2019-2020学年北京市燕山区八年级上学期期末数学真题试卷 (学生版+解析版)

2019-2020学年北京市燕山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8个小题）．1．在以下绿色食品、节能、节水、回收四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．下列计算正确的是( ) A ．32x x -= B ．341a a a ÷= C ．22(1)1x x x -=--D ．236(2)8a a -=-3．能用平方差公式分解因式的多项式是( ) A ．221x x -+B ．29x +C ．ax ay -D ．24x -+4．太阳光照射到地球上需要的时间约是2510s ⨯，光的速度约是5310/km s ⨯，那么太阳到地球的距离用科学记数法表示约为( ) A ．71510⨯B ．71.510⨯C ．81.510⨯D ．101510⨯5．已知，ABC DEF ∆≅∆，且ABC ∆的周长为20，8AB =，3BC =，则DF 等于( ) A ．3B ．5C ．9D ．116．已知EF 是EBC ∆的角平分线，FD EB ⊥于D ，且3FD cm =，则点F 到EC 的距离是( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm7．如图，从边长为(4)a cm +的正方形纸片中剪去一个边长为(1)a cm +的正方形(0)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(615)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(315)a cm +8．豆豆老师到学校距离是8千米，她开车上班的平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，已知豆豆老师自己开车上班比乘公交车上班所需的时间少用14小时，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为( ) A ．8815 2.5x x+=B ．8815 2.5x x=+C ．8184 2.5x x+=D ．8812.54x x =+ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若分式23x x +-的值为0，则x 的值为 ． 10．如图，根据图形，写出一个正方形ABCD 的面积的表达式 ．（一个即可）11．化简211x xx x+--的结果为 ． 12．有一个正多边形的外角是60︒，那么该正多边形是正 边形．13．如图，点E ，F 在AC 上，AD BC =，DF BE =，要使ADF CBE ∆≅∆，需添加一个条件是 ．（只需添加一个条件即可）14．若2249x kxy y ++是一个完全平方式，则k 的值为 ．15．下面一组按规律排列的数，2，4，8，16，32，⋯⋯则第2020个数是 ． 16．如图，在ABC ∆中，按以下步骤作图：①以B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于D ，交BC 于E ；②分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点M ；③作射线BM 交AC 于N ．如果BN NC =，57A ∠=︒，那么ABN ∠的度数为 ．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分；第22题4分；第23题7分；第24-27题，每小题5分，第28，29题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：32(1263)3a a a a +-÷． 18．分解因式： （1）3x x -； （2）2363x y xy y -+． 19．解方程：11222x x x-=---． 20．已知：如图，12∠=∠，C D ∠=∠．求证：AC AD =．21．如图：在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD CE =．求证：BCD CAE ∠=∠．22．如图1为L 形的一种三格骨牌，它是由三个全等的正方形连接而成．请以L 形的三格骨牌为基本图形，在图2，图3中各设计一个轴对称图形，要求如下：（1）每个图形由两个L 形三格骨牌组成，骨牌的顶点都在小正方形的顶点上． （2）设计的图形用斜线涂出，若形状相同，则视为一种．23．阅读下列材料 分解因式：3416x x - 小云的做法： 原式3164x x =-①24(41)x x =-②4(21)(21)x x x =-+③小朵的做法： 原式4x = 2(14)x -① 4(14)x x =- (14)x +②小天的做法： 原式x = 2(416)x -①22[2(4)]x x =-②(24)x x =- (24)x +③请根据上述材料回答下列问题：（1）小云的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．小朵的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．小天的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．（2）若都不正确，请你写出正确的解题过程．24．已知30AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠的内部，点C 和点P 关于OA 对称，点P 关于OB 的对称点是D ，连接CD 交OA 于M ，交OB 于N ，15CD =． （1）补全图，并且保留作图痕迹．（2）写出COD ∠= ︒．PMN ∆的周长为 ．25．通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式22()()a b a b a b +-=-给予解释．图乙中的ABC ∆是一个直角三角形，90C ∠=︒，人们很早就发现直角三角形的三边a ，b ，c 满足222a b c +=的关系．图丙是2002年国际数学家大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，求出2()a b +的值．26．先化简，再求值：22112111t t tt t t t -+÷-+-+g ，其中2019t =．27．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ ASA ”“ AAS ”“ SSS ” )和直角三角形全等的判定方法（即“HL ” )后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究小聪将命题用符号语言表示为：在ABC ∆和DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠． 小聪的探究方法是对B ∠分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当B ∠ 是直角时，如图1，ABC ∆和DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据“HL ”定理，可以知道Rt ABC Rt DEF ∆≅∆．第二种情况：当B ∠ 是锐角时，如图2，BC EF =，90B E ∠=∠<︒，在射线EM 上有点D ，使DF AC =，画出符合条件的点D ，则ABC ∆和DEF ∆的关系是 ； A ．全等 B ．不全等 C ．不一定全等第三种情况：当B ∠是钝角时，如图3，在ABC ∆和DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠>︒．过点C 作AB 边的垂线交AB 延长线于点M ；同理过点F 作DE 边的垂线交DE 延长线于N ，根据“ASA ”，可以知道CBM FEN ∆≅∆，请补全图形，进而证出ABC DEF ∆≅∆．28．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式中， 是和谐分式（填写序号即可）；①222()a b a b ++； ②2224t b t b --；③22x y x y +-；④2211m m -+（2）若a 为整数，且214y y ay -++为和谐分式，请写出a 的值；（3）在化简22344m m nmn n n -÷-时， 小冬和小奥分别进行了如下三步变形：小冬：原式22222323232232444444()()m m m m m n m mn n mn n n n mn n n mn n n --=-⨯=-=--- 小奥：原式22223222444444()()()m m m m m m m n mn n n n n m n n n m n --=-⨯=-=--- 显然，小奥利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小冬的结果简单，原因是： ，请你接着小奥的方法完成化简．29．在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，MDN ∠的两边分别与AB ，AC 相交于M ，N 两点，且DM DN =．（1）如图甲，若90C ∠=︒，60BAC ∠=︒，9AC =，120MDN ∠=︒，//ND AB ． ①写出MDA ∠= ︒，AB 的长是 ．②求四边形AMDN的周长．（2）如图乙，过D作DF AC+=．⊥于F，先补全图乙再证明2AM AN AF参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．在以下绿色食品、节能、节水、回收四个标志中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、是轴对称图形，故本选项正确； B 、不是轴对称图形，故本选项错误； C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A ．2．下列计算正确的是( ) A ．32x x -= B ．341a a a ÷= C ．22(1)1x x x -=--D ．236(2)8a a -=-解：.32A x x x -=，故本选项不合题意； B ．341a a a÷=，故本选项不合题意； C ．22(1)21x x x -=--，故本选项不合题意；D ．236(2)8a a -=-，正确，故本选项符合题意．故选：D ．3．能用平方差公式分解因式的多项式是( ) A ．221x x -+B ．29x +C ．ax ay -D ．24x -+解：A 、原式2(1)x =-，不符合题意； B 、原式不能分解，不符合题意； C 、原式()a x y =-，不符合题意；D 、原式(2)(2)x x =-++，符合题意，故选：D ．4．太阳光照射到地球上需要的时间约是2510s ⨯，光的速度约是5310/km s ⨯，那么太阳到地球的距离用科学记数法表示约为( ) A ．71510⨯B ．71.510⨯C ．81.510⨯D ．101510⨯解：528310510 1.510⨯⨯⨯=⨯． 故选：C ．5．已知，ABC DEF ∆≅∆，且ABC ∆的周长为20，8AB =，3BC =，则DF 等于( ) A ．3B ．5C ．9D ．11解：ABC ∆Q 的周长为20，8AB =，3BC =， 20389AC ∴=--=， ABC DEF ∆≅∆Q ， 9DF AC ∴==，故选：C ．6．已知EF 是EBC ∆的角平分线，FD EB ⊥于D ，且3FD cm =，则点F 到EC 的距离是( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm解：FD EB ⊥Q 于D ，且3FD cm =， ∴点F 到EB 的距离为3cm ，EF Q 是EBC ∆的角平分线， ∴点F 到EB 和EC 的距离相等， ∴点F 到EC 的距离是3cm ．故选：B ．7．如图，从边长为(4)a cm +的正方形纸片中剪去一个边长为(1)a cm +的正方形(0)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为( )A ．22(25)a a cm +B ．2(615)a cm +C ．2(69)a cm +D ．2(315)a cm +解：矩形的面积是：22(4)(1)a a +-+ (41)(41)a a a a =++++-- 3(25)a =+2615()a cm =+．故选：B ．8．豆豆老师到学校距离是8千米，她开车上班的平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，已知豆豆老师自己开车上班比乘公交车上班所需的时间少用14小时，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为( ) A ．8815 2.5x x+=B ．8815 2.5x x=+C ．8184 2.5x x+=D ．8812.54x x =+ 解：设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为：8812.54x x =+， 故选：D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若分式23x x +-的值为0，则x 的值为 2- ． 解：依题意得：20x +=且30x -≠， 解得2x =-． 故答案是：2-．10．如图，根据图形，写出一个正方形ABCD 的面积的表达式 2()x a + ．（一个即可）解：由题意可知：2()()()x a x a x a ++=+， 故答案为：2()x a +11．化简211x xx x +--的结果为 x ． 解：原式211x xx x =---(1)1xx x -=- x =．故答案为：x ．12．有一个正多边形的外角是60︒，那么该正多边形是正 六 边形．解：这个正多边形的边数：360606︒÷︒=．故答案为：六．13．如图，点E ，F 在AC 上，AD BC =，DF BE =，要使ADF CBE ∆≅∆，需添加一个条件是 D B ∠=∠ ．（只需添加一个条件即可）解：当D B ∠=∠时，在ADF ∆和CBE ∆中Q AD BC D B DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF CBE SAS ∴∆≅∆， 故答案为：D B ∠=∠．（答案不唯一）14．若2249x kxy y ++是一个完全平方式，则k 的值为 12± ．解：2249x kxy y ++Q 是一个完全平方式，12k ∴=±，故答案为：12±15．下面一组按规律排列的数，2，4，8，16，32，⋯⋯则第2020个数是 20202 ． 解：Q 一列数为：2，4，8，16，32，⋯⋯，∴这列数的第n 个数为2n ，∴第2020个数是20202，故答案为：20202．16．如图，在ABC ∆中，按以下步骤作图：①以B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于D ，交BC 于E ；②分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点M ； ③作射线BM 交AC 于N ．如果BN NC =，57A ∠=︒，那么ABN ∠的度数为 41︒ ．解：根据作图方法可得BN 是ABC ∠的角平分线，ABN CBN ∴∠=∠，BN NC =Q ，C NBC ∴∠=∠，设ABN x ∠=︒，则CBN C x ∠=∠=︒，57180x x x +++=，解得：41x =，故答案为：41︒．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分；第22题4分；第23题7分；第24-27题，每小题5分，第28，29题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：32(1263)3a a a a +-÷．解：原式321236333a a a a a a =÷+÷-÷2421a a =+-18．分解因式：（1）3x x -；（2）2363x y xy y -+．解：（1）原式2(1)(1)(1)x x x x x =-=+-；（2）原式223(21)3(1)y x x y x =-+=-．19．解方程：11222x x x-=---．解：去分母得，12(2)1x x -=-+，去括号1241x x -=-+，移项合并同类项得，2411x x -=--，系数化1得，2x =，经检验：2x =是增根，分式方程无解．20．已知：如图，12∠=∠，C D ∠=∠．求证：AC AD =．【解答】证明：Q 在ACB ∆与ADB ∆中，12C D AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACB ADB AAS ∴∆≅∆，AC AD ∴=．21．如图：在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD CE =．求证：BCD CAE ∠=∠．【解答】证明：Q 等边三角形ABCAB BC AC ∴==，ABC ACB ∠=∠，DBC ACE ∴∠=∠，在ABC ∆和ABD ∆中，BC AC DBC ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DBC ECA ∴∆≅∆ ()SAS ，BCD CAE ∴∠=∠．22．如图1为L 形的一种三格骨牌，它是由三个全等的正方形连接而成．请以L 形的三格骨牌为基本图形，在图2，图3中各设计一个轴对称图形，要求如下：（1）每个图形由两个L 形三格骨牌组成，骨牌的顶点都在小正方形的顶点上．（2）设计的图形用斜线涂出，若形状相同，则视为一种．解：如图所示：．23．阅读下列材料分解因式：3416x x -小云的做法：原式3164x x =-①24(41)x x =-②4(21)(21)x x x =-+③小朵的做法：原式4x = 2(14)x -①4(14)x x =- (14)x +②小天的做法：原式x = 2(416)x -①22[2(4)]x x =-②(24)x x =- (24)x +③请根据上述材料回答下列问题：（1）小云的解题过程从 ① 步出现错误的，错误的原因是： ．小朵的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．小天的解题过程从 步出现错误的，错误的原因是： ．（2）若都不正确，请你写出正确的解题过程．解：（1）小云的解题过程从①步出现错误的，错误的原因是：提取负号后，负号丢失，没弄清方程还是多项式；小朵的解题过程从②步出现错误的，错误的原因是平方差公式用错；小天的解题过程从③步出现错误的，错误的原因是：分解因式不完整还可以继续分解；（2）若都不正确，请你写出正确的解题过程．原式24(14)4(12)(12)x x x x x =-=-+．故答案为：（1）①，提取负号后，负号丢失，没弄清方程还是多项式；②，错误的原因是平方差公式用错；③，分解因式不完整还可以继续分解；24．已知30AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠的内部，点C 和点P 关于OA 对称，点P 关于OB 的对称点是D ，连接CD 交OA 于M ，交OB 于N ，15CD =．（1）补全图，并且保留作图痕迹．（2）写出COD ∠= 60 ︒．PMN ∆的周长为 ．解：（1）如图所示：（2）如图，连接OC ，OD ，OP ，Q 点C 和点P 关于OA 对称，点P 关于OB 的对称点是D ，AOC AOP ∴∠=∠，BOD BOP ∠=∠，2COD AOB ∴∠=∠，又30AOB ∠=︒Q ，60COD ∴∠=︒；AO Q 垂直平分CP ，BO 垂直平分PD ，PM CM ∴=，PN DN =，PMN ∴∆的周长15PM MN PN CM MN DN CD =++=++==．故答案为：60；15．25．通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式22()()a b a b a b +-=-给予解释．图乙中的ABC ∆是一个直角三角形，90C ∠=︒，人们很早就发现直角三角形的三边a ，b ，c 满足222a b c +=的关系．图丙是2002年国际数学家大会的会徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，求出2()a b +的值．解：根据勾股定理可得2213a b +=，四个直角三角形的面积是：14131122ab ⨯=-=，即212ab =， 则222()2131225a b a ab b +=++=+=．故2()a b +的值为25．26．先化简，再求值：22112111t t t t t t t -+÷-+-+g ，其中2019t =． 解：原式2(1)(1)1(1)11t t t t t t t -+-=-++g g ， 1t t =+， 当2019t =时，原式20192019201912020==+． 27．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ ASA ”“ AAS ”“ SSS ” )和直角三角形全等的判定方法（即“HL ” )后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究小聪将命题用符号语言表示为：在ABC ∆和DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠． 小聪的探究方法是对B ∠分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当B ∠ 是直角时，如图1，ABC ∆和DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据“HL ”定理，可以知道Rt ABC Rt DEF ∆≅∆．第二种情况：当B ∠ 是锐角时，如图2，BC EF =，90B E ∠=∠<︒，在射线EM 上有点D ，使DF AC =，画出符合条件的点D ，则ABC ∆和DEF ∆的关系是 C ；A ．全等B ．不全等C ．不一定全等第三种情况：当B ∠是钝角时，如图3，在ABC ∆和DEF ∆中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠>︒．过点C 作AB 边的垂线交AB 延长线于点M ；同理过点F 作DE 边的垂线交DE 延长线于N ，根据“ASA ”，可以知道CBM FEN ∆≅∆，请补全图形，进而证出ABC DEF ∆≅∆．解：第二种情况选C ．理由：由题意满足条件的点D 有两个，故ABC ∆和DEF ∆不一定全等（如图所示）故选C ．第三种情况补全图．证明：由CBM FEN ∆≅∆得，CM FN =，BD EN =又在Rt CMA ∆和Rt FND ∆中AC DF CM FN =⎧⎨=⎩， CMA FND ∴∆≅∆，AM DN ∴=，AB DE ∴=，又在ABC ∆和DEF ∆中AC DF BC EF AB DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，ABC DEF ∴∆≅∆．28．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式中， ④ 是和谐分式（填写序号即可）； ①222()a b a b ++； ②2224t b t b--；③22x y x y +-；④2211m m -+ （2）若a 为整数，且214y y ay -++为和谐分式，请写出a 的值； （3）在化简22344m m n mn n n -÷-时， 小冬和小奥分别进行了如下三步变形： 小冬：原式22222323232232444444()()m m m m m n m mn n mn n n n mn n n mn n n --=-⨯=-=--- 小奥：原式22223222444444()()()m m m m m m m n mn n n n n m n n n m n --=-⨯=-=--- 显然，小奥利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小冬的结果简单，原因是： ，请你接着小奥的方法完成化简．解：（1）下列分式中，④是和谐分式（填写序号即可）；（2）由214y y ay -++是和谐分式，可得24y ay ++能分解因式， a ∴的值是4或4-或5；（3）原因是：小奥利用和谐公式找的是最简公分母，所以通分后比小冬的简单， 接着小奥的方法完成化简，如下： 原式222232222444444()44()()()()m m m m m m m n mn m mn n n n n m n n n m n n m n n m n --=-⨯=-===-----． 29．在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，MDN ∠的两边分别与AB ，AC 相交于M ，N 两点，且DM DN =．（1）如图甲，若90C ∠=︒，60BAC ∠=︒，9AC =，120MDN ∠=︒，//ND AB ． ①写出MDA ∠= 90 ︒，AB 的长是 ．②求四边形AMDN 的周长．（2）如图乙，过D 作DF AC ⊥于F ，先补全图乙再证明2AM AN AF +=．解：（1）①AD Q 平分BAC ∠，1302BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠=︒， //ND AB Q ，30NDA BAD ∴∠=∠=︒，1203090MDA MDN NDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， 90C ∠=︒Q ，60BAC ∠=︒，30ABC ∴∠=︒， 12AC AB ∴=， 218AB AC ∴==，故答案为：90，18；②30ABC ∠=︒Q ，//ND AB ，30NDC ∴∠=︒，又120MDN ∠=︒Q ，30MDB ∴∠=︒，30MAD NAD ADN MBD ∴∠=∠=∠=∠=︒， BM MD ∴=，DN AN =，DM DN =Q ，BM MD DN AN ∴===，在Rt ADM ∆中，设MD x =，则2AM x =， BM MD DN AN x ====，18AB =Q ，318x ∴=，6x ∴=，12AM ∴=，6MD DN AN ===，∴四边形AMDN 的周长1266630AM MD DN AN =+++=+++=；（2）补全图如图乙所示：证明：过点D 作DE AB ⊥于E ，如图丙所示： DE AB ⊥Q ，DF AC ⊥，AD 平分BAC ∠， 90DEM DFN ∴∠=∠=︒，DE DF =，在Rt DEA ∆和Rt DFA ∆中，DE DF AD AD =⎧⎨=⎩， Rt DEA Rt DFA(HL)∴∆≅∆，AE AF ∴=，在Rt DEM ∆和Rt DFN ∆中，DE DF DM DN =⎧⎨=⎩， Rt DEM Rt DFN(HL)∴∆≅∆， EM FN ∴=，2AM AN AE EM AF NF AF ∴+=++-=．。