函数的单调性与最大小值 教学设计

函数的单调性与最大（小）值（第一课时）

设计人：章羽茜

一、教材分析

《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法以及在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数等常见函数，已经了解了生活中函数关系的普遍性，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

函数的单调性的概念是研究函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究也有重要的作用。可见，不论在函数的内部还是在外部，函数的单调性都有重要的作用，因而在数学中具有的核心的地位。

函数的单调性是体现了函数研究的一般方法。这就是加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般。首先借助对函数图像的观察、分析和归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数学特征，从而进一步用数学语言刻画。这对研究函数的其他性质，如奇偶性等有借鉴作用。

二、学情分析

此内容的教学对象浙江省诸暨中学是高一（4）学生，他们已经在初中学过了一次函数、二次函数、反比例函数等初等基本函数，也学习了函数的现代定义以及函数的三种表示方法。

本班智力水平较高，能较好地学习与理解函数单调性的性质，但对此内容的深入研究还缺乏一定的认识。大部分学生已经具备了一定的抽象概括能力及数学表达能力。

本班学生缺乏活跃，但仍能在教师的引导下主动地探索、发现、研究问题。

三、教学目标分析

1.知识与技能：

（1）理解增减函数、单调性、单调区间四个概念：能用自己的语言说出定义，并认识它们是如何得出来的。

（2）掌握函数增减性的证明：掌握借助函数图像求（判断）简单函数的单调区间及证明简单函数在给定区间上的单调性的方法和步骤。

2.过程与方法：

（1）能从具体实例中得出增函数、减函数的定义，培养观察能力和抽象概括能力。

（2）通过知识的获得提高和发展学生自我学习和自我学习和自我发展能力。

3.情感态度与价值观：

借助开放探究的教学方式，张扬学生个性，培养学生科学严谨乐于研究的作风。

四、教学重难点分析

基于以上分析，得出此课题的教学重点与难点如下：

教学重点: 函数单调性的概念的理解。为了突出重点，先通过实例让学生直观感受函数单调性的概念；再用数学语言描述；然后通过对函数单调性概念的应用促进学生对此概念的理解。

教学难点：函数单调性的概念形成。刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强。从图形到日常的描述性语言概念再升华到数学符号语言精确刻画概念这个过程对于他们来说有一定难度。为了突破这一难点，让学生经历这一过程，教师再进行适时地点拨。

五、教学过程设计

具体的，将教学过程分为五个环节：

1.结合情景，引入课题

问题1：下图是诸暨市今年9月16日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.

〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

T: 函数是描述事物变化规律的模型，了解了函数的规律也就了解了想应事物的变化规律。研究函数的性质，比如研究函数是逐渐递增还是逐渐递减，以及函数的变化特征就变得非常

重要了。

问题2：观看下列两组函数图像，说说他们分别反映了相应函数的那些变化规律。

（一）

a b

（二）

a b

S：第一组的函数图像自左向右是上升的，也就是随着自变量x的增大函数值也增大。第二组图像时自左向右下降的，也就是随着自变量x的增大函数值也减小。

T：对于函数图像变化问题，很重要的就是描述变化的增与减的问题，我们把函数的这种增与减的性质称“单调性”。

教师结合上述，写出课题：函数的单调性。

设计意图：从形到数，借助对函数图像的观察，猜测相应的函数的性质，得出函数单调性的“直观定义”。

2．抽象思维，形成概念

结合上述直观认识，给出函数德尔单调性的“描述性定义”：

增函数：一般的，设函数的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1

减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.

单调区间: 如果函数y=f（x）在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增(或减)区间.

问题3：回顾刚才的两个函数图像

b

T：从图形上，增函数就其本身而言是相应区间上较大的自变量对应较大的函数值的函数；减函数就是相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数。这就是我们从直观上给出函数图像来研究函数单调性，接下来我们对函数单调性的定义进行更深层次的了解。

关键词:

1．（取值）定义域某个区间D的取值：增、减函数都是对相应的区间而言的，离开了区间就根本谈不上函数的单调性。

问题4：（1）我们能否说一个函数在x=3时时递增的还是递减的？

答案预设：不能。函数在某一点的函数值是唯一确定的，没有增减变化。

（2）能否脱离区间泛泛而谈某个区间是增函数还是减函数？

答案预设：不能。例：y=x2

2.任意：不能去特定的值来判断单调性

例：y=|x|

x=1, y=1 而x=2,y=2

3.都有：只要x1

问题5：

函数在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当a

例：下面这个函数图像所表示的函数叫不叫函数？单调性如何？

y

o x