算法设计与分析教案第04章.动态规划

设P[0…n]向量为各矩阵的维数，P[i]为Ai的列数，P[0]为A1的行
动
数；
态
初始化m[i][i] = 0；i = 1…n
规 划
L循环从1到n-1，计算m[i][i+L]： i(行下标)循环从1到n-L： j(列下标) = i+L；
m[i][j]=
min{ m[i][k]+m[k+1][j]+P[i-1]P[k]P[j] | k=i..j-1 }
章
X={x1,x2,…,xm}，
Y={y1,y2,…,yn}，
动
求X和Y的一个最长公共子序列；
态
规
例：X=ABCBDAB，Y=BDCABA
划
X和Y的最长公共子序列为：BCBA
最长公共子序列
第 04 章
分析：
设待求的公共子序列为Z={z1,z2,…,zk}，则可推论： 若xm=yn，则Z是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列+xm； 否则，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列（当zk≠xm时）或是Xm-1和
K=1 K=1 K=3 K=3 K=3
0
2625 4375 7125 10500
K=2 K=3 K=3 K=3
动
态
3
750 2500 5375 0
K=3 K=3 K=3
规
4
划
0
1000 3500
K=4 K=5
5
0
5000
K=5
6
0
最优解为： (A1A(2AA23A)3()A)(4AA54)A5)
矩阵连乘问题
并纪录：s[i][j] = k;
求A1A2A3A4A5A6的最优次序，其中： P[0…6] = { 30, 35, 15, 5, 10, 20, 25 };
mi,j=min{mi,k+mk+1,j+pi-1*pk*pj i≤k<j}
i\j 1
2
3
4
5
Байду номын сангаас
6
第
04 章
1 2
0
15750 7875 9375 11875 15125
规
若b[i][j]=2（ X1…i-1，Y1…j的最优解），则
划
解为： X1…i-1，Y1…j的解 若b[i][j]=3（ X1…i，Y1…j-1的最优解），则
解为： X1…i，Y1…j-1的解
终结条件：i或j为0时，解为空序列；
算法的改进：可通过c向量推算出b向量，减少空间的消耗
例：X=ABCBDAB，Y=BDCABA
规
划
矩阵连乘问题
第 在矩阵连乘过程中，结合顺序的不同会影响总的计算
04
量，因此选择最优的计算顺序将有助于提高计算的效
章
率；
动
态
规
(A10*20B20*50)C50*10 10*20*50+10*50*10=15000
划
A10*20(B20*50C50*10) 10*20*10+20*50*10=12000
0
0
0
0
0
动
1A
0
0
0
0
1
1
1
态
2B
0
1
1
1
1
2
2
B
规
X 3C
0
1
1
2
2
2
2
C
划
4B
0
1
1
2
2
3
3
B
5D
0
1
2
2
2
3
3
6A
0
1
2
2
3
3
4
A
7B
0
1
2
2
3
4
4
对b递归推导得解：BCBA
凸多边形的最优三角剖分
第
对平面上的一个凸多边形进行三角剖分，即通过多边形的若干条不 相交弦将多边形分割成互不重迭的若干个三角形。
动
否则：
态
k = s[i+1][j];
规
输出Pi…k的最优划分；
划
输出三角形Δvi,vk,vj；
输出Pk…j的最优划分；
备忘录方法
第 采用与分治法相同的自顶向下的递归求解方法，
04
并引入备忘录表记录已求得的子问题的解；在
章
递归求解时，先查看备忘录，如果子问题已经
动
有解，则不再重复求解；
态
规
划
Y的最长公共子序列（当zk ≠yn时）；
动
态
规
划
x1
x2
x3
x4
…
… xm-1 xm
y1
y2
y3
…
… yn-1 yn
z1
z2
… zk-1 zk
最长公共子序列
第 递归解法
04 章
问题形式：求X1…i，Y1…j的最长公共子序列； 递归规则：
动
若xi=yj，则 求X1…i-1，Y1…j-1的最长公共子序列Z1…k；
动
mii=0
态
mij=min{mik+mk+1,j+pi-1*pk*pj | i≤k<j}
规 划
pi表示矩阵Ai的列数，Ai+1的行数； 并令sij k，用来记录计算过程
12345
1
矩阵连乘问题
2 3
4
5
第 算法过程
04
为了避免重复的计算，从mi,i出发，依次计算mi,i+1、
章
mi,i+2、...mi,n，同时记录si,j；过程如下：
动
引入辅助向量s1..n,1..n，记录k值；
态 规
v0
vn
划
v1
...
...
vk
凸多边形的最优三角剖分
第 计算最优值
04
给定凸n+1多边形P=<v0,v1,…,vn>和权函数ω(vi, vk, vj)；
章
初始化t[i][i] = 0；i = 1…n； L循环从1到n-1，计算t[i][i+L]：
04 对n个顶点的凸多边形，其三角剖分恰好有n-3条弦和n-2个三角形；
章
最优三角剖分问题：给定一个凸多边形P={v0,v1,…,vn-1}，以及定
义在由多边形边和弦所组成的三角形上的一个权函数ω，要求确定
动
该凸多边形的一个三角剖分，使得剖分中的诸三角形的权之和最小。
态
规
v0
v5
划
v1 ω012
(m-1,n-2)|(m,n-2),(m-1,n-1)
(m-2,n-1)|(m-1,n-1),(m-2,n)
最长公共子序列
第
自底向上构造最优值
04
求解X1…m和Y1…n的最长公共子序列，记为(Xm,Yn)
章
引入辅助向量c0…m,0…n和b1…m,1…n：
c0…m,0…n记录子问题的最优值，
动
ci,j表示(Xi,Yj)的长度，i或j为0表示X或Y为空序列；
( ( (A1*A2) * A3 ) * (A4*A5) )
凸多边形的最优三角剖分
第
最优子结构性质
04
若P={v0,v1,…,vn-1}的一个最优三角剖分T包含了三角形v0vkvn-
章
1，由T0…n-1的权等于T0…k+Tk…n-1+ω0,k,n-1，可知Pn…k和Pk…n-1上 的剖分也是最优的。
动
态 规
v0
vn
划
v1
...
...
vk
凸多边形的最优三角剖分
最优三角剖分对应的权的递归结构
第 04
引入辅助向量t1..n,1..n，ti,j表示Pi-1…j的最优三角剖分的权值； 则P0…n的最优三角剖分的权值即t1,n；由最优子结构性质可得：
章
ti,i=0
ti,j=min{ti,k+tk+1,j+ω(vi-1,vk,vj)|i≤k≤j-1,1≤i<j≤n}
并分别记录b[i][j]=2 或 b[i][j]=3;
最长公共子序列
第 构造最优解
04
由计算最优值时得到的b[1…m][1…n]，可以递归地得到最
章
优解，递归过程如下：
问题形式：X1…i，Y1…j
动 态
递归规则： 若b[i][j]=1（xi=yj的情况），则： 解为：X1…i-1，Y1…j-1的解 + { xi }
态
Z1…k+{xi}即结果；
规
否则
划
求X1…i-1，Y1…j的最长公共子序列Z1;
求X1…i，Y1…j-1的最长公共子序列Z2；
比较Z1和Z2，长度较长的序列即结果；
终结条件：若X或Y为空序列，则Z为空序列；
最长公共子序列
第
(m,n)
04
章
(m-1,n-1)|(m,n-1),(m-1,n)
动 态 (m-2,n-2)|(m-1,n-2),(m-2,n-1) 规 划
容易看出，按分治法自顶向下计算时，子问题将会
大量重复出现；
第 04
A1,n
章
动
A1A2,n
态
A1,2A3,n
A1,3A4,n ...
规
划 A2A3,n A2..3A4,n ... A3A4,n A3,4A5,n ...
矩阵连乘问题
第 定义最优值递归规则
04 章
若设mij表示Ai,j的最优解的计算量，最后一 步乘法是Ai,k*Ak+1,j，则：
《算法设计与分析》 第04章 动态规划
基本思想
第 动态规划方法常用来求解最优化问题。
04 其思想是：问题的最优解如果可以由子问题的
章
最优解推导得到，则可以先求解子问题的最优
动
解，再构造原问题的最优解；若子问题有较多
态
的重复出现，则可以自底向上，从最终子问题
规
向原问题逐步求解。
划
设计步骤
第 分析最优值的性质，得到最优值的递归定义；
04 自底向上地计算子问题的最优值，逐步得到
章
原问题的最优值，并记录计算过程；
动 由最优值的计算过程出构造原问题的最优解；
态 规 划
动态规划算法的基本要素
第 1. 最优子结构性质
04
问题的最优解包含了子问题的最优解。
章
2. 子问题重叠性质
动
在自顶向下递归求解时，有些子问题会重
态
复出现，而被重复计算。
i循环从1到n-L：
动
j = i+L；
态
计算t[i][j] =
规
min{ t[i][k]+t[k+1][j]+ω(vi-1,vk,vj) }
划
i≤k<j 并记录：s[i][j] = k;
凸多边形的最优三角剖分
第 根据s递归求得最优剖分
04 章
从P0…n起计算Pi…j的最优剖分： 若i+1==j，则递归结束；
矩阵连乘问题
第 分析
04
为方便描述，将Ai×Ai+1……×Aj记作Ai,j；
章
设最优解的最后一步乘法是A1,k×Ak+1,n，则显然，
动
A1,k和Ak+1,n应分别是该子式的最优解；总计算量是 这两个子式的计算量加上子式结果相乘的计算量；
态 规 划
这种最优解包含了子问题最优解的性质即称为最优 子结构性质；
计算规则： 若Xi=Yj，则Ci,j=Ci-1,j-1+1，bi,j=1； 否则，若Ci,j-1较大，则Ci,j=Ci,j-1，bi,j=2； 否则，Ci,j=Ci-1,j，bi,j=3 为便于观察，将b=1标为斜箭头，2标为上箭头，3标为左箭头
第
j
04
↓
Y
章 i
0-
1B
2D
3C
4A
5B
6A
0-
0
0
态
b1…m,1…n记录子问题的解，
规
bi,j表示(Xi,Yj)是由哪一个子问题的解得到的，
划
约定： 若是由(Xi-1,Yj-1)的解得到的，bi,j记为1；
若是由(Xi-1,Yj)的解得到的，bi,j记为2；
若是由(Xi,Yj-1)的解得到的，bi,j记为3。
最长公共子序列
第
自底向上构造最优值
04
从空序列开始，逐步计算子问题：
章
初始化c[i][0] = 0; c[0][i] = 0; 对比X和Y的全部字符对，i=1..m, j=1..n：
若X[i]=Y[j]，则
动
由递归规则：c[i][j] = c[i-1][j-1]+1；
态
记录b[i][j] = 1;
规
否则
划
选子问题中的最小值作为当前问题的最优值，即： c[i][j] = max{ c[i-1][j]，c[i][j-1] }
ω035
ω345 v4
ω023
v3 v2
凸多边形的最优三角剖分
第 三角剖分的结构及其相关问题
04
三角剖分问题和表达式的完全加括号问题（如矩阵
章
连乘问题）都可以表述成一个正则二叉树（不含度
为1的结点的二叉树）；
动 态
v0 A1
v5 A5
规
v1
v4
划
A1 A2 A3 A4 A5
A2 v2
A4
A3
v3
第
构造最优解——矩阵连乘顺序
04
由计算过程中得到的s向量，可以递归地得到矩阵连乘的计算
章
顺序；
递归算法如下：
动
问题形式：计算Ai,j； 递归规则：
态
k = s[i][j];
规
X = Ai,k;
划
Y = Ak+1,j;
结果为：X×Y；
终结条件：Ai,i = Ai
最长公共子序列
第
问题：
04
给定两个序列