同济大学 量子力学课件 第二章

上述的态叠加原理也可以理解为：
如果粒子处于态Ψ 1 和态Ψ 2 的线性组合态Ψ= C1 Ψ1 + C2Ψ2 ，则粒子是既处于态Ψ1又处于态Ψ2，处于态 Ψ1的几率为 c 2 ，处于态Ψ2的几率为 c 2 。 1 2 态叠加原理一般表述：
若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态 ，则这些态的线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 + ...+ CnΨn + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)。 也是体系的一个可能状态。 处于Ψ态的体系，部分的处于 Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部分 的处于Ψn，...
1 A
2



e
2 x 2
dx A
dy A
2
1
A
2

1

1



e
2 x 2
d ( x )



e
y2
2



e
y2
dy
A

§2.1.6 推广到多粒子体系
设由N个粒子组成的体系的波函数为 则
2 (r1 , r2 ,....rN ; t ) dr1dr2 ....drN
归一化过程具体步骤：
令
1 (r , t ) (r , t ) C
使得


2 (r,t) dr 1
(r , t )
只差一个常数因子
1 (r , t ) C
(r, t)
e (r, t)
i
因此,描述粒子的同一状态
(r , t ) (r , t )
2. 电子枪发弱电子束(弱到电子一个一个电子射向双缝) 屏上就出现了一个个亮点, 表明电子是作为完整的颗 粒一个一个地到达屏上的 电子的粒子性
3. 对经过双缝到达底版上的弱电子束作长时间曝光 屏上出现和强电子束相同的衍射图样!!!! 电子的波粒二象性
§2.1.4 波函数统计解释
衍射实验:无论是强电子束还是弱电子束, 在接受屏上出现相同的衍射图样 强电子束:在出现亮条纹的地方到达的电子数目多,
而在比较暗的地方到达的电子数目少.
弱电子束:电子到达亮条纹的几率较大,而到达暗
的地方几率较小.
1924年Born提出了波函数的统计解释
波函数的统计解释
波函数 是描述粒子状态的函数, 波函数 t时刻某一点处的强度 ( 模平 方)正比于该点处找到粒子的几率
以 dW (r , t ) 表示在 t 时刻,在 r 到 r+dr 的 无限小区域 dr 中找到粒子的几率,则有 dW (r , t ) W (r , t )dr
§2.2.3 态叠加原理的应用 电子在晶体表面的衍射
电子在晶体表面反射后，电子可 能以各种不同的动量 p 运动。具 有 确 定 动 量 的 运 动 状 态 用de Broglie 平面波表示
i ( pr Et ) 1 p (r , t ) e 3/ 2 （2 ）
k 2 mc 2m
2
2
dvg
d 2 0 dt dk 2m
2
意味着 de Broglie 波会扩散，或形象地 说，经过足够长时间后，粒子会长胖！ 实验上观测到的电子，总是处于一 个小区域内。例如在一个原子内， 其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
§2.1.3 电子双缝衍射实验
考虑两个波函数:
(r , t ) C (r , t )
C=constant
2
在 t 时刻，空间任意两 点 r1 和 r2 处找到粒子 的相对几率之比是：
C ( r1 , t ) C ( r2 , t )
( r1 , t ) ( r2 , t )
2
可见， (r , t ) 和 C (r , t )所描写状态的相 对几率是相同的,因此,它们描述粒子的同一 状态，意味着波函数有一常数因子不定性。
S1
电子源
Ψ1
P
Ψ
S2
Ψ2
感 光 屏
1、电子枪发射强电子束 实验分三步 进行，观察 在屏上出现 的衍射画样 2、电子枪发射强电子束电子枪发弱 电子束(弱到电子一个一个电子射向双缝) 3、将感光屏换成照相底版,对经过双缝 到达底版上的弱电子束作长时间曝光
观察到的结果 1. 电子枪发射强电子束 屏上迅速显示出衍射图样 电子的波动性
§2.2.1 电子双缝衍射实验
在介绍波函数统计解释时，曾介绍过电 子双缝衍射实验。为了获得关于态叠加 原理的某些信息，这里我们拟通过不同 的实验步骤来进行电子双缝衍射实验。
S1
电子源
Ψ1
P
Ψ
S2
1、开S1关S2
Ψ2
感 光 屏
电子通过S1到达屏，用1描述电子通过S1后的状态，屏上出现的衍射花 样由 I1 ~ 1 2 决定； 2、开S2关S1 电子通过S2到达屏，用2描述电子通过S2后的状态，屏上出现的衍射花 样由 I 2 ~ 2 2 决定； 3、同开S1和S2 电子通过双缝到达屏，用描述电子通过双缝后的状态，屏上出现的衍 射花样由 I ~ 2 决定。
称为波函数归一化 1/C称为归一化常数
注意：对归一化波函数仍有 一个相因子不定性。因为下 列两函数的模是相等的。
(r, t)
e (r, t)
i
例题
考虑一维运动的粒子，其波函数为
( x) Ae (为常数) 试将其进行归一化并求出归一化常数
解：由归一化条件，有
1 2 x2 2
Ψp Ψ
d
根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态Ψ可表示 成 p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即
(r , t ) (r , t ) C ( p)结果
(r , t )dp (r , t ) C ( p) p
考虑电子的动量可 以是连续变化，求 和应改为积分
利用
i ( pr Et ) 1 p (r , t ) e 3/ 2 （2 ）
1 (r , t ) (2 )3/ 2
(r , t ) 1 (2 )3/ 2




i i Et Pr c( P)e e dp
i pr c( p, t )e dp
i Et C ( P , t ) C ( P )e


展开 系数
1 C ( P, t ) 3/ 2 （2 ）



i pr ( r , t )e dr
对于一个粒子而言,尽管不知道它会出 现在何处,但知道它总会在空间中出现, 或者说粒子在全空间出现的几率等于一.


2 (r,t) dr 1
满足该式的波函数称之为归 一化波函数
2 若描述某个粒子的波函数 2 (r,t) dr C 不满足归一化条件，即 则可通过归一化过程将其归一化
2 * W (r , t )= (r , t ) (r , t )= (r , t )
称为几率密度
这就是首先由 Born 提出的波函数 的统计解释，是量子力学的基本原 理。
描写粒子的波是几率波， 波的强度反映在空间某 处找到粒子的几率的大 小，因此,波函数又称为 几率幅。
§2.1.5 波函数的归一化
问题：双缝同时打开后出现在屏上的衍射花样到底是由 2 2 2 2 2 1 2 描述还是由 1 2 描述？ 答案：实验证明是后者 更一般情况下，双缝同时打开后出现在屏上的衍射花样由下式描述：
|Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2 = (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2) = |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
§2.2 态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。 干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相 加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。 因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力 学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的 波，即波函数决定体系的状态，称波函数为 状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称 为态叠加原理。
(r1 , r2 ,....rN ; t )
表示t时刻,
第1个粒子出现在r1处dr1小区域中.
第2个粒子出现在r2处dr2小区域中
. . .第N个粒子出现在rN处drN小区域中的几率
多粒子体系波函数归一化条件为


2 (r1 , r2 ,....rN ; t ) dr1dr2 ....drN 1
3个问题？ (1) (2) (3) 是怎样描述粒子的状态？ 如何体现波粒二象性的？ 描写的是什么样的波呢？
§2.1.2 历史上两种典型的错误看法 1. 波由粒子组成
即认为描述粒子的波是由大量粒子在 空间形成象水波、声波一样的蔬密波 这种看法与实验相矛盾！
因为如果波是由它所描写的粒子组 成，则粒子流的衍射现象应当是由 于组成波的这些粒子的相互作用而 形成的。
电子穿过 S1 出 现在Ｐ点的几 率密度
电子穿过 S2 出 现在Ｐ点的几 率密度
相干项 正是由于相干项的 出现，才产生了衍 射花纹。
§2.2.2 态叠加原理
根据电子双缝衍射实验，我们可以提出量子力学中态叠加原理，即：
如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，则其线性叠加 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态. C1 和 C2 是复常数
即认为描述粒子的波是由无限多波 长不同的平面波迭加而成的波包 用反证法来否定这一观点
Ae
i(k r t)
假如微观粒子是de Broglie波的某种波包，则 相速度
E v vp k p 2

相速度粒子运动速度 群速度= 粒子运动速度
群速度
d d ( ) dE vg v dk d (k ) dp
§2.1 波函数的统计解释
电子是什么？是粒子？还是波？
“电子既不是粒子也不是波 ” 既不是经典的粒子也不是经典的波
“
电子既是粒子也是波”
这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
电子究竟是什么？如何描述电子的行为？
§2.1.1 de Broglie 波
因为自由粒子的能量 E 和动 量 p 都 是 常 量 ， 所 以 由de Broglie 关系可知，与自由 粒子联系的波的频率ν和波 矢k（或波长λ）都不变，即 是一个单色平面波。由力学 可知，频率为ν，波长为λ， 沿单位矢量 n 方向传播的平 面波可表为：
电子单缝衍射实验
P
电子源
P
O Q
感 光 屏
Q
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够 长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电 子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一 起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
波由粒子组成的看法夸大了粒子 性的一面，而抹杀了粒子的波动 性的一面，具有片面性。
2. 粒子由波组成
自由粒子 E和P为常量
de Broglie关系
A cos[k r t ]
2 k n
与自由粒子联系的波频 ν和波矢k 也为常量

2
单色平面波
经典物理 量子力学
A cos[ k r t ]
写成复数形式
Ae
De Broglie 关系： = 2 ν= 2E/h = E/ k = 1/ = 2 /λ = p/
第二章 波函数 和 Schrodinger 方程

§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7
波函数的统计解释 态叠加原理 波函数随时间的变化－Schrodinger 方程 量子力学中的守恒定律 定态Schrodinger方程 能量算符的本征值方程 定态Schrodinger方程的解法
i(k r t)
描写自由粒子的 平 面 波
Ae
i ( p r E t )
称为 de Broglie 波，是描述自由粒子的波函数
非自由情况
粒子处于随时间和位 置变化的力场中运动 动量和能量不再是常量 粒子的状态就不能用平面波描 述，而必须采用较复杂的波函 数，一般记为： ( r , t )