轴对称-最短路径问题(上课用)

追问1 对于问题2，如何
A
将点B“移”到l 的另一侧B′
·
处，满足直线l 上的任意一点
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
B
·
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A
·
有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
B
·
l
探索新知
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
小结：只要找到其中一个 点关于这条直线的对称点， 连接对称点与另一个点，与 该直线的交点，即为所确定 的位置.
A
·
C′ C
B
·
l B′
检测一 一线+两点型
运用新知
要在河边修建一个水泵，分别向张村、李 庄送水（如图），修在河边什么地方，可使 所用水管最短？
张村
●
李庄
●
检测二 两线+一点型
运用新知
如图，点P在∠AOB的内部，连接P与射线 OA,OB上的两点D,E组成一个三角形，使 △PDE的周长最小
A P
O
B
检测二 两线+一点型（平行训练）
运用新知
如下图，牧马营地在点p处，每天牧马人 要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水， 最后回到营地，请你设计一条放牧路线，使其 所走的总路程最短.
课件说明
• 学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
• 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．
温故知新
①垂线段最短。
B L
A
②两点之间，线段最短。
A C
L B
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小（如图）．
B
A
C
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
l2
. A
. B
l1
归纳小结
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？ （3）本节课在解决问题过程中运用了哪些数学思 想？
布置作业
教科书复习题13第15题．
b
p
河
●
草地
a
检测三 两线+两点型
运用新知
如图，在直线OB,OA上分别找一点 E,F使得四边形MEFN的周长最小。
B
O
M
Leabharlann Baidu
N
A
检测三 两线+两点型（平行训练）
运用新知
如下图，为了做好国庆期间的交通安全工
作，某交警执勤小队从A处出发，先到公l1路 上 设卡检查，再到公路l2 上设卡检查，最后再到达
B地执行任务，他们如何走才能使其总路程最短.
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B A
l
探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？