2016上海城市管理职业技术学院自主招生数学模拟试题及答案

2016城市管理职业技术学院自主招生语文模拟试题及答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合（其中i 为虚数单位），，且
，则实数的值为 ( )
A ．
B ．
C ．或
D ．
2．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人,现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为720的样本进行某项调查，则高二年级应抽取的学生数为（ ）
A ．180
B ．240
C ．480
D ．720
3．在边长为1的等边中，设，则（ ） A ．
B ．0
C ．
D ．3 4．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形， 俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 5．下列命题错误．．
的是（ ） A ．命题“若，则方程有实根”的逆否命题为：“若方程
无实根，则”。

B ．“”是“”的充分不必要条件。

{4,5,3(3)}M m m i =-+-{9,3}N =-M
N ≠∅m 3-333-1-ABC ∆,,BC a CA b AB c ===a b b c c a ⋅+⋅+⋅=323
2
-433π1
2
π33π36π0m >2
0x x m +-=20x x m +-=0m ≤1x =2
320x x -+=正视图
俯视图
侧视图
开始
a =1,
b =1
输出b
b =2b
是 否 a ≤ ① C ．命题“若，则中至少有一个为零”的否定是：“若，则都不为零”。

D ．对于命题，使得；则是，均有。

6．直线与圆的位置关系是（）
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．不确定
7．设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在直线上”为事件
，若事件的概率最大，则的可能值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．2和5
D ．3和4
8. 已知函数的定义域为[—2，，部分对应值如下表，为的导函
数，函数的图象如右图所示：
若两正数满足，则
的取值围是（ ） A ． B ． C ． D ．
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只需选做二题作答，三题全答的，只计算前两题得分．）
0xy =,x y 0xy ≠,x y :p R x ∃∈2
10x x ++<p ⌝:R x ∀∈210x x ++≥20ax y a -+=22
1x y +={0,1
2,3}{0,123}A B ==，，，，A B a b ()P a b ，()P a b ，x y n +=(06)n C n n N ≤≤∈，n C n )(x f )∞+)('
x f )(x f )('x f y =,a b (2)1f a b +<3
3
b a ++)34,76()3
7,53()5
6,32()3,3
1(-
—2
0 4
1
—1
1
x )(x f
9.已知，若，
,则。

10.已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的值为，则循环体的判断框
①处应填。

11. 以、为焦点的椭圆＝１（）上
一动点P，当最大时的正切值为2，
则此椭圆离心率e的大小为。

12. 已知等差数列的前项和为，且，，则过点和
N*)的直线的斜率是__________。

（★请考生在以下三个小题中任选做二题作答，三题全答的，只计算前两题得分．）13．极坐标系中，曲线和相交于点，则＝．14．函数的最大值是。

15．如图，已知：接于，点在
的延长线上，是⊙的切线，若，
，则的长为。

三、解答题（本大题共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤。

）（★请在答题卷的指定区域作答，否则该题计为零分．）
16．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的周期和最大值；
（Ⅱ）已知，求的值．
t>(22)3
t
x dx
-=
⎰t=
b16
1
F
2
F
22
22
x y
a b
+0
a b
>>
12
F PF
∠
12
PF F
∠
{}
n
a n
n
S
2
10
S=
5
55
S=(,)
n
P n a
2
(2,)
n
Q n a
+
+(n∈
4sin
ρθ
=-cos1
ρθ=,A B AB
2
2-
-
+
=x
x
y
ABC
△O
圆D OC
AD O30
B
∠=︒
2
=
AC OD
()22
3sin23sin cos5cos
f x x x x x
=++
()
f x
()5
fα=tanα
17．（本小题满分14分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度
（千米/小时）的函数解析式可以表示为：．已
知甲、乙两地相距100千米
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
18．（本小题满分12分）
已知关于的一元二次函数
（Ⅰ）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取
一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点（，）是区域的随机点，求函数
上是增函数的概率。

19．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ， AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=1200，F 为AE 中点。

(Ⅰ)求证：平面ADE ⊥平面ABE ； (Ⅱ) 求二面角A —EB —D 的大小的余弦值； （Ⅲ）求点F 到平面BDE 的距离。

y x 313
8(0120)12800080
y x x x =
-+<≤x .14)(2
+-=bx ax x f a b )(x f y =),1+∞a b ⎪⎩
⎪
⎨⎧>>≤-+0008y x y x ),1[)(+∞=在区间x f y A
B
C
D E F
20．（本小题满分14分）
如图，已知直线l ：与抛物线C ：
交于A ，B 两点，为坐标原点，。

（Ⅰ）求直线l 和抛物线C 的方程； （Ⅱ）抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，
求△ABP 面积最大值．
21．（本小题满分14分）
已知数列的首项，，． （Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的，，； （Ⅲ）证明：．
2y kx =-22(0)x py p =->O (4,12)OA OB +=--{}n a 13
5
a =
1321n n n a a a +=+1
2n =，，{}n a 0x >21121(1)3n n
a x x x ⎛⎫
-- ⎪++⎝⎭
≥
12n =，，2
121
n n a a a n ++
+>+
参考答案
一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B
A
C
D
C
D
A
B
1 B
2、解析：抽取学生数为（人）。

∴选A 。

3、解析：，故选C 。

4、解析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，
，∴选D ．
5、解析：命题的否定是只否定结论，∴选C.
6、解析：圆心（0，0）到直线的距离
， 圆的半径为1，
可能相切或相交。

故选D 。

7、解析：P 点取法总共有16种，由图知直线截距为3时经过
的点最多；∴选A ．
8、解析：由题意，函数的图象大致如图，
M
N ≠∅M 1801500
9001200720
900=++⨯
2
3
120cos ||||30
-
=⋅⋅=⋅+⋅+⋅b a a c c b b a 21
13
3
326
v ππ⋅⋅==22002211
1
a a
a d a a ⋅-+=
=
≤++)(x f 1
23
3
21O y x
， 则由不等式组所表示的区域如图所示，
的取值围即区域的点与 连线的斜率的取值围，
，故选B 。

二．填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只需选做二题作答，三题全答的，只计算前两题得分．） 9、3 10、 3（注：答题卡填的是也给5分） 11、 12、4 13、 14、4 15、 4 9、解析：
或（舍去），故 10、解析：=1时进入循环此时=21=2，=2时再进入循环此时=22=4，=3
时再进入循环此时=24=16，∴=4时应跳出循环，∴循环满足的条件为，∴填3。

（注：答题卷上填的是也给5分）
4221)2(<+<-⇒<+b a b a f ⇒
04
222>><+->+b a b a b a ⇒
3
3
++a b )3,3(--5
3
,37==
BP AP k k 3a ≤5
5
23332|2)22(2
020=⇒=-=-=-⎰t t t x x dx x t t
1-=t 3=t a b a b a b a 3a ≤3a ≤
O
b
a
11、解析：当最大时P 为椭圆与y 轴的交点，的正切值为2，即
，∵，则椭圆离心率e 为。

12、解析：由消去得。

直线的斜率为，∴填4． 13、解析：在平面直角坐标系中，曲线和分别表示圆
和直线，作图易知＝
14、解析：
15、解析：连结，则，且由知为正三角
形，所以。

又因为是⊙的切线，即，所以
三．解答题（本大题共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
＝．…………………………………………………… 3分 ∴周期为
， …………………………………………………… 4分 最大值为6 …………………………………………………………………… 5分
（Ⅱ）由，得．………………… 6分
∴． …………………………… 7分
， ………………………………………………… 8分
12F PF ∠12PF F ∠22b b c c =⇒=222222
21555c a b c a c e a =+⇒=⇒=⇒=11
21051055a d a d +=⎧⎨+=⎩1a 4d =2
2n n
a a d n n +-=+-4sin ρθ=-cos 1ρθ=()2
224x y ++=1x =AB 4|22|22=+-+≤--+=x x x x y OA 0
602=∠=∠CBA COA OA OC =COA ∆2=OA AD O AD OA ⊥42==OA OD ()223sin cos 5cos f x x x x x =++2cos 24x x =++π
2sin(2)46
x +
+22
π
π=()5f α=22
3sin cos 5cos 5αααα++=1cos 21cos 23
25522
αα
α-++=2cos 21αα+=
………… 9分
， ………………………………………………………10分
∴
． …………………………………………………… 12分 17．（本小题满分14分）
解：（I ）当时，汽车从甲地到乙地行驶了
小时， ………………2分 要耗油（升）。

………………4分
答：当汽车以40千米
/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

…6分
（II ）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升， 依题意得
………8分
令得……10分 当时，是减函数； 当时，是增函数。

当时，取到极小值…………………………12分
因为在上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11.25升。

14分
18．（本小题满分12分）
21cos 2αα=-2
cos 2sin ααα⇒=sin 0αα==或tan tan 0tan αα==或40x =100
2.540
=313
(
40408) 2.517.512800080
⨯-⨯+⨯=x 100
x
()h x 3213100180015
()(8).(0120),1280008012804
h x x x x x x x =-+=+-<≤33
22
80080'()(0120).640640x x h x x x x
-=-=<≤'()0,h x =80.x =(0,80)x ∈'()0,()h x h x <(80,120)x ∈'()0,()h x h x >∴80x =()h x (80)11.25.h =()h x (0,120]
解：（Ⅰ）∵函数的图象的对称轴为 要使在区间上为增函数， 当且仅当>0且
…………………………………………2分 若=1则=－1， 若=2则=－1，1
若=3则=－1，1；…………………………………………4分 ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5 ∴所求事件的概率为
…………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当且>0时，
函数上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 构成所求事件的区域为三角形部分。

…………………………………………8分
由 …………………………………………10分 ∴所求事件的概率为 …………………………………………12分
19.(本小题满分14分)
解法1：(Ⅰ)证明：取BE 的中点O ，连OC ，OF ，DF ，则2OF BA ………………2分
∵AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，∴2CD BA ，
14)(2+-=bx ax x f ,2a
b x =
14)(2+-=bx ax x f ),1[+∞a a b a
b
≤≤2,12即a b a b a b 51
153
=a b ≤2a ),1[14)(2
+∞+-=在区是间bx ax x f 80(,)
00a b a b a b ⎧⎫
+-≤⎧⎪
⎪⎪
>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭
),38,316(20
8得交点坐标为⎪⎩⎪
⎨⎧==-+a
b b a 31882
138821=⨯⨯⨯⨯=
P //// A
F
∴OF CD ，∴OC ∥FD ………………4分 ∵BC=CE ，∴OC ⊥BE ，又AB ⊥平面BCE. ∴OC ⊥平面ABE. ∴FD ⊥平面ABE. 从而平面ADE ⊥平面ABE.………………6分
(Ⅱ)二面角A —EB —D 与二面角F —EB —D 相等，由(Ⅰ)知二面角F —EB —D 的平面角为∠FOD 。

BC=CE=2, ∠BCE=1200，OC ⊥BE 得BO=OE=，OC=1，∴OFDC 为正方形，∴∠FOD=450，
∴二面角A —EB —D 的余弦值为。

……………………10分 （Ⅲ）∵OFDC 为正方形，∴CF ⊥OD ，CF ⊥EB ，∴CF ⊥面EBD ， ∴点F 到平面BDE 的距离为
FC ，∴点F 到平面BDE 的距离为。

……………14分
解法2：取BE 的中点O ，连OC.∵BC=CE, ∴OC ⊥BE ，又AB ⊥平面BCE.
以O 为原点建立如图空间直角坐标系O －xyz ，
则由已知条件有: ，，
……………………………2分
设平面ADE 的法向量为，
则由· 及· 可取…………………………… 4分
又AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，OC ⊥平面ABE ，
//32
2
1
2
22()0,3,2A ()
0,3,0B ()1,0,0,C ()1,0,1,D ()
0,3,1,E -()0,0,1F ()111,,n x y z =n EA =()()
111,,0,23,2x y z ⋅112320.y z =+=n DA =()()
111,,1,3,1x y z ⋅-11130.x y z =-++=n
=
()0,1,3- A
B
C
E
F D
O
x
y
z
∴平面ABE 的法向量可取为＝. ∵··=0, ∴⊥，∴平面ADE ⊥平面ABE.…… 6分
（Ⅱ）设平面BDE 的法向量为，
则由· 及·可取……… 7分
∵平面ABE 的法向量可取为＝…………8分 ∴锐二面角A —EB —D 的余弦值为
=，………… 9分
∴二面角A —EB —D 的余弦值为。

……………………………
10分 （Ⅲ）点F 到平面BDE 的距离为。

……………………………14分 20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由得,……………………2分
设则 因为=
所以解得………………4分 所以直线的方程为抛物线C 的方程为…………6分
（Ⅱ）方法1：设依题意，抛物线过P 的切线与平行时，△APB 面积最大，
，所以所以
m ()1,0,0n m
=
(0,1,()1,0,0n m ()222,,p x y z =p ED =()(
)
222,,x y z ⋅2220.x z =+=p EB =()()
222,,x y z ⋅20.==p =
()1,0,1-m ()1,0,0cos ,m p <>=
||||||m p m p ⋅⋅2
2
||2
2||
OF p p ⋅=22,
2y kx x py
=-⎧⎨=-⎩2240,x pkx p +-=()
()1,122,,,A x y B x y ()2
1212122,424,x x pk y y k x x pk +=-+=+-=--()()
2
1212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---()4,12,--2
24,2412.pk pk -=-⎧⎨--=-⎩1,2.p k =⎧⎨=⎩
l 22,y x =-2
2.x y =-00(,),P x y l 'y x =-0022,x x -=⇒=-2001
2,2
y x =-=-(2,2).P --
此时到直线的距离………………8分
由得，………………………10分
∴△ABP 的面积最大值为。

…………………………14分
（Ⅱ）方法2：由得，……………………8分
9分
设，
因为为定值，当到直线的距离最大时，△ABP 的面积最大，
……………………………12分
因为，所以当时，max
，此时
∴△ABP 的面积最大值为。

……………………………14分
21．(本小题满分
14分) 解法一：（Ⅰ）
，，
， ……………………2分
P l ,5d =
=
=222,
2,
y x x y =-⎧⎨=-⎩2440,x x +-=||AB ===52
=222,2,
y x x y =-⎧⎨=-⎩2
440,x x +-=||AB ===2
1(,)2
P t t -(22t --<<-+AB P l d d =
=
22t --<<-+2t =-d (2,2).P --52
=1321n n n a a a +=
+1121
33n n
a a +∴=+1111
113n n a a +⎛⎫∴
-=- ⎪⎝⎭
又
，是以为首项，为公比的等比数列． ………3分 ，． ……………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ……………………5分 ，原不等式成立．………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有
． ……………………10分 取，…………12分
则． 原不等式成立． ……………………14分
解法二：（Ⅰ）同解法一．
1213n a -=11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭
231
3∴112121333n n n a --=⋅=332
n
n n a ∴=+3032
n
n n
a =>+21121(1)3n x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
2112111(1)3n x x x ⎛⎫
=-+-- ⎪++⎝⎭2
11
1(1)1(1)n x x x a ⎡⎤=
-
-+⎢⎥++⎣⎦
2
112
(1)1n a x x =-⋅+++2
111n n n a a a x ⎛⎫
=--+ ⎪+⎝⎭
n a ≤∴0x >1222221121121121(1)31(1)31(1)3n n a a a x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+++--+--++
-- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
≥
22
122
21(1)333n n nx x x ⎛⎫=
-+++
- ⎪++⎝⎭
∴2
211122
2113311333313n n n x n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=
+++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭
- ⎪⎝⎭
22
12111111133n n
n n n n a a a n n n ++
+=>
+⎛⎫
+-+- ⎪⎝⎭
≥∴
（Ⅱ）设， ……………………5分 则…………6分 ，当时，；当时，， 当时，取得最大值．
原不等式成立． ……………………8分
（Ⅲ）同解法一．
2112()1(1)3n f x x x x ⎛⎫=
-- ⎪++⎝⎭
222222(1)2(1)2133()(1)(1)(1)
n n x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=--=+++0x >∴23n x <
()0f x '>2
3
n x >()0f x '<∴2
3n
x =
()f x 212313n n n
f a ⎛⎫
== ⎪⎝⎭+∴。