第7章 塑性力学基础

简化之 f ( ij , k ) 0
各向同性
f (1 , 2 , 3 , l1 , l2 , l3 , k ) 0
f (1 , 2 , 3 , k ) 0 屈服函数的一般形式
其他形式 f (1 , 2 , 3 , k ) 0 2. 主应力空间与屈服曲面 （1）主应力空间
为便于直观研究屈服曲线，采用斜视平面， 即 NO方向视图。 （1） 屈服曲线是包围原点的封闭曲线 原点：无应力状态； 不包围原点？
3(s3)
N
2
O
开口：通过开口从原点引出的矢端可逃 逸至无穷远而不屈服。
1(s1)
2(s2)
（2）从原点引出的射线与屈服曲线必相交一次，且仅一次。
由初始屈服条件的唯一性所致。 （3）屈服曲线在 平面上关于原点、三轴及其垂线对称。 由各向同性可证三轴对称；由忽略鲍 辛格效应可证三轴的垂线对称。 屈服曲线被六条对称轴平分。仅需确 定30°范围内的屈服曲线，便可确定完整 屈服曲线。 （4）屈服曲线对坐标原点外凸。 由Drucker公设可证。 1(s1) 初始屈服曲线的性质可总结为封闭 性、唯一性、对称性和外凸性。
2. 加载条件 用以判断某点应力状态的变化过程是否是加载过程的准则。 仅判断出某点处于塑性状态不足以判断之后的应力应变关 系应选用塑性关系或是弹性关系，需判断其过程是加载还是卸 载。对于单向应力状态仅需用 d or 0 判断之。
3. 强化条件
用以判断某点应力状态是否是再次屈服的准则。 对于单向应力状态，后继屈服极限 s 可由试验直接得出， 对于复杂应力状态以建立初始屈服与后继屈服的关系来实现。
第七章
§7-1 §7-2 §7-3 §7-4
塑性力学基础
引言 屈服条件 Drucker公设与加载条件 塑性本构关系
§7-1
一. 金属材料的力学试验
1. 单向拉压试验
引言
不同材料在单向拉压实验中，有不同的应力－应变曲线。 对于软钢（如低碳钢）:

（1）弹性阶段与弹性极限
在OA段，只要在A前卸载均不会 产生残余变形， 因此为弹性阶段， 其极限值为e 称为弹性极限； 其中的OA1段为直线段，即线弹性， 其极限值为p 称为比例极限。 其斜率E 称为弹性模量。 （2）屈服阶段与屈服极限
4. 塑性本构关系 塑性状态下的应力应变关系。
5. 塑性问题的求解方法 在弹性问题求解方法的基础上，基于塑性本构关系的非线 性而产生的各种求解方法。
§7-2
屈服条件
一. 屈服函数与应力空间
1. 屈服函数的一般形式
对于单向拉伸，其屈服条件显然是 s 。 f ( , k ) 0 为便于数学表达可改写为 s 0 称为屈服函数，其中 是应力状态（系变量随外荷载变化）， k 是控制参数（系常量是材料的固有属性，在此 k s ）。 对于复杂应力状态ij，物体上某点的屈服显然是由六个应 力分量共同作用之结果。其屈服函数仿上可写为 f ( ij , k ) 0 f ( ij , k ) 0 为六元函数，几何上为六维空间中的超曲面。
f (1 , 2 , 3 , k ) 0
某点处于屈服状态
当某点应力状态在主应力空间中的点位于屈服曲面之内：
f (1 , 2 , 3 , k ) 0
某点处于弹性状态
③ 因系初始屈服函数，应力状态在主应力空间中的点不可能 位ห้องสมุดไป่ตู้屈服曲面之外，只可能在另一个屈服曲面（后继屈服曲面 或加载曲面）之上。
由两个试验结果都可得到 k，若要求两个 k 值相同，则必须：
f ( I1 , I 2 , I3 , k ) 0
f ( J1 , J 2 , J 3 , k ) 0 f ( J 2 , J3 , k ) 0
由物体上某点的应力状态的主方向 l1、l2、l3作为坐标轴方 向，由主应力1、2、3 作为坐标刻度构成的空间称为该点的 主应力空间。 主应力空间是一正交的三维空间，在其 上建立的力学规律可以有直观的几何意义。 ① 主应力空间中的任一点 P(1 , 2 , 3 ) , 代表某点的一个应力状态。 ② 主应力空间中的任一条曲线 ,代表某 点的应力状态的变化途径（由荷载变化所 致），称为应力路径或应力历史。
OR OQ
设 P 点是屈服曲面上的一点， 3 P 点向 平面的投影为 R 点， 则主应力空间中所有向 平面 投影落在R点的各点P1、P2、…，均 P P1 应是屈服曲面上的点， P 2 O 显然这些点均在直线 PR 上， P3 R 所以屈服曲面是以平行于等倾线的 1 直线为母线的柱面。 其导线（屈服曲面与 平面的交线）则称为屈服曲线。 5. 屈服曲线的性质
p
E

（3）强化阶段与后继屈服极限 过B点，BC段应力和应变同时增加，称为强化阶段，段内任 一点的斜率E1称为强化模量。在段内任一点（如D点）卸载， 将 沿平行于OA的直线路径回到E点，产生塑性应变 p； 再从E点加载，将沿ED直线路径， 到D点后再次屈服。
D点对应的应力值s称为后继屈服 极限。 可理解为二次加载的屈服极 限，故又称加载应力或加载点。 显然，s s ，屈服极限升高， 故称强化。但其升高的程度取决于 塑性变形程度（即加载变形历史）。
2
二. 简化力学模型
一般分为理想塑性和强化塑性，具体为： 1. 理想塑性模型 强化性质不明显，屈服阶段相对较长 （如韧性钢），忽略强化阶段。 （1）理想弹塑性模型：考虑弹性
E s s s
s
O

s

s
（2）理想刚塑性模型：不考虑弹性
s
O

2. 强化塑性模型
O

n1 n 12 n 13 n0
当n0时 当n1时
若 A s， 若 A E，
刚塑性 理想弹性

s
A
当0n1时 由
介于其间
d nA n1在原点斜率无穷大，不能描述初始加载。 d
O
s E

三. 塑性分析内容概述
从单向拉压试验很容易了解单向应力状态的应力应变行为 的规律，再利用静力、几何和物理关系可以比较容易地进行弹 塑性分析。 但对于复杂应力状态要了解应力应变行为的规律，再利用 静力、几何和物理关系进行弹塑性分析将是很复杂和困难的。 因此参照单向应力状态的行为过程对复杂应力状态进行相 应的研究。 1. 屈服条件 用以判断某点的应力状态是否进入塑性状态的准则。 对于单向应力状态只需判断其应力（仅一个分量）是否达 到屈服应力s，但对于复杂应力状态（六个分量），其特征值 为何？各分量的作用如何？
3
P1(1 , 2 , 3 )
P(1 , 2 , 3 ) O
2
1
③ 主应力空间中的任一曲面 ,代表某点的应力状态各量间的 相互关系。
（2）屈服曲面 由屈服函数 f (1 , 2 , 3 , k ) 0 在主应力空间形成的曲面（包 围原点），称为屈服曲面。 屈服曲面是弹塑性状态的分界面。系材料固有属性形成， 与荷载和物体某点的位置无关。 ① 即 ② 即 当某点应力状态在主应力空间中的点位于屈服曲面之上：
3. 主应力空间的力学意义
3
N A (m , m , m) O
（1）等倾线 在主应力空间中，过O点以
n1 n2 n3 1 3

为方向余弦的直线
1
ON，称为等倾线。
2
等倾线线上任一点（如A 点）所代 表的应力状态为1
1 2 3
m (1 2 3 )
3
1 2 3 m
应力球张量
s1 1 m 0
s2 2 m 0
s3 3 m 0 应力偏张量为零
故等倾线线上任一点代表一个应力球张量（即静水压力状态）。 （2） 平面 过O点以等倾线ON为法线作平面，称为 平面。
因 平面的方程为
3(s3)
2(s2)
二. 常用屈服条件
1. Tresca屈服条件 1864 年法国工程师 Tresca 通过金属（铅）作了一系列挤压 实验，结果提出当最大剪应力达到一定数值时（k），材料进入 塑性状态。 即
max k
其中k由试验确定
1 3 2k
1 s 2 0 3 0
s
结论： ① 在弹性阶段（ s），应力应变关 系一一对应；初始屈服后（ s） ， 应力应变关系不再是一一对应关系，而 与加载变形历史有关。 ② 对应关系： 加载（ d 0）： E 弹性阶段 卸载（ d 0）： E 屈服阶段 强化阶段 d 0 ; s ;
1 2 3 0
所以 平面上任一点代表一应力偏张量。 （3） 应力状态的分解 主应力空间中任一点（应力状 态） P 向 ON 和 平面分解
OP 1i 2 j 3k
(s1 m )i (s2 m ) j (s3 m )k (s1i s2 j s3k ) ( mi m j m k )
D点的应变 对于压缩试验，如果在屈服后 无卸载，与拉伸性质相似。
p e
s s

A B
D
C
O
p
E
e

对于无明显屈服阶段的材料（如 合金钢），可取 p 0.2% 时的应力值作为初始屈服极限。 （4）反向加载与鲍辛格效应 如果在屈服后（如D点）卸载，并反向加载，对于某些材 s s 2 s （绝对值） 料，反向屈服极限将有所降低。 s s 这种现象称为鲍辛格（Bauschinger）效应。 对于均匀材料，一般可忽略。
s
强化性质明显，分析中不能忽略。
（1）线性强化弹塑性模型：
E s E1 s s s
O
s


s