高考数学一轮复习 16 函数与方程学案 理

第十六课时 函数与方程

课前预习案

1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系；

2.判断一元二次方程根的存在性与根的个数.

1.函数零点的概念：

对于函数()y f x =，我们把使 叫做函数()y f x =的零点. 2.函数零点与方程根的关系：

方程()y f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与 有交点⇔函数()y f x =有 注意：函数的零点不是一个点，而是函数图象与x 轴交点的 . 3.函数零点的判断：

如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数()y f x =在区间 内有零点,即存在(,)c a b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根.

4.二分法：对于在区间[],a b 上连续不断,且 的函数()y f x =,通过不断地把函数的 所在的区间 , 使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法.

5.用二分法求函数()y f x =零点近似值的步骤：

（1）确定区间[],a b ,验证 ,给定精确度ε；（2）求区间[],a b 的中点1x ； （3）计算1()f x ①若1()f x 0，则1x 就是函数的零点；

②若1()()0f a f x ∙<，则令1b x =，此时零点在区间 ； ③若1()()0f x f b ∙<，则令1a x =，此时零点在区间 ；

（4）判断是否达到精确度ε，即若 ,则得到零点近似值a （或b ），否则重复（2）—（4）.

1.若函数()f x 在区间[]2,2-上的图象是连续不间断的曲线，且()f x 在()2,2-内有一个零

点，则()()22f f -∙的值（ ） A ．大于0

B ．小于0

C ．等于0

D ．不能确定

2.若函数()f x 惟一的零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，4），（0， 2）内,那么下列命题

正确的是（ ）

A.函数()f x 在区间（0，1）内有零点

B.函数()f x 在区间()0,1或()1,2内有零点

C.函数()f x 在区间[2，16]上无零点

D.函数()f x 在区间()1,16上无零点 3.下列所示函数图象与x 轴均有交点, 但不宜用二分法求交点横坐标的是（ ）

课堂探究案

考点1 确定函数零点个数

【典例1】确定下列函数零点的个数

（1）2

()318f x x x =--; （2）2()log (2)f x x x =+-.

【变式1】确定下列函数零点的个数.（1）1

()f x x x

=-； （2）2()ln f x x x

=-.

【变式2】（2012年湖北理）函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

考点2确定函数零点存在区间

【典例2】函数()2x

f x e x =+-的零点所在的一个区间是( )

A ．(2,1)--

B ．(－1,0)

C ．(0,1)

D ．(1,2)

【变式3】若a b c <<,则函数

()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( )

A.(),a b 和(),b c 内

B.(),a -∞和(),a b 内

C.(),b c 和(),c +∞内

D.(),a -∞和(),c +∞内

考点3 用二分法求方程的近似解

【典例3】用二分法可得24x

x +=在（1,2）内的近似解（精确到0.1）为 ． 参考数据：

1.（课本题再现）如果二次函数2

(3)y x mx m =+++有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A.(,2)

(6,)-∞-+∞ B.(2,6)- C.[2,6]- D.{2,6}-

2.函数22)(3

-+=x x f x

在区间(0,1)内的零点个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 3.方程3

2

2360x x x -+-=在区间[]2,4-上的根必定属于区间（ ）

A.[－2，1]

B.5

[,4]2 C.7[1,]4

D.75[,]42

４.若函数()f x ax b =+有一个零点是2，那么函数2

()g x bx ax =-的零点是（ ）

A.0，2

B.0，21

C.0，－12

D.2，－12

课后拓展案

组全员必做题

1.函数2

()ln f x x x

=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2）

B ．（2，3）

C ．（1，1

)e

和（3，4） D ．（e ，)+∞

2.已知函数2

()(3)1f x mx m x =+-+的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是（ ）A.（0，1） B.[0,1] C.(,1)-∞ D. (,1]-∞ 3.关于x 的方程2

122(0,1)x

a x x a a a +=-++>≠的实数解的个数为 .

4．关于x 的方程2

360x x a -+=的两根为12,x x ，已知121(2,0),(,3)2

x x ∈-∈，则a 的取值范围是 .

5. 若直线2y a =与函数|1|(0,1)x

y a a a =->≠且的图象有两个交点，则a 的取值范围是 .

组提高选做题

1.函数()cos f x x =

在[0,)+∞内 ( )

A ．没有零点

B ．有且仅有一个零点

C ．有且仅有两个零点

D ．有无穷多个零点 2．方程2

20x ax +-=在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围是( ) A.,235⎛⎫+∞ ⎝-

⎪⎭ B.()1,+∞ C.23,15⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

D.23,5⎛

⎤

--

⎥⎝⎦

∞ 3. 已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,

3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

参考答案

1.D

2.C

3.B

【典例1】解（1）94(18)972810∆=-⨯-=+=>，∴()f x 有两个零点． （2）令()0f x =，则2log (2)x x +=．

令2()log (2)g x x =+，()h x x =，分别作出两函数的图象（略）． 通过图象可以得出函数()f x 有两个零点． 【变式1】（1）解：()0f x =，即1

0x x

-

=，解得1x =±．()f x 有两个零点．