插补与刀补计算原理

第二章 插补与刀补计算原理
• §2—1 概述
• 机床数控的轮廓控制主要问题就是怎样控制刀具或工件 的运动轨迹。无论是硬件数控（NC）系统，还是计算机数 控（CNC）系统或者微机数控（MNC）系统，都必须有完 成插补功能的部分，只是采取的方式不同而已。在CNC或 MNC中，以软件（程序）完成插补或软、硬件结合实现插补 ，而在NC中有一个专门完成脉冲分配计算（即插补计算） 的计算装置——插补器。无论是软件数控还是硬件数控，其 插补的运算原理基本相同，其作用都是根据给定的信息进行 数字计算，在计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进 给脉冲，使被控机械部件按指定的路线移动。
•
（1） 判别。根据偏差值确定刀具位置是在直线的上
方（或线上），还是在直线的下方。
•
（2） 进给。根据判别的结果，决定控制哪个坐标（x
或y）移动一步。
•
（3） 运算。计算出刀具移动后的新偏差，提供给下
一步作判别依据。根据式（2—1）及式（2—2）来计算新
加工点的偏差，使运算大大简化。
•
但是每一新加工点的偏差是由前一点偏差Fij推算出来
一、逐点比较法直线插补
• 如上所述，偏差计算是逐点 比较法关键的一步。下面以 第Ⅰ象限直线为例导出其偏 差计算公式。
• 如图2—1所示，假定直线 OA的起点为坐标原点，终 点A的坐标为A（xe，ye）， P（xi，yi） 为加工点，若P 点正好处在直线 OA上，那 么下式成立：
xeyj - xi ye 0
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
表2-1 逐点比较法直线插补运算举例
第1拍:判别 F00=0 F10(= -3)<0 F11(= 2)>0 F21(= -1) <0 F22(= 4)>0 F32(= 1)>0 F42(= -2)<0 F43(= 3)>0
工作节 第2拍:进给
拍 第3拍:运算
+∆x +∆y +∆x +∆y +∆x +∆x +∆y +∆x
若任意点P(xi,yj) 在直线ＯＡ 的上方（严格地说，在直线ＯＡ 与y轴所成夹角区域内），那么有下述关系成立：
yj ye xi xe
xe yj -亦x即i y:e 0
由此可以取偏差判别函数 Fi为j ：
Fij＝xeyj - xi ye
由 Fij 的数值（称为“偏差”）就可以判别出P点与直线的 相对位置。即：
R
F>0
A(x0,y0)
O
X
图2-2圆弧差补过程
图2-3 圆弧插补过程 若点P(xi, yj)正好落在圆弧上，则下式成立：
xi2 y j 2 x02 y02 R2
若点P(xi, yj)正好落在圆弧外侧，则Rp>R，即
xi2 y j 2 x02 y02
第4拍:比较 E7= E8-1=7 E6= E7-1=6 E5= E6-1=5 E4= E5-1=4 E3= E4-1=3 E2= E3-1=2 E1=E2-1=1 E0=E1-1=0 到达终点
二、 逐点比较法圆弧插补
加工一个圆弧，很容易联想到把加工点到圆心的距离和
该圆的名义半径相比较来反映加工偏差。这里，我们以第Ⅰ
代法，或称递推法，即每走一步后新加工点的加工偏差值
用前一点的加工偏差递推出来。
• 下面推导该递推式:
• 根据式（2—1）及式（2—2）可以看出，新加工点的 偏差完全可以用前一加工点的偏差递推出来。
• 综上所述，逐点比较法的直线插补过程为每走一步要 进行以下4个节拍（步骤），即判别、进给、运算、比较 。
•
有关插补算法问题，除了要保证插补计算的精度之外
，还要求算法简单。这对于硬件数控来说，可以简化控制
电路，采用较简单的运算器。而对于计算机数控系统来说
，则能提高运算速度，使控制系统较快且均匀地输给进给 脉冲。
•
经过多年的发展，插补原理不断成熟，类型众多。从
产生的数学模型来分，有直线插补、二次曲线插补等；从
瞬时坐标同规定的图形轨迹相比较，判断其偏差，然后决定 下一步的走向，如果加工点走到图形外面去了，那么下一步 就要向图形里面走；如果加工点在图形里面，那么下一步就 要向图形外面走，以缩小偏差。这样就能得出一个非常接近 规定图形的轨迹，最大偏差不超过一个脉冲当量。 • 在逐点比较法中，每进给一步都需要进行偏差判别、坐 标进给、新偏差计算和终点比较四个节拍。
象限逆圆弧为例导出其偏差计算公式。设要加工图2—2所示
第Ⅰ象限逆时针走向的圆弧，半径为R，以原点为圆心，起点
坐标为A( x0 , y0 ),对于圆弧上任一加工点的坐标设为P(xi,
yj) ，P点与圆心的距离Rp的平方为 这一加工点的加工偏差。
Rp2
xi 2
yj2
，现在讨论
Y
E
P(xi,yi)
Rp F<0
的，并且一直递推下去，这样就要知道开始加工时那一点
的偏差是多少。当开始加工时，我们是以人工方式将刀具
移到加工起点，即所谓“对刀”，这一点当然没有偏差，
所以开始加工点的Fij=0。
•
（4） 比较。在计算偏差的同时，还要进行一次终点
比较，以确定是否到达了终点。若已经到达，就不再进行
运算，并发出停机或转换新程序段的信号。
插补计算输出的数值形式来分，有基准脉冲插补（又称脉 冲增量插补）和数据采样插补。在基准脉冲插补中，按基
本原理又分为以区域判别为特征的逐点比较法插补，以矢
量运算为基础的矢量判别法插补，兼备逐点比较和数字积 分特征的比较积分法插补，等等。
§2—2 逐点比较法
• 逐点比较法，顾名思义，就是每走一步都要将加工点的
F10= F00-ye=0-3= -3 F11 = F10+xe= -3+5=2 F21= F11-ye=2-3= -1 F22= F21+xe= -1+5=4 F32= F22-ye=4-3= 1 F42 = F32-ye=1-3= -2 F43= F42+xe= -2+5=3 F53= F43-ye=3我们运用上述法则，根 据偏差判别函数值，就可以获得如图中折线段那样的近似 直线。
•
但是按照上述法则进行Fij 的运算时，要作乘法和减法
运算，这对于计算过程以及具体电路实现起来都不很方便
。对于计算机而言，这样会影响速度；对于专用控制机而
言，会增加硬件设备。因此应简化运算，通常采用的是迭