立体几何之与球有关的高考试题(新)

立体几何分类复习

一、球的相关知识

考试核心：方法主要是“补体”和“找球心”

1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．

2．正方体的内切球其棱长为球的直径．

3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线．4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

5.性质的应用

2

2

2

1

2r

R

OO

d-

=

=，构造直角三角形建立三者之间的关系。

1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )

A．36π B.64π C.144π D.256π

参考答案

2.

3.

4.

类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换条件形成不同的题） 1．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1

2OO =A 、B 是圆1O 上两点，若A ，B 两点间的球面距离为

23

π

，则1AO B ∠= . 2．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1

2OO ，A 、B 是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2

π

，则A,B 两点间的球面距离为 （2009年文科）

类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径

r C

c

2sin =，从而解决问题。 3. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=?，

则此球的表面积等于 。

4.正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ．

5.12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S

—ABC 的体积为

A ．33

B ．32

C ．3

D ．1

6.（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，

2BC =则球O 表面积等于

（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π

类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。

7.15.设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆

C 。若圆C 的面积等于

74

π

，则球O 的表面积等于 .（2009年文科）

8.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π

9.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬0

60纬线长和赤道长的比值为

（A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.5 （D ）0.25

类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。

10.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆

柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm ．（2010年理科） 11.16．长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，

2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为 .

12.体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于 ．

13.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球

面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的

3

16

，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_______．

14.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 .

类型五：平面几何性质在球中的综合应用。

15.已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，

4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．

类型六：性质的简单应用。

16.已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于______ _______.

17.（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。

18.（9）高为2

4

的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 （2011年理科）

（A ）

2 （B ）

2 (C)1 (D)

2

参考答案：3、欲求球的表面积，归根结底求球半径R ，与R 相关的是重要性质2

22d r R +=。

∵AA 1=2, ∴12

1121==

==AA OO OO d 。 现将问题转化到⊙O 2的半径之上。

因为△ABC 是⊙O 2的内接三角形，又知AB=AC=2，∠BAC=120°，三角形可解。 由余弦定理有32444cos 222=++=∠??-+=BAC AC AB AC AB BC ，

由正弦定理有

2sin 22sin =∠=?=∠BAC

BC

r r BAC BC

∴2

R 4、8 5 与R 于是8 D 9、 15、析：又∵∠ 解得16、16π 17、24 18、C

二、二面角的求法：

1、如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值.

2、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，且2AB AD ==，

13AA =，120BAD ∠=.

（1)求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值； （2）求二面角1B A D A --的正弦值。

1、（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=，得AB AP ⊥，CD PD ⊥

由于//AB CD ，故AB PD ⊥， 从而AB ⊥平面PAD 又AB ?平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F

由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥， 可得PF ⊥平面ABCD

以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -

由（1）及已知可得2222

(

,0,0),(0,0,),(,1,0),(,1,0)2222

A P

B

C - 所以2222(,1,),(2,0,0),(,0,),(0,1,0)2222

PC CB PA AB =-

-==-= 设(,,)n x y z =是平面PCB 的法向量，则

0,0

n PC n CB ??=???=??即220,

22

0x y z y ?-+-=???=?

可取(0,1,2)n =--

设(,,)m x y z =是平面PAB 的法向量，则

0,0m PA m AB ??=???=??即220,22

x z y ?-=???=?

可取(1,0,1)m =

则3

cos ,||||3

n m n m n m ?<>=

=-

所以二面角A PB C --的余弦值为3

3

-

2、22.解：在平面ABCD 内，过点A 作AE AD ⊥，交BC

于点E

因为1AA ⊥平面ABCD ， 所以11,AA AE AA AD ⊥⊥

如图，以1{,,}AE AD AA 为正交基底， 建立空间直角坐标系A xyz -

因为12,120AB AD AA BAD ===∠=，

则（）11(3,1

,3),(3,1A B AC =--=11

11||||

A B AC

3)(3,1,3)1

77

=-

B 与1A

C 所成角的余弦值为（的一个法向量为(3,0,0)AE =1又1(3,1

,3),(3,3,0),A B BD =--=-10,0,m A B m BD ==??即330

x y -+=??不妨取3x =，则所以(3,3,2)m =为平面1BA D 的一个法向量， 从而(3,0,0)(3,3,2)3

cos ,4||||34

AE m AE m AE m <>=

==?

设二面角1B A D A --的大小为θ，则3|cos |4

θ= 因为[0,]θπ∈，所以sin 4

θ==

因此二面角1B A D A --的正弦值为

4

1．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-

B ．[1,1]-

C ．[0,4]

D ．[1,3]

1、D