新人教版九年级数学上册圆周角课件PPT
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人教版九年级上册数学.圆周角PPT课件.
若ABCD为圆内接四边形，则下列哪
个选项可能成立（ B ） 21.2 特殊情况下，招标代理机构可于投标有效期满之前以书面形式要求投标人延长有效期。投标人应以书面形式答复招标代理机构的
上述要求。若投标人拒绝上述要求，可在原定的投标有效期满后收回其投标保证金；若投标人接受招标代理机构的延期要求，投标文 件继续有效，且不允许修改，但需相应延长投标保证金的有效期。 1．人员服务礼仪 （3）库存报表：包括商品库存明细表、商品库存汇总表、商品库存报警表、商品库存分析表、商品进销存台帐、商品收发汇总表。 员工在整个服务过程中必须保持精神专注，时刻准备着为顾客服务。举例来说，有些营业场所会有老人光顾。在老人进来的时候，因
D C 革命纲领，充分发动群众，解央了民主革命的核心问题，即土地问题。④所属的世界革命范畴不同:旧民主主义革命属于世界资产阶级
革命的一部分，新民主主义革命属于世界无产阶级革命的一部分。
∠BOC=__1_0_0_°,∠A=__5_0_°_
O
3、如图(2)四边形ABCD中, A B
C
∠B与∠1互补,AD的延 长线与DC所夹∠2=600 ,
D 12 E
则∠1=_1_2_0_°_,∠B=_6_0_°__. B
C
4. 判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,
这两条弧的度数和为3600( √ )
∠B=80°，则∠ADC=_1_0_0_°∠CDE=__8_0_°__
A
A
D
E
80
B
C
100 D
O
B
C
(2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 则∠B=_5_0_°___∠D=__1_3_0_°_
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 ∠A=__4_5_°_,
个选项可能成立（ B ） 21.2 特殊情况下，招标代理机构可于投标有效期满之前以书面形式要求投标人延长有效期。投标人应以书面形式答复招标代理机构的
上述要求。若投标人拒绝上述要求，可在原定的投标有效期满后收回其投标保证金；若投标人接受招标代理机构的延期要求，投标文 件继续有效，且不允许修改，但需相应延长投标保证金的有效期。 1．人员服务礼仪 （3）库存报表：包括商品库存明细表、商品库存汇总表、商品库存报警表、商品库存分析表、商品进销存台帐、商品收发汇总表。 员工在整个服务过程中必须保持精神专注，时刻准备着为顾客服务。举例来说，有些营业场所会有老人光顾。在老人进来的时候，因
D C 革命纲领，充分发动群众，解央了民主革命的核心问题，即土地问题。④所属的世界革命范畴不同:旧民主主义革命属于世界资产阶级
革命的一部分，新民主主义革命属于世界无产阶级革命的一部分。
∠BOC=__1_0_0_°,∠A=__5_0_°_
O
3、如图(2)四边形ABCD中, A B
C
∠B与∠1互补,AD的延 长线与DC所夹∠2=600 ,
D 12 E
则∠1=_1_2_0_°_,∠B=_6_0_°__. B
C
4. 判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,
这两条弧的度数和为3600( √ )
∠B=80°，则∠ADC=_1_0_0_°∠CDE=__8_0_°__
A
A
D
E
80
B
C
100 D
O
B
C
(2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 则∠B=_5_0_°___∠D=__1_3_0_°_
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 ∠A=__4_5_°_,
人教版数学九年级上册圆周角的概念和圆周角的定理课件(第一课时18张)
1
= 2∠AOD,∠CBD
= 1∠COD,
2
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
A C
●O B
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
半.
活动三：学以致用
1. 如图1,在圆O中, ∠BOC=50°,则∠BAC = 25°;
2.变式1:如图2,已知∠BCD=120°,则∠AOB= 120; °
3.变式2:如图3,已知圆心角∠AOB=100°，则
⌒ BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角
是∠BOC,
则∠
BAC=
1 2
∠BOC
O
A
C
B
例1.如图：OA、OB、OC都是⊙ O的半径
∠AOB=2∠BOC. ∠ACB=40°，求∠BAC的度数.
证明：∵
∠ACB=
1 2
∠AOB=40
°
∴ ∠AOB= 80 °
∵ ∠AOB=2∠BOC
O
∴ ∠BOC=40 °
特征：① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都和圆相交 （即两边是圆的两条弦）
判别下列各图形中的角是不是圆周角。
×
√
×
√
×
×
×
当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角 的大小有什么关系?.
A C
●O
B
E
D
圆周角: ∠ABC,
∠ADC, ∠AEC.
新人教版九年级上册数学
24.1.4圆周角（第1课时）
问题：请同学们想一想，球员射中球门的难易 与什么有关？
总结：如图所示，球员射中球门的难易与他所在的位置B对球门
24.1.4 圆周角 课件-2024-2025学年人教版九年级数学上册
究
与
应
用
[概括新知]
推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角 相等
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是
对的弦是
直径
.
直角
.
,90°的圆周角所
探
究
与
应
用
[理解应用]
例2 (教材典题)如图24-1-24,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为
6 cm,∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD,BD的长.
解:如图,连接OD.
得AB=12 cm,BC=5 cm,则圆形镜面的半径为
图24-1-32
13
2
cm .
谢 谢 观 看！
D.100°
图24-1-27
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
圆心角
圆周角
的定义
类比
圆周角
圆周角与直
径的关系
圆周角定理
圆周角定理
的推论
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如图24-1-28,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=70°,则
∠AOC的度数为
A.140°
B.130°
C.120°
D.110°
( A )
图24-1-28
课
堂
小
结
与
检
测
2.如图24-1-29,BD是☉O的直径,点A,C在圆上,∠A=50°,则
∠DBC的度数是
A.50°
B.45°
C.40°
D.35°
( C )
图24-1-29
课
堂
小
结
与
应
用
[概括新知]
推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角 相等
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是
对的弦是
直径
.
直角
.
,90°的圆周角所
探
究
与
应
用
[理解应用]
例2 (教材典题)如图24-1-24,☉O的直径AB为10 cm,弦AC为
6 cm,∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD,BD的长.
解:如图,连接OD.
得AB=12 cm,BC=5 cm,则圆形镜面的半径为
图24-1-32
13
2
cm .
谢 谢 观 看！
D.100°
图24-1-27
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
圆心角
圆周角
的定义
类比
圆周角
圆周角与直
径的关系
圆周角定理
圆周角定理
的推论
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如图24-1-28,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=70°,则
∠AOC的度数为
A.140°
B.130°
C.120°
D.110°
( A )
图24-1-28
课
堂
小
结
与
检
测
2.如图24-1-29,BD是☉O的直径,点A,C在圆上,∠A=50°,则
∠DBC的度数是
A.50°
B.45°
C.40°
D.35°
( C )
图24-1-29
课
堂
小
结
九年级数学上《圆周角》课件新人教版
解：∵AB是直径，
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
B C A2 B A2 C12 0 6 2 8A
O
B
∵CD平分∠ACB，
A C D B C D .
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
20 20/3/A 17D B D 2A B 2 1 0 52 (c m )
C
称图形
A 1) 2) B 1) 3)
C 2) 3) D 1) 2) 3)
B
2020/3/17
课前热身
1 判断题：
n
(1)相等的圆心角所对的弧相等 。 ×
(2)等弦对等弧 。
×
O
(3)等弧对等弦 。
√
(4)长度相等的两条弧是等弧 。 × A
B
(5)平分弦的直径垂直于弦 。 ×
2020/3/17
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B
C O A
B
O
A
B'
O'
A'
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等 所对的弦的弦心距相等
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B
C O A
B
O
A
B'
O'
A'
在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等
1.圆心角的定义?
推 论 2半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。
推 论 3 如果三角形一边上的中线等于这条边的 一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
B C A2 B A2 C12 0 6 2 8A
O
B
∵CD平分∠ACB，
A C D B C D .
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
20 20/3/A 17D B D 2A B 2 1 0 52 (c m )
C
称图形
A 1) 2) B 1) 3)
C 2) 3) D 1) 2) 3)
B
2020/3/17
课前热身
1 判断题：
n
(1)相等的圆心角所对的弧相等 。 ×
(2)等弦对等弧 。
×
O
(3)等弧对等弦 。
√
(4)长度相等的两条弧是等弧 。 × A
B
(5)平分弦的直径垂直于弦 。 ×
2020/3/17
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B
C O A
B
O
A
B'
O'
A'
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等 所对的弦的弦心距相等
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B
C O A
B
O
A
B'
O'
A'
在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等
1.圆心角的定义?
推 论 2半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。
推 论 3 如果三角形一边上的中线等于这条边的 一半，那么这个三角形是直角三角形。
九年级数学上册 24.1.4 圆周角课件 (新版)新人教版
即 A 1 BOC 2
新课讲解
（2）在圆周角的内部．
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
BAD DAC 1 (BOD DOC)
2
BAC 1 BOC
B
2
A
O·
C D
新课讲解
（3）在圆周角的外部． 圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
C2
C3
A
·O
B
C1
例题分析
例 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC的长为6 cm，
∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC 中，
BC AB2 AC2 102 62 8 A
·O
B
∵CD平分 ∠ACB，
∴∠ACD= ∠BCD
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边
形ABCD的外接圆.
D
在圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对 的圆心角的和是周角
A
∴∠A＋∠C＝ 180° 同理∠B＋∠D＝180°
O
B
C
性质：圆的内接四边形的对角互补.
课堂练习
课本P88练习
课堂小结
1.关于圆周角的概念； 2.关于圆周角的定理； 3.关于圆周角的定理的推论； 4.圆内接多边形概念及定理.
∴弧AD=弧BD.
D
∴AD=BD.
在Rt△ABD中，
∵ AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
人教版九年级数学上册圆周角PPT优秀课件
A
B
P
人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件
人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件
1.如图，∠A=50°，∠ABC=60° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ）. A.70° B.110° C.90° D.120°
2.（南通·中考） 如图，⊙O的直径
A
ED O
B
C
AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的
O
A
B
长是( )
A．1
B． 2
C． 3
C
D．2
【解析】选D. 直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中，
30°的角所对的边是斜边的一半.
人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件
人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件
3.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O
上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
推论3： 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
C E
D
O
A
B
人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件
人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分
线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角课件
跟踪训练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D）. A.50° B.80° C.90° D.100°
A
BO C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆
周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC
新人教版九年级数学上册《圆周角》精品课件
对的弧的度数的一半.
弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
【想一想】1.如下左图，比较∠ACB，∠ADB，∠AEB的大小.
C D A O E
E
B
A
O B
F D
C ＝CD ， 2.如上右图，如果 AB 那么∠E和∠F是什么关系？
1 ∵AO=BO， CO= AB, 2
A · O B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径,∴∠ACB= 1×180°= 90°. 2
∴ △ABC 为直角三角形.
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.圆周角定义及其两个特征； 2.圆周角定理的内容及其推论； 3.思想方法：一种方法和一种思想： 在证明中，运用了数学中的分类方法和“化归”思想． 分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转 化成一系列的简单问题或已证问题．
三、后教环节 突出重点 突破难点
【跟踪训练】 1.如图，在⊙O中，∠ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ）. A.50° B.80° C.90° D.100°
B
O C A
2.如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆 周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC 等于（ B ）.
C
A.30°
B.60°
自学指导
认真看书85-88页，独立完成以下问题， 看谁做得又对又快？ 1、什么是圆周角，它和圆心角有区别吗？ 2、圆周角定理是什么？它的推论呢？ 3、什么是圆内接多边形？圆内接四边形四个 角之间有什么关系？
一、 情境导入
二、 先学环节 教师释疑
C
C
B
A C
人教版九年级数学上册课件：第24章圆24.1.4 圆周角和圆心角、弧的关系(共20张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月4日星期六2021/9/42021/9/42021/9/4 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/42021/9/42021/9/49/4/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/42021/9/4September 4, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/42021/9/42021/9/42021/9/4
我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心 O在∠BAC的一条边上.
知2－讲
O A B O O C C A A C C A 1 2 B O C .
对于第（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线（图 （2）（3）），将它们转化为第（1）种情况.从而得 到相同的结论（请你自己完成证明）.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
知1－练
1 (中考·柳州)下列四个图中，∠x为圆周角的是( C)
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图所示，图中的圆周角共有___4___个，其中A⌒B 所对的圆周角是_∠__C__与_∠__D_____，C⌒D所对的圆周角 是_∠__A_与__∠__B___．
我们来分析第（1）种情况，如图（1），圆心 O在∠BAC的一条边上.
知2－讲
O A B O O C C A A C C A 1 2 B O C .
对于第（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线（图 （2）（3）），将它们转化为第（1）种情况.从而得 到相同的结论（请你自己完成证明）.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
知1－练
1 (中考·柳州)下列四个图中，∠x为圆周角的是( C)
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图所示，图中的圆周角共有___4___个，其中A⌒B 所对的圆周角是_∠__C__与_∠__D_____，C⌒D所对的圆周角 是_∠__A_与__∠__B___．
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
2.与圆周角有关的问题： 弦的条件需转化成弧 的条件。
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
•
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
人教版数学九年级上册.. 圆周角课件 教学课件
∴AD=BD.
等的圆周角所对的弧相等.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2 (cm)念和定理:
圆周角, 圆周角定理 两个推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等；
半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
三种思想方法：
明辨真假
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
不是
有一边和圆 不相交。
人教版数学九年级上册.. 圆周角课件 教学课件
人教版数学九年级上册.. 圆周角课件 教学课件
动手操作
在圆中任意画一个圆周角∠BAC,看一下圆
心在什么位置?画出圆周角所对弧所对的
圆心角∠BOC.
A
A
A
O
O
O
B
CB
CB
C
圆心在一边上
圆心在角内
圆心在角外
人教版数学九年级上册.. 圆周角课件 教学课件
观察猜想 人教版数学九年级上册.. 圆周角课件 教学课件
互助释疑
• 如图,观察圆周角∠ BAC与圆心角∠ BOC,它们的大 小有何等量关系?
说说你的想法,并与同伴交流.你能证明所发现的结论吗？
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1，∠C2，∠C3的度数是 90°.
C1 C2
问题2： 若∠C1，∠C2，∠C3是 C3 直角，那么∠AOB是 180°.
A
O
B 推论2：半圆（或直径）所对 的圆周角是直角；90°的圆 周角所对的弦是直径.
24.1.4 .1圆周角定理及其推论课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
则∠D等于( A )
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
（2）圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
知识讲解
知识点2 圆周角定理都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：
∠ACB=2∠BAC．
证明：∵∠ACB=
∠AOB，∠BAC=
∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.
∠BOC，
随堂练习
8. 船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否遇到暗礁，如图，A、
B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上
30°
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为__________.
随堂练习
3. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：由BD是⊙O直径得∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°.
∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角，
证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°，
∵AD 是 △ABC 的 高 ， ∴∠ADC ＝ 90° ，
∴∠CAD＋∠C＝90°.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
【例 4】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，
AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
（2）圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
知识讲解
知识点2 圆周角定理都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：
∠ACB=2∠BAC．
证明：∵∠ACB=
∠AOB，∠BAC=
∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.
∠BOC，
随堂练习
8. 船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否遇到暗礁，如图，A、
B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上
30°
∠AOD=60°，则∠DBC的度数为__________.
随堂练习
3. 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( C )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：由BD是⊙O直径得∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，∴∠BDC＝60°.
∵∠A与∠BDC是同弧所对的圆周角，
证明：连接BE，∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°，
∵AD 是 △ABC 的 高 ， ∴∠ADC ＝ 90° ，
∴∠CAD＋∠C＝90°.
知识讲解
知识点2 圆周角定理的推论
【例 4】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，
AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.
24.1.4 圆周角 课件2024-2025学年人教版九年级数学上册
边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆
B
思考：请结合右图，写出圆内接四边形的性质的几何语言
A
几何语言：∵四边形ABCD内接于ʘO ∴ ∠A+∠C=∠B+∠D=180º
C O
D
练习１ 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD
把四个内角分成8个角，这些角哪些相等？为什么？
B
34
2
O5 C 6
D
A
C o
B
测评1： （1）如图，直径AB⊥CD，和∠ACB相等的角一共有几个（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
（2）若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立( )
A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4
A
B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4
C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4
圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。
追问 根据圆心角的学习过程，我们将从哪几个方面来研究“圆周角”? 圆周角的判定条件、性质和应用
课堂引入
问题4 那么如何判定一个角是圆周角呢? 辨析：下面这些角是圆周角吗？
定义
巩固练习
测评1 找出图中的所有圆周角______________.
合作探究
问题5 一条弧所对的圆周角有多少个?请你在图中画图并尝试。 分类讨论
圆周角所对弦是一条直径，请同学们猜想一下圆周角
的度数？
D
思考：请同学们把这个结论用一句简洁的语言表达出来？
C
B
结论:直径（或半圆）所对的圆周角是直角；
O A
合作探究
结论:直径（或半圆）所对的圆周角是直角；
思考：你能证明这个结论吗?
24.1.4圆周角 教学课件(共33张PPT)初中数学人教版(2012)九年级上册
∴△AOF 是等边三角形，
∴OF=OA=AF=2, ∵OG⊥AF,∴
2
∴OG=√2²-1²=√3Hale Waihona Puke 即它的内切圆半径为 √3,故选：D.
练 习5 如 图 ，oO 的半径为2,正六边形 ABCDEF 内接于⊙0,则这
个正六边形的边心距OG 的长为(D )
A.2
B.1
上
C.
D.√3
2
解析：∵六边形ABCDEF为正六边形，
A.6
B.6√3
C.6√5
D.4√ 13
解析：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB 为等边三角形，∴AB=2 过 点 0 作OM⊥AB 于 点M, 则 AM=BM=1
在Rt△AOMR中 ，OM= √2²-1²= √3
∴OO 的面积约为6SAog=6 √3,故选：B.
△AOF 都是等边三角形，
∵O0 的周长为12π,∴⊙0的半径为
I
正六边形的边长是6.故选：B.
小结
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正 多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做 正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距.
E D
F 中心角 半径R
正十六边形等.
练习1下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大 的是( D )
B.
C.
D.
解析：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积 越来越接近圆周长和圆面积，
故选：D.
练 习2如图，点A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，点0为正 多边形的中心，若∠ADB=18°, 则这个正多边形的边数为( B )
∴OF=OA=AF=2, ∵OG⊥AF,∴
2
∴OG=√2²-1²=√3Hale Waihona Puke 即它的内切圆半径为 √3,故选：D.
练 习5 如 图 ，oO 的半径为2,正六边形 ABCDEF 内接于⊙0,则这
个正六边形的边心距OG 的长为(D )
A.2
B.1
上
C.
D.√3
2
解析：∵六边形ABCDEF为正六边形，
A.6
B.6√3
C.6√5
D.4√ 13
解析：如图，连接OA、OB 由题意可得：∠AOB=360÷6=60°
∵OA=OB=2
∴△OAB 为等边三角形，∴AB=2 过 点 0 作OM⊥AB 于 点M, 则 AM=BM=1
在Rt△AOMR中 ，OM= √2²-1²= √3
∴OO 的面积约为6SAog=6 √3,故选：B.
△AOF 都是等边三角形，
∵O0 的周长为12π,∴⊙0的半径为
I
正六边形的边长是6.故选：B.
小结
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正 多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做 正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正 多边形的边心距.
E D
F 中心角 半径R
正十六边形等.
练习1下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大 的是( D )
B.
C.
D.
解析：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积 越来越接近圆周长和圆面积，
故选：D.
练 习2如图，点A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，点0为正 多边形的中心，若∠ADB=18°, 则这个正多边形的边数为( B )
24.1.4 圆周角 人教版九年级数学上册第1课时课件
∠BAD= 1∠BOD,
2
∴∠BAC=∠2 CAD-∠BAD= (∠1 COD-∠BOD)= ∠B10C.
2
2
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的一半.
数学思想方法：分类思想、化归思 想、由特殊到一般的数学方法.
共同探究2
思考： 1.同弧所对的圆周角是否相等？ 2.如果改为等弧，那么所对的圆周角还
（2）如图（2）圆心O在∠BAC的内部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠BAD= 1 ∠BOD,
∠CAD= 1 ∠COD,
2
∴∠BAC=2∠BAD+∠CAD= (∠1 BOD+∠COD)
= 1 ∠BOC.
2
2
证明：
（3）如图（3） ，圆心O在∠BAC的外部上时.
作直径AD，则由（1）可得∠CAD= 1 ∠COD,
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交， 我们把这样的角叫做圆周角.
观察下列图形中的角都是圆周角吗？
O
共同探究1
动手操作：
1.画⊙O，在⊙O上任意画弧AB,分别画出弧AB所
对的圆心角和圆周角.
2.你能画出几个弧AB所对的圆心角和圆周角？
3.分别测量所画圆心角和圆周角的度数，它们之 间有什么关系？
思考：
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角(第1课时)
问题思考
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进
行无人防守的射门训练如图，甲、乙两名运动员
分别在C、D两处，他们争论不休，都说在自已所
在的位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请
评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大？
为什么？
A
B
C D
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课件(31张PPT)
推论 2
半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
符号语言：
如图，在⊙O 中，若 AB 为⊙O 的直径， 则∠C1 = ∠C2 = ∠C3 = 90°. 若∠C1(或∠C2，∠C3 )= 90°， 则 AB 为 ⊙O 的直径.
思考 若将“同弧或等弧所对的圆周角相等”中的“同 弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论成立吗？
证明 3
你会证明吗？
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆心在圆周角的 情况
一条边上
圆心在圆周角 的内部
圆心在圆周角 的外部
图示
结论
∠BAC = ∠BOC．
思考 AB 所对的两个圆周角，∠ACB 与∠ADB 之间 有什么关系？
同弧所对的圆周角相等．
思考 AB = BC ，∠ADB 与∠BEC 之间有什么关系？
解：∠1 = ∠4， ∠3 = ∠6， ∠2 = ∠7， ∠5 = ∠8.
理由：同弧所对的圆周角相等.
【教材P88练习 第3题】
3. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
证明：∵ ∠ACB = ∠AOB，
∠BAC = ∠BOC，
∠AOB = 2∠BOC，
不一定成立，因为 一条弦所对的圆周 角有两种情况.
例题4
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
解：连接 OD. ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ACB =ADB = 90°． 在 Rt△ABC 中， BC AB2 AC 2 102 62 8cm.
人教版九年级上册 24.1.4 圆周角 课件30张
五、思维拓展
与圆有关的角除了圆心角、圆周角还有其 它的角，比较∠A、∠D、∠E的大小关系，你 有什么发现？能说明你的结论吗？
D’
A
E’ E
D
B
C
练习. 如图，在⊙O中，BC=2DE,∠BOC=84°，求
∠A的度数.
C E
A
O
D
B
活动六：反思提升
目标检测
1.如左图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，
24.1.4圆周角
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
C
二、建立概念
圆周角
类 比 思
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
想
圆心角
B C
· · B 定义O 顶点A 在圆心 O
A
的角叫做圆心角.
C
（1）√
（2） ×
A O
B
C
A C
·O
B
（3）×
圆周角
定义 顶点在圆上， 并且两边都和圆相交 的角叫做圆周角.
四边形ABCD的对角线.填空：
(1)∠1=∠ 4 ; (2)∠2=∠ 7 ; (3)∠3=∠ 6 ; (4)∠5=∠ 8 .
1.如图，点A、B、C都在⊙O上. （1）若∠AOC=120°，则求∠ABC的度数. （2）写出∠AOC与∠ABC的数量关系.
O
C
A
B
2.如图，点A、B、C都在⊙O上. ∠AOB = 2∠BOC. 请说明∠ACB = 2∠BAC.
O
C
A
B
一、温故探新 定义 顶点在圆心的角叫做圆心角. 性质 弧的度数等于它所对圆心角的度数.
O
B
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上任意一点（除点A、B）,那么， ∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角. 想想看，∠ACB 会是怎么样的角？
为什么呢？
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC 都是等腰三角形，所以 ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， 所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°. 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ACB总等于90°，
结论： 半圆或直径所对的圆周角是90°（直角），反
过来也是成立的，90°的圆周角所对的弦是直径。
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例题赏析:
例1 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
一、复习检测
1. 什么叫圆心角？ __________________________________ __________.
2. 你能找出下面图形中的圆心角吗？ （口述判断的理由）
探究一、圆周角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
B
C
即 A 1 BOC 2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
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（2）在圆周角的内部．
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的 结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
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3.如果∠ABC的两边都不经过圆心.如图， 那么结果怎样？你能将下图中的两种 情况分别转化成上图中的情况去解决 吗？
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探究
分别量一下图中弧AB所对的
24.1.4 圆周角
（第1课时）
学习目标： 1. 理解圆周角的概念，会识别圆周角。 2. 掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论 证和计算。 3. 通过学习体会运用分讨论，转化，完全归纳法 等数学思想方法解决问题，培养学生分析问题和 解决问题的能力。 学习重点：圆周角的概念和圆周角定理。
学习难点：用分类讨论的思想证明圆周角定理， 尤其是分类标准的确定。
C
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC 2 102 62 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
∴A⌒D=B⌒D.
∴AD=BD.
D
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
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为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周 角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点 A．由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会:
（1）在圆周角的一条边上；
∵OA=OC，
∴∠A=∠C．
A
又∠BOC=∠A+∠C
O·Байду номын сангаас
∴∠BOC=2∠A
特征：① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
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概念应用
(1)判断如图所示的角，哪些是圆周角
√
√
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（2）下图中的圆周角有：___________________.
两个圆周角的度数，比较一下，
再变动点C在圆周上的位置，圆
周角的度数有没有变化？你能发
D
现什么规律吗？
再分别量出图中弧AB所对的圆 周角和圆心角的度数，比较一下， A 你什么发现？
C
·O
B
同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的 度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．
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在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半.
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探究： 1． 半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ ２．９０°的圆周角所对的弦是否是直径？
线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O
A1
2
D
8 7
3
4
B
6 5
C
注意：圆周角必须要具备两个条件： _______________________________________.
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探究二、
1. 任意画一个圆O，在圆上任意 取三个点A、B、C，连接AB、 BC.圆心O与∠ABC有几种可能的 位置关系？
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
DAC DAB 1 (DOC DOB)
A
2
BAC 1 BOC
O·
2
D
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
B
C
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圆周角定理
BAD DAC 1 (BOD DOC)
A
2
BAC 1 BOC 2
O·
B
C
D
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
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（3）在圆周角的外部．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
___________________________
_________________________.
2. 如图，分别测量图中弧AB所
对的圆周角∠ABC和圆心角
B
∠AOC的度数，它们之间的关系
是_____________.(证明)
A
1.·
C
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为什么呢？
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证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC 都是等腰三角形，所以 ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， 所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°. 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ACB总等于90°，
结论： 半圆或直径所对的圆周角是90°（直角），反
过来也是成立的，90°的圆周角所对的弦是直径。
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例题赏析:
例1 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
一、复习检测
1. 什么叫圆心角？ __________________________________ __________.
2. 你能找出下面图形中的圆心角吗？ （口述判断的理由）
探究一、圆周角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
B
C
即 A 1 BOC 2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
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（2）在圆周角的内部．
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利用（１）的 结果，有
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
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3.如果∠ABC的两边都不经过圆心.如图， 那么结果怎样？你能将下图中的两种 情况分别转化成上图中的情况去解决 吗？
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探究
分别量一下图中弧AB所对的
24.1.4 圆周角
（第1课时）
学习目标： 1. 理解圆周角的概念，会识别圆周角。 2. 掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论 证和计算。 3. 通过学习体会运用分讨论，转化，完全归纳法 等数学思想方法解决问题，培养学生分析问题和 解决问题的能力。 学习重点：圆周角的概念和圆周角定理。
学习难点：用分类讨论的思想证明圆周角定理， 尤其是分类标准的确定。
C
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC 2 102 62 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
∴A⌒D=B⌒D.
∴AD=BD.
D
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
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为了进一步探究上面的发现，如图在⊙O任取一个圆周 角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点 A．由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会:
（1）在圆周角的一条边上；
∵OA=OC，
∴∠A=∠C．
A
又∠BOC=∠A+∠C
O·Байду номын сангаас
∴∠BOC=2∠A
特征：① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
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概念应用
(1)判断如图所示的角，哪些是圆周角
√
√
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（2）下图中的圆周角有：___________________.
两个圆周角的度数，比较一下，
再变动点C在圆周上的位置，圆
周角的度数有没有变化？你能发
D
现什么规律吗？
再分别量出图中弧AB所对的圆 周角和圆心角的度数，比较一下， A 你什么发现？
C
·O
B
同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的 度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．
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在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半.
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探究： 1． 半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ ２．９０°的圆周角所对的弦是否是直径？
线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O
A1
2
D
8 7
3
4
B
6 5
C
注意：圆周角必须要具备两个条件： _______________________________________.
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探究二、
1. 任意画一个圆O，在圆上任意 取三个点A、B、C，连接AB、 BC.圆心O与∠ABC有几种可能的 位置关系？
BAD 1 BOD 2
DAC 1 DOC 2
DAC DAB 1 (DOC DOB)
A
2
BAC 1 BOC
O·
2
D
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
B
C
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圆周角定理
BAD DAC 1 (BOD DOC)
A
2
BAC 1 BOC 2
O·
B
C
D
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
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（3）在圆周角的外部．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
___________________________
_________________________.
2. 如图，分别测量图中弧AB所
对的圆周角∠ABC和圆心角
B
∠AOC的度数，它们之间的关系
是_____________.(证明)
A
1.·
C
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