博弈论第8讲

说参与人i知道自己的收益函数等同于说参与 人i知道自己的类型，类似地，说参与人i可能 不确定其他参与人的收益函数，也就等同于 说参与人i不能确定其他参与人的类型。
tk 表示参与人i的第k种类型（参与人i共有
K种类型；Ti 表示参与人i的类型空间（类
型集），既Ti ={t1，…tk}；
t={t1，…ti，…，tn }表示一个类型组合，
Definition （贝叶斯纳什均衡） 在静态贝叶斯博弈G={A1, …,An; T1 , …,Tn; P1 , …,Pn; μ1 , …, μn}中，如果对 任意博弈方i和他的每一种可能的类型ti∈Ti , si*(ti)所选择的行动ai都能满足： max ∑｛ ui[s1*(t1), …,si-1*(ti-1), ai ,
引入一个虚拟的参与人，记为N。无须确 定它的收益函数；它的唯一作用是决定 Ti ={t1，…tk ，…，tK }及 Pi ={p1，…pk ，…，pK }； N把参与人i的真实类型只告诉参与人i自 己，把Ti ={t1，…tk ，…，tK }及 Pi ={p1，…pk ，…，pK } 告诉所有参与 人；
静态贝叶斯博弈定义
给定参与人i只知道自己的类型θi,而不知 道其他参与人的类型θ-i，参与人i将选择 ai(θi)以最大化自己的期望效用。参与人i 的期望效用函数定义为
vi pi (i | i )ui (ai (i ), ai (i );i ,i )
i
Definition(策略): 在静态贝叶斯博弈G={A1, …,An; T1 , …,Tn; P1 , …,Pn; μ1 , …, μn}中，参与人i 的一个策略就是一个类型依存的函数si(ti) ， 其中对Ti ,中的每一个类型ti，si(ti)包含了自 然赋予i的 可能类型为ti时，i将从自己的策 略空间Si中选择策略si或者说从自己的行动 空间Ai中选择行动ai。
表3-1 市场进入博弈：不完全信息 在位者 低成本情况 默许 斗争 30, 80 -10, 100 0, 400 0, 400
高成本情况 进入 进入者 不进入 默许 40. 50 0, 300 斗争 -10, 0 0, 300
一个简例：市场进入博弈
但进入者不知道在位者究竟是高成本还是低成本，因 此，进入者的最优选择依赖于他对在位者成本的信念。 表3-1 市场进入博弈：不完全信息 在位者 低成本情况 默许 斗争 30, 80 -10, 100 0, 400 0, 400
ai∈ Ai
t-i
si+1*(ti+1), …, sn*(tn), ti] p(t-i︱ ti｝
则称策略组合 s*=（s1*，…， sn*）为G的 一个 （纯策略）贝叶斯纳什均衡。（BNE）
贝叶斯纳什均衡(Bayesian Nash Equilibrium)
N人不完全信息静态博弈的纯战略贝叶 斯纳什均衡是一个类型依存的战略组合 {ai*, i=1,…,n}，其中每个参与人i在给定 自己类型θi和其他参与人类型依存战略a*(θ )的情况下，最大化自己的期望效用 i -i 函数vi。
假定在位者有两种可能成本函数：高成 本和低成本。对应两种不同成本的不同 策略组合的支付矩阵如表3-1所示。
一个简例：市场进入博弈
如果在位者是高成本
表3-1 市场进入博弈：不完全信息 在位者 低成本情况 默许 斗争 30, 80 -10, 100 0, 400 0, 400
高成本情况 进入 进入者 不进入 默许 40. 50 0, 300 斗争 -10, 0 0, 300
ti-1 ={t1，…ti-1 ， ti+1 ，…，tn }表示除参与人 i之 外其他参与人的类型组合。
注意： Ti ={t1，…tk ，…，tK }及 Pi ={p1，…pk ，…，pK } 是common knowledge 对存在private information 的博弈，1967 年前被认为是没法分析的。1967-1968年 Harsanyi提出了如下的解决办法： “Harsanyi Transformation‖
如果在博弈中至少有一个参与人不知道 其他参与人的收益函数，则称该博弈为 不完全信息博弈。
This chapter begins our study of games of incomplete information, also called Bayesian games. Recall that in a game of complete information the players’ payoff functions are common knowledge. In a game of incomplete information, in contrast, at least one player is uncertain about another player’s payoff function.
高成本情况 进入 进入者 不进入 默许 40. 50 0, 300 斗争 -10, 0 0, 300
一个简例：市场进入博弈
假定进入者认为在位者是高成本的概率 是p,则是低成本的概率是(1-p)。
进入者进入的期望支付是p(40)+(1-p)(-10) 进入者不进入的期望支付是0 比较上面两个表达式，可知进入者的最优 选择为 如果p≥1/5，进入；如果p<1/5，不进入。
上次内容回顾
子博弈完美均衡与纳什均衡（BI）
先动优势？后动优势？
讨价还价博弈
多阶段静态博弈
前向归纳法 重复博弈与连锁店悖论
1
不完全信息静态博弈
STATIC GAME OF INCOMPLETE INFORMATION
不完全信息
在前面的分析中，我们假定收益函数是 所有参与人的共同知识(Common Knowledge)
如果在位者是低成本
表3-1 市场进入博弈：不完全信息 在位者 低成本情况 默许 斗争 30, 80 -10, 100 0, 400 0, 400
高成本情况 进入 进入者 不进入 默许 40. 50 0, 300 斗争 -10, 0 0, 300
一个简例：市场进入博弈
进入者最优行为是不进入，在位者最优行为是斗 争（一旦低成本者进入）。
静态贝叶斯博弈定义
N人静态贝叶斯博弈的战略式表述包括： 参与人的类型空间Θi，条件概率p1,…,pn, 类型依存战略空间为Ai(θi)， 类型依存收 益函数ui(ai,a-i; θi)， i=1,…,n。参与人i知 道自己的类型θi（属于Θi），条件概率 pi=pi(θ-i| θi)描述给定自己属于θi的情况下， 参与人i关于其他参与人类型的一个估计。 可以用G={Ai; θi;pi; ui; i=1,…,n}表示这个 博弈。
所有参与人同时行动，从各自的A中选择a；
除N之外所有参与人的收益函数为 μi={a1，… ai，…， an ； ti}。 由此,某个参与人对参与人i的类型不确定转 变成N决定参与人i的类型,从而可利用 Bayesian法则进行分析。
Definition The normal-form representation of an n-player static Bayesian game specifies the players’ action spaces A1, …,Ai, …An, their type spaces T1 , …, Ti , … ,Tn , their beliefs P1 , …, Pi , … ,Pn , and their payoff functions μ1 , …, μi , … ,μn. Player i’s type, ti ,is privately known by player i, determines player i’s payoff function, μi={a1，… ai，…， an ； ti}, and ti is a member of the set of possible types, Ti . Player i’s belief P-i describes i’s uncertainty about the n-1 other players’ possible types.We denote this game by G={A1, …,An; T1 , …,Tn; P1 , …,Pn; μ1 , …, μn}.
贝叶斯纳什均衡(Bayesian Nash Equilibrium)
换言之，战略组合a*=(a1*(θ1),…i，以及ai属于Ai,有下式成立。
ai ( i ) arg max pi ( i | i )ui (ai ( i ), ai ( i ); i , i )
不完全信息
一些不完全信息的例子
与一个陌生人打交道 购买一幅艺术品 一个企业想进入某个市场 参与投标的各个厂商 消费者不知道企业产品的真正质量 用人单位不知道应聘者的真正水平和能力 二手车市场，买家不知道旧车的真正状况。。。。
Private Information：共同知识之外的 信息；只有参与人i自己知道，其他参与 人不知道的信息。 例如： C2=CL？还是C2= CH？ 厂商2自 己知道，厂商1不知道， C2是厂商2的 私人信息。 类型Types：对参与人私人信息的一个完 备描述。
* ai
i
贝叶斯纳什均衡(Bayesian Nash Equilibrium)
类似地，可以定义混合策略贝叶斯纳什 均衡。此处从略。
均衡的存在形式、纳什均衡存在性定理 的推广，此处从略。 通过海萨尼转换，不完全信息静态博弈 就转化成完全但不完美信息博弈
一个简例：市场进入博弈
一个企业决定是否进入一个新的产业， 但不知道在位企业的成本函数，也不知 道一旦进入，在位者决定默许还是斗争。
一个简例：市场进入博弈
进入者最优行为是进入，在位者最优行为是默许。