转动惯量

转动惯量

刚体是力学中的一个理想模型，是指在任何情况下物体形状、大小都不发生变化的力学研究对象，其运动主要是平动与转动，而转动是最主要的研究方向。在日常生活与生产中，许多现象都可以视为刚体的转动，如电机转子的转动，炮弹的自旋等。因此研究刚体的转动有着极其重要的作用和意义。

刚体的转动惯量是非常重要的物理量，它表示刚体转动惯性大小的物理量，是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要工程技术参数。如钟表摆轮、精密电表动圈的体形设计、导弹和卫星的发射等，都不能忽视转动惯量的大小。因此转动惯量的测量成为大学物理实验中的基本实验。

刚体的转动惯量与刚体的质量分布、形状和转轴位置都有关系。对于形状规则、材料密度

2计算，但在工程实践中，我们常碰到大均匀的标准件，它的转动惯量可以根据公式⎰=dm

J

r

z

量形状复杂，且质量分布不均匀的刚体（例如枪炮的弹丸、电动机的转子等），计算它们的转动惯量非常困难，通常用实验的方法来确定。

转动惯量的测量，基本实验方法是转换测量。即使刚体以一定的形式运动，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。刚体转动惯量的测量方法有很多，如利用三线摆、扭摆、刚体转动实验仪等。本实验使刚体做扭转摆动，由摆动周期及其它参数的测定算出刚体的转动惯量。

实验目的

1．熟悉扭摆的构造、使用方法和转动惯量测量仪的使用

2．利用塑料圆柱体和扭摆测定几种不同形状刚体的转动惯量J和扭摆弹簧的扭摆常数K 3．研究刚体转动周期与转轴位置改变时的变化规律

实验原理

本实验使物体作扭转摆动，测定摆动周期和其它参数，从而计算出刚体的转动惯量。扭摆的构造如图1所示。垂直轴上装有金属细杆，水平仪通过调节仪器底座上的三螺钉使顶面水平，螺旋弹簧用以产生恢复力矩，使垂直轴上装的待测物体作简谐振动。

图1 扭摆构造简图

扭摆的简谐振动：将待测物体装在垂直轴上，并转过一定角度θ，在弹簧的恢复力矩作用下，物体开始绕垂直轴作往返运动。根据胡克定律知：

θK -=M (1)

K 为弹簧的扭转系数，根据转动定理得：

βJ M = (2)

J 为转动惯量，β为角加速度。令J K

=2

ω，忽略轴承的摩擦力和空气阻力，则有：

θ

ωθθβ222-=K

-==J dt d (3)

上式表明物体的扭摆运动具有角简谐运动的特性，此方程的解为：

)cos(φωθ+=t A (4)

此简谐振动的周期为：

K ==

J

T π

ω

π

22 (5)

所以，只要测得物体扭摆的摆动周期T ，并且转动惯量J 和K 中任何一个量可知，即可算出另一个量。

本实验通过已知转动惯量'J 的塑料圆柱体(几何形状规则，'J 可根据理论公式计算)，分别测出载物盘、塑料圆柱体放在载物盘、金属圆筒放在载物盘、木球、金属细杆的摆动周期，便可求出扭摆弹簧的扭摆常数K 和转动惯量的实验值。

“对称法”验证平行轴定理

平行轴定理：若质量为m 的物体（小金属滑块）绕通过质心轴的转动惯量为I 0时，当转轴平行移动距离x 时，则此物体的转动惯量变为I 0+mx 2。为了避免相对转轴出现非对称情况，由于重力矩的作用使摆轴不垂直而增大测量误差。实验中采用两个金属滑块辅助金属杆的对称测量法，验证金属滑块的平行轴定理。这样，I 0为两个金属滑块绕通过质心轴的转动惯量，m

为两个金属滑块的质量，杆绕摆轴的转动惯量I

，当转轴平行移动距离x时（实际上移动的

杆

是通过质心的轴），测得的转动惯量

I＝I杆+ I0+ mx2

两个金属滑块的转动惯量

I x＝I－I杆＝I0+ mx2

实验仪器

扭摆、转动惯量测试仪、金属载物盘、塑料圆柱体、金属圆筒、木球、金属细杆、天平、砝码、游标卡尺、钢尺、高度尺。

转动惯量测量仪包括扭摆和周期测量仪两部分。

周期测量仪由主机和光电传感器组成，可自动测量及显示物体转动和摆动的周期。具有功能转换、周期数设定等功能，采用按键式操作，参量数据可通过数码管显示，状态指示由发光二极管指示。光电探头由红外发射及接收二极管组成，将红外信号转化为脉冲电信号送入主机工作。工作时，当摆动体的挡光杆隔断探头发射通路时，主机开始计时，设定周期数再次隔断发射通路时，停止计时，并显示计时时间。

1.开机：显示上图，若异常，可按复位键，即可正常(默认状态为摆动)

2.按功能键：可选择摆动和转动(开机和复位默认状态为摆动)

3.按置数键：显示10

N=，按上调键，周期数依次加1，按下调键，周期数依次减1，周期数可在1~20间任意设定，再按置数键确认。显示end

F2，预设后仅当再次置

F1或end

数或复位，其余操作均不改变预置周期数。

4.按执行键：显示0.

000

P1当被测物体上挡光杆第一次通过光电门时开始计时，计时灯亮，直到周期数等于设定值时，停止计时，计时灯灭，显示第一次测量总时间。重复上述步骤，可进行最多5次测量(P1, P2, P3, P4, P5)。执行键还具有修改功能。如要修改第三组数据，按执行键直至显示xxx.x

P3后，重新测量第三组数据

5.按查询键可知每次测量周期(C1~C5)，以及多次测量的周期的平均值CA ，及当前的周期数n ，如显示“NO”表示无数据。

0.767C1 0.765C2 …… 0.766CA 6.按自检键：仪器自动依次显示：

Good SC 1-N 2n 1-N n →→=→=自动复位P1 ————

7.按返回键，系统无条件回到最初状态，清除所有执行数据。

实验步骤

1.用游标卡尺、钢尺和高度尺分别测定物体外形尺寸，用天平测出相应质量，填入表格。

2.根据扭摆上水泡调整扭摆的底座螺钉使顶面水平，水泡居中，系统保持平衡。

3.将金属载物盘卡紧在扭摆垂直轴上，调整光电探头的位置使载物盘上挡光杆处于其缺口中央且能遮住发射、接收红外线的小孔。使扭摆在90º摆角的状态下摆动。调整周期测量仪，选择摆动功能，并设定周期数为1。测量金属载物盘1次全摆动的时间间隔周期0T ，测3次，取平均值。

4.将选作标准刚体的塑料圆柱体垂直放在载物盘上，测出摆动周期1T ，测3次取平均值。由其转动惯量理论值J '以及0T 、1T ，求出扭摆扭转常数K 及系统的初始转动惯量0I ，

)/(420211

2T T I K -'=π；)/(20212010T T T I I -'=。 5.取下塑料圆柱体，将金属圆筒垂直放在载物盘上，测定其周期为2T ，测3次取平均值，求出其转动惯量02222)4/(I K T I -=π

6.取下金属载物盘，装上木球，测定其摆动周期为3T ，测3次取平均值，求出其转动惯量22334/πK T I =。

7.取下木球，装上夹具及金属细杆（金属细杆中心必须与转轴中心重合），将二滑块对称放置在细杆两边的凹槽内，分别使滑块质心离转轴的距离r 为5.0cm 、10.0cm 、15.0cm 、20.0cm 、25.0cm 、测出其摆动周期i T 。依据所测得的数据分析刚体的转动周期与刚体与转轴间距的关系。

8.做完实验后，整理实验仪器，处理数据，完成实验报告。

数据处理与结论

1． 圆柱及圆筒转动惯量的直接测量：