深圳大学 实变函数课程教学大纲
实变函数课程主要内容提要
实变函数课程主要内容提要《实变函数》---- 课程主要内容提要学完一门课程，读者应该自己学会把握课程的重点。
学习永远是自己的大事，任何人无法代替。
但作为一种引导，现将本课程主要内容简要列出，供学习参考，互相交流！内容重要程度:*** > ** > * * 第一章集合论* 1. 集合族之交、并、补、差的运算；*** 2. 集合的分解；集合列的极限运算；特征函数；** 3. 集合的基数与可数、不可数集；* 4. 极限点(聚点)、孤立点、导集的性质；** 5. 闭集、闭包、开集、内点的概念以及闭集、开集的性质；** 6.Gδ集、Fσ集、σ-代数、Borel集、稠密集；*** 7. Cantor三分集的概念及其性质；* 8. 点集间距离的概念。
** 第二章 Lebesgue可测集与Lebesgue测度*** 1. Lebesgue外测度的概念及其性质:单调性、次可加性、距离外测度性质、可测分离可加性；** 2. Lebesgue可测集的概念及其性质：交、并、补、差的运算性质；*** 3. Lebesgue测度的基本性质：可数可加性；测度与极限运算的交换性；** 4. Lebesgue可测集与Borel集的关系；等测包与等测核的存在性；* 5. 不可测集的存在性。
*** 第三章可测函数*** 1. 可测函数的基本概念及其运算性质；** 2. 简单函数的概念；简单函数逼近定理；*** 3. 可测函数列处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、近一致收敛和依测度收敛的概念及其相互关系：Egoroff定理；Lebesgue定理；Riesz定理；* 4. 依测度Cauchy列的概念；*** 5. 可测函数与连续函数的关系：卢津(Lusin)定理及其推论；*** 第四章 Lebesgue积分* 1. 非负简单可测函数的Lebesgue积分：基本概念；积分与极限的交换性；** 2. 非负可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；*** 3. 三大基本定理：Levi定理、Lebesgue基本定理和Fatou引理；对积分域的可数可加性；Chebyshev(契比雪夫)不等式；** 4. 一般可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；积分的绝对连续性；*** 5. 控制收敛定理: Lebesgue控制收敛定理, 有界收敛定理，依测度型控制收敛定理；L1-收敛；** 6. 可积函数与连续函数的关系；积分的平均连续性；*** 7. Lebesgue积分与Riemann积分的关系；** 8. Fubini定理以及Lebesgue积分的几何意义；卷积与分布函数的概念。
深圳大学 实变函数与泛函分析教学大纲
（一）课程性质
1．课程类别：综合选修课 2．适应专业：数学与应用数学专业（数学教育方向） 3．开设学期：第七学期 4．学时安排：周学时 6，总学时 72 5．学分分配：4 学分
（二）开设目的
《实变函数与泛函分析》是数学分析课程的深化和发展。从内容上看，它将微积分中 区域的面积推广到一般集合的测度，将区域上的黎曼积分推广到可测函数的勒贝格积分； 从研究方法上看，它运用点集分析方法揭露函数的许多深刻性质。通过对实变函数与泛函 分析的学习，培养学生综合运用分析数学的几何观点和方法，理解和研究分析数学中的许 多问题，为进一步学习现代数学理论和理解现代科学技术提供必要的基础。
张文俊：《实变函数与泛函分析》课程教学大纲
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006 年 10 月重印版）
课程编号
课程名称 实变函数与泛函分析
课程类别
综合选修
教材名称 实变函数与泛函分析基础
制订人
张文俊
审核人
胡鹏彦
2005 年 4 月修订
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张文俊：《实变函数与泛函分析》课程教学大纲
第五章 积分论
教学目的
通过本章的系统学习，使学生理解 Lebesgue 积分的定义，掌握 Lebesgue 积分的基本 性质，Lebesgue 积分的定理（包括这些定理的条件结论），弄懂其证明思路。
主要内容
1. Lebesgue 积分的若干等价定义 2. Lebesgue 积分的初等性质和极限定理(Levi 单调收敛定理，Fatou 引理，
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张文俊：《实变函数与泛函分析》课程教学大纲
空间 C、连续函数空间 C[a,b]等都是完备度量空间）；知道完备度量空间的压缩 映射原理；知道一个空间是否完备与它被赋予的度量是密切相关的：C[a,b]在 Lp 范数下是不完备的； 3. 掌握可分空间的定义与基本例子（欧氏空间 Rn、连续函数空间 C[a,b]都是可分空 间）；熟悉可分空间中任意一点都可以通过它的一个确定的可数稠密子集来逼近 的特点；知道不可分空间是存在的：有界数列空间 l∞是不可分空间；知道一个空 间是否可分与它被赋予的度量是密切相关的； 4. 掌握线性空间、线性空间的维数的定义与基本例子（欧氏空间 Rn、可测函数空间
数学与统计学院数学与应用数学专业课程教学大纲实变函数论教学
数学与统计学院数学与应用数学专业课程教学大纲实变函数论教学大纲（试行草案）（ 2008年8月试行）一、说明（一）课程性质《实变函数论》是数学与应用数学专业、信息与计算科学、统计学等专业的一门专业必修课．实变函数论是现代分析数学的基础理论之一，主要采用集合分析的方法研究实函数的性质，它的建立使人们扩大与深化了对实函数的认识，其结果在概率论、泛函分析、拓扑学、微分方程等许多数学分支中有广泛的应用.（二））教学目标及要求通过本课程的学习，可以使学生了解与掌握近代抽象分析的基本思想，有助于发展学生分析论证和逻辑思维的能力，同时可以加深对数学分析知识的理解.（三）教学内容本课程教学内容主要有：集合与基数，R n 中的点集、测度、可测函数、Lebesgue 积分论.（四）教学时数及学分72学时，学分：4分.二、本文一 集合与基数(12学时)[[教教学学要要点点]]1、集合及其代数与极限运算.2、映射，集合的对等与基数，基数的比较.3、可数集，可数集的性质与判断，典型可数集（有理数集等）.4、不可数集，[0，1]的不可数性，不可数集的判断.[[教教学学内内容容]]1、 集合及其运算集合的概念；集合的代数运算（并、交、差、余）与集合的极限运算（上、下限集、极限集）2、对等与基数映射、1—1对应.与对等；基数概念.，基数的比较，Bernstein 定理.．3、可数集合可数集的概念；可数集的性质；一些典型的可数集．4、不可数集合不可数集的概念；区间[a ，b]及1R 、mR 、∞E 的基数.；最大基数的不存在性. 二 R n 中的点集(10学时)[[教教学学要要点点]]1、R n 中点集的拓扑性质及判断.2、R n 中有界点集的性质，聚点定理，有限复盖定理.3、直线上开集、闭集与完备集的构造，Cantor 集的构造与性质.[[教教学学内内容容]]1． 聚点、内点、界点度量空间、n 维欧氏空间；聚点、内点、边界点的定义及性质，聚点定理．2． 开集、闭集与完备集开集、闭集的定义；开集、闭集的性质；有限复盖定理；完备集．3． 直线上开集、闭集与完备集的构造直线上开集的构造；直线上闭集与完备集的构造，Cantor 三分集.．三 Lebesgue 测度论(14学时)[[教教学学要要点点]]1、外测度的定义及性质.2、卡氏条件，可测集的定义及性质.3、可测集类，Borel 集，δG 集、σF 集.[[教教学学内内容容]]1、外测度外测度概念；外测度的性质2、可测集卡氏条件与可测集定义；. 可测集的性质.3、可测集类区间、开集、闭集的可测性；.σ—代数与Borel 集.；δG 与σF 型集；可测集的构造；不可测集 四 可测函数(16学时)[[教教学学要要点点]]1、可测函数的定义及其等价形式，典型的可测函数（连续函数、单调函数、简单函数等）2、可测函数的性质，可测函数关于四则运算及极限运算的封闭性.3、可测函数列的构造，依测度收敛与几乎处处收敛的概念及其关系，Egoroff 定理，Riesz 定理、Lebesgue 定理.4、可测函数的构造，Lusin 定理.[[教教学学内内容容]]1、可测函数及其性质可测函数定义及其等价形式；可测函数的性质（四则运算、极限运算、可测函数与简单函数的关系）；.命题的a.e.成立.2、Egoroff 定理Egoroff 定理及其证明.3、可测函数的结构，Lusin 定理Lusin 定理及证明；Lusin 定理的意义4、依测度收敛依测度收敛的定义； Riesz 定理、Lebesgue 定理五 积分理论(20学时)[[教教学学要要点点]]1、有界函数的L 积分，一般L 可积函数的定义、性质及判定，积分的绝对连续性及应用.2、积分极限定理及应用.3、L 积分与R 积分的关系.4、Fubini 定理5、有界变差函数6、不定积分与绝对连续函数7、L 积分的N —L 公式，分部积分法[[教教学学内内容容]]1、L 积分的定义R 可积的等价条件，R 积分的缺陷；L 上、下积分，L 可积的定义及可积条件； L 积分与R 积分的关系.2、L 积分的性质L 积分的线性性质，积分不等式性质.3、积分的绝对连续性非负函数情形；一般函数情形；一般L 积分的性质．4、积分极限定理L 控制收敛定理；Levi 定理；Fatou 定理5、Fubini 定理截面定理；Fubini 定理6、有界变差函数有界变差函数的定义；有界变差函数的性质7、不定积分不定积分的定义；绝对连续函数概念；L 积分的N —L 公式，分部积分公式．.三、参考教材1、程其襄等．实变函数与泛函分析基础．北京：高等教育出版社，1983．2、江泽坚，吴智泉．实变函数论．北京：高等教育出版社，1994．3、郑维行，王声望．实变函数与泛函分析概要．北京：高等教育出版社，2003．注：*为选讲内容。
深圳大学数学与计算科学学院
主要内容
1. 内积空间 2. 泛函延拓定理 3. Hilbert 空间的规范正交系 4. 共轭算子
教学要求
(1) 掌握 Banach 空间的定义与基本例子（n 维欧氏空间 Rn、连续函数空间 C(A)、有 界数列空间 l∞ 、 p 次 收敛数列空间 lp、 p 方可积函数空间 Lp 等都是 Banach 空间） ；知道非 Banach 空间是存在的：C[a,b]在 Lp 范数下不是 Banach 空间； (2) 掌握内积与内积空间的定义与基本例子；熟练掌握内积的正定性、首元线性性与 共轭对称性；掌握内积诱导范数的思想；熟练掌握内积诱导范数的基本性质、和 的范数恒等式；掌握内积满足 Schwarz 不等式并且是二元连续函数的事实；掌握 内积空间的特征：范数满足平行四边形法则； (3) 掌握 Hilbert 空间的定义与基本例子；知道在同构的意义下，可分的 Hilbert 空间 只有 Rn 与 l2； (4) 掌握正交向量的定义；知道正交向量满足勾股定理，而且在实内积空间中，勾股 定理是两个向量正交的充分必要条件；了解极小化向量定理与正交分解定理（投 影定理） ； (5) 了解正交系、规范（标准）正交系、完全规范正交系或规范（标准）正交基的概 念与基本例子；掌握 Gram-Schmidt 正交化过程；知道每个非零的可分 Hilbert 空 间 X 必存在规范（标准）正交基； (6) 了解 Fourier 系数、Fourier 级数的定义； 了解最佳逼近定理； 知道 Bessel 不等式、 Parseval 恒等式；知道向量可以展成 Fourier 级数的条件； (7) 掌握 Banach 空间基本定理之 Hahn-Banach 定理；掌握 Hilbert 空间之 Riesz 表示 定理。 注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、教学要求、主要内容。
实变函数讲稿1
1] ⎩0, x是 [ 0，中的无理数
( x ) ，则 f ( x ) 在 [ a, b] 一致收敛于
⎡ lim f ( x ) ⎤dx = lim f ( x )dx n n →∞ ∫a ⎣ n→∞ n ⎦
b
( x ) ，则 f ( x ) 在 [ a, b] 可积，并且
∫ f ( x )dx = lim ∫
（单调递增） 的， 如果 ∀n ∈ (B1) 集合序列 { An } 称为是单调上升
，
An ⊂ An +1 ;
（单调递减） 的， 如果 ∀n ∈ (B2) 集合序列 { An } 称为单调下降 则 lim An = 定理 2 (C1) 若 { An } 是单调上升的集列，
n →∞
，An ⊃ An +1 .
, 则 lim An = ∩ An = {0}
n →∞ n =1
4
实变函数讲稿
█
█
例 2 (p.6) 设 An = ⎨ x −1 +
⎧
⎩
1 1⎫ < x < 1 − ⎬ ， n = 1.2 n n⎭
∞ n →∞ n =1
, 求 lim An .
n →∞
解：因为 An ⊂ An +1 ， n = 1, 2,
∪A
n =1
∞
n
； (C2) 若 { An }
是单调下降的集列，则 lim An =
n →∞
∩A
n =1
∞
n
.
例 1 (p.6) 设 An = ⎨ x −
⎧ ⎩
1 <x< n
1⎫ ⎬ ， n = 1, 2, n⎭
, 求 lim An .
《实变函数》教学大纲
《实变函数》教学大纲一、课程名称：《实变函数论》二、课程性质：数学与应用数学专业必修课，信息与计算科学专业选修课先修课程：数学分析、高等代数、复变函数论、常微分方程等课程三、课程的地位及教学目的《实变函数》是在数学分析的基础上发展起来的一门学科，是数学专业的一门重要的专业基础课。
其内容主要是以n维欧氏空间上的实值函数为对象，介绍勒贝格测度和勒贝格积分理论。
《实变函数》这一课程无论在思想方法上，还是在理论上都把数学分析往前推进了一步，在经典数学与现代数学之间起着承前启后的作用。
教学目的是通过对该课程的学习，使学生掌握《实变函数》的基本理论和基本方法，特别是勒贝格测度理论和勒贝格积分理论，进一步充实、拓宽和加深已经学过的数学基础知识和分析功底，提高对数学概念和数学方法的认识水平，同时也提高学生分析抽象问题和解决应用问题的能力，为今后从事《分析学》领域的研究工作打下坚实的基础。
四、教学原则与教学方法按照数学学科的特点和规律，《实变函数》这一课程应采取精讲、讨论与自学相结合的手段。
考虑到《实变函数》这一课程具有高度的抽象性，在教学过程中应主要采用精讲的方式，个别内容可以进行讨论或留给学生自学。
采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。
五、总学时68课时（含复习考试）六、课程教学内容要点及建议学时分配第一章集合（10学时）一、教学目的与要求通过对这一章内容的学习，让学生理解和掌握（1）集合的运算，重点是无穷集合的运算及集合的极限运算；（2）掌握基数概念，理解并较熟练应用伯恩斯坦定理；（3）掌握可数集和不可数集的基本知识。
二、教学原则与教学方法综合运用线性代数，数学分析的相关知识，将集合的运算推广到无穷多个集合上；引入集合间的对等概念进而给出基数概念，进而讨论与此有关的一系列相关问题，如集合列的收敛性、可数集、不可数集的性质的讨论等。
教学方法以讲解和讨论为主。
1.1 集合的概念1.2* 集合的运算（2课时）1.3* 对等与基数（4课时）1.4* 可数集与不可数集（4课时）1.5 半序集与Zorn引理（简单介绍）作业要求：完成13~15道基础性练习题，1~2提高性练习题。
实变函数课程教学大纲
实变函数课程教学大纲一、课程说明：1、课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修，也是微积分的进一步深化，这部分内容为学生进一步学习其它数学分支如泛函分析，函数论，微分方程，概率论和科学研究提供必不可少的基础知识。
它是一学期课程，学时数的安排为：一学期68=174课时，其中习题课17课时。
2、本课程的教学目的与要求：通过实变函数这一学科的学习，应使学生较好的掌握测度与积分这个基本的数学工具，特别是极限与积分顺序的交换。
并且在一定程度上掌握集的分析方法。
通过这门学科的教学，要加强对学生的抽象思维能力，逻辑推理能力的培养。
在某些与中学教材相关的教学内容中，要引导学生在学习新知识的同时要加深对相关的中学教材的内容及背景的理解，使他们在今后的教学实践能用较高的观点处理中学教材。
为培养成人师范学生较强的教学能力打下坚实的基础。
3、先行或后继课程：实变函数是第五学期开设的专业必修课。
是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解几何中的一些基本知识。
它的后继课程课有概率统计、泛函分析、点集拓扑等。
4、教学时数分配表：章节目录第一节．集合与子集合第二节．集合的运算第三节．映射与基数第一章第四节．Rn中点与点之间的距离某点集的极限点集合n与点集第五节．R中基本点集：闭集、开集、Borel集、Cantor集第六节．某连续变换与可测集习题课第二章第一节．点集的Lebegue外测度课时分配11421341(选学)415110Lebegue第二节．可测集与测度441112测度第三节．可测集与Borel 集的关系第四节．正测度与矩体的关系第五节．不可测集第六节．某连续变换与可测集习题课第一节．可测函数的定义及其性质484462462416第三章第二节．可测函数列的收敛可测函数第三节．可测函数与连续函数的关系习题课第一节．非负可测函数的积分第二节.一般可测函数的积分第四章Lebegue第三节．可积函数与连续函的性质第四节.Lebegue积分与Riemann积分的性质第五节.重积分与累次积分的关系习题课总课时数积分685、使用教材：普通高等教育“九五”教育部重点教材北京大学出版社，周民强编著《实变函数论》。
教学大纲_实变函数与泛函分析
教学大纲_实变函数与泛函分析实变函数与泛函分析是高级数学中的一门重要课程，主要涉及实变函数的性质及其应用，以及泛函分析中的函数空间与算子的概念和性质。
本教学大纲旨在培养学生对实变函数与泛函分析的基本理论和方法的理解与应用能力。
一、课程目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.了解实变函数的定义、性质和基本的分析方法；2.掌握实数的完备性和实变函数的连续性、可微性等基本概念与定理；3.熟悉重要的实变函数序列收敛的理论和方法；4.理解一元多项式空间及其上的内积、范数等概念；5.了解泛函分析的基本概念，如线性算子、单射、满射、闭算子等；6.掌握泛函分析中重要的泛函空间和赋范向量空间的性质与应用。
二、教学内容1.实变函数的性质与基本分析方法（12学时）1.1实数的完备性与实变函数的极限概念1.2实变函数的连续与可导性质1.3实变函数的积分与微分概念与定理2.实变函数的序列收敛理论与方法（16学时）2.1一致收敛性与收敛级数理论2.2函数项级数的收敛理论与方法2.3 Weierstrass逼近定理的证明与应用2.4傅里叶级数的概念、性质及展开方法3.一元多项式空间与泛函分析基础（14学时）3.1一元多项式空间及其上的内积与范数3.2一元多项式空间中的正交多项式与勒让德多项式3.3泛函分析的基本概念与定理4.泛函空间与线性算子（18学时）4.1泛函空间的定义与性质4.2无穷维度空间的收敛性与紧性4.3线性算子的基本性质与分类4.4线性算子的连续性与有界性5.算子的谱理论与泛函方程（20学时）5.1线性算子的谱理论与应用5.2巴拿赫空间的定义与性质5.3泛函方程的基本理论与应用5.4泛函方程的解的存在唯一性定理三、教学方法1.理论教学：通过讲述与讲解基本概念与定理，引导学生掌握基本原理和方法。
2.解题指导：通过典型例题和习题，引导学生独立思考问题，掌握解题方法和技巧。
3.讨论与交流：鼓励学生参与讨论，提问和回答问题，促进学生之间的交流与合作。
实变函数教学大纲
实变函数教学大纲一、引言实变函数是高等数学中的重要概念之一，它与实数的性质密切相关。
本教学大纲旨在介绍实变函数的基本知识和概念，帮助学生建立对实变函数的正确理解和应用能力。
二、教学目标1. 理解实变函数的定义，并能正确应用；2. 掌握实变函数的基本性质，包括有界性、连续性、可导性等；3. 能够分析实变函数的图像和性态，包括单调性、极值点、拐点等；4. 能够解决与实变函数相关的典型问题，包括求导、求极限等；5. 培养学生的创新思维和问题解决能力。
三、教学内容1. 实数与实变函数1.1 实数的定义与性质1.2 实变函数的定义与表示方式1.3 实变函数的定义域与值域2. 实变函数的基本性质2.1 实变函数的有界性2.2 实变函数的连续性2.3 实变函数的可导性2.4 实变函数的单调性与极值点2.5 实变函数的拐点与凹凸性3. 实变函数的图像与性态3.1 绘制实变函数的图像3.2 分析实变函数的性态，包括单调性、极值点、拐点等4. 实变函数的应用4.1 求实变函数的导数4.2 求实变函数的极限4.3 实变函数在数学建模中的应用案例四、教学方法1. 理论讲授：通过讲解理论知识，梳理实变函数的定义和基本性质；2. 示例分析：选择典型的实例，通过分析解决问题的步骤和方法，增加学生的实际应用能力；3. 互动探讨：通过问题导向的方式引导学生思考和讨论，激发学生的主动性和创造性思维；4. 实践训练：提供丰富的练习题和实际应用题，让学生进行实践演练，巩固知识和技能。
五、教材及参考书目1. 主教材：实变函数教程，作者：XXX，出版社：XXX2. 参考书目：实变函数导论，作者：XXX，出版社：XXX实变函数与泛函分析，作者：XXX，出版社：XXX六、教学评估与考核1. 平时成绩：包括出勤率、课堂表现和参与度等；2. 作业成绩：包括课后习题和实践应用题等；3. 期中考试：考察对基础知识和理论的掌握程度；4. 期末考试：考察对实变函数知识的综合应用和理解能力。
《实变函数》教学大纲
《实变函数》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务实变函数论是数学专业的一门必修课程，它是重要的数学分支，它所讨论的测度结构是数学的四大结构之一。
实变函数在概率论、泛函分析、偏微分方程、计算数学、近代物理都有广泛的应用。
本课程的任务是使学生掌握近代分析的基本思想，加深对数学分析的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下初步基础。
（二）课程教学的目的和要求通过本课程的学习,使学生较好地掌握实变函数论的基本思想、理论和方法，为后继专业课程、为进一步学习近代数学理论打下良好基础。
1．掌握－集合的运算, 集合的势, 可数集合, 连续势; 开集，闭集; 可测集定义、运算性质, 测度的性质, 可测集的结构; 可测函数及其性质, 依测度收敛，Riese定理, Egoroff定理, 可测函数的结构, Lebesgue积分的定义、性质, 积分的极限定理, R积分与L积分的关系，R可积的新的充要条件.2．理解－不可测集, R n中可测集上的可测函数，多元函数的Lebesgue积分, 乘积测度, Fubini定理, L空间的定义.单调函数的可微性, p3．了解－半序集，选择公理与Zorn引理, 用内外测度相等定义可测集，两种可测集定义的等价性, L-SL空间中的收敛概测度与L-S积分, 有界变差函数的连续性与可导性, 有界变差函数与绝对连续函数, p念.（三）课程教学方法与手段本课程采用讲授、习题课和自学相结合的方法.老师讲授百分之八十的基本内容, 其余内容由学生自学、教师辅导.（四）课程与其他课程的联系实变函数论是数学分析的后继课程,也涉及线性代数的知识, 因而先修课程有：数学分析、高等代数和解析几何.泛函分析，现代概率论、现代偏微分方程理论、计算数学理论等课程在本课程后开设.（五）教材与教学参考书教材：曹广福,《实变函数论与泛函分析》上册,高等教育出版社，2004年教学参考书：1、周民强,《实变函数》,北京大学出版社，1995年6月2、程其襄等,《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社，1999年6月3、郑维行等,《实变函数与泛函分析概要》,高等教育出版社，2005年4、夏道行等,《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社，1985年6月二、教课程的教学内容、重点和难点第一章集合教学内容：集合的定义及其运算, 集合序列的上、下限集, 域与 －域，势的定义与Bernstein定理, 可数集合, 连续势, p进位表数法, 聚点, 内点, 边界点, Bolzano-weirstrass定理, 开集, 闭集, 完全集, 直线上点集重点：集合及其运算, 集合的势, 可数集合, 不可数集合, 聚点，内点，边界点, 开集，闭集，完全集，Cantor三分集难点：集列的上、下极限集, 集合的基数问题的证明. 正确理解、运用聚点等基本概念和有关定理第二章测度论教学内容：外测度, 可测集及其性质，开集的可测性, Lebesgue可测集的结构重点：可测集定义及运算性质, 测度的性质, 可测集的结构难点：可测集的概念、可测集结构的理解和应用第三章可测函数教学内容：可测函数的定义, 可测函数的性质, Egoroff定理, Lusin定理, 依测度收敛重点：可测函数定义及其性质，可测函数的结构，可测函数的收敛难点：依测度收敛, 可测函数各种收敛的关系第四章积分理论教学内容：有界可测函数积分的定义及其性质, Lebesgue积分的性质, 一般可测函数的积分, Riemann积分与Lebesgue积分的关系, 非负可测函数积分的极限, 控制收敛定理, 乘积空上测度, FubiniL空间的定义, p L空间中的收定理, 有界变差函数的连续性与可导性, 有界变差函数与绝对连续函数, p敛概念重点：Lebesgue积分的定义、性质, 积分的极限定理, R积分与L积分的关系，R可积的新的充要条L空间的定义件, pL空间中的收难点：积分的极限定理理解及应用, Fubini定理, 有界变差函数的连续性与可导性, p敛概念三、学时分配。
实变函数课程教学大纲
《实变函数》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑
三、教学内容及进度安排
四、课程考核
注：各类考核评价的具体评分标准见《附录：各类考核评分标准表》
五、教材及参考资料
[1]程其襄, 张奠宙等. 实变函数与泛函分析基础（第四版）[M]. 北京: 高等教育出版社,
2019, ISBN: 9787040508109
[2]夏道行等. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2010, ISBN:
9787040274318
[3]江泽坚,吴智泉，纪友清.实变函数论(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社，2007, ISBN:
9787040226430
[4]曹广福. 实变函数论与泛函分析(第三版)[M], 北京: 高等教育出版社, 2011, ISBN:
9787040316742
六、教学条件
需要多媒体教室，电脑要安装好Windows 7、Office 2010、MathType 6.9、Mathematica l1以上版本的正版软件。
附录：各类考核评分标准表
实变函数平时作业评分标准
实变函数设计评分标准
注：评分标准的分数段划分可以根据课程需要自行设计。
实变函数论教学大纲
218.114.1实变函数论教学大纲(Functions of Real Variable)学分数 3 周学时 3+1一、说明1、课程名称：实变函数论（一学期课程）学时：（3+1）×182、教学目的和要求（1）课程性质：本课程是数学系基础课，为数学系本科学生所必修。
（2）基本内容：本课程主要是以n维Euclid空间及其上实值函数为背景，运用点集分析的方法建立测度与积分的理论，具体内容包括：集合、映射，R n中点集的拓朴，可测集和可测函数，积分理论，微分和不定积分。
（3）基本要求：通过本课程的学习，学生应熟练掌握关于可测集、可测函数的概念和性质，深刻理解并掌握Lebesgue积分的理论，并在学习过程中形成抽象思维能力和逻辑推理能力的一个飞跃。
3、教学方式：课堂讲授+习题课训练4、考试方式：闭卷笔试5、教材：《实变函数论与泛函分析》（上册），夏道行等编，高等教育出版社，1984《实变函数与泛函分析》，自编讲义参考书：《实变函数论》，那汤松，高等教育出版社，1958《Real and Abstract Analysis》, Hewitt E., Stromberg K., Springer-Verlag,1975.二、讲授纲要（其中学时数不包括习题课时间）第一章集合和R n中的点集（10学时）§1 集和集的运算（2学时）§2 映射和势（4学时）§3 R n中的点集（4学时）本章教学要求熟练掌握集合的代数运算和极限运算，能应用Bernstein定理确定一些集合的势，熟悉R n的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。
第二章测度（12学时）§1 外测度与可测集（4学时）§2 测度及其性质（4学时）§3 可测集类（4学时）本章教学要求：掌握外测度的概念，正确理解Caratheudory条件，熟练掌握测度及其性质，熟悉一些重要的可测集类，理解不可测集的典型例子。
实变函数教学大纲
《实变函数》教学大纲课程编号：4081205英文课程名：Theory of Functions of Real Variables总学时：72学时学分：4学分课程类别：专业必修课适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析一、课程性质与目的、要求《实变函数》课程是数学与应用数学专业的一门专业必修课,是某些重点院校考取数学类硕士研究生的必考基础课之一．本课程内容包括集合理论、测度理论和勒贝格积分理论等方面的系统知识,所讲授的内容和方法是现代应用数学的基础,是数学类专业学生必须具备的基本训练,是实现数学类专业培养目标的重要课程．通过本课程的学习,学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解,进而提高学习数学的兴趣,提高应用所学数学知识解决实际问题的能力与意识．通过本课程的讲授,可以引导学生了解当前数学领域的最新发展状况,培养学生探索新知识的意识和能力．二、教学内容及学时分配本课程的教学内容共分六章。
第一章：集合 13课时第一节：集合·集合的运算 2课时1、集合2、集合的运算第二节：映射·集合的对等 2课时1、映射2、集合的对等第三节：可列集与不可列集·集合的基数 3课时1、可列集与不可列集2、集的基数3、基数的大小第四节：可列集的判定 3课时第五节：连续势集的判定 3课时1、连续势集的判定2、p进无穷小数用于连续势集的判定3、不存在最大的基数第二章：点集 11课时R空间·区间·距离 1课时第一节：n第二节：内点与开集 2课时第三节：聚点与闭集 2课时第四节：开集和闭集的构造 2课时第五节：点集间的距离·有界闭集的性质 2课时第六节：完备集·Cantor集 2课时第三章：勒贝格测度 15课时1、引言（测度理论的创立与发展情况） 1课时第二节：Lebesgue外测度 3课时1、外测度定义·区间的外测度2、外测度的基本性质3、外测度的开集逼近第三节：有界Lebesgue可测集 4课时1、有界可测集的定义、有界开闭集的可测性2、有界点集的内测度、有界点集可测的充要条件3、有界可测集及其测度的运算性质第四节：无界Lebesgue可测集 3课时1、无界可测集的定义2、可测集及其测度的运算性质3、可测集的构造第五节：不可测集的例子 2课时第六节：集合的乘积 2课时第四章：可测函数 12课时第一节：广义实函数及相关的集合 4课时1、广义实函数2、函数定义域中的示性集3、非负函数的下方图第二节：Lebesgue可测函数的定义 4课时1、Lebesgue可测函数的定义2、函数的可测性与正、负部可测性的关系第三节：可测函数与简单函数 4课时1、简单函数的定义及运算性质2、可测函数与简单函数的关系第四节：可测函数的某些性质第五节：Egoroff定理第六节：可测函数列的依测度收敛第七节：可测函数与连续函数第五章：可测函数的积分 15课时第一节：Lebesgue积分的定义及初等性质 6课时1、非负简单函数的积分2、非负可测函数的积分3、一般可测函数的积分4、积分的初等性质第二节：Lebesgue积分与Riemann积分的比较 3课时1、有限区间上Lebesgue积分与Riemann积分的关系2、Lebesgue积分与广义Riemann积分的关系第三节：逐项积分定理 4课时1、非负可测函数列的逐项积分定理2、可积函数列的逐项积分定理3、连续函数平均逼近定理第四节：Fubini定理 2课时第六章：微分与Lebesgue不定积分 6课时第一节：单调函数的微分性质 2课时第二节：有界变差函数 2课时第三节：绝对连续函数与Lebesgue不定积分 2课时三、教学方法以教师讲授为主，并结合学生的大量练习与实践四、成绩考核方式学期末期末考试，以闭卷形式进行；平时则以书面作业形式进行考查五、教材与参考资料教材：郭大钧等，实变函数与泛函分析，山东大学出版社，2005.7参考资料：周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001)周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2周民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001)周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2Halmos，测度论(Measure theory) ，世界图书出版公司，1998.8Rudin , 实分析与复分析(第三版)(Real and complex analysis,third edition)，机械工业出版社，2004.1曹广福,实变函数论,高等教育出版社，2000。
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教学要求
了解：了解微分与不定积分概念。 理解：理解 Lebesgue 积分概念可积函数及其性质，新旧积分之间的关系。Fubini 定 理的含义。 掌握：掌握简单 Lebesgue 积分的计算。
第六章 函数空间 Lp （不讲） 第七章 Fourier 级数与 Fourier 变换（不讲）
注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
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三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为 54 学时，安排在第五学期，每周 3 学时，上课 18 周。具体分配如下 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 集合及其基数 n 维空间中的点集 测度理论 可测函数 积分理论 8 学时 10 学时 12 学时 12 学时 12 学时
（二）考核要求
（二）开设目的
实变函数是数学专业的一门主要基础课，它的主要目的是改造数学分析的内容以更 加适合研究客观世界。从以区间、连续函数为主要研究对象拓广到以点集、可测函数为 主要研究对象。极限的概念也获得了很大的改进和弱化，使函数分析性质的讨论从一致 收敛、一致连续等很强的束缚中解脱出来。当然最主要的是勒贝格积分取代黎曼积分， 从而极大地提高了运算的灵活性。总之，实变函数为现代数学各分支的发展提供了一个 更合理更方便的分析基础，使得数学的现代化成了可能。 教学目的是为了使学生了解和掌握逐步深入地分析问题和解决问题的方法，提高分 析和解决问题的能力，培养抽象的思维能力。
教学要求
（1）掌握可测函数定义及简单性质 （2）熟悉 Egoroff 定理，Lusin 定理及依测度收敛及其性质。 （3）了解可测函数的结构。
第五章 积分理论
教学目的
介绍 Lebesque 积分的概念、Fubini 定理、微分与不定积分概念，通过 Fubini 定理认 识新积分的优越性。
主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 非负函数的积分 可积函数 Fubini 定理 微分与不定积分 一般测度空间上的 Lebesgue 积分（不讲）
第二章 n 维空间中的点集
教学目的
引入 n 维空间中的各种点集及完备集概念，介绍一维空间各种点集的特性。
主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass 定理 开集、闭集与完备集 p 进位表数法（不讲） 一维开集、闭集、完备集的构造 点集间的距离
（三）基本要求
掌握实变函数的基本理论与方法， 深刻理解实变函数研究中所涉及的各种数学思想， 充分体会对于一种数学对象从多种不同角度，特别是从更抽象的角度去认识、去理解、 去研究的意义与价值，培养解决实际问题和理解与解决某些初等数学问题的能力。
（四）主要内容
包括实变函数的主体理论：点集概念及各类重要点集的性质，外测度与 Lebesgue 测度及其性质，可测函数基本理论，Lebesgue 积分的主要性质等。
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二、教学内容
第一章 集合及其基数
教学目的
弄清集合及其基数概念，可数集与不可数集的基本性质。
主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 集合及其运算 集合的基数 可数集合 不可数无穷集
教学要求
了解：集合基数概念，可数集与不可数集的含义。 理解：可数集与不可数集的性质。 掌握：掌握判断可数集与不可数集的方法。
深圳大学数学与计算科学学院
课程教大纲
（2006 年 10 月重印版）
课程编号
23143104
课程名称
实变函数
课程类别
专业选修
教材名称
实变函数论
制 订 人
徐 希
审 核 人
刘则毅
2004 年 4 月修订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1．课程类别：专业选修课 2．适应专业：数学与应用数学专业数学教育专业方向 3．开设学期：第五学期 4．学时安排：周学时 3，总学时 54 5．学分分配：3 学分
教学要求
了解：了解外测度及测度概念。 理解： 理解测度与可测集的概念及其简单性质。 掌握：掌握测度与可测集的简单性质，常见集合的可测性等。
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第四章 可测函数
教学目的
引入可测函数定义及简单性质，介绍 Egoroff 定理及 Lusin 定理，以及依测度收敛及 其性质。
主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 可测函数的定义及其简单性质 Egoroff 定理 可测函数的结构 Lusin 定理 依测度收敛
注：写明各学期教学总时数及各周学时数。
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教学要求
了解：了解聚点、内点、边界点、开集、闭集与完备集的概念。 理解：理解一维开集、闭集、完备集的构造，点集间的距离。 掌握：掌握开集、闭集与完备集的主要性质。
第三章 测度理论
教学目的
引入外测度及测度概念，通过证明开集的可测性了解测度是普通长度、面积等概念 的推广，引入乘积空间概念。
主要内容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 外测度 可测集合 开集的可测性 乘积空间 集合环上的测度的扩张（不讲）
（五）先修课程
数学分析
（六）后继课程
泛函分析，以及有关研究生课程等
（七）考核方式
闭卷考试
（八）使用教材
江泽坚等编： 《实变函数论》 ，北京：高等教育出版社，1994 年第二版.
（九）参考书目
（1）徐森林编《实变函数论》 ，合肥：中国科学技术大学出版社，2002 年第一版. （2）夏道行等编《实变函数论与泛函分析》 ，北京：人民教育出版社，1978 年第一版.
1. 成绩评价
平时成绩（含考勤、作业与测验）占 30%，期末（卷面）成绩占 70%。
2．命题说明
题型应多样化，设计适当的开放性问题。基本题(主要考查学生对实变函数 基本概念、 理论与方法的一般理解） 、计算题(主要考查学生对实变函数基本方法的具体、灵活应用)、证 明题(主要考查学生对实变函数基本理论、基本方法的综合运用能力)各占约 1/3。难易比例控 制在 15％难、50％适中、35％易之间。涉及教材章的 100％，节的 85％，知识点的 70％左右。 试卷末设置难度系数在 0.7～0.9、分值为 30 分的附加题，目的在于筛选基础知识扎实、探索 精神强烈、创新意识浓厚的同学。试卷采用 A、B 卷。