对流换热微分方程教学提纲

CCttC C C l t y t
③
比较①③可以得到
Ct C
CwCt Cl
CCaC l2 t
C Ct
CCt Cl
CaC Cl2
1, CwCl Ca
1
C Cl 1 C
再将各常数用1、2系统参数表示，则有：
a a
l2
l 2
令Fo
a
l2
定义为傅立叶准数
wl wl
a
a
令Pe wl a
t
t (y)n0
（对流换热微分方程）
（二）、流体的导热微分方程（能量微分方程）
在流场中取微元六面体，根据能量守恒定律，推出流体的导 热微分方程
t w x x t w y y t w z z t a ( x 2 t 2 y 2 t2 z 2 t 2)
即：
Dt a2t
D
其中： a cp
换 • 流体的导热微分方程（能量微分方程）
热 微 分
• 连续性微分方程 • 流体的运动微分方程
方 求解微分方程组条件——单值条件
程
组
（一）、对流换热微分方程
n
理论求解对流换热问
tf
w∞
题的思路:
对流换热量=
w 边界层 层流底层
贴壁流体层的导热量
Q
tw
x
d Q (tf tw )d F td F ( y t)n 0dF
四、 对流换热微分方程组
求解对流换热问题的方法 ：
1、数学解析法：理论求解或数值求解描述对流换热过程的微分 方程（组），得到精确解或相似解；
2、模拟实验法：根据相似理论，将描述对流换热过程的微分方 程（组）通过数学、物理化简成为准数方程的形式，然后根据 实验确定准数方程的具体关系。
对 流
• 换热微分方程
tt
①
y
根据相似原理，这两个系统的一切物理量都彼此成比例，即:
x x
y y
z z
Cl
wx wx
wy wy
wz wz
Cw
C
a a C a
C
t t C t
C
将2系统的物理量置换为1系统的物理量
C C t tC C wC l t (wx x twy y twz zt)C C aC l2t a( x2t2 y2t2 z2t2 )
定义为贝可列准数
l l
令Nu l
因此：得到三个热相似准数
定义为努谢尔特准数
5)、傅立叶准数
a
Fo l2
6)、贝可列准数
Pe wl a
7)、努谢尔特准数
Nu l
物理条件 几何条件 边界条件、 时间条件等
五、相似理论在对流换热过程中的应用
（一）、用相似理论解决对流换热问题的步骤：
1）写出所研究对象的微分方程（组）； 2）根据相似原理，利用置换的方法，找出相似准数； 3）将所研究的问题用准数方程的形式表示出来； 4）用物理实验的方法，找出准数函数的具体函数关系； 5）将函数关系推广应用。
)
上面三式合并即为
D Dw F 1gra (pd ) 2w
若质量力只有重力，上式可以写成
D Dw g 1gra(pd) 2w
对流换热微分方程组
t
(yt )n0
对流换热微分方程
Dt a2t
D
流体导热微分方程
div(w) 0 连续微分方程
D Dw ggra (p运)d动微分方 程2w
（五）、求解微分方程条件——单值条件
（二）、描述对流换热过程的相似准数
1、动力相似准数
运用相似理论,根据
连续微分方程： div(w) 0
运动微分方程：
D D w ggra (p)d 2w
可以得到如下准数
1)、均时性准数 2)、弗鲁德准数 3)、欧拉准数
4)、雷诺准数
Ho w
l
Fr gl w2
Eu
p
w2
Re wl
2、热相似准数
〉 有相变的 无相变的
4）、壁面的几何形状、相对位置的影响
二、对流换热的基本定律 ——牛顿冷却定律
1、内容：单位时间内流体流过某一固体壁面发生的热量传 递与流体和固体壁面之间的温度差及固体表面积成正比
2、数学表达式：
ut f
Q=α(tf -tw) F (w)
F
tw
α——对流换热系数
研究对流放热的主要任务就是研究对流换热系数。
[不可压缩流体的纳维尔——斯托克斯(Navier-Stokes)方程]
Dwx
D
Fx
1
p x
(
2 wx x2
2 wx y2
2 wx z 2
)
Dwy
D
FyLeabharlann 1p y(
2 wy x2
2 wy y2
2 wy z 2
)
Dwz
D
Fz
1
p z
(
2 wz x2
2wz y 2
2 wz z 2
三、边界层理论 简述
（一）速度边界层的概念
概念：
流速从物体表面的零急剧增加到与来流速度w∞同数 量级的大小。
形成：
y
w∞
湍流核心
层流边界层
过渡区
过渡层 层流底层 湍流边界层
（二）热边界层的概念
速度边界层与热边界层的比较
速度边界层厚度δ反映流体 动量传递的渗透程度。 热边界层厚度δt反映流体热 量传递的渗透程度。
若wx=wy=wz=0,上式变为
导温系数
t a2t
（三）、连续性微分方程
根据质量守恒定律，可以推出空间运动的连续
性微分方程。
(w x) (w y) (w z)0
x
y
z
对于不可压缩流体，ρ=常数，上式变为
wx wy wz 0 x y z
即： div(w) 0
（四）、流体的运动微分方程
运用相似理论，根据流体的换热微分方程和导热微分方程 可以得到热相似准数。
假设有两个彼此相似的系统1和2，他们均遵循换热微分方 程和导热微分方程。
对于1系统：
t
t wx x
t wy y
t wz z
2t a(x2
2t y2
2t z2)
t t
①
y
对于2系统：
twxxtwyytwzzta(x2t2y2t2z2t2)
对流换热微分方程
3）、流体的物理性质的影响 影响流动速度、状态的物性参数等，都会影响对流换热。 如：
流体的密度ρ(kg／m3)、 动力粘度μ(kg/m.s)或运动粘度υ(=μ/ρ)， 比热容cp(kJ/kg·℃）、 导热系数λ(W/m·℃） 导温系数a＝λ/（cpρ）(m2／s)。
4）相变的影响 流体的相变：凝结——凝结换热 沸腾——沸腾换热
3、对流换热系数α的分析
物理意义
因为： QFt
所以：
Q
Ft
物理意义：表示对流换热能力大小的参数。
在数值上等于单位表面积，单位时间内、流体 与固体表面温差相差1℃时对流换热所传递的热量。
单位：W/(m 2 ℃)
影响因素： f( ,l1 ,l2 ,l3 ,tw ,tf,w ,,c p ,,)