复合函数单调性
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复合函数单调性
• 函数单调性等价定义：定义在区间D上的函 数 y f ( x) 对于任意 x1, x2 D ，当
x1 x2 时都有 ( x1 x2 )( y1 y2 ) 0 ，则函
数 y f ( x) 在D上是增函数。
思：若都有
呢？ 减函数
• 复合函数 y f (x) 由外层函数 y f (u )
1 1 a 1 a 解得 a1 ， 2 （不合，舍），故 5 3 3
2
1
需要注意的是内外层区间的对应不能弄错。
2
0
故复合函数单调递增
( 减)
。 注：以上只考虑内外层都单调情形，若有u1=u2,则区间要 细分。
• 结论：复合函数单调性----同增异减
• 例1：求函数 调区间。
Hale Waihona Puke Baidu
1 x2 2 x 2 y( ) (0≤x≤3)的单 2
1 • 解：外层函数 y 在R上递减，内层函数 2
和内层函数 u ( x) 复合而成。设
ui ( xi ), yi f (ui )(i 1, 2) ( x1 x2 )
若内外层函数单调性相同(异) ， 则 ( x1 x2 )(u1 u2 ) 和 (u1 u2 )( y1 y2 ) 同 (异) 号，且都不为0，所以 又 (u1 u2 ) 则 ，
u
u ( x 1) 1 在 0,1 递减，在 1,3 递增
2
故函数递增区间为 0,1 ，递减区间为 1,3
思：函数值域呢？
• 例2 已知函数 y a 2a 1(0 a 1)
2x x
在区间
1,1
上的最大值是14，试求a值。
• 解：设 u a x (0 a 1) ，内层函数 u a x
在R上递减，外层函数 y u2 2u 1 (u 1)2 2 当 1
1 au x 1 时， a
，而区间
1 a, a
在外
层函数对称轴的右边，则外层函数递增。
• 所以复合函数在 1,1上单调递减，函数在
左端点取得最大值14，则 a 2a 1 14，
• 函数单调性等价定义：定义在区间D上的函 数 y f ( x) 对于任意 x1, x2 D ，当
x1 x2 时都有 ( x1 x2 )( y1 y2 ) 0 ，则函
数 y f ( x) 在D上是增函数。
思：若都有
呢？ 减函数
• 复合函数 y f (x) 由外层函数 y f (u )
1 1 a 1 a 解得 a1 ， 2 （不合，舍），故 5 3 3
2
1
需要注意的是内外层区间的对应不能弄错。
2
0
故复合函数单调递增
( 减)
。 注：以上只考虑内外层都单调情形，若有u1=u2,则区间要 细分。
• 结论：复合函数单调性----同增异减
• 例1：求函数 调区间。
Hale Waihona Puke Baidu
1 x2 2 x 2 y( ) (0≤x≤3)的单 2
1 • 解：外层函数 y 在R上递减，内层函数 2
和内层函数 u ( x) 复合而成。设
ui ( xi ), yi f (ui )(i 1, 2) ( x1 x2 )
若内外层函数单调性相同(异) ， 则 ( x1 x2 )(u1 u2 ) 和 (u1 u2 )( y1 y2 ) 同 (异) 号，且都不为0，所以 又 (u1 u2 ) 则 ，
u
u ( x 1) 1 在 0,1 递减，在 1,3 递增
2
故函数递增区间为 0,1 ，递减区间为 1,3
思：函数值域呢？
• 例2 已知函数 y a 2a 1(0 a 1)
2x x
在区间
1,1
上的最大值是14，试求a值。
• 解：设 u a x (0 a 1) ，内层函数 u a x
在R上递减，外层函数 y u2 2u 1 (u 1)2 2 当 1
1 au x 1 时， a
，而区间
1 a, a
在外
层函数对称轴的右边，则外层函数递增。
• 所以复合函数在 1,1上单调递减，函数在
左端点取得最大值14，则 a 2a 1 14，