行列式

命题3.3.5 把一个行列式的某一行(列)的所有元素乘以同一个 数 k, 等于用k乘这个行列式. 推论3.3.6 一个行列式中某一行(列)中所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外边. 推论3.3.7 如果一个行列式中有一行(列)的所有元素都是零, 那 么这个行列式等于零. 推论3.3.8 如果一个行列式有两行(列)的对应元素成比例, 那么 这个行列式等于零.
(1) 是n阶行列式中的一项, 这一项的符号是
(i1i2 in ) ( j1 j2 jn )
命题3.3.2 行列式与它的转置行列式相等.
命题3.3.3 交换行列式的两行(或两列)的位置, 则行列式的绝对 值不变而符号改变.
推论3.3.4 如果一个行列式的两行(或两列)完全相同, 则这个行 列式等于零.
★三阶行列式与三元一次方程组的解的关系:
a11x1 a12 x2 a13x3 b1 当三元一次方程组 a21x1 a22 x2 a23x3 b2 的系数行列式
a31x1 a32 x2 a33x3 b3
a11 a12 a13 D a22 a22 a23 0 时, 它的解为:
a31 a32 a33
j1 j2 jn
数码的所有的排列求和, 共有n!项; (j1j2…jn)表示排列j1j2…jn
的反序数.
或者说, n阶行列式是所有可能的取自不同行不同列上的
n个元素的乘积 a1 j1a2 j2 anjn 的代数和, 当j1j2…jn是偶排列
时, 这一项的符号为正, 否则这一项的符号为负.
例1
一. n阶行列式的有关定义
aa2111xx11
a12 a22
x2 x2
b1 b2
的系数行列式
a11 a12 0 时, 它的解为: a21 a21
b1 a12
a11 b1
x1
b2 a11
a22 a12
x2
aFra Baidu bibliotek1 a11
b2 a12
a21 a22
a21 a22
三阶行列式与三元一次方程组
★三阶行列式的定义: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
2.转置行列式: 把n阶行列式 a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n an1 an2 ann
的行变为列(或者列变为行)后得到的行列式 a11 a21 an1
D a12 a22 an2 a1n a2n ann
称为原行列式D的转置行列式.
二. n阶行列式的性质
引理3.3.1 设i1i2…in和j1j2…jn都是n个数码的排列,则 a1 j1a2 j2 anjn
其中:
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
b1 a12 a13
a11 b1 a13
D1 b2 a22 a23 , D2 a22 b2 a23
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a11 a12 b1 D3 a22 a22 b2
a31 a32 b3
线性方程组
由若干个含有n个未知数的一次方程构成的方程组称为n元线性 方程组. 线性方程组中方程的个数未必等于未知数的个数. n元线性 方程组的一般形式是:
第二节 排列
❖ 二. 基本性质
定理1. 设i1i2…in和j1j2…jn是n个数码的任意两个 排列, 那么总可以由i1i2…in经过一系列对换而得 到j1j2…jn.
定理2. 每一个对换都改变排列的奇偶性. 定理3. 当n2时, n个数码的奇排列与偶排列的个
数相等, 各为n!/2.
第三节 n阶行列式
一. 定义
1. n阶行列式 2. 转置行列式
二. n阶行列式的性质 三. 例题
一. n阶行列式的有关定义
a11
1.n阶行列式: 用符号
a21
an1
a12 a22 an2
a1n
a2n
表示的n阶行列式是指
ann
代数和
(1) ( j1 j2
a a jn ) 1 j1 2 j2
anjn
, 其中求和号是对n个
第二节 排列
❖ 一. 基本概念
1. 排列: n个数码1,2,…,n的一个排列是指由这n个数码 组成的一个有序组. n个数码的不同排列共有n!个.
2. 反序数: 在一个排列里, 如果一个较大的数排在一个较 小的数的前面, 则称这两数构成一个反序. 一个排列中所 有反序的个数称为这个排列的反序数. 例如排列213的反 序数是1, 而排列231的反序数是2.
第一节 线性方程组与行列式
一. 初等代数回顾
1. 二阶行列式与二元一次方程组 2. 三阶行列式与三元一次方程组
二. 线性方程组 三. 后续内容介绍
二阶行列式与二元一次方程组
★二阶行列式的定义:aa1211
a12 a21
a11a22
a12a21
★二阶行列式与二元一次方程组的解的关系:
当二元一次方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn
b2
(1)
am1x1 am2 x2 amn xn bm
其中, x1, x2,,xn表示未知数, aij, bi (i=1,2,,m, j=1,2, ,n)表示已知
的常数, 称为aij未知数的系数, 称bi为常数项.
3. 奇排列, 偶排列: 如果一排列的反序数是奇(偶)数, 则 称这个排列为奇(偶)排列. 例如213是奇排列, 231是偶排 列.
4. 对换: 把一个排列中的数码i和j的位置互换, 而其它数 码的位置保持不变则得到一个新的排列. 对排列进行的这 样一种变换称为一个对换, 并用符号(i, j)表示.
方程组(1)的一个解是指这样的一组数(k1, k2,,kn), 用它们依 次代替方程组(1)的未知数x1, x2,,xn后, (1)中的每一个方程都成为
恒等式.
后续内容介绍
线性方程组及其解法是线性代数的基本内容之一, 同时线 性代数的其它内容, 像矩阵、线性空间等, 都与它有着十分密 切的内在联系。
关于线性方程组需要解决的问题有: 线性方程组是否有解? 如果有解, 它有多少个解? 如何求出这些解?
在初等代数中我们已经知道, 二、三元线性方程组可用系 数行列式判断是否有唯一解, 而且在有唯一解时还可用行列 式表示出这个唯一的解。 对一般的n元线性方程组是否也可 用行列式判断它是否有唯一的解并用行列式表示出这个唯一 的解? 回答是肯定的。本章将首先把二、三阶行列式的定义 推广到一般的n阶行列式并讨论其性质, 然后给出线性方程组 有唯一解的条件及这个唯一解的求解公式。在下一章我们将 讨论一般的线性方程组的解法。