1-6 极限存在性定理与两个重要极限
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
g ( x) lim h( x) A 且有 lim g( x ) lim h( x ) A ， lim x x
x x0 x x0
则极限 lim f ( x ) （ lim f ( x) ）存在，
x x0
x
且也等于 A .
证略.
3
如果数列 un满足条件
n
证略.
1
例
求 lim(
n
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
lim
n
1 1 1 n
1,
由夹逼定理得
1 1 1 2 2! 3! n! 1 1 1 2 1 2 2 3 n( n 1)
1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n
11
综上所述， { un } 单调增加且有上界,
1 n (1 ) 存在 , 记为 e. 因此 li m n n
x1 x2 xn xn1 , 称单调增加
单调数列
x1 x2 xn xn1 , 称单调减少
定理
单调有界数列必有极限.
具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.
4
二、两个重要极限
sin x 1. lim 1 x 0 x
y
1
x
5
sin x lim 1 x 0 x
1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 n( n 1)1 2 2 3 2! n 3! n n! nn
9
1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 n( n 1)1 2 2 3 2! n 3! n n! nn 1 1 1 1 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 2! n 3! n n
无理数 e 2.718281828459
以e为底的对数称为自然对数， loge x 记作 ln x .
可以证明，相应的函数极限有
"1 "
lim (1 x ) e
x 0
12
1 x lim (1 ) e 或 x x
1 x
实际上, 只要 为某过程中的无穷小 , 就有
某过程
2
解 原式 lim (1 cos x )
x / 2
4 cos x
2
e4 .
16
lim [1 ] e
1
13
14
例
1 x 求 lim(1 ) . x x
1 x 1 ) ] 解 原式 lim[(1 x x 1 1 lim . x 1 x e (1 ) x 3 x 2x ) . 例 求 l i m( x 2 x 1 2 x 2 4 ) 解 原 式 lim(1 x x2 2 -4 1 x2 1 2 lim(1 ) 1 e . x x2 x2
15
2 x 求 l i m(1 ) . 例 x x x x 2 2 2 2 2 [(1 ) ] [lim(1 ) ] 2 e 2 . 解 原 式 lim x x x x
例
求 l im(1 cos x )
x 4 sec x
.
lim cos x 0
x
6
实际上, 只要 为某过程中的无穷小 , 就有
某过程
lim
sin
1
例
1 cos x 求 lim . 2 x 0 x
2 x x 2 2 x sin 2 sin si n 1 1 2 l i m 2 2 lim 原式 lim x 0 2 x0 x 2 x0 x 2 x2 ( ) 2 2 1 2 1 1 . 2 2
1 1 2 n1 (1 ) (1 )(1 ) n! n n n
1 1 2 k 1 ) 当 n 改为 n+1 时,上式通项 (1 ) (1 )(1 k! n n n
增大，且项数增加一项(每一项均为正),
un1 un .
10
其次,证明{un } 有上界：
1 1 1 1 2 un 2 (1 ) (1 ) (1 ) 2! n 3! n n 1 1 2 n1 (1 ) (1 )(1 ) n! n n n
1 n n
2
n n 1
2
lim
n
1
lim(
n
1 n 1
2
1 1 2 n 1 2 n 2
1,
) ห้องสมุดไป่ตู้.
2
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.
定理(夹逼定理) 设在 x 0 的某空心邻域内 （或无 穷远处）恒有
g( x ) f ( x ) h( x )
例
sin x sin x lim sin x lim( x ) lim limx 0 . x0 x 0 x 0 x x x 0
tan x sin x 1 li m lim 例 x0 x 0 x x cos x sin x 1 lim lim 1. x 0 x x 0 cos x
7
解
下面利用单调有界定理证明另一个重要的极限：
1 n 2. lim (1 ) e n n
8
1 n lim (1 ) e n n
1 n {un } 单调增加 : 记 un (1 ) ，先证明 n
3 2 9 u1 2 , u2 ( ) 2 u1 , 当 n 2 时 , 2 4 1 n 1 1 2 1 3 1 n 1 un (1 ) 1 C n C n 2 C n 3 C n n n n n n n
第六节 极限存在性定理与两个重要极限
一、极限存在定理
定理(夹逼定理)
如果数列 { xn }, { yn } 及 { zn } 满足下列条件：
(1) yn xn zn
n
(n N , N 1,)
n
( 2) lim y n A, lim z n A,
那么数列 { x n } 的极限存在, 且 lim x n A .
x x0 x x0
则极限 lim f ( x ) （ lim f ( x) ）存在，
x x0
x
且也等于 A .
证略.
3
如果数列 un满足条件
n
证略.
1
例
求 lim(
n
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n
lim
n
1 1 1 n
1,
由夹逼定理得
1 1 1 2 2! 3! n! 1 1 1 2 1 2 2 3 n( n 1)
1 1 1 1 1 1 2 1 3 3. 2 2 3 n1 n n
11
综上所述， { un } 单调增加且有上界,
1 n (1 ) 存在 , 记为 e. 因此 li m n n
x1 x2 xn xn1 , 称单调增加
单调数列
x1 x2 xn xn1 , 称单调减少
定理
单调有界数列必有极限.
具体：单调增加有上界，或单调减少有下界.
4
二、两个重要极限
sin x 1. lim 1 x 0 x
y
1
x
5
sin x lim 1 x 0 x
1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 n( n 1)1 2 2 3 2! n 3! n n! nn
9
1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 n( n 1)1 2 2 3 2! n 3! n n! nn 1 1 1 1 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 2! n 3! n n
无理数 e 2.718281828459
以e为底的对数称为自然对数， loge x 记作 ln x .
可以证明，相应的函数极限有
"1 "
lim (1 x ) e
x 0
12
1 x lim (1 ) e 或 x x
1 x
实际上, 只要 为某过程中的无穷小 , 就有
某过程
2
解 原式 lim (1 cos x )
x / 2
4 cos x
2
e4 .
16
lim [1 ] e
1
13
14
例
1 x 求 lim(1 ) . x x
1 x 1 ) ] 解 原式 lim[(1 x x 1 1 lim . x 1 x e (1 ) x 3 x 2x ) . 例 求 l i m( x 2 x 1 2 x 2 4 ) 解 原 式 lim(1 x x2 2 -4 1 x2 1 2 lim(1 ) 1 e . x x2 x2
15
2 x 求 l i m(1 ) . 例 x x x x 2 2 2 2 2 [(1 ) ] [lim(1 ) ] 2 e 2 . 解 原 式 lim x x x x
例
求 l im(1 cos x )
x 4 sec x
.
lim cos x 0
x
6
实际上, 只要 为某过程中的无穷小 , 就有
某过程
lim
sin
1
例
1 cos x 求 lim . 2 x 0 x
2 x x 2 2 x sin 2 sin si n 1 1 2 l i m 2 2 lim 原式 lim x 0 2 x0 x 2 x0 x 2 x2 ( ) 2 2 1 2 1 1 . 2 2
1 1 2 n1 (1 ) (1 )(1 ) n! n n n
1 1 2 k 1 ) 当 n 改为 n+1 时,上式通项 (1 ) (1 )(1 k! n n n
增大，且项数增加一项(每一项均为正),
un1 un .
10
其次,证明{un } 有上界：
1 1 1 1 2 un 2 (1 ) (1 ) (1 ) 2! n 3! n n 1 1 2 n1 (1 ) (1 )(1 ) n! n n n
1 n n
2
n n 1
2
lim
n
1
lim(
n
1 n 1
2
1 1 2 n 1 2 n 2
1,
) ห้องสมุดไป่ตู้.
2
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.
定理(夹逼定理) 设在 x 0 的某空心邻域内 （或无 穷远处）恒有
g( x ) f ( x ) h( x )
例
sin x sin x lim sin x lim( x ) lim limx 0 . x0 x 0 x 0 x x x 0
tan x sin x 1 li m lim 例 x0 x 0 x x cos x sin x 1 lim lim 1. x 0 x x 0 cos x
7
解
下面利用单调有界定理证明另一个重要的极限：
1 n 2. lim (1 ) e n n
8
1 n lim (1 ) e n n
1 n {un } 单调增加 : 记 un (1 ) ，先证明 n
3 2 9 u1 2 , u2 ( ) 2 u1 , 当 n 2 时 , 2 4 1 n 1 1 2 1 3 1 n 1 un (1 ) 1 C n C n 2 C n 3 C n n n n n n n
第六节 极限存在性定理与两个重要极限
一、极限存在定理
定理(夹逼定理)
如果数列 { xn }, { yn } 及 { zn } 满足下列条件：
(1) yn xn zn
n
(n N , N 1,)
n
( 2) lim y n A, lim z n A,
那么数列 { x n } 的极限存在, 且 lim x n A .