5.2 对流换热微分方程组
合集下载
V4-第五章-对流传热的理论基础-2014
单位时间热对流传递到微元体的净热量： 1 + 2
t t Q对流 c p u v dxdy y x
Q导热 + Q对流 = U热力学能
单位时间导入导出的净热量： 单位时间热力学能的增量：
2t 2t Q导热 2 dxdy＋ 2 dxdy x y
t y
y 0
h
t
t y
y 0
λ：流体导热系数； ∂t/∂y： 贴壁流体层的温度梯度 注意与导热问题第三类边界条件的区别
例5－1： 热边界层中特定位置x处的温度分布由下式给出 ， t ( y) A By Cy 2 其中 A,B,C为常数。试求相应的局部换热系数hx的表达式。 分析：计算hx的公式主要有：对流换热微分方程式和努塞尔数准则。根据 本例条件，应该采用对流换热微分方程式计算。 解：
惯性力 体积力 压力梯度 粘性力
能量守恒方程：热力学第一定律 Q＝∆E+W
[导入与导出的净热量] + [热对流传递的净热量] + [内热源发热量]
= [总能量的增量] + [对外膨胀功]
Q — Q导热 Q对流 Q内热源
E — U 热力学能 U K（动能）
假设： 无内热源，低速流动，流体不对外作功
1. 流动边界层及其厚度的定义
普朗特 实验发现：流体近壁面流动时基于粘性力的速度梯度 主要存在于近壁面的薄层，主流区速度梯度很小。
yx
du dy
速度边界层的定义 固壁表面附近流体速度剧烈变化的薄层称为速度边界 层 ，速度边界层外的主流区速度梯度视为零。
Ludwig Prandtl 1875-1953
Q导热 + Q对流 = U热力学能
第五章_对流换热原理-2
ij 21
22
23
31 32 33
式中 ij ,i 1,2,3; j 1,2,3 为应力张量，下标i表 示作用面的方向，下标j则表示作用力的方向
通常将作用力和作用面方向一致的应力分量 称为正应力，而不一致的称为切应力。
对于我们讨论的二 维流场应力只剩下 四个分量，记为
完整数学描述：对流换热微分方程组 + 单值性 条件
单值性条件包括：几何、物理、时间、边界
① 几何条件：说明对流换热过程中的几何形 状和大小，平板、圆管；竖直圆管、水平圆管； 长度、直径等
②物理条件：说明对流换热过程物理特征，如：
物性参数 、 、c 和 的数值，是否随温度
和压力变化；有无内热源、大小和分布
Q3＝dxdy1
Q3
2
u x
2
v y
2
u y
v x
2
dx dy 1
④单位时间内、微元体内焓的增量：
mcp
t
dxdycp
t
cp
t
dxdy
表面力作的功
a) 变形功；b) 推动功
（2）表面应力（法向+切向）作的功：a) 动能；b) 耗散热
耗散热（ ）：由表面粘性应力产生的摩擦
力而转变成的热量。
Q导热 + Q对流 = U热力学能 + 推动功 = H
对于二维不可压缩常物性流体流场而言，微元 体的能量平衡关系式为：
Q1 Q2 Q3 H
in
对流换热微分方程
a 令Fo 2 l
定义为傅立叶准数
wl 令Pe a
定义为贝可列准数
l l
5)、傅立叶准数
l 令Nu
Fo
Pe
定义为努谢尔特准数
因此：得到三个热相似准数
a l2
wl a
6)、贝可列准数
7)、努谢尔特准数
l Nu
上面分析将描述对流换热的微分方程组转化为准则数方程：
C
将2系统的物理量置换为1系统的物理量
t t t 2t 2t 2t Ct t CwCt Ca Ct ( w w w ) a ( 2 ) x y z 2 2 2 C Cl x y z Cl x y z t C Ct C Ct t Cl y
第二节 对流换热
一、对流换热基本概念
对流：流体各部分之间发生相对位移所引起的热量传递，只 能在液体和气体中出现。
对流换热 当流体流过固体表面时所发生的热量传递。 对流换热特点： （a）流体与固体表面直接接触；
（b）传热的部分有宏观的相对位移； （c）对流的同时,流体各部分之间还存在着导热。
分析准数方程：
Nu=f（Ho，Eu，Re，Fo，Gr，Pr）
在保证几何相似，动力相似的条件下， 即：几何尺寸成比例， Eu一定时 在稳定流动，稳态传热条件下： Ho 、Fo 不考虑，
则：Nu=f（Re，Gr，Pr）
若强制对流换热， Gr 不考虑 则：Nu=f（Re，Pr） 若自然对流换热， Re 不考虑， 则： Nu=f（Gr，Pr）
对流换热微分方程组 t ( ) n 0
t yபைடு நூலகம்
对流换热微分方程 流体导热微分方程
流体无相变时的对流换热
Nu = c Re Pr 令 Re = const C ′ = c Re n
n m
lg Nu = lg C ′ + m ln Pr m可求，同理使 Pr = const
Nu lg 0.4 = lg C + n lg Re Pr C, n可得
Nu = 0.023 Re 0.8 Pr 0.4 （管内紊流）
如：强制对流换热和自然对流换热，虽然都是对流换热现象， 但它们不是同类现象。点场和温度场也不是同类现象。 两个物理现象相似时，其有关的物理量场分别相似。 重要性质：彼此相似的现象，它们的同名准则必定相等。
换热微分方程式：α = − 现象a： 现象b：
λ ∂t
∆t ∂y
y =0
α′ = − α ′′ = −
Pe′ = Pe′′ －－贝克利准则
uL νuL Pe = = = Pr⋅ Re a νa 对于自然对流，则须
(Pr⋅ Re)′ = (Pr⋅ Re)′′
Gr ′ = Gr ′′
－－格拉晓夫准则
βg∆tL3 Gr = ν2
几个准则的物理意义： 雷诺准则：反映流体的惯性力与粘滞力之比的相对大小。 格拉晓夫准则：反映流体的浮升力与惯性力的相对大小。 普朗特准则：反映流体的动量传递能力与能量传递能力的相对 大小。 努谢尔特准则：反映实际热量传递与导热分子扩散量传递的比 较；Nu越大，则换热越强。 Bi和Nu的区别： 1、λ不同。前者为固体，后者为流体 2、物理意义不同。 αL 公式Nu =
λ
３．相似准则之间的关系 Nu = f (Re, Pr) 紊流强制对象： 过渡区： Nu = f (Re, Pr, Gr ) 自然对流：
Nu = f (Pr,Gr )
其中：
对流传热微分方程组共有几类方程
对流传热微分方程组共有几类方程
流体传热是物理学中一个重要的研究课题。
由于其具有复杂的物理特性和现象，针对流体传热的数学模型和相应的微分方程组也比较复杂，可以分为凝聚态和气体态两类。
其中，凝聚态的流体传热方程组由湿度、热量、压力和质量方程组构成，其中湿度方程独立于其他流体参数，它只描述水分的变化；热量方程组由热输运方程、温度方程和热量源项三部分构成，主要用来描述热能的穿透和传递；压力方程组由压强和密度构成，主要用于研究流体压力作用对流体温度和其他因素的影响；质量方程组描述流体物质的输入和流动。
气体态的流体传热方程通常由热传导方程、热共振方程和浸入方程三部分构成，主要用来描述气体传热的特性及其与温度、湿度以及环境温度等参数的关系；此外，还有力学方程组，用于描述流体对外界力学作用的响应和发展趋势。
总之，流体传热微分方程组共有凝聚态和气体态两类，凝聚态方程组包括湿度、热量、压力和质量方程组，气体态方程组主要由热传导方程、热共振方程和浸入方程组成，力学方程则是描述流体对外界输入的响应和发展趋势的方程组。
这些方程组所研究的物理现象都是十分复杂的，因此在科学实验中提供的数据也是极其丰富且严谨的，进一步深入研究十分有必要。
第十章 对流换热
第二编热量传输第十章对流换热对流换热指相对于固体表面流动的流体与固体表面间的热量传输；对流换热时，除了有随同流体一起流动的热量传输外，还存在传导方式的热交换，因此对流换热是流体流动与传导热量联合作用的结果。
对流换热的基本计算式是牛顿冷却公式，即热流密度为。
（10-1）式中α——表面传热系数（W/（m2·℃）；T W 及Tf——分别为固体表面温度及流体温度。
对于面积为A的接触面，对流换热的热流量为。
（10-2）约定Φ与q总取正值，因此当TW ＞Tf时，。
则牛顿冷却公式只是表面传热系数α的定义式，它没有揭示出表面传热系数与影响它的物理量之间的内在联系。
本章的任务就是要求出表面传热系数α的表达式。
求解表面传热系数α的表达式有两个基本途径：一是分析解法；二是应用相似原理，将为数众多的影响因素归结成为数不多的几个无量纲准则，再通过实验确定α的准则关系式。
本书将采用相似原理导出对流换热的准则方程式。
第一节对流换热的机理及影响因素一、对流换热机理在动量传输中已经知道，当流体流过固体表面时，靠近表面附近存在速度边界层，边界层可以是层流边界层或紊流边界层，但是在紧靠固体表面上总是存在着层流底层。
与速度边界层类似，当粘性流体在固体表面上流动时，如果流体与固体壁面之间存在温差而进行对流换热，则在靠近固体壁面附近会形成一层具有温度梯度的温度边界层，也称为热边界层，如图5-1所示。
贴壁处这一极薄的流体层相对于壁面是不流动的，壁面与流体间的热量传递必须穿过这个流体层，而穿过不流动流体的热量传递方式只能是导热。
因此，对流换热的热量就等于穿过边界层的导热量。
将傅里叶定律应用于边界层可得。
（10-3）式中——贴壁处流体的法向温度变化率；A——换热面积。
将牛顿冷却公式（10-1）与上式（10-3）联解，即得到以下换热微分方程。
（10-4）由上式可见，表面传热系数α与流体的温度场有联系，是对流换热微分方程组一个组成部分。
式（10-4）也表明，表面传热系数α的求解有赖于流体温度场的求解。
传热学5
7/42
分析 解法
采用数学分析求解的方法。
传热学 Heat Transfer
2.如何从获得的温度场来计算h 无论是分析解法还是数值法首先获得都是温度场， 如何由T→h？ t q 由傅里叶定律 w y
y 0
牛顿冷却公式
q w qc
qc h t w t
y
主流区
u∞
d 5 .0 离开前缘x处的边界层厚度 x Re x
局部表面传热系数
1/ 2 1/ 3 hx 0.332 Re x Pr x hx x 0.332 Re x1/ 2 Pr 1/ 3 Nu x 努塞尔数
（特征数方程，关联式）
u x 雷诺数： Re x 5 Re Re 5 10 关联式适用范围： c
25/42
传热学 Heat Transfer
1.数量级分析方法的基本思想 分析比较方程中等号两侧各项的数量级大小，在 同一侧内保留数量级大的项而舍去数量级小的项 2.实施方法 ①列出所研究问题中几何变量及物理变量的数量 级的大小，一般以1表示数量级大的物理量的量级。 以Δ表示小的数量级 ②导数中导数的数量级由自变量及因变量的数量 级代入获得
2t t t 2t c p u x v y x 2 y 2
28/42
传热学 Heat Transfer
5.4流体外掠平板传热层流 分析解及比拟理论
29/42
传热学 Heat Transfer
一、外掠等温平板层流流动下对流换热问 题的分析解
u v 0 x y
u u u p 2u 2u （ u v ) Fx ( 2 2 ) x y x x y v v v p 2v 2v （ u v ) Fy ( 2 2 ) x y y x y
分析 解法
采用数学分析求解的方法。
传热学 Heat Transfer
2.如何从获得的温度场来计算h 无论是分析解法还是数值法首先获得都是温度场， 如何由T→h？ t q 由傅里叶定律 w y
y 0
牛顿冷却公式
q w qc
qc h t w t
y
主流区
u∞
d 5 .0 离开前缘x处的边界层厚度 x Re x
局部表面传热系数
1/ 2 1/ 3 hx 0.332 Re x Pr x hx x 0.332 Re x1/ 2 Pr 1/ 3 Nu x 努塞尔数
（特征数方程，关联式）
u x 雷诺数： Re x 5 Re Re 5 10 关联式适用范围： c
25/42
传热学 Heat Transfer
1.数量级分析方法的基本思想 分析比较方程中等号两侧各项的数量级大小，在 同一侧内保留数量级大的项而舍去数量级小的项 2.实施方法 ①列出所研究问题中几何变量及物理变量的数量 级的大小，一般以1表示数量级大的物理量的量级。 以Δ表示小的数量级 ②导数中导数的数量级由自变量及因变量的数量 级代入获得
2t t t 2t c p u x v y x 2 y 2
28/42
传热学 Heat Transfer
5.4流体外掠平板传热层流 分析解及比拟理论
29/42
传热学 Heat Transfer
一、外掠等温平板层流流动下对流换热问 题的分析解
u v 0 x y
u u u p 2u 2u （ u v ) Fx ( 2 2 ) x y x x y v v v p 2v 2v （ u v ) Fy ( 2 2 ) x y y x y
对流传热基础及微分方程组课件
对流传热类型
自然对流
由于流体内部密度变化而引起的对流 。
强制对流
混合对流
自然对流和强制对流同时存在的对流 。
由于外部机械力作用而引起的对流。
对流传热机理
热传导
流体内部质点之间的热量传递。
热对流
流体与固体壁面之间的热量传递。
热辐射
通过电磁波传递热量。
对流传热系数
• 对流传热系数是描述对流传热速率的重要参数，其值取决于流 体的物理性质、流动状态、温度差以及传热面的几何形状和大 小。
对流传热基础及微分方程组课件
• 对流传热基础 • 微分方程组 • 对流传热微分方程组 • 数值解法 • 案例分析
01
对流传热基础
对流传热定义
01
对流传热是指流体内部质点发生 相对位移时，流体的热量传递过 程。
02
在对流传热过程中，热量不仅在 流体的不同温度层次之间传递， 还在流体与固体壁面之间传递。
微分方程应用
微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的 应用。
在物理学中，微分方程被用来描述各种物理现象的变 化规律，如力学、电磁学、热学等。在工程学中，微 分方程被用来描述各种工程系统的动态行为，如控制 系统、机械系统、电路系统等。在经济学中，微分方 程被用来描述经济系统的变化规律，如供需关系、市 场均衡等。此外，微分方程还在生物学、化学等领域 有广泛的应用。
05
案例分析
自然对流案例
自然对流是由温度差异引起的 流体流动现象，例如热空气上 升和冷空气下沉。
自然对流在气候模拟、建筑通 风和工业热过程等领域有广泛 应用。
自然对流案例通常需要考虑重 力、浮力、热传导和粘性阻力 等因素。
强制对流案例
传热学第5章
如何确定表面传热系数的大小是对流换热计算的核 心问题，也是本章讨论的主要内容。
2. 对流换热的影响因素
对流换热是流体的导热和对流两种基本传热方式共 同作用的结果，因此，凡是影响流体导热和对流的因 素都将对对流换热产生影响。主要有以下五个方面：
2
(1)流动的起因：影响流体的速度分布与温度分布。 强迫对流换热 自然对流换热
17
5.3 边界层概念
1.速度边界层（流 动边界层） 速度发生明显变 化的流体薄层。
流动边界层厚度 :
紊流核心
u 0.99u l
流场的划分: 主流区：y> 理想流体 边界层区: 0 y
u y 速度梯度存在于粘性力的作用区。
18
边界层的流态： 层流边界层、过渡区、紊流边界层
单位时间从y方向净进入微元体的质量所携带的能
12
单位时间内微元体热力学能的增加为
dU h 于是根据微元体的能量守恒 d ut vt 2t 2t 可得 2 2 dxdy c p x y dxdy x y t cp dxdy t 2t 2t t t u v cp u v t x2 y 2 x y x y
上面两式建立了对流换热表面传热系数与温度场 之间的关系。而流体的温度场又和速度场密切相关， 所以对流换热的数学模型应该包括描写速度场和温度 场的微分方程。
9
1）连续性微分方程（质量守恒） u v dy 0 x y 2）动量微分方程（动量守恒） 压力差 0 惯性力
y
微元体
dx
x
2u 2u u u u p x方向: u x v y Fx x x 2 y 2 Du p 体积力 粘性力 2 Fx u d x 2v 2v v v v p v 2 2 y方向: u Fy x y y x y
对流换热PPT
流动边界层的厚度与流速、流体的运动粘度 和离平板前缘的距离x的关系
δcm
平板长度l (cm) 空气沿平板流动时边界层增厚的情况
x,空气速度 u 10m / s :
x100mm 1.8mm; x200mm 2.5mm
由牛顿粘性定律： u
y 速度梯度越大，粘滞应力越大。
边界层外： u在y方向无变化，
边界层过度的距离：
xc
临界雷诺数： Rec
惯性力 Rec 粘性力
u xc u xc
v
紊流边界层：
平板：Rec 2 105 ~ 3106; 取Rec 5105
为何是一个范围？
层流底层：紧靠壁面处，粘滞力会占绝对优势，使粘附于壁的一层薄层仍然会保 持层流特征，具有最大的速度梯度。
流动边界层的几个重要特征：
也必须有温差 （3）由于流体的黏性和受壁面摩擦阻力的影响，紧贴
壁面处会形成速度梯度很大的流动边界层 （4）紧贴壁面处同时形成温度梯度很大的热边界层
4、牛顿冷却公式
对流换热量的基本计算公式
Q F t w
q t W/m2
热流量Q和热流密度q总取正值 ，因此对流换热温差总取正值。
t = t w t f
t
与t
层流：温度呈抛物线分布 紊流：温度呈幂函数分布
紊流边界层贴壁处的温度梯度明显大于层流
故：紊流换热 比Ty层流w,t换热 强Ty。w,L
层流靠流体导热换热，紊流依靠流 体微团脉动对流换热
与度
的关系：分别反映流体分子和流体微团的动量和热
t
扩散的深
t
Pr
1 3
层流：0.6
Pr
50
壁面加热流体时热边界层的形成和发展
第5章对流传热的理论基础
能量守恒方程
cp( t u x t v y t)( x 2 2 t＋ y 2 t2)
*
7
2.定解条件 包括初始时刻的条件以及边界上与速度、压力及温度等有关的条件。以能量守恒方
程为例，边界条件包括： １）第一类边界条件。 规定边界上流体的温度分布。 （２）第二类边界条件 规定边界上加热或冷却流体的热流密度。 由于获得表面传热系数是求解对流换热问题的最终目的，因此，一般来说，求解对流换 热问题没有第三类边界条件。
10m/s。求离平板前缘320mm处的流动边界层和热边界层的厚度。
假设：流动处于稳态。
计算：空气的物性参数按板表面温度和空气温度的平均值30℃确定。 30℃时空气的 v1 610 6m 2/s, P r0.701
Re ul 100.32 2105 属于层流 v 16106
于是，流动边界层的度厚为
11
临界雷诺数：Rec
Rec
惯性力 粘性力
uxc
平板：
uxc
R c 2 e 1 5 ~ 3 0 1 6 ;0 取 R c 5 e 1 50
湍流边界层：
粘性底层（层流底层）：紧靠壁面处，粘滞力会占绝对优势，使粘附于壁的一极薄
层仍然会保持层流特征，具有最大的速度梯度。
3.流动边界层内的动量方程
边界层）。 （２）流动边பைடு நூலகம்层的厚度
视接近主流速度的程度而定。 通常规定达到主流速度的0.99处的y值为流动边界层的厚度，记为
。
（3）边界层厚度与壁面尺寸l相比是个很小的量，远不只小于一个数量级。
10
2. 流动边界层内的流态 边界层内流动状态分层流与湍流；湍流边界层内紧靠壁面处仍有极薄层保持层流状
态，称层流底层。
对流换热微分方程
2）、流体流动的状态的影响
3）、流体的物理性质的影响 影响流动速度、状态的物性参数等，都会影响对流换热。 如： 流体的密度ρ(kg／m3)、 动力粘度μ(kg/m.s)或运动粘度υ(=μ/ρ)， 比热容cp(kJ/kg· ℃）、 导热系数λ(W/m·℃） 导温系数a＝λ/（cpρ）(m2／s)。 4）相变的影响 流体的相变：凝结——凝结换热 沸腾——沸腾换热
3、对流换热系数α的分析
物理意义 因为： 所以：
Q Ft
Q Ft
物理意义：表示对流换热能力大小的参数。 在数值上等于单位表面积，单位时间内、流体 与固体表面温差相差1℃时对流换热所传递的热量。 单位：W/(m 2 ℃)
影响因素：
f (, l1, l2 , l3 , tw , t f , w, , c p , , )
有相变的〉无相变的
4）、壁面的几何形状、相对位置的影响
二、对流换热的基本定律 ——牛顿冷却定律
1、内容：单位时间内流体流过某一固体壁面发生的热量传 递与流体和固体壁面之间的温度差及固体表面积成正比
2、数学表达式：
Q=α(tf -tw) F
α——对流换热系数
(w)
u
tf
F
tw
研究对流放热的主要任务就是研究对流换热系数。
其中：
t 2 a t 若wx=wy=wz=0,上式变为
a cp
导温系数
（三）、连续性微分方程
根据质量守恒定律，可以推出空间运动的连续 性微分方程。 ( wx ) ( wy ) ( wz ) 0 x y z 对于不可压缩流体，ρ=常数，上式变为 wy wx wz 0 x y z
对流换热微分方程组 t ( ) n 0
对流换热分析
由于粘性作用，流 体流速在靠近壁面 处随离壁面的距离 的缩短而逐渐降低； 在贴壁处被滞止， 处于无滑移状态
26
• 从 y = 0、u = 0 开始，u 随着 y 方向离壁面距离的 增加而迅速增大；经过厚 度为 的薄层，u 接近主 流速度 u • y = 薄层 — 流动边界层 • 或速度边界层 • — 边界层厚度 • 定义：u/u=0.99 处离壁的距离为边界层厚度 • 小：空气外掠平板，u=10m/s：
相变换热：凝结、沸腾、升华、凝固、融化等
（Phase change） （Condensation） （Boiling）
6
(4) 换热表面的几何因素： 内部流动对流换热：管内或槽内 外部流动对流换热：外掠平板、圆管、管束
7
(5) 流体的热物理性质：
3 [ kg m ] 密度 热导率 2 比热容 c [J (kg C)] 动力粘度 [ N s m ] 2 运动粘度 [m s] 体胀系数 [1 K ]
引言
第五章
对流换热分析
§5-1 对流换热概述 §5-2 对流换热微分方程组 §5-3 边界层换热微分方程组 §5-4 相似理论基础
1
§5-1 对流换热概述
一 对流换热的定义和性质
对流换热是பைடு நூலகம்流体流经固体时流体与固体表面之间的 热量传递现象。
● 对流换热与热对流不同，既有热对流，也有导热；
不是基本传热方式 ● 对流换热实例：1) 暖气管道; 2) 电子器件冷却；
11
§5-2 对流换热微分方程组
在这极薄的贴壁流体层中，热量只能以导热方式 传递，根据傅里叶定律：
qw, x
t y w, x
W m
26
• 从 y = 0、u = 0 开始，u 随着 y 方向离壁面距离的 增加而迅速增大；经过厚 度为 的薄层，u 接近主 流速度 u • y = 薄层 — 流动边界层 • 或速度边界层 • — 边界层厚度 • 定义：u/u=0.99 处离壁的距离为边界层厚度 • 小：空气外掠平板，u=10m/s：
相变换热：凝结、沸腾、升华、凝固、融化等
（Phase change） （Condensation） （Boiling）
6
(4) 换热表面的几何因素： 内部流动对流换热：管内或槽内 外部流动对流换热：外掠平板、圆管、管束
7
(5) 流体的热物理性质：
3 [ kg m ] 密度 热导率 2 比热容 c [J (kg C)] 动力粘度 [ N s m ] 2 运动粘度 [m s] 体胀系数 [1 K ]
引言
第五章
对流换热分析
§5-1 对流换热概述 §5-2 对流换热微分方程组 §5-3 边界层换热微分方程组 §5-4 相似理论基础
1
§5-1 对流换热概述
一 对流换热的定义和性质
对流换热是பைடு நூலகம்流体流经固体时流体与固体表面之间的 热量传递现象。
● 对流换热与热对流不同，既有热对流，也有导热；
不是基本传热方式 ● 对流换热实例：1) 暖气管道; 2) 电子器件冷却；
11
§5-2 对流换热微分方程组
在这极薄的贴壁流体层中，热量只能以导热方式 传递，根据傅里叶定律：
qw, x
t y w, x
W m
《传热学》第5-6章-对流换热
dxdy
λ
∂ 2t ∂x2
+
∂ 2t ∂y 2
dxdy
−
ρc
p
∂
(ut
∂x
)
+
∂
(vt
∂y
)dxdy
=
ρc p
∂t ∂τ
dxdy
ρc
p
∂t ∂τ
+ u ∂t ∂x
+ v ∂t ∂y
+
t
∂u ∂x
+
∂v ∂y
=
λ
∂ 2t ∂x 2
+
似，已很少再用
5-2对流换热的数学描述
1) 对流换热微分方程
取边长为∆x, ∆y, ∆z=1的微元体为研究对象
当粘性流体在壁面上流动时，由于 粘性的作用，流体的流速在靠近壁 面处随离壁面的距离的缩短而逐渐 降低；在贴壁处被滞止，处于无滑 移状态（即：y=0, u=0）
在这极薄的贴壁流体层中， 热量只能以导热方式传递
∂ρ ∂T
p
λ ↑⇒ h ↑ (流体内部和流体与壁面间导热热阻小)
ρ、c ↑⇒ h ↑ (单位体积流体能携带更多能量)
µ ↑⇒ h ↓ (有碍流体流动、不利于热对流)
α ↑⇒ 自然对流换热增强
5) 换热表面的几何因素
对流换热分类
1
对流换热的主要研究方法
v (1) 分析法——解析解 v (2) 数值法——近年发展的方法 v (3) 实验法——主要方法（拟合公式） v (4) 比拟法——热量传递与动量传递 的相
在层流边界层与层流底层内，垂直于壁面方向上的热量传递 主要靠导热。紊流边界层的主要热阻在层流底层。
对流传热基础及微分方程组
三维连续性方程： u v w 0 x y z
3.动量方程（N-S方程）
取微小六面体ABCDEFGH，其平 行于坐标轴各边的长度为dx，dy， dz，其质量为：M=ρdxdydz。
单位质量流体所受的质量力在三
个坐标轴方向的分量为：X，Y，Z. 现着重分析作用在六面体表面上的 表面应力。
在六面体的各表面上，除了与受
) p dT
(
h p
)T
dp
cpdT
( h p
)T
dp
补充以下热力学微分方程：
从热力学微分方程可知
h ( p )T
1 p
1
T
(
T
)
p
v
1
( T ) p
由以上关系整理得
cp
DT
D
(
x
T x
)
y
(
T y
)
z
(
T z
)
V
T
Dp
D
Φ
对不可压流体
V T
Dp
D
0
对理想气体
V 1/ T
对于理想气体，当气流速度不超过1/4音速时
dW
4.能量微分方程——界面上作用力对流体作的功dW
在x方向上，单位时间内粘性应 力、净压力和体积力对控制体 内流体所做的净功为
( xxux) (yyux) (zzux) ( px) uFxu dxd
类似可得在y方向和z方向上作用力的净功：
( xxyv)(yyvy)( zzvy)( py) vFyvdxdydz (xxwz) ( yywz) (zzwz) ( pz) wFzw dxdydz
的大小，其数值愈大，通过对流所转移 的热量愈多，对流换热愈强烈；
对流换热微分方程式
板流动时的对流换热微分方程组为：
对流换热微分方程式：hx
f
(tw t f
)
t ( y )x
y0
对流项
能量微分方程式：
t t ux x uy y
2t a y2
扩散项
动量微分方程式：
ux
ux x
uy
ux y
2ux y2
惯性力项
连续性微分方程： ux uy 0
x y
2020/3/22
第七章 对流换热概论
特征长度（定型尺寸）
h f u , L , , ,, cP
2020/3/22
第七章 对流换热概论
10
三、对流换热系数
当速度为u f ，温度为 t f 的流体流过
面积为A 的平板平面，如果表面的温度 tw
不等于 t f ，则会发生对流换热，平板 x 处
局部热流密度表示为：
qx hx tw t f
2020/3/22
第七章 对流换热概论
44
（2）相似第二原理（相似准则间的关系）
物理现象可以用物理量之间的关系 描述，也可以用准则之间的关系描述， 即用准则方程式描述。
2020/3/22
第七章 对流换热概论
45
无相变强迫对流换热: Nu f (Re, Pr)
q ht W/m2
或
hAt W
t —流体与壁面间的温差，恒取正值。
2020/3/22
第七章 对流换热概论
4
二、影响因素对流换热的主要因素
1.流动的起因 2.流体的流动状态 3.流体有无相变 4.流体的物理性质 5.换热表面的几何因素
2020/3/22
第七章 对流换热概论
5
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在一般的速度、温差范围内，若无化 学反应热,上述假设均基本符合工程实际。
第五章 5.2节(10)
2
5.2.1 连续性方程
• 根据质量守恒关系，不存在内部质量源 时，流入与流出控制体积的质量流量的 差值一定等于控制体积内的质量随时间 的变化率。 u v 0 x y
第五章 5.2节(10)
3
5.2.2 动量微分方程
t 共4个未知变量。
但由于方程强烈的非线性性质,在整个流 场中求得它的分析解极其困难。
普朗特（Ludwig. Prandtl, 1875－1953） 提出了边界层理论。使粘性流体流动与 换热的数学求解得到了根本的改观。
第五章 5.2节(10)
下一节
10
(2) 反映流体中的对流机制与扩散机制之间 的一种内在守恒关系。
(3) 假如流体中含内热源，应在方程右侧增 加源项，其它无需改动。
(4) 若需要考虑流体物性随温度的变化，必 须补充相关物性随温度变化的具体方程式。
第五章 5.2节(10)
9
式(5-2-1)～(5-2-4) 构成控制方程组
4个方程，理论上可求解流体的u、v、p、
dcond
dconv
dW
dE
d
第五章 5.2节(10)
5
导热方式进入：
d co nd
2t x 2
2t y 2
dxdy
从 x 方向进入与流出的净差额：
cp
ut dxdy
x
从 y 方向进入与流出的净差额：
cp
vt
y
dxdy
1
第五章 5.2节(10)
6
外力（体积力和表面力）对微元流体作功： （1）流体的动能变化率(略)； （2）微元体发生变形时压力p 作的功(等于零)； （3）粘性力对流体所作的功(耗散项) ，在低流速下一 般可以忽略不计。
• 对于流体中的任意微元控制体积，作用 在该体积上的所有外力总和必定等于控 制体积中流体的动量变化率。
u
u
u x
v
u y
Fx
p x
2 x
u
2
2u y 2
v
u
v x
v
v y
Fy
p y
2 x
v
2
2v y 2
第五章 5.2节(10)
4
5.2.3 能量微分方程
描述流体发生对流换热时的温度场。 单位时间内流体因热对流和通过控制体边 界面净导入的热量总和，加上单位时间 内界面上作用的各种力对流体所作的功， 等于控制体积内流体总能量（不计动能 和位能）的时间变化率。
微元体总能量的时间变化率：
cp
t
dxdy
第五章 5.2节(10)
7
把以上各式带入总的能量平衡关系中：
c
p
t
u
t x
v
t y
2t x2
2t y 2
d
在稳态，略耗散项，物性为常数条件下:
u
t x
v
t y
a
2t x2
2t y 2
第五章 5.2节(10)
8
基本结论：
(1) 右侧为导热项，形式和导热微分方程相 同。左侧是对流项，反映流体运动和掺混对 换热的作用。若流体速度为零，退化成导热 微分方程。
5.2 对流换热微分方程组
为了: • 理解对流传递过程中各主要物理量之间
的关系 • 边界条件在其中的作用 • 说明对流换热问题理论解的基本思路
需要给出对流换热过程完整的数学描述
第五章 5.2节(10)
1
建立对流换热数学模型的基本假设:
（1）连续介质； （2）低速二维定常流动； （3）仅针对牛顿型流体； （4）常物性； （5）没有内热源。
第五章 5.2节(10)
2
5.2.1 连续性方程
• 根据质量守恒关系，不存在内部质量源 时，流入与流出控制体积的质量流量的 差值一定等于控制体积内的质量随时间 的变化率。 u v 0 x y
第五章 5.2节(10)
3
5.2.2 动量微分方程
t 共4个未知变量。
但由于方程强烈的非线性性质,在整个流 场中求得它的分析解极其困难。
普朗特（Ludwig. Prandtl, 1875－1953） 提出了边界层理论。使粘性流体流动与 换热的数学求解得到了根本的改观。
第五章 5.2节(10)
下一节
10
(2) 反映流体中的对流机制与扩散机制之间 的一种内在守恒关系。
(3) 假如流体中含内热源，应在方程右侧增 加源项，其它无需改动。
(4) 若需要考虑流体物性随温度的变化，必 须补充相关物性随温度变化的具体方程式。
第五章 5.2节(10)
9
式(5-2-1)～(5-2-4) 构成控制方程组
4个方程，理论上可求解流体的u、v、p、
dcond
dconv
dW
dE
d
第五章 5.2节(10)
5
导热方式进入：
d co nd
2t x 2
2t y 2
dxdy
从 x 方向进入与流出的净差额：
cp
ut dxdy
x
从 y 方向进入与流出的净差额：
cp
vt
y
dxdy
1
第五章 5.2节(10)
6
外力（体积力和表面力）对微元流体作功： （1）流体的动能变化率(略)； （2）微元体发生变形时压力p 作的功(等于零)； （3）粘性力对流体所作的功(耗散项) ，在低流速下一 般可以忽略不计。
• 对于流体中的任意微元控制体积，作用 在该体积上的所有外力总和必定等于控 制体积中流体的动量变化率。
u
u
u x
v
u y
Fx
p x
2 x
u
2
2u y 2
v
u
v x
v
v y
Fy
p y
2 x
v
2
2v y 2
第五章 5.2节(10)
4
5.2.3 能量微分方程
描述流体发生对流换热时的温度场。 单位时间内流体因热对流和通过控制体边 界面净导入的热量总和，加上单位时间 内界面上作用的各种力对流体所作的功， 等于控制体积内流体总能量（不计动能 和位能）的时间变化率。
微元体总能量的时间变化率：
cp
t
dxdy
第五章 5.2节(10)
7
把以上各式带入总的能量平衡关系中：
c
p
t
u
t x
v
t y
2t x2
2t y 2
d
在稳态，略耗散项，物性为常数条件下:
u
t x
v
t y
a
2t x2
2t y 2
第五章 5.2节(10)
8
基本结论：
(1) 右侧为导热项，形式和导热微分方程相 同。左侧是对流项，反映流体运动和掺混对 换热的作用。若流体速度为零，退化成导热 微分方程。
5.2 对流换热微分方程组
为了: • 理解对流传递过程中各主要物理量之间
的关系 • 边界条件在其中的作用 • 说明对流换热问题理论解的基本思路
需要给出对流换热过程完整的数学描述
第五章 5.2节(10)
1
建立对流换热数学模型的基本假设:
（1）连续介质； （2）低速二维定常流动； （3）仅针对牛顿型流体； （4）常物性； （5）没有内热源。