第2讲椭圆、双曲线、抛物线

x2 y2 【解析】(1)由双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐 a b b 近线方程为 y＝ 3x 得a＝ 3，∴b＝ 3a.∵抛物线 y2 ＝16x 的焦点为 F(4,0)， ∴c＝4.又∵c2＝a2＋b2， ∴16 ＝a2＋( 3a)2，∴a2＝4，b2＝12. x2 y2 即所求双曲线的方程为 － ＝1. 4 12
变式训练 2．(1)(2010年高考陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的 准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(
1 A. 2
)
B．1
C．2
D．4
解析： C.由抛物线的标准方程得准线方程为 x＝ 选 p －2.由 x2＋y2－6x－7＝0 得(x－3)2＋y2＝16. p ∵准线与圆相切，∴3＋2＝4，∴p＝2.
k2＋2 2 (2)由(1)知 M( k2 ，k)，N(2k2＋1，－2k)． k2＋2 2 2 2 ∴|MN|＝ k2 －2k －1 ＋k＋2k2 1 1 12 1 4 2 2 2 ＝2 k ＋k4＋k ＋k2＝2 k ＋k2 ＋k ＋k2－2 1 12 9 12 9 2 ＝2 k ＋k2＋2 －4≥2 2＋2 －4＝4. 1 当且仅当 k2＝k2，即 k＝± 时，上式取等号， 1 此时|MN|的最小值是 4.
【解析】由椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2 为它 们 的 公 共 焦 点 ， 不 妨 设 |PF1| ＞ |PF2| ， 则
|PF1|＋|PF2|＝4 |PF1|－|PF2|＝2 |PF1|＝3 ， 所以 |PF2|＝1
， 1F2|＝2 3， 又|F
1 由余弦定理可得 cos∠F1PF2＝－3.
(2)设椭圆 C 的焦点在 x 轴上，如图，B(0，b)，F(c,0)， → → D(xD，yD)，则BF＝(c，－b)，FD＝(xD－c，yD)， → → ∵BF＝2FD， 3c xD＝ ， c＝2（xD－c）， 2 ∴ ∴ b －b＝2yD， yD＝－ . 2 3c 2 b 2 （ ） （－ ） 2 2 3 2 1 ∴ ＋ ＝1，化简得 e ＝ ，∴e＝ . a2 b2 3 3
题型三 例3
圆锥曲线的最值或定值问题 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F作两条互
相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求证：直线MN恒过定点；
(2)求|MN|的最小值．
【解】(1)证明：由题意可知直线 AB，CD 的斜率 都存在且不等于零，F(1,0)． 设 lAB：y＝k(x－1)，代入 y2＝4x， 得 k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.
【题后点评】解析几何中的最值问题涉及的知识 面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下
几种：
(1)利用函数，尤其是二次函数求最值； (2)利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性 求最值； (3)利用不等式，尤其是均值不等式求最值；
(4)利用数形结合，尤其是切线的性质求最值．
变式训练
3 3．(2009年高考辽宁卷)已知椭圆C经过点A(1， )， 2
变式训练
4． 已知椭圆的焦点在 x 轴上， 它的一个顶点恰好是抛 2 2 物线 x ＝4y 的焦点，离心率 e＝ ，过椭圆的右焦点 5 F 作与坐标轴不垂直的直线 l，交椭圆于 A、B 两点． (1)求椭圆的标准方程； → → (2)设点 M(m,0)是线段 OF 上的一个动点， 且(MA＋MB) → ⊥AB，求 m 的取值范围．
【答案】 1 －3
【题后拓展】圆锥曲线的百度文库义反映了它们的基本 特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对
于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细
节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞ |F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|.
变式训练
x2 y2 1．已知定点 A(2,1)，F(1,0)是椭圆 m＋ 8 ＝1 的一个焦 点， 是椭圆上的点， P 求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．
设 E(xE，yE)，F(xF，yF)． 3 因为点 A(1， )在椭圆上，所以 2 3 4 －k2－12 2 3 xE＝ ，yE＝kxE＋ －k. 2 2 3＋4k 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中 3 4 ＋k2－12 2 3 以－k 代替 k， 可得 xF＝ ， F＝－kxF＋ ＋k， y 2 2 3＋4k 所以直线 EF 的斜率 yF－yE －kxE＋xF＋2k 1 kEF＝ ＝ ＝ ， 2 xF－xE xF－xE 1 即直线 EF 的斜率为定值，其值为 . 2
1＋λ 16 整理得 ＝ .8 分 1 λ 3 2＋1 2k 16 16 2 3 ∵k ＞ ，∴4＜ ＜ . 2 3 3 2＋3 2k 1 16 1 ∴4＜λ＋ ＋2＜ ，∴ ＜λ＜3. 3 3 λ 1 又∵0＜λ＜1，∴ ＜λ＜1. 3 又当直线 GH 的斜率不存在， 即其方程为 x＝0 时， 1 → 1→ FG ＝ FH，λ＝ . 3 3
【规范解答】 ∴|NA|＝|NM|.
→ → → → (1)∵AM＝2AP，NP· ＝0， AM
∴NP 为 AM 的垂直平分线， 又∵|CN|＋|NM|＝2 2， ∴|CN|＋|AN|＝2 2＞2， ∴点 N 的轨迹是以点 C(－1,0)、A(1,0)为焦点的 椭圆且椭圆长轴长为 2a＝2 2，焦距 2c＝2， ∴a＝ 2，c＝1，b2＝1， x2 2 ∴曲线 E 的方程为 ＋y ＝1. 2
2
1 1 ∴ ≤λ＜1，即所求 λ 的取值范围是[ ，1).12 分 3 3
【题后点评】与圆锥曲线相关的参数问题是高考
考查的热点问题，解决这类问题常用以下方法：
(1)根据题意建立参数的不等关系式，通过解不等 式求出范围；
(2)用其他变量表示该参数，建立函数关系，然后
利用求值域的相关方法求解； (3)建立某变量的一元二次方程，利用判别式求该 参数的范围； (4)研究该参数所对应的几何意义，利用数形结合 法求解．
xA＋xB k2＋2 2 ∴xM＝ 2 ＝ k2 ，yM＝k(xM－1)＝k. k2＋2 2 故 M( k2 ，k)． 1 因为 CD⊥AB，所以将点 M 坐标中的 k 换为－k， 得 N(2k2＋1，－2k)． 2 －2k－k 当 k≠± 时， lMN： 1 则 y＋2k＝ · (x－2k2－1)， k2＋2 2k2＋1－ k2 即(1－k2)y＝k(x－3)，此时直线 MN 恒过定点 T(3,0)； 当 k＝± 时，MN 的方程为 x＝3，也过(3,0)点．故不论 k 1 为何值，直线 MN 恒过定点 T(3,0)．
题型四
例4
圆锥曲线中的参数范围
如图，已知圆 C：(x＋1)2 ＋y2 ＝8，定点
A(1,0)，M 为圆上一动点，点 P 在 AM 上，点 N → → → → 在 CM 上，且满足AM＝2AP，NP· ＝0，点 N AM 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程； (2)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两点 → → G、 H(点 G 在点 F、 之间)， H 且满足FG＝λFH， 求 λ 的取值范围．
x2 y2 解：(1)设椭圆方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)， 由题意知 b＝1， ∴ a2－b2 2 a2 ＝ 5
a2＝5.
x2 2 故椭圆方程为 5 ＋y ＝1. (2)法一：由(1)得 F(2,0)，所以 0≤m≤2， 设 l 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)， x2 2 代入 5 ＋y ＝1，得(5k2＋1)x2－20k2x＋20k2－5＝0.
(2)当直线 GH 的斜率存在时， x2 2 设直线 GH 的方程为 y＝kx＋2，代入椭圆方程 ＋y ＝ 2 1 1，得( ＋k2)x2＋4kx＋3＝0. 2 3 由 Δ＞0 得 k2＞ . 设 G(x1，y1)、H(x2，y2)， 2 －4k 3 则 x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 1 1 ＋k2 ＋k2 2 2 → → 又∵FG ＝λFH，∴(x1，y1－2)＝λ(x2，y2－2)， ∴x1＝λx2，∴x1＋x2＝(1＋λ)x2，x1x2＝λx2， 2 x1＋x2 2 －4k 2 1 2 x1x2 3 1 2 ∴( ) ＝x2＝ . ∴( )· ( )＝ ·， 1 1 λ λ 1＋λ 1＋λ ＋k2 ＋k2 2 2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 20k2－5 20k2 则 x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 ， 5k ＋1 5k ＋1 ∴y1＋y2＝k(x1＋x2－4)，y1－y2＝k(x1－x2)， → → ∴MA＋MB＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)， → AB＝(x2－x1，y2－y1)． → → → → → → ∵(MA＋MB)⊥AB，∴(MA＋MB)· ＝0， AB ∴(x1＋x2－2m)(x2－x1)＋(y2－y1)(y1＋y2)＝0， 20k2 4k2 ∴ 2 －2m－ 2 ＝0，∴(8－5m)k2－m＝0. 5k ＋1 5k ＋1 m 8 2 由k＝ ＞0，∴0＜m＜ ， 5 8－5m 8 → → → ∴当 0＜m＜ 时，有(MA＋MB)⊥AB成立． 5
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
要点知识整合
椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
图象
几何性质
热点突破探究
典例精析
题型一 圆锥曲线的定义
x2 2 y2 例1 已知 P 为椭圆 ＋y ＝1 和双曲线 x2－ ＝ 4 2 1 的一个交点，F1，F2 为椭圆的两个焦点，那么 ∠F1PF2 的余弦值为__________．
解： F(1,0)在 x 轴上， 由 ∴m －8＝1，∴m＝9， x2 y2 即椭圆方程为 9 ＋ 8 ＝1.
如图，设左焦点为 F′， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′| ＝6＋(|PA|－|PF′|)． 连接 AF′并延长交椭圆于 P1，反向延长线交椭 圆于 P2，P1、P2 分别使|PA|＋|PF|取得最大值和 最小值，且为 6＋ 10和 6－ 10.
题型二
圆锥曲线的几何性质
x2 y2 例2 (1)(2010 年高考天津卷)已知双曲线 a2 － b2 ＝ 1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是 y＝ 3x，它的一 个焦点与抛物线 y2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方 程为________________． (2)(2010 年高考大纲全国卷Ⅰ)已知 F 是椭圆 C 的一 个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 → 则 C 于点 D， → ＝2FD， C 的离心率为__________． 且BF
两个焦点为(－1,0)，(1,0)．
(1)求椭圆C的方程； (2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率 与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值， 并求出这个定值．
x2 y2 解：(1)由题意知 c＝1.可设椭圆方程为 ＋ 2＝1. 1＋b2 b 1 9 因为 A 在椭圆 C 上，所以 ＋ 2＝1. 1＋b2 4b 3 2 2 解得 b ＝3，b ＝－4(舍去)． x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 3 ＝1. 3 (2)证明：设直线 AE 的方程为 y＝k(x－1)＋2. x2 y2 代入 4 ＋ 3 ＝1 得 3 2 2 (3＋4k )x ＋4k(3－2k)x＋4(2－k)2－12＝0.

【答案】
x2 y2 (1) 4 －12＝1
3 (2) 3
【题后点评】(1)在求解有关离心率的问题时，一般
并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭 圆或双曲线的几何特征，建立关于参数c、a、b的方 程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值 或范围． (2)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦 点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐 近线．这里强调p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)(2010 年高考辽宁卷)设双曲线的一个焦点为 F， 虚轴的一个端点为 B， 如果直线 FB 与该双 曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心 率为( A. 2 ) B. 3 3＋1 C. 2 5＋1 D. 2
x2 y 2 解析：选 D.设双曲线方程为a2－b2＝1，设 F(c,0)， b b B(0，b)，kBF＝－ c，双曲线渐近线的斜率 k＝± . a bb ∵BF 与一条渐近线垂直， ∴－c·＝－1， 2＝ac， ∴b a 又 a2＋b2＝c2，∴c2－ac－a2＝0，∴e2－e－1＝0， 1＋ 5 1－ 5 ∴e＝ 2 或 e＝ 2 (舍)， 5＋1 ∴e＝ 2 ，故选 D.