弹性与塑性力学基础-第二章应变分析
塑性力学第二章-应力和应变分析
主偏应力分量表示
J2
1 2 2 2 ( S1 S 2 S 3 ) 2
简单拉伸问题
1 , 2 3 0
J2 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 1 2 6 3
定义等效应力
3J 2
1 I 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6
I2
1 1 2 2 2 eij eij (e1 e2 e3 ) 2 2
简单拉伸问题
1 , 2 3
I2 1 3 2 2 2 2 [( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) ] 6 4
i j ij i i jj
xy 1 i 2 j ij 2 11 21 x 12 22 y 13 13 z
11 22 xy 12 21 yx 12 23 yz
m
0
ij m ij eij
应变张量的不变量 主应变：
1 , 2 , 3
I1 x y z
2 2 2 I 2 x y y z z x xy yz zx
2 2 2 I 3 x y z 2 xy yz zx x yz y zx z xy
pij...l pij...lii jj ...ll
二阶张量
pij pijii jj
pi piii
一阶张量
应力是二阶张量
ij ijii jj
r rr ri rj ij
rx rx x ry ry y rx ry xy ry rx yx
弹塑性力学 第二章 应变与几何方程
如：位移分量u、v 、w表示为u1 、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3） 坐标x、y、z表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为xi（i=1,2,3）。 单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。
应力分量：
可表示为：
缩写为： 同理，应变分量可表示为：
z C
A
P
B
O
y
(2) 一点应变状态
z
其中
C
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x
A
P
B
O
z
y
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量；
O
x
w
S u
P v
位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
y
§3-2.几何方程
连续性方程
• 连续性方程是单连体小变形连续的必要和 充分条件。 • 如应变分量满足连续性方程，可保证位移 分量存在。
§3-6.应变率和应变增量
§3-7 位移边界条件
在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边 界条件 在给定位移的表面Su上
注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移； 反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即 混合边界条件。
PA=dx C C’ P P’ A A’ B B’ PB=dy PC=dz
研究在oxy平面 内投影的变形，
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； O 考察P点邻域内线段的变形：
v
变形前 P 变形后
工程塑性力学(第二章)应变分析、应力分析和屈服条件
或
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33
定义了一个量 Σ ，表征该点的应力状态，在坐标系 Oxyz 中。如果变换到另一个 坐标系 Ox ′y′z′
σ′ τ′ x xy τ ′ xz τ′ σ ′y τ ′yz yx τ′ τ′ σ′ zx zy z
仍然表征同一应力状态，仍为 Σ 。在数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换 式的 9 个数所定义的量叫做二阶张量。此二阶张量称为应力张量：
I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = −(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) I 3 = σ 1σ 2σ 3
（2-11）
应力偏量 S ij 也是一种应力状态，同样也有不变量。进行类似的推导（或将
I1、I 2、I 3 式中的 σ x 、 σ y 和 σ z 分别用 s x 、 s y 和 sz 代替）即得应力偏量的三个不
2 J2 。 3
（2）等效应 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 2 1 2 2 2 = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx ) （2-17） 2 = 3J 2
s xy = τ xy ， s yz = τ yz ， s zx = τ zx ，……
（2-4）
则应力偏张量：
⎡σ x − σ m τ xy τ xz ⎤ ⎡ s x s xy s xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ σ y −σm τ yz ⎥ = ⎢ s yx s y s yz ⎥ = S ij = σ ij − σ mδ ij （2-5） ⎢ τ yx ⎢ τ zx ⎢ ⎥ τ zy σz −σm⎥ ⎣ ⎦ ⎣ s zx s zy s z ⎦ 应力球张量表示各向均值应力状态，即静水压力情况。由于静水压力不影响 屈服，所以塑性变形只与应力偏量有关，因此在塑性力学中应力偏量的研究很重 要。
弹塑性力学讲义-应变共26页
▪ 球形张量对应的应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有形状畸变； ▪ 偏应变张量对应的变形状态，只有形状畸变而没有体积改变
变形协调方程
▪ 问题 根据几何方程去求位移分量，多组位移解 表明物体发生裂缝或者相互嵌入，产生不连续。 因此，6个应变分量不能任意给定，必须满足一定的协调关系，
▪ 位移单值连续的必要条件，对单连通体，其充分条件是
1yzn＝0 2
1 zxl+ 1 zym+(z)n＝0
2
2
应变张量的分解
x
1 2
yx
1 2
xy
y
1 2
xz
1 2
yz
0 0
0
0
0
0
1 2
zx
1 2 zy
z
0 0 0
x - 0
1 2 yx
1 2
zx
1 2 xy
y - 0
1 2
zy
1 2 xz
1 2
yz
z
0
位移
z
A'
A
u
r R
y
x
u(x、y、z) = rx Rx
v(x、y、z) = ry Ry
w(x、y、z) = rz Rz
应变
考察物体内任意一微小线段 ▪ 长度的相对改变 正（线）应变
l l l x
▪ 方向的相对改变 剪（角）应变
900
x
z
B
l
B'
l'
A A'
y
z
B
l
l'
B'
0
A 90
A'
▪ 变形分解 （1）随A点平动； AB AB （2）相对A点刚体转动； AB AB （3）纯变形。 AB AB。
弹塑性力学与有限元：2 力学位移和应变分析T
O
x u u dx
x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
u
P
dx
v P A
dy
x v v dx
x
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
y
v v dy y
B
A
B
u u dy
P点两直角线v 段夹v角d的x 变 v化
tan
x dx u dx
xy
v x
u x
u
u
x dy
u
tan
y dy v dy
符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。
考虑外力作用下的两种状态： 平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化， 不随时间变化。 运动状态： M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和 时间变化而变化。
本章仅考虑平衡状态。
根据连续性假设，物体上任一点M，当物体变形后， 都一一对应于相应的点M’；
考察P点邻域内线段的变形：
PA dx dy
y
u
P
dx
x u u dx x
v P A
dy
v v dx x
B
A
变形前 P
A
变形后
P
u v
v v dy y
B
u u dy y
u u dx x
A v v dx B
x
u u dy
B
y v v dy
y
注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
弹塑性力学应变分析
弹塑性力学应变分析弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，研究了材料在外力作用下的弹性和塑性变形行为。
应变分析是弹塑性力学研究中的一个重要方法，用来描述材料的应变分布和变形机制。
本文将从简介弹塑性力学的基本概念开始，然后介绍应变分析的基本原理和方法，最后结合实例进行具体分析。
弹塑性力学是固体力学中研究物体在外力作用下产生变形和失去变形能力的行为的学科，弹塑性力学将材料的变形分为弹性和塑性两个阶段进行研究。
所谓弹性变形是指当外力作用撤除后，物体完全恢复到原来的形状和体积；而塑性变形则是在外力作用下，物体永久性的改变了形状和体积。
弹性力学研究了材料的弹性性质，主要通过描述应力-应变关系来分析材料的弹性行为；而塑性力学则以塑性应变的定义和计算为基础，研究材料的塑性行为。
应变分析是一种通过测量物体表面上的变形情况来分析物体内部应变分布和变形机制的方法。
应变分析的基本原理是根据平面几何关系，通过测量物体表面上的位移或形变情况，计算出表面上各点的法向和剪切应变分量，然后根据连续性假设推导出物体内部的应变分布。
应变分析主要通过两种方法进行，一种是光学方法，即应变光学方法；另一种是电子方法，即电子应变分析方法。
应变光学方法是应变分析中最常用的方法之一，主要利用光的干涉和衍射原理来测量物体表面上的位移和形变情况。
最常用的光学方法是全场应变测量方法，主要包括光栅投影法、相位差法和光弹性法。
在这些方法中，光栅投影法是最简单和最常用的方法，它通过在物体表面上投影一组光栅，然后根据物体表面上的光强分布来计算出位移和形变信息。
相位差法和光弹性法则是基于光的相位差和光的偏振状态来计算应变信息的。
电子应变分析方法主要利用电子束的散射和衍射原理来测量物体表面上的位移和形变信息。
最常用的电子应变分析方法是SEM-EBSD方法和EBSD方法。
SEM-EBSD方法是通过扫描电子显微镜和电子背散射衍射技术来测量物体表面上的位移和形变信息。
EBSD方法则是通过扫描电子显微镜和电子回散射衍射技术来测量物体表面上的位移和形变信息。
02应变分析(弹塑性力学讲义)
六、对数应变
当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
v xy + x w yz + y u zx + z
平面问题的几何方程：
柱坐标下的几何方程： u r r 1 v u + r r w z z
x y xy
u x v y v u + x y
yz
yz
2 z x 2
2 zx 2 x + 2 zx z
xy
yz
v u + x y
w v + y z
u w + z x
xy z
yz
2v 2u + xz yz
zx
2v 2w + x zx yx zx 2w 2u + y xy zy
由体积不可压缩得：
A0l0 Al
A0 l * ln ln l0 A
l0 A A0 l
1 * ln ln(1 ) 1
1 e *
§2-4 应变协调方程（相容方程）
A
C
B
D
变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出 现裂纹或发生重叠现象。 为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在 某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协 调方程。
0.5
弹塑性力学2应变分析详解
zx
（2－6）
若A点在z 轴方向的位移为 w f2 (x, y, z) ，
8 8
则B点在Z 轴方向的位移为
w1
f2 (x dx, y, z)
w
w dx ， x
B点与A点沿Z 轴方向的位移之差为: z
C
C
BB
w1
w
w x
dx
w
A
B
B
w w dx x
在直角三角形 ABB 中，可得：
tg BB
第二章 应变分析
第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系 第二节 应变状态分析 第三节 主应变 第四节 应变张量和应变偏量 第五节 应变协调方程（连续性方程、相容方程）
1
第一节 一点的应变状态 应变与位移的关系
定义：正应变
x
lim u x0 x
du dx
变形均匀，则有:
x
l l0 l0
l l0
x
u x
y
v y
z
w z
（2－5）
当 x， y， z 大于零时，表示线段伸长，反之表示缩短。
z
C
C
B
w
w w dx
A
B
x
A
B
o
u
x
u u dx x
下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。
取变形前的直角BAC或 BAC，变形时，棱边AB转动
一个角度 ，棱边 AC转动一个角度 ，在xoz平面内，角 应变用 zx表示，其值为 和 之和，即：
u y
dy
u dz z
N
p dr
o
y
同理可得 ： vN，wN 即有式（2－14） x
塑性力学 第二章 应力状态与应变状态
c 平均应力为 m 3 因此，在与 平面平行的平面上的各点 表示了这样一些点的应力状态，即它们具有 相同的弹性体积变形。
26
§2-6 应变张量及其分解 一、应变与位移的关系 1 1、小变形情况 ij ui , j u j ,i 2 2、大变形（有限变形）情况 设变形前的初始时刻t=0，物体内A点的坐 标为ai a1 , a2 , a3 ，经过变形后，在t时刻它移 到 A 。相对于同一坐标系的坐标为 xi x1, x2 , x3 变形前后的位置一一对应，可由 xi 的单值连续 函数表示 xi xi a j , t 。同样也可以表示为 a i 的 单值连续函数 ai ai x j , t 。
1 MP1 max ( 1 3 ) 2 MP2 MP 1P 2P 1
1 1 ( 1 3 ) 1 2 2 2 1 3 2 2
1925年Lode提出参数
20
MP2 2 2 1 3 2s2 s1 s3 MP 1 3 s1 s3 1
22
（1）应力空间中过原点并与坐标轴成等角的 直线L L直线的方程为 1 2 3 。该直线上 的点代表物体上承受静水应力的点。L直线上 的点所对应的应力状态将不产生塑性变形。 （2）应力空间中过原点而与L直线垂直的平 面—— 平面 平面的方程为 1 2 3 0 。该平面 上的所有点平均应力为零，只有应力偏张量， 因此这个平面也叫偏量平面。位于该平面上 的点对应于不引起体积变形的应力状态。
17
§2-5 三向应力圆 Lode应力参数 Haigh-Westergaard应力空间
一、三向应力圆
000弹塑性力学-应变理论
另一种则是物体的任意两点之间 的相对距离发生了改变,从而使其 形状和尺寸发生了变化,即物体产 生了变形,产生这种情形的位移, 就称之为变形位移.
显然,要研究物体在外力作用下
的变形规律,只需要研究物体内
各点的相对位置变动情况也即 砂土
地下水位
总应力 中和应力 有效应力
不 粘 透 土 水
砂土 低 粘 透 土 水
（3-4）
我们从剪应变本身的含义及其推导
过程可知: xy yx , yz zy , zx xz
并且在下节可证明:
xy
1
2
xy
1 2
v x
u y
yz
1
2
yz
1
2
w y
v z
zx
1
2
zx
xy
（e）
由图3 3可见 :
v dx
v
tan
x dx u
dx
x 1 u
x
x
（f）
在式( f )的分母中, u 与1相比是一个 x
微量,故可略去,因而得 :
= v
砂土
地下水位
总应力 中和应力 有效应力
不 粘 透 土 水
砂土 低 粘 透 土 水
砂土 粘 （ 半 土 透 水 ）
毛细张力力 总应力
中和应力 有效应力
还可找到沿其他方向的线应变、角
应变和转角.
归纳起来,在空间情况下,受力物 体内的一点沿三个坐标轴x、y、z
方向上的线应变x、 y、z ,以及过
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，并对每个单元进行数学建模，从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据，是弹塑性 力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基 础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质。
塑性力学知识点13
《塑性力学及成形原理》知识点汇总第一章绪论1．塑性的基本概念2．了解塑性成形的特点第二章金属塑性变形的物理基础1．塑性和柔软性的区别和联系2．塑性指标的表示方法和测量方法3．磷、硫、氮、氢、氧等杂质元素对金属塑性的影响4．变形温度对塑性的影响；超低温脆区、蓝脆区、热脆区、高温脆区的温度范围补充扩展：1.随着变形程度的增加,金属的强度硬度增加,而塑性韧性降低的现象称为:加工硬化2.塑性指标是以材料开始破坏时的塑性变形量来表示,通过拉伸试验可以的两个塑性指标为:伸长率和断面收缩率3.影响金属塑性的因素主要有:化学成分和组织、变形温度、应变速率、应力状态(变形力学条件)4.晶粒度对于塑性的影响为:晶粒越细小,金属的塑性越好5.应力状态对于塑性的影响可描述为(静水压力越大)：主应力状态下压应力个数越多，数值越大时,金属的塑性越好6.通过试验方法绘制的塑性——温度曲线,成为塑性图第三章金属塑性变形的力学基础第一节应力分析1．塑性力学的基本假设2．应力的概念和点的应力状态表示方法3．张量的基本性质4．应力张量的分解；应力球张量和应力偏张量的物理意义；应力偏张量与应变的关系5．主应力的概念和计算；主应力简图的画法公式（．．．3．-．14．．）应力张量不变量的计算．．．．．．．．．．．122222223()2() x y zx y y z z x xy yz zx x y z xy yz zx x yz y zx z xyJ J Jσσσσσσσσστττσσστττστστστ=++=-+++++=+-++公式（．．．3．-．15．．）应力状态特征方程．．．．．．．．．321230J J J σσσ---= (当已知一个面上的应力为主应力时，另外两个主应力可以采用简便计算公式（．．．3．-．35．．）．的形式计算)6．主切应力和最大切应力的概念计算公式．．（．3．-．25．．）．最大切应力．．．．．)(21min max max σστ-= 7．等效应力的概念、特点和计算主轴坐标系中．．．．．．公式．．（．3．-．31．．）．8σ=== 任意坐标系中．．．．．．公式．．（．3．-．31a ．．．）．σ=8．单元体应力的标注；应力莫尔圆的基本概念、画法和微分面的标注 9．应力平衡微分方程 第二节 应变分析1．塑性变形时的应变张量和应变偏张量的关系及其原因 2．应变张量的分解，应变球张量和应变偏张量的物理意义 2．对数应变的定义、计算和特点，对数应变与相对线应变的关系 3．主应变简图的画法 3．体积不变条件公式（．．．3．-．55．．）．用线应变．．．．0x y z θεεε=++=；用对数应变．．．．．（主轴坐标系中）．．．．．．．．0321=∈+∈+∈ 4．小应变几何方程公式（．．．3．-．66．．）．1;()21;()21;()2x xy yx y yzzy z zx xz u u v x y x v v w y z yw w u z x zεγγεγγεγγ∂∂∂===+∂∂∂∂∂∂===+∂∂∂∂∂∂===+∂∂∂ 第三节 平面问题和轴对称问题1．平面应变状态的应力特点；纯切应力状态的应力特点、单元体及莫尔圆公式（．．．3．-．8．6．）．12132()z m σσσσσ==+= 第四节 屈服准则1．四种材料的真实应力应变曲线 2．屈雷斯加屈服准则 公式（．．．3．-．96．．）．max 2s K στ== 3．米塞斯屈服准则公式（．．．3．-．10．．1．）．2222222262)(6)()()(K s zx yz xy x z z y y x ==+++-+-+-στττσσσσσσ 2221323222162)()()(K s ==-+-+-σσσσσσσ公式（．．．3．-．102．．．）．s sσσσσ==== 4．两个屈服准则的相同点和差别点5．13s σσβσ-=,表达式中的系数β的取值范围 第五节 塑性变形时应力应变关系 1．塑性变形时应力应变关系特点 2．应变增量的概念，增量理论公式（．．．3．-．125．．．）．'ij ij d d εσλ= 公式（．．．3．-．129．．．）．)](21[z y x x d d σσσσεε+-=；xy xy d d τσεγ23= )](21[z x y y d d σσσσεε+-=；yz yz d d τσεγ23=)](21[y x z z d d σσσσεε+-=；zx zx d d τσεγ23=3．比例加载的定义及比例加载须满足的条件 第六节 塑性变形时应力应变关系 1．真实应力应变曲线的类型第四章 金属塑性成形中的摩擦1．塑性成形时摩擦的特点和分类；摩擦机理有哪些？影响摩擦系数的主要因素 2．两个摩擦条件的表达式3．塑性成形中对润滑剂的要求；塑性成形时常用的润滑方法 第五章 塑性成形件质量的定性分析 1．塑性成形件中的产生裂纹的两个方面2．晶粒度的概念；影响晶粒大小的主要因素及细化晶粒的主要途径 3．塑性成形件中折叠的特征 第六章 滑移线场理论简介1．滑移线与滑移线场的基本概念；滑移线的方向角和正、负号的确定 2．平面应变应力莫尔圆中应力的计算；公式（．．．7．-．1．）．ωτωσσωσσ2cos 2sin 2sin K K K xy m y m x =+=-= 3．滑移线的主要特性；亨盖应力方程公式（．．．7．-．5．）．2ma mb ab K σσω-=± 4．塑性区的应力边界条件；滑移线场的建立练习题一、应力1、绘制⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=410140002ij σ的单元体和应力莫尔圆，并标注微分面。
弹塑性力学第二章
1. 外力 面力（表面力）：作用在物体表面上的力 体力（体积力）：满布在物体内部各质点上的力 面力平均集度： 一点面力的集度：
∆p ∆S
lim
[力][长度] -2
∆p = pS ∆S → 0 ∆S
Ps方向：与∆P的极限方向相同。 Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量， 指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
第二章
§2.1 力和应力的概念
应力
§2.2 二维应力状态与平面问题的平衡方程 §2.3 一点处应力状态的描述 §2.4 边界条件 §2.5 主应力与主方向 §2.6 球张量与应力偏量
附录
下标记号法(指标记法） 一、下标记号法(指标记法）
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
对于厚度t=1的微小矩形单 元abcd，有平衡条件： M a = 0 ∑
解得： τ xy = τ yx 剪应力互等定理：在相互垂直的两个平面上，剪应力 必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或共同背离这一交线
∑X =0
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
y1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 y2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 y =a x +a x +a x 31 1 32 2 3 3 3
按求和约定，上述方程组可以写为
y1 = a1m xm y2 = a2 m xm y = a x 3m m 3
弹塑性力学-2 应变分析
0
0
0 0 0
平均应变：
1 0 ( 1 2 3 ) 3
x 0 xy xz 应变偏量 eij y 0 yz yx zx zy z 0
1 ( 2 ) x y z xy xz 3 1 eij yx (2 y x z ) yz 3 1 ( 2 ) zx zy z x y 3 1 ( 2 ) 0 0 3 1 2 3 1 0 (2 2 1 3 ) 0 3 1 0 0 ( 2 ) 3 1 2 3
( x )dx xy dy xz dz 0
yx dx ( y )dy yz dz 0
zx dx zy dy ( z )dz 0
系数行列式为零
x xy xz yx y yz 0 zx zy z
第2章 应变分析
一点的应变状态，应变与位移的关系 主应变 应变张量与应变偏量 应变协调方程
2-1 一点的应变状态,应变与位移的关系
在物体中，若任意两个点的相对位置有了变化， 则认为物体有了变形。 沿x方向的正应变
A
x
x
A’
l0
B
u
u u
u du x lim x 0 x dx
dv yx dx y dy yz dz dw zx dx zy dy z dz
o
x v
x
主应变空间中， r (1 , 2 , 3 )表示一个应变状态。如 何找到r？ 若r增加了一个增量dr， z 则r和dr在坐标轴上的投 dr 影是成比例的。
弹性与塑性力学基础-第二章应变分析
与 80%不相等。
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.1 应变定义
(1) 真实应变(对数应变)
工件变形后的线尺寸与变形前的线尺寸之比的自然对数值。
ln
l1 l0
对数应变之所以是真实的就是因为它是某瞬时尺寸的无限小增量 与该瞬时尺寸比值（即应变增量）的积分： l1 dl l1 ln l 0 ln l l0 条件与困难：积分是在应变主轴方向基本不变的情况下才能进行。
u z
在xOz平面内相对剪应变
zx
可以得到 xOz和yOz平面内的剪应变为
xy
u z
w x ，
u y
v x
，
yz
v z
w y
(2-8)
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 用位移表示应变的几何关系式――柯西(Cauchy)几何关系为
F 0 F1 F0
(F0、F1：分别为变形前后的截面积)与 是等效的。
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.1 应变定义
(1) 名义应变(工程应变)
名义应变主要缺点：把基长看成是固定的，所以并不能真实地反 映变化的基长对应变的影响，因而造成变形过程的总应变不等于
2.2.3 应变与位移的关系―― 柱坐标的变形几何方程
2.2.4 直角坐标与柱坐标中的位移与应变之间的关系相比较
弹性与塑性 力 学 基 础
工程弹塑性力学-第二章 应变理论
JUST
江苏科技大学 2.3
Jiangsu University of Science and Technology
转动张量与转动位移
1 1 u2 u1 z z z x x 3 2 2 1 2 1 u3 u 2 2 x 2 x2 x3 1 u1 u3 y 2 x3 x1
2
u u u dx2 2 dx1 2 dx2 2 dx3 x1 x2 x3 u3 u3 u3 dx3 dx1 dx2 dx3 x1 x2 x3
dx1 ldr, dx2 mdr, dx3 ndr
T S A 1 1 S T TC , A T TC 2 2
表示为 T 的共轭张量
对称张量
反对称张量
位移梯度张量可分解为对称张量和反对称张量之和
D R
1 1 ui , j ui , j u j ,i ui , j u j ,i D R 2 2
JUST
江苏科技大学
Jiangsu University of Science and Technology
2.4 任意方向的线应变
dr dr du
du dr dr r dr dr
dr 1 r dr
划分为个坐标轴：
2
dr 1 r dr 2 2 2 2 dx1 du1 dx2 du2 dx3 du3
转动张量与转动位移
任意方向的线应变
弹塑性力学2应变分析
第二章 应变分析
z
C
C
B
w
A
A
B
B
w
w x
dx
o
u
u u x dx
x
下面研究六面体的剪应变，即各直角的改变。
取变形前的直角BAC或 BAC ，变形时，棱边 AB 转动
一个角度 ，棱边 AC 转动一个角度 ，在xoz平面内，角 应变用 zx 表示，其值为 和 之和，即：
PB的正应变为：
P B PB PB
(r u )d rd rd
u r
径向线段PA的转角为： 0 环向线段PB的转角为：
BB PP PB (u u d ) u
Bpp来自＝tg 所以有：
1 u r
B
rd
r
1 u r v z
v r
1 w r w r
（2－9）
u z
14
第二章 应变分析
其中，u，v，w 分别表示一点位移在径向（r方向），环向
（ 方向）以及轴向（z方向）的分量。
对于平面问题，柱坐标变为极坐标，则平面极坐标表示
的几何方程为：
u r r 1 v u r r 1 u v v r r r r
dx
v y
dy
v z
dz ) (dz
w x
dx
上式两边同除以 (dr ) ，并利用（2－13）式得：
(1 N ) [l (1
2
2
u x
)m v z
u y
2
n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-3 主应变
2.3.1 主应变 对应于主方向的正应变则称主应变
2.3.2 应变张量
一点的应变状态也可用张量表示，这时应引进符号
xy yz zx
1 2 1 2 1 2 1 v u x y 2 1 v w z y 2 1 w u 2 x z
由直角三角形 A B B 可得
tg
u x
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 角应变
u x
在分母中，
w x
用相同的方法可得
F 0 F1 F0
(F0、F1：分别为变形前后的截面积)与 是等效的。
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.1 应变定义
(1) 名义应变(工程应变)
名义应变主要缺点：把基长看成是固定的，所以并不能真实地反 映变化的基长对应变的影响，因而造成变形过程的总应变不等于
(2-2)
如果变形的分布是均匀的，正应变可以写为
x
l l0 l0 l l0
(2-3)
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 直角坐标系中变形物体的微小的平行六面体，研究微小六面体变形
变形前：A (x，y，z)；变形后：A (x+u,y+v, z+w)，
§2-2 应变与位移的关系
2.2.1 应变 变形
物体中若任意两个点的相对位置发生了变化，即认为物体有了变形。
应变 发生变形的物体中将出现应变状态。
均匀应变：变形前相互平行的两条直线在变形后仍为平行直线
不均匀应变：不同点的位移是不同的 正应变定义为
x lim
x 0
u x
du dx
r 、 z 、
r
u r
zr
――分别为剪应变。
1 v r u r
在平面极坐标的情况下，则有 ，
，
r
1 u r
v r
v r
(2-11)
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.4 直角坐标与柱坐标中的位移与应变之间的关系相比较 主要差别在于柱坐标中 和 r 中各多出一项，其几何意义如下：
应变，即六面体夹角的减小对应于正的剪应变 x z ，夹角的增大对应
于负的剪应变。
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.3 应变与位移的关系―柱坐标的变形几何方程 利用类似的方法导出柱坐标的变形几何方程为
r z
u r 1 v r w z u r
假定平面物体的半径为r，圆周上微圆弧段发生了相同的位移u，则变
形后该微单元弧段长度为(r+u)d，而原始长度为rd，相对伸长为
( r u ) d rd rd u r
图2-9 具有相同径向位移的微圆弧
图2-10 具有环向移动的圆弧
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 角应变
六面体的各直角由于剪应变而发生角变形
变形前：直角BAC或 B A C 变形时，棱边 A B 转动角度 ； 棱边 A C 转动角度 。 xOz平面内：角应变用 即 其值为角 和角 之和，
x y z
u x v y w z
xy
yz
zx
v y x w v y z w u x z
u
(2-9)
对于正应变 x ，如果u随x的增大而增大，则为正值，相当于单元 dx的伸长；如果函数u随x的增大而减小，则将为负值，此时相当于 单元dx的缩短。
(2-4)
B点沿x轴位移与A点位移不同，由泰勒级数展开并略去高阶微量后， 表达式为
u 1 f 1 ( x dx , y , z ) u u x
dx
(2-5)
如果边长AB=dx，则在x轴上的投影的全伸长量是
u1 u u x dx
(2-6)
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
前与半径重合的直线段AB，变形后移动到CD位置，不再与C点的半 v 径方向CE相重合，而彼此的夹角为 ，于是微元线段AB变形后的 r v CD与C点圆周切线(坐标线正方向)夹角为 ，夹角比 增大 2 2 r
了，根据剪应变的定义，即发生了剪应变 所多出项的几何意义。
r
v r
，这就说明了
与 80%不相等。
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.1 应变定义
(1) 真实应变(对数应变)
工件变形后的线尺寸与变形前的线尺寸之比的自然对数值。
ln
l1 l0
对数应变之所以是真实的就是因为它是某瞬时尺寸的无限小增量 与该瞬时尺寸比值（即应变增量）的积分： l1 dl l1 ln l 0 ln l l0 条件与困难：积分是在应变主轴方向基本不变的情况下才能进行。
2
3
4
- 1） （
( n 1 )
n
2
3
4
n
当
<1时，该级数收敛，忽略三次方项，
2
真实应变与名义应变之差为
2
两者绝对误差小于0.005，
相对误差小于5％，这时可以认为 。
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
80
dl l
50
90
dl l
ln
90 50
0 . 59
80
分阶段变形之真实应变之和等于总的真实应变
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.2 名义应变(工程应变)与真实应变(对数应变)的关系
当应变量不大时，名义应变它与真实应变相差不多。
w 1 f ( x dx , y , z ) w
w x
dx
A点过渡到B点时， 位移由于x的变化而变化，
点 B 与点 A 沿z轴方向位移之差为
B B w 1 w w x dx
w B B A B x dx
dx dx
w x u 1 x
2.2.3 应变与位移的关系―― 柱坐标的变形几何方程
2.2.4 直角坐标与柱坐标中的位移与应变之间的关系相比较
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-3 主应变
2.3.1 主应变 2.3.2 应变张量 2.3.3 位移张量
2.3.4 主应变与应变张量不变量
§2-4 应变偏量、球形应变张量以及有关应变参量
r z
zr
v r
1 u r v z
1 w r w r
u z
v r
(2-10)
式中u、v、w―分别为径向( r )、环向( )及高度方向(z)的位移分量 。 r , , z ――分别为 r 方向、 方向和z方向的正应变；
特点：真实地反映变形的积累过程，具有可叠加性。
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-1 名义应变与真实应变
2.1.2 名义应变(工程应变)与真实应变(对数应变)的关系
ln
l1 l0 ln l0 l l0 ln( 1 l l0 ) ln( 1 )
u z
在xOz平面内相对剪应变
zx
可以得到 xOz和yOz平面内的剪应变为
xy
u z
w x ，
u y
v x
，
yz
v z
w y
(2-8)
弹性与塑性 力 学 基 础
第二章 应变分析
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 用位移表示应变的几何关系式――柯西(Cauchy)几何关系为
§2-2 应变与位移的关系
2.2.2 应变与位移的关系―柯西(Cauchy)几何关系 线应变
如用 x 表示沿x轴的相对伸长，则有
x
u1 u dx
u x
用同样方法可以得到平行于y轴和z轴边长的相对伸长为
y
v y
，
z
w z
(2-7)
弹性与塑性 力 学 基 础
各个阶段应变之和。
将50cm长的杆料拉长至总长为90cm， 总应变为，
90 50 50 80 %
若由50cm→80cm→90cm，则
1
80 50 50 60%
， 2
90 80 80
12 . 5 %
，
总应变量： 1 2 ( 60 12 . 5 )%， 72 . 5 %