间序列为：
X 0 X 0 1, X 0 2, X 0 3,... X 0 n
生成列为：
X 1 X 1 1, X 1 2, X 1 3,... X 1 n
确定的关系。
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（2）灰色预测法 • 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系 统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定
信息的系统进行预则，就是对在一定范围内
变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
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• 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋
势的相异程度，即进行关联分析，并对
上标1表示一次累加，同理，可作m次累加：
X m k X m 1 i
i 1 k
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• 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化
越多，累加次数足够大后，可认为数据序
列已由随机序列变为非随机序列。
• 一般随机序列的多次累加序列，大多可用
指数曲线逼近。
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原始数据进行生成处理来寻找系统变动
的规律，生成有较强规律性的数据序列，
然后建立相应的微分方程模型，从而预
测事物未来发展趋势的状况。
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• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一
特征量的时间。
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二、生成列 设已知数据变量组成序列X(0)，则我们可得 到数据序列
X 0 X 0 1, X 0 2, X 0 3,... X 0 n
为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰 色预测模型之前，需先对原始数据序列进行数据 处理，经过数据处理后的数据序列即称为生成列。
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（1）数据处理方式
灰色系统常用的数据处理方式有累加
和累减两种。 累加
累加是将原始序列通过累加得到生成列。
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累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成
列的第一个数据，将原始序列的第二个
数据加到原始序列的第一个数据上，其
和作为生成列的第二个数据，将原始序
列的第三个数据加到生成列的第二个数
设
X i X i 1, X i
0 0
2,..., X i n 则关联系数定义为：
0 0
ˆ 0 X ˆ 0 1, X ˆ 0 2,..., X ˆ 0 n X
i (k )
ˆ 0 j X ( 0) j max max X ˆ 0 j X ( 0 ) j min min X i i
（3）灰色系统的应用范畴
• 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： • （1）灰色关联分析。 • （2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预 测….等等。 • （3）灰色决策。 • （4）灰色预测控制。
（4）灰色预测的四种常见类型
• 灰色时间序列预测
即用观察到的反映预测对象特征的时 间序列来构造灰色预测模型，预测未来某 一时刻的特征量，或达到某一特征量的时 间。 • 灾变预测
差异越大，区分能力越强。一般取ρ=0.5； 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数 前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。
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（2）关联度
关联系数只表示了各个时刻参考序列和 比较序列之间的关联程度，为了从总体上了 解序列之间的关联程度，必须求出它们的时 间平均值，即关联度。 因此，计算关联度的公式为：
为第k个点 X
(0) i
ˆ 0 的绝对误差； 和X
ˆ 0 j X (0) j 为两级最小差； min min X i
ˆ 0 j X ( 0) j 为两级最大差； max max X i
i 1 j n
ρ称为分辨率，0<ρ<1,
若越小，关联系数间
i 1 j n
ˆ 0 k X ( 0) k max max X ˆ 0 j X ( 0 ) j X i i
i 1 j n
i
1 j n
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式中：
ˆ 0 k X 0 k X
i 1 j n
累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列
• 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成 列
还原为非生成列，在建模中获得增量信息。
一次累减的公式为：
X 1 k X 0 k X 0 k 1
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三、关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度 的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。 （1）关联系数
在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方 程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精 确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散 的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性回 归方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的 方法。
灰色预测法
1 灰色预测理论
2 GM(1,1)模型
1灰色预测理论
即通过灰色模型预测异常值出现的时 刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区 内。
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• 系统预测
通过对系统行为特征指标建立一组相互 关联的灰色预测模型，预测系统中众多变 量间的相互协调关系的变化。
• 拓扑预测
将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻 找该定值发生的所有时点，并以该定值为 框架构成时点数列，然后建立模型预测该 定值所发生的时点。
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统 • 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全明确的。
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• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界
Hale Waihona Puke 来说是一无所知的，只能通过它与外界的
联系来加以观测研究。 • 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知的，系统内各因素间有不