曲面上的测地线

r1 r2 1 2 2 2 (r1 , r2 , n ) (r1 r2 ) (r1 r2 (r1 r2 ) ) g g 1 ( EG F 2 ) g g i j 2 2 1 i j du1 d 2u 2 du du du d u du du 2 1 k g g [( ( 2 ij )( ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
2 2 kn kg k 2 cos2 k 2 sin 2 k 2




于是
注意： n, , , 都在 P 点的法面上。
测地曲率的几何意义：曲面 S上的曲线（C），它在 P 点的测地 曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线 (c* ) 的曲率。 证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得 * * ( c ) ( c 到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是 ，（C）和 ) 都是 柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。 取 为柱面上P点的法向量，由于柱面垂 (c ) 直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平 行于切平面，又 P 在切平面上，所以柱面在 P * 的法向量 应在切平面上，而（ C ）点的切 ( c ) 向量 也在切平面上，所以柱面在 P的法截 面就是切向量 与法向量 所确定的平面， * 法截面与柱面的交线就是法截线 (c ) ，因此柱面在 方向的法 曲率 kn k * , kn k * (k *为(c* )在P点的曲率),
第六节 曲面上的测地线 平面上的直线（1）任一点的切向量平行；（2）曲率为0； （3）直线段是连接点与点之间的最短线段。 曲面上的测地线相当于平面上的直线。 6.1 曲面上曲线的测地曲率 一、测地曲率的定义
1 2 r r (u , u ), （c）是曲面上的一曲线：u u (s) 给定曲面S：
i j du1 d 2u 2 du du 2 ( r1 , ( 2 百度文库ij )r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j du2 d 2u1 du du 1 ( r2 , ( 2 ij )r1 , n ) ds ds ds ds i, j
在曲线上一点 P 有：
r n n cos n 令 n ，则 n, , 是两两正交的单位向量且成右手系， n, , , 都在 P 点的法面上。
定义：曲线（c）在 P 点的曲率向量 r k 在 上的投影（即在 S上P点的切平面上的投影） k g r k
d 2u k dui du j k dui du j ( 2 ij )rk Lij n ds ds ds k i , j ds ds i, j dui d 2u k dui du j k dui du j k g ( ri , ( 2 ij )rk Lij n, n ) ds ds ds ds i k i , j ds ds i, j
三、测地曲率的计算公式
k g k ( , , n) ( , k , n) (r , r , n)
k (rij ij rk Lij n)
k
1 2 i i du dv du du du du r ru rv r1 r2 ri ri ds ds ds ds ds ds i i i j 2 i i j 2 k du du d u du du d u r rij 2 ri rij 2 rk ds j ds ds ds i i i , j ds ds k
由于 n k cos ，其中k为（ C）在P点的曲率， 为（C）的主 法向量和柱面在P点的法向量 之间的角，即
n k cos k k g .
推论：曲面上的直线的测地曲率为0。 这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还 是直线，所以曲率为0。 习题3。
称为曲线在 P 点的测地曲率。
二、性质
2 2 命题1：k 2 k g kn
证明： k k k (n ) k ( , n, ) k ( , , n ) g k ( ) n k n k g k cos(900 ) k sin
i j du1 d 2u 2 du du 2 kg ( r1 , ( 2 ij )r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j 2 d 2u1 du du du 1 (( 2 ij )r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j du1 d 2u 2 du du 2 k g [( ( 2 ij ) ds ds ds ds i, j
i j du2 d 2u1 du du 1 ( ( 2 ij )](r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j
i j 2 2 1 i j du1 d 2u 2 du du du d u du du 2 1 k g g [( ( 2 ij )( ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j