取整函数

.一、取整函数的性质

⑴函数y=[x]的定义域为R ，值域Z ； ⑵若n ∈Z ，当n ≤x

⑸若n ∈Z ，则[n+x]=n+[x]，由这一性质可知f （x ）=[x]是最小正周期为1的周期函数.

二、取整函数在求值中的应用

1.求值；[log 21]+[log 22]+[log 23]+[log 24]+．．．+[log 250] 解析：由取整函数的性质⑵可得,当2n ≤x<2n+1(n ∈Z)时,[x]=n,

所以[log 21]+[log 22]+[log 23]+[log 24]+．．．+[log 250]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+5×(50-31)=243

2.由数[1/100]，[4/100]，[9/100]，[16/100]．．．．．．[10000/100]〕组成集合A ，求集合A 中的元素的个数。

解析：设f （n ）=100

2

n ，则f （n+1)-f （n ）=10012+n ，

当n ≥50时f （n+1)-f （n ）>1

所以[100502],[100512],...,[

100

1002

]是51个互不相等的数

当1≤n ≤49时f （n+1)-f （n ）<1,且[f （1)]=0,[f （49）]=[24.01]=24 所以1≤n ≤49时0≤[f （n ）]≤24且能取到该范围内的任一个整数 所以集合A 中的元素的个数为51+25=76.

点评：根据取整函数定义恰当进行分类，是解决以上两题的关键. 3、求sin1sin 2sin3sin 4sin5++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值. 解析：sin1、sin 2、sin 3(0,1)∈，sin 4、sin 5(1,0)∈- 三、取整函数在函数的应用

.4、定义f （x ）=x-[x]，则以下结论正确的是（） A.f （3）=1.B.方程f （x ）=0.5有且仅有一个实根 C.f （x ）是周期函数D.f （x ）是增函数.

解析：因为x ∈Z 时f （x ）=0，所以排除A 、D ，又f （0.5）=f （1.5）=0.5，排除B.选C. 点评：该题以取整函数为载体，综合考查函数的有关性质，试题新颖灵活. 5.用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.8]=1．对于下面关于函数

2()([])f x x x =-的四个命题：

①函数()y f x =的定义域为R ，值域为[0,1]； ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称； ③函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1； ④函数

()y f x =在(0,1)上是增函数．

其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号） 答案：③④

7.已知f （x ）=x[x]的定义域为[0，3]，求f （x ）的值域.

解析：⑴当0≤x<1时[x]=0,f （x ）=0;

⑵当1≤x<2时[x]=1,f （x ）=x,此时1≤f （x)<2; ⑶当2≤x<3时[x]=2,f （x ）=2x,此时4≤f （x ）<6; ⑷当x=3时[x]=3,此时f （x ）=9

.综上所述,f （x ）的值域为{y|y=0或1≤y<2或4≤y<6或y=9}. 点评：根据n ≤x

8.设f （x ）=x x 212+-2

1，则[f （x ）]+[f （-x ）]的值域为＿ 解析：f （-x ）=x x --+212-21=121+x -21=x x x 2

1221+-+）（-21=21-x x 212+=-f （x ）.又0<

x

x

212+<1,所以-

2

1

2

1.

当-

2

1

当0

综上所述,函数[f （x ）]+[f （-x ）]的值域为{-1、0}.

点评：本题以取整函数为载体,考查函数值域的求法及函数奇偶性的判定,内容基础,考查方式灵活. 9.对于给定的*

N n ∈，定义),1[,)1][()1()1][()1(+∞∈+--+--=

x x x x x x n n n C x

n

，当)3,2

3

[∈x 时，函数x C 8的值域是

A ．]28,316[

B.)56,316[

C.]56,28[)328,4(

D.]28,3

28

(]316,4( 解：当223<≤x 时，1][=x ，x C x

88=]316,4(∈，当32<≤x 时，2][=x ,

]28,3

28

()1(568∈-=

x x C x ，于是答D.

10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各

班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]([]y x x =表示不大于x 的最大整数）可以表示为

（B ）

A ．

[]10

x y =

B ．

3

[

]10

x y += C ．

4

[

]10

x y += D ．

5

[

]10

x y +=

11.定义：若[x]表示不超过x 的最大整数，则称函数y=[x]为“下取整”函数；若（x ）表示表示不小于x 的最小整数，则称函数y=（x ）为“上取整”函数，例如[1.5]=1，(―2.3)=―2,,(2.9)=3. 试用适当的符号表示如下的函数关系式：

某商场举办周年庆酬宾活动，活动规定：顾客当天在同一柜台购物，每满300元可少付100元，若顾客当天在该柜台购物价值x 元，而他实际付款是y 元，试建立y 关于x 的函数关系式。

一顾客拿着某超市的足够多的面值是20元的抵押劵去购物，超市规定使用抵押劵时不找零，该顾客功挑选了价值为x 元的物品，全部用抵押劵支付，共付了y 张，试建立y 关于x 的函数表达式。 解

0,300100>⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⋅-=x x x y ,0,20>⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y . 12.已知函数

1)3()(2+-+=x m mx x f 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右边.

（1）求实数m 的范围；