常见地勾股数及公式

常见的勾股数及公式

武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理

我们知道，如果/ C=90 °,a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b 2=c 2;反之，若三角形的三

边a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边.与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2, 则称a、

b、c为勾股数，记为(a, b , c).勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：

一、三数为连续整数的勾股数

(3 , 4, 5)是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？

设三数为连续整数的勾股数组为( x —1, x, x+1 )，则由勾股数的定义，得(x+1 ) 2+x2= (x+1 ) 2,解得x =4或x=0(舍去)，故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5) ;类似有3n,4n,5n (n是正整数)都是

勾股数。

二、后两数为连续整数的勾股数

易知：( 5,1 2,1 3 ) , ( 9,4 0,4 1 ) ,( 1 1 3,6 3 3 8,6 3 8 5 ) ，…，都是勾股数，如此许许

多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？

a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1 (其特点是斜边与其中一股的差为1).

分别取n =1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5 ) , ( 5,1 2,1 3 ) , ( 7,2 4,2 5 )，…

三、前两数为连续整数的勾股数

你知道(2 0,2 1,2 9 ) , (119,120,169) , (4059,4060,5741)…，这些都是

前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：(x, x+1, 2x22x 1 ) (x为正整数)。

1 2 2 2 2

设前两数为连续整数的勾股数组为( x, x+1, y), y= 2x 2x1则x x 1 y (*)

整理，得2x22x 1 = y2，化为2x 1 22y21，即2x 1 2y 2x 1 , 2y =—1,

又1 2 1 2 =-1,A 1，22n11 —2n 1

2 = —1(n N),

故取2x 1 -2y = 1 2 , 2x 1 、2y = —2n 1

12 ,

1

l 2n 1 — 2n 1

A 2

l 2n 1 2n 1

解之，得 x =—〔 1

2 + 1 .2 —2〕，y = 〔 1

2 - 1 ,2 丨，

4

4

1

— 2n 1

— 2n 1

1 — 2n 1 _ 2n 1

〔1 2 + 1 . 2 —2〕，一〔 1 2 + 1 . 2 —

4 4

—2n 1

2 〕）•

…其公式为：4（n+1）,4（n+1） 2

-1,4（n+1） 2

+1（n 是正整数）.

五、其它的勾股数组公式：

1

1

1.a=2m,b=m 2

— 1,c=m 2

+1 （m 大于 1 的整数）.2.a=

（m 2

— n 2

） ,b=mn,c=

（m 2

+n 2

）（其中 m>n 且

2

2

是互质的奇数）.

3.a=2m,b=m

2

— n 2,c=m 2+n 2 （m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）

下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5 ； 5 12 13 ； 6 8 10 ； 7 24 25 ；8 15 17

；9

12 1 5 ; 9 40 41 ; 10 24 26

;11 60 6

1 ; 1

2 16 20 ； 12 35 37 ; 1

3 8

4 8

5 ; 14 48

50

;

15 20 25 ;

15 36 39

;

15 112 1 13 ；16 30 34 ; 16 63 65

17

1

44 145 ；18

24 30 ; 18 80 82 ; 19 180 181 ；20

21

29

;

20 48 52 ; 20 99 101

; 21

28 35

21 72 75 ; 21 220 221 ；22

120 122 ；23

264 265 ；24

32 40 ; 24 45

51

；

24 70 74 ；24

143 145

25 60 65 ; 25 312 313 ；26

168 170 ；27

36 45 ; 27

1

20 123 ；27

364 365 ；28

45 53 ;

28 96 100

28 195 197 ；29

420 421 ;30

40 50 ; 30 72 78 ; 30 224 226 ；31

480 481 ；32

60 68 ;

32 126 130

故前两数为连续整数的勾股数组是

-2 — 2n 1

+ 1, 〔 1 2 — 1 4

四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8, 15 , 17), (12 , 35 ,

37)