根的判别式与韦达定理

一元二次方程根的判别式和韦达定理

一、根的判别式

21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩

22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根

时，方程没有实数根公式法：解为即为 【典型例题】

1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。

2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。

3．已知关于x 的方程01)12(2

2=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

【课堂练习】

一、填空题：

1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。

2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。

二、选择题：

1、下列方程中，无实数根的是（ ）

A 、011=-+-x x

B 、 762=+y

y C 、021=++x D 、0232=+-x x 2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ）

A 、43

B 、m ≤43

C 、43>m 且m ≠2

D 、m ≥4

3且m ≠2 3、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）

A 、有两个不等实根

B 、有两个相等实根

C 、没有实根

D 、无法确定

一、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。

二、已知关于x 的方程022

=-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、n 的值。

三、已知关于x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线x m y )32(-=74+-m 能否通过A （－2，4），并说明理由。

四、已知关于x 的方程0)2(222=+--m x m x ，问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56？

若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

二、根与系数的关系（韦达定理）：

如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是,,21x x 则a

c x x a b x x =⋅-

=+2121, 以x 1和x 2为根的一元二次方程为:x 2－( x 1+x 2)x ＋ x 1x 2＝0 【典型例题】

1、求待定系数及另一根

例题：

1.已知3-2是方程x 2

+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______. 2.已知关于x 的一元二次方程02

=++c bx ax 两根之积为12，两根的平方和为25，写出符合此条件的一个方 程 。

3.若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x += .则k 的值为 。

4.关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。

2.根与系数的关系与判别式的应用

例题

1.已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。

2.已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

【课堂练习】

1．已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ）

A ．－3或1

B ．－3

C ．1

D ．3

2．若,αβ是方程2220050x x +-=的两个实数根，则23ααβ++的值为（ ）

A ．2005

B ．2003

C ．－2005

D ．4010

3．若关于x 的一元二次方程2x 2－2x ＋3m －1＝0的两个实数根x 1，x 2，且x 1·x 2＞x 1＋x 2－4，则实数m 的取值范围是

A ．m ＞53-

B ． m ≤12

C ．m ＜53-

D ．53-＜m ≤12

4． 若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x += .则k 的值为

（ ）

A ．－1或34

B ．－1

C ．34

D ．不存在 5.关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）

A ．0p >且q >0

B ．0p >且q <0

C ．0p <且q >0

D ．0p <且q <0

6．已知一元二次方程x 2－2x －1=0的两个根是x 1，x 2，则x 1+x 2= ，x 1x 2= ，x 12+x 22= ；

7.若是m ，n 方程x 2+2002x －1=0的两个实数根，则m 2n+mn 2－mn 的值为

8.反比例函数x

k y =的图象经过点P （a 、b ），其中a 、b 是一元二次方程042=++kx x 的两根，那么点P 的坐标是 。 9.已知1x 、2x 是方程0132=+-x x 的两根，则1112422

1++x x 的值为 。

10、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x

（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。