曲面上的测地线
什么是测地线的意思概念介绍
什么是测地线的意思概念介绍测地线的名字来自于对于地球尺寸与形状的大地测量学，那么你对测地线了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是测地线的内容，希望大家喜欢!什么是测地线定义类似地球这样的物体并非由于称为引力的力使之沿着弯曲轨道运动，而是它沿着弯曲空间中最接近于直线的称之为测地线的轨迹运动。
例如，地球的表面是一弯曲的二维空间。
地球上的测地线称为大圆，是两点之间最近的路径。
由于测地线是两个机场之间的最短程，这正是领航员叫飞行员飞行的航线。
在广义相对论中，物体总是沿着四维时空的直线走。
尽管如此，在我们的三维空间看起来它是沿着弯曲的途径(这正如同看一架在非常多山的地面上空飞行的飞机。
虽然它沿着三维空间的直线飞，在二维的地面上它的影子却是沿着一条弯曲的路径)。
短程线如果两曲面沿一曲线相切，并且此曲线是其中一个曲面的测地线，那么它也是另一个曲面的测地线。
过曲面上任一点，给定一个曲面的切方向，则存在唯一一条测地线切于此方向。
在适当的小范围内联结任意两点的测地线是最短线，所以测地线又称为短程线。
测地线效应光线经过一个大质量天体附近时，受其引力作用(或者说进入了该天体附近的弯曲空间)，路线会发生偏转，称为“测地线效应”。
距离最短的曲线在相对论中的专业术语是测地线，事实上，相应于速度小于C，等于C，大于C的三种测地线分别称为类时测地线，类光测地线和类空测地线。
所以，如果不受到引力以外其他力的作用，物体将在类时或类光测地线上运动(因为没有物体的速度能超过光速) 例如，地球这样的物体并非收到称作引力的力的作用而沿着弯曲轨道运动;相反，他们之所以沿着弯曲轨道运动，是因为在弯曲空间中，他们遵循着一条最接近直线的路径运动，这个路径称作测地线。
用专业术语来说，测地线的定义就是相邻两点之间最短(或最长) 的路径。
测地线效应概述也称作测地线进动(Geodetic Effect或Geodetic Precession)是指在广义相对论预言下引力场的时空曲率对处于其中的具有自旋角动量的测试质量的运动状态所产生的影响，这种影响造成了测试质量的自旋角动量在引力场内沿测地线的进动。
曲面上的测地线
Kd k ds ( ) 2
g i G G i 1
(Gauss-Bonnet公式)
其中 i是G的第i个内角的弧度数 .
华东理工大学《微分几何》电子课件(§2.6 面面上的测地线) pliu@
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引理： 若ds du Gdv , 则 dv k g ds d arctan G ( G )u dv (p171习题13) du 证明： 由于坐标网正交 , F 0, 由Liouville公式 d 1 ln E 1 ln G kg cos sin , ds 2 G v 2 E u 1 1 1 知 k g ds d Gu sin ds d Gu sin ds 2G 2 EG dv 1 du 1 sin , (P149) 又 cos cos , ds ds G E
2 k i j i j d u d u d u d u d u k r 2 ij n rk Lij ds ds d s ds k ds i, j i, j i j d 2 uk k du du 从而 gkl 2 ij 0 ( l 1, 2) d s ds k i, j ds
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一、曲面曲线的测地曲率
k 为(C )在P点的曲率向量. 称 r 称曲率向量在 上的投影k g为(C )在P点的测地曲率.
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测地曲率的性质
k g r k k (n ) k ( ) n k n k cos( ) k sin . 2
曲面的曲率线、渐近曲线和测地线
而且所在平面沿 和 相切.
在一片只含有椭圆点的曲面上，由于 ，故没有渐近曲线.
在一片只含有双曲点的曲面上，由于 ，故经过每一点有两条渐进线.
在一片只含有抛物点的曲面上，由于 ，故渐进线的微分方程可写成 的形状，因此曲面上只有一簇渐近曲线.
定理2曲面上一条曲线为渐近曲线的充要条件：或者它是一条直线或者它在每一点的密切面与切面叠合（即它的副法线与曲面的法线重合： ）.
推理若两个曲面沿一条线 相切，则在这两个平面上， 或者都是渐进线，或者都不是.
定理3曲面 上一条异于直线的曲线 即是渐进线又是曲率线的充要条件： 为平面曲线.
注意这个定理与定理1的异同，定理3中的曲线不是直线，但条件也略去了 和平面沿 相切这一部分.事实上，由于 既是渐近曲线又是曲率线， 的方向是 的一个主方向，其对应的主曲率为0，因此由定理1， 沿 和平面相切，但定理3中的“异于直线”不能省略.例如直纹二次曲面上的母线是平面的渐近曲线，却不是曲率线.
4 测地线
4.1测地曲率定义
给定一个曲面 ，考虑曲面 是 的自然参数，设 是曲线 上一点， 是 在 上单位切向量， 是 的夹角，那么曲线 在 点的曲率向量 在 的投影为 在 的测地曲率，若用 表示，则
.
测地曲率的几何意义：曲面 上的曲线 ，它在点 的测地线的绝对值等于 在 点切平面上的正投影曲线 的绝对曲率.
2.2曲率线的微分方程
对曲面上一点 的两个方向，如果他们既共轭又正交，则称在 点主方向.
设两个方向是 由于正交性， ，即
,由于共轭性： ，即
,
以上两个条件改写为
＝0.
还可以写成以下形式
，
微分几何§6曲面上的测地线
在生物学中，细胞的运动轨迹和神经元的传导路径可以被描述为测地线，研究测地线有助于理解生物体的行为和 生理机制。
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定义
01
在高维空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，其长
度由曲面的几何性质决定。
性质
02
高维空间的测地线具有类似于平面曲线的一些性质，如曲率、
挠率和弧长等。
应用
03
在物理学和工程学中，高维空间的测地线被广泛应用于最小化
能量、时间等物理量的计算。
弯曲空间中的测地线
定义
在弯曲空间中，测地线是连接两点之间长度最短的曲线，但曲率 不再是常数。
微分几何§6曲面上 的测地线
目录
• 测地线的定义与性质 • 曲面上的测地线方程 • 曲面上的测地线的应用 • 曲面上的测地线的扩展 • 曲面上的测地线的几何意义 • 曲面上的测地线的展望
01
测地线的定义与性质
测地线的定义
测地线是曲面上的最短路径，即连接两点间的曲线段长度最短。
测地线是曲面描述
在地球表面，由于地球的曲率，两点之间的直线距离并不是最短的路径。相反， 测地线，即地球表面的大圆弧，是两点之间最短的路径。这对于航海、航空和通 信等领域具有重要意义。
航天器轨道设计
总结词
航天器轨道设计经常利用曲面上的测 地线概念。
详细描述
在航天领域，为了节省燃料和时间， 航天器通常沿着测地线轨道飞行。这 是因为测地线是两点之间“几乎最短 ”的路径，同时考虑到地球的引力作 用和其他天体的影响。
04
测地线是曲面上的一种 特殊曲线，其长度等于 曲面上两点之间的直线 距离。
测地线的分类
01
根据曲面的不同类型，测地线可 以分为欧氏空间中的测地线和非 欧氏空间中的测地线。
测地曲率和测地线
因此 k g ≡ 0 的充分必要条件是
α β d 2 uγ γ du du + Γ = 0, αβ ds 2 ds ds
γ = 1, 2
（1 ）
这就是测地线所满足的微分方程组。 若引进新的未知函数 v ，则方程组（ 1）便降阶成为一阶常微分方程组：
因此
du 2 du 2 r1 ⋅ (n × r2 ) = − | r1 × r2 | ， ds ds du1 du 1 | r1 × r2 | ， r2 ⋅ ( n × r1 ) = ds ds
kg =| r1 × r2 | ⋅{ −
α β du1 d 2 u 2 2 du du + Γ } αβ 2 ds ds ds ds
=C 作为曲面 S 上的曲线的法曲率 kn = S 上与 C 相切的法截线 C 的法曲率 = C 作为平面π上的曲线的相对曲率， 上面的最后一个等式是由于第四章§ 2 定理 1。 现在我们要讨论测地曲率的另一个性质，它是法曲率所不具有的。 定理 ２ 证明 曲面上任意一条曲线的测地曲率在曲面作保长变换时是不变的。 由于曲线 S 上的曲线 C 的参数方程是
其中 θ 是曲线的次法向量和曲面的法向量的夹角，由此可见 ， k g = 0 的条件是 k = 0 或者
~
~ π ~ ~ cos θ = 0 。若 k ≡ 0 ，则该曲线是直线，若 k ≠ 0 ，则 cosθ ≡ 0 ，于是 θ ≡ ，即曲线的 2
主法向量是曲面的法向量。 现在我们考虑测地线的微分方程。由§1 的（ 5 ）式并且参看定理 2 的证明可知
（12）
设 u-曲线、 v-曲线的单位切向量分别记为 α 1 和 α 2 ，于是
微分几何26曲面上的测地线
i
d 2u ds2
i
ri
i, j
dui ds
du j ds
rij
k
d 2uk ds2
rk
k
d 2uk ( ds2
i, j
dui ds
du j ds
ikj
)rk
i, j
Lij
dui ds
du j ds
n
kg (
i
dui ds
ri ,
k
(
d 2uk ds2
i, j
dui ds
角为下面 给，出则一dd个rs简单一 点ruE的c形os式 。 设rGv曲s线in的 切r方u dd向us 与 ruv-线ddvs所成的
du 1 cos , dv 1 sin ,
ds E
ds G
d 2u ds2
d (cos
E
d
)
d
ds
d (cos
E du
)
du ds
d (cos
E dv
)
dv ds
(
d 2u1 ds2
n)
(r1
r2
)
i1j
i, j r1 r2
g
dui ds
du j ds
)](r1,
r2
,
n)
1 g
(r12
r22
(r1
r2
)
2
)
1 (EG F 2) g g
kg
du1 d 2u2 g[( ds ( ds2
i, j
i2j
dui ds
du j ) ( du2 ds ds
kg
g [ du
d 2v
dv
微分几何中的测地线与测地曲率-教案
微分几何中的测地线与测地曲率-教案1引言1.1微分几何的起源与发展1.1.1微分几何起源于17世纪，以牛顿和莱布尼茨的微积分为基础。
1.1.219世纪，高斯、黎曼等数学家进一步发展了微分几何，引入了曲率等概念。
1.1.320世纪，微分几何与广义相对论结合，成为现代物理学的重要工具。
1.1.4微分几何在计算机图形学、学等领域也有广泛应用。
1.2测地线与测地曲率的基本概念1.2.1测地线是曲面上两点间长度最短的路径，类似于欧几里得空间中的直线。
1.2.2测地曲率是描述曲面弯曲程度的量，它与曲面上一点的切平面和曲面的夹角有关。
1.2.3测地线与测地曲率是微分几何中的重要概念，对于理解曲面的性质和几何结构至关重要。
1.2.4测地线与测地曲率在理论物理、工程学等领域有广泛的应用。
1.3教学目标与意义1.3.1通过本课程的学习，使学生掌握测地线与测地曲率的基本概念和计算方法。
1.3.2培养学生运用微分几何知识解决实际问题的能力，提高学生的几何直观和空间想象力。
1.3.3深化学生对曲面几何性质的理解，为后续学习高级微分几何打下基础。
1.3.4培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，提高学生的数学素养。
2知识点讲解2.1测地线的定义与性质2.1.1测地线是曲面上两点间长度最短的路径，可以通过变分法求得。
2.1.2测地线具有一些特殊的性质，如它们在切平面内的方向是相互垂直的。
2.1.3测地线与曲率有关，曲率越大，测地线越弯曲。
2.1.4测地线在几何学中有许多应用，如描述曲面上的最短路径问题。
2.2测地曲率的计算与性质2.2.1测地曲率是描述曲面弯曲程度的量，可以通过计算曲面上的曲率张量得到。
2.2.2测地曲率与曲面上的测地线有关，测地线越弯曲，测地曲率越大。
2.2.3测地曲率可以用来判断曲面的几何性质，如球面上的测地曲率恒为常数。
2.2.4测地曲率在物理学中有重要应用，如描述时空的弯曲。
2.3测地线与测地曲率的应用2.3.1测地线可以用来描述曲面上的最短路径问题，如地球表面的导航问题。
3.2 测地曲率测地线
131
Meusnier 定理后知道, τ 亦为 C 关于柱面 Σ 的法曲率向量, 但是曲线 C 又可看成柱 面上过 P 点相应于方向 α 的法截线. 因此 τ 就是 C 的曲率向量. 现在定义测地曲率. 对(2.2)式两边关于 α 求内积得到 τ · α = 0, 而 τ 又在切平面 TP 上, 故 τ 与 n 也正交, 因此 τ 记 τ = kg (n × α), 称 kg 为曲线 C 在 P 点处的 测地曲率, 于是 |kg | = |τ |, 且
j i d2 uk k du du = 0, (k = 1, 2) + Γ ij ds2 ds ds 因此, 曲面上测地线的存在性等价于微分方程组(2.9)的解的存在性.
kg = 0 ⇐⇒
方程组(2.9)是以 u1 (s), u2 (s) 为因变量, 以 s 为自变量的二阶常微分方程组, 由常 微分方程的理论知道, 如果我们给定初始条件 ui (s0 ) = ui 0, dui (s0 ) = ds dui ds , i = 1, 2
§3.2 测地曲率 测地线
3.2.1 测地 曲率向 量 测地曲率
设曲面 S 的方程为 r = r (u1 , u2 ), C 是 S 上过 P (u1 , u2 ) 的一条曲线, 参数方程是 ui = ui (s) , 其中 s 是弧长参数. 曲线 C 的切向量为 α= dr dui = ri , ds ds
有唯一解 v = v (u), 它确定了曲面上唯一一条测地线. 【例 2】 试确定球面上的测地线. 【解】 kn =
1 ±R ,
θ = θ(u),
设 C 是半径为 R 的球面上的大圆(弧), 则熟知 C 的曲率 k =
1 R,
法曲率
于是 C 的测地曲率
微分几何中的测地线-教案
教案微分几何中的测地线-教案1引言1.1微分几何的基本概念1.1.1微分几何的定义：研究曲线、曲面和更高维流形的性质和结构的数学分支。
1.1.2微分几何的历史：起源于17世纪，牛顿和莱布尼茨的微积分为微分几何的发展奠定了基础。
1.1.3微分几何的应用：在理论物理、工程学、计算机图形学等领域有广泛的应用。
1.2测地线的概念1.2.1测地线的定义：在曲面上，连接两点的最短路径。
1.2.2测地线的重要性：在几何学和物理学中，测地线扮演着关键角色，如广义相对论中的自由落体路径。
1.2.3测地线的应用：在导航、地球物理学和天体物理学等领域有实际应用。
1.3教案的目的和结构1.3.1教案目的：深入理解微分几何中测地线的概念、性质和应用。
1.3.2教案结构：本教案分为十个章节，包括引言、知识点讲解、教学内容等。
1.3.3教案的使用：适用于大学数学系微分几何课程的教学和学习。
2知识点讲解2.1曲率和测地线2.1.1曲率的定义：描述曲线或曲面弯曲程度的量。
2.1.2测地线与曲率的关系：在曲率非零的曲面上，测地线是曲率最小的路径。
2.1.3曲率的计算：使用微分几何中的公式和方法计算特定曲线或曲面的曲率。
2.2测地线的性质2.2.1测地线的局部性质：在曲面上任一点附近，测地线是直线。
2.2.2测地线的全局性质：在闭合曲面上的测地线可能形成闭合回路。
2.2.3测地线的唯一性：在给定起始点和方向的情况下，测地线是唯一的。
2.3测地线的应用2.3.1在地球物理学中的应用：用于测量地球表面的距离和导航。
2.3.2在天体物理学中的应用：用于描述天体运动的路径。
2.3.3在理论物理中的应用：在广义相对论中，测地线描述了物体在重力场中的运动。
3教学内容3.1微分几何基础3.1.1曲线和曲面的基本概念：介绍曲线和曲面的定义、性质和分类。
3.1.2微分形式和积分：讲解微分形式的概念，以及其在曲线和曲面上的积分方法。
3.1.3曲率和挠率：详细讲解曲率和挠率的定义、计算和应用。
微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线
两 曲 面 沿 这 条 曲 线 有 公共 的 切 平 面 ，
因 而 沿 这 条 曲 线它，们 的 法 线 重 合 ，
而 曲 线 在 一 点 的 主 法 线只 有 一 条 ，
所 以 当 这 条 曲 线 的 主 法线 与 两 曲 面 之 一 的 法 线重 合 时 ，
同 时 必 与 另 一 曲 面 的 法线 重 合 ，由 命 题3知 ， 这 条 曲 线 也 是 另 一 个 曲面 的 测 地 线.
ikj
rk
Lij n]
i
d 2ui ds2 ri
ikj
i, j,k
dui ds
du j ds
rk
i, j
Lij
dui ds
du j ds
n
k
d 2uk ds2 rk
d 2uk
k [ ds2
i, j
kg (r, r, n)
ikj
dui ds
du j ds ]rk
i, j
证：(1) 对u 曲线而言， (s) 0,
由已知， ln E(u) 0, v
代入柳维尔公式得：
k gu
d
ds
1 2G
ln E v
cos
2
1 E
lnG sin
u
0.
u 曲线是测地线.
(2) 对v 曲线而言， (s) ,
2 由已知， ln E(u) 0,
v 代入柳维尔公式得：
k gv
1,2)
r
k
d 2uk [ ds2
i, j
ikj
dui ds
du j ds ]rk
i, j
Lij
dui ds
微分几何中的测地线浅谈
微分⼏何中的测地线浅谈“测地线”是微分⼏何学中最重要和最基本的概念之⼀，也是⼏何学最基本的研究对象。
测地线的研究不仅推动了⼏何学的发展，实际上很多物理定律及现象也可以通过测地线的相关结论来合理解释。
那么，什么是测地线，它⼜有怎么的性质呢？测地线(Geodesic)⼀词最早不属于⼏何这个学科，⽽是来⾃⼤地测量学(Geodesy)，这⼀点我们从它的名字⼤概就能看出来。
伟⼤的数学王⼦⾼斯，曾经主持过⼀项浩⼤的⼯程，那就是为汉诺威王国绘制详细的地图，为此他耗费⼤量时间实地测量，之后利⽤最⼩⼆乘法等数学⽅法处理相关数据，极⼤地提⾼了地图精度。
在这个过程中，测地线就是⾼斯经常遇到的数学对象。
我们先从最简单的欧式空间说起，这种情况下的测地线有⾮常好的⼏何描述，那就是它是连接两点的最短路径，也就是我们⾮常熟悉的直线段，从严格的数学⾓度来说，这正是直线段的定义。
欧式空间上的测地线的确平淡⽆奇，没有什么好研究的，但当空间的形状改变时，情况就没有这么显然了。
例如球⾯，我想很多⼈都并不知道球⾯上的测地线是什么样的，即使知道可能也不清楚背后严格的数学系证明。
可能很容易猜得到连接球⾯两点之间的最短路径位于过球⼼的⼤圆上，但要⾮常严格地说明这件事却并不太容易。
⽽且为了更好地获得测地线的信息，我们必须要有更为⼀般的理论，以便分析更为复杂的空间。
为此我们要先简单介绍⼀下曲线的测地曲率。
测地曲率有⾮常形象化的解释：对于曲⾯S中的曲线C，它在曲⾯S的P点处切平⾯上会产⽣⼀条投影曲线，⽽原曲线C的测地曲率就等于投影曲线的相对曲率。
利⽤测地曲率，我们就可以得到曲⾯上测地线的定义：曲⾯上测地曲率恒为0的曲线成为测地线。
但这样定义出来的曲线还会是连接任意两点的最短曲线吗？事实上，测地线包含所有曲⾯上的最短曲线，⽽且会往往超出这个范围，也就是说，最短曲线⼀定是测地线，但测地线不⼀定最短。
产⽣这种现象的原因在于我们仅仅使⽤曲率，或者说曲⾯的度量来定义测地线，但曲线的最短性并⾮⼀个像⾼斯曲率那样的内蕴⼏何量，因⽽就⽆法保证最短性。
一些曲面测地线方程的几种计算方法
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§1 测地曲率与测地线
第六章曲面的内蕴几何初步本章将对曲面的内蕴几何展开进一步讨论．前面已经知道，曲面的第一基本形式确定了曲面的度量性质；同时，对于确定曲面的局部弯曲性质而言，曲面的Gauss曲率以及曲面上的曲线的测地曲率都是重要的内蕴几何量，它们衡量了几何对象的内在弯曲程度，这种内在弯曲在本质上依赖于曲面的度量性质．对于内蕴性质的细致讨论，将会为抽象理论提供可靠的直观基础，便于用自然和合理的方式引进新的几何空间概念并深入理解较为抽象的几何空间．在本章的学习过程中，应该注意体会什么是空间的基本要素．§1测地曲率与测地线在第四章中已经知道，曲面上的曲线的测地曲率是曲面的内蕴几何量，并且是平面曲线相对曲率的推广．下面对此进行进一步的讨论．一．测地曲率的Liouville公式平面曲线相对曲率可以利用切向角关于弧长的导数而确定；类似地，曲面上的曲线的测地曲率也可以利用适当的切向角来加以刻画．在正交网下考虑．设曲面S: r=r(u1, u2) 的参数网正交，考虑其上的弧长s参数化曲线C: u i=u i(s) 的测地曲率．为此，取自然标架场 {r; r1, r2, n} 所对应的单位正交右手标架场 {r; ξ1, ξ2, n} ，其中ξ1=r1|r1|=r1g11=r1E，ξ2=r2|r2|=r2g22=r2G，g12=F≡ 0 ．沿曲线C可写T=r i d u id s=ξ1g11d u1d s+ξ2g22d u2d s=ξ1 cosψ+ξ2 sinψ，其中夹角函数ψ=ψ(s) 在曲线C局部总可取到连续可微的单值支，满足(1.1)cosψ=g11|(u1(s), u2(s))d u1 d s，sinψ=g22|(u1(s), u2(s))d u2 d s．故由测地曲率定义式出发进行推导可得κg=T'(s)•[n(u1(s), u2(s))⨯T(s)] = [n(u1(s), u2(s))⨯T(s)]•T'(s)= (ξ2 cosψ-ξ1 sinψ)•dd s (ξ1 cosψ+ξ2 sinψ)= (ξ2 cosψ-ξ1 sinψ)•[dξ1 d s cosψ+dξ2 d s sinψ+ (ξ2 cosψ-ξ1 sinψ ) dψ d s]=dψd s+ξ2•dξ1d s cos2ψ-ξ1•dξ2d s sin2ψ=dψd s+ξ2•dξ1d s=dψd s+r2g22•dd s⎝⎛⎭⎫r1g11=dψd s+r2g11g22•d r1d s=dψd s+r2•r1ig11g22d u id s；而易知r2•r12=r2•r21= (g22)12 =G12 ，r2•r11=-r21•r1=-(g11)22 =-E22 ，故进一步有(1.2)κg=dψd s+1EG⎝⎛⎭⎫-E22d u1d s+G12d u2d s=dψd s+⎝⎛⎭⎪⎫-(E )2Gd u1d s+(G )1Ed u2d s，或写为(1.3)κg=dψd s+1EG⎝⎛⎭⎪⎫-E22cosψE+G12sinψG=dψd s+-(E )2 cosψ+ (G )1 sinψEG=dψd s+⎝⎛⎭⎪⎫-12G∂ln E∂u2cosψ+12E∂ln G∂u1sinψ=dψd s+⎝⎛⎭⎪⎫-1G∂ln E∂u2cosψ+1E∂ln G∂u1sinψ．公式(1.2) 或(1.3) 式称为正交网下的Liouville公式，它揭示出曲面上曲线的测地曲率与曲线在曲面上由(1.1) 式所确定的连续可微切向角函数ψ=ψ(s) 的关系，在欧氏平面Descartes直角坐标系下即为曲线相对曲率与切向角的关系式．二．测地线基本概念定义1若曲面S上的曲线C的测地曲率向量恒等于零，即曲线C的测地曲率κg≡ 0 ，则称C为S的一条测地线．注记1①测地线是内蕴几何体．②测地线具有明确的外在几何意义，即：曲线C为曲面S上的测地线当且仅当曲线C的曲率向量处处垂直于曲面S的切平面．特别当曲面S 上的曲线C无逗留点时，C为S上的测地线的充要条件为N≡±n．③曲面上的直线一定是曲面上的测地线．曲面上的测地线若同时为渐近曲线，则一定是直线．旋转面的经线是其上的测地线．例 1 曲面上的运动质点的轨迹若质点被垂直于曲面的外力约束在正则曲面上作惯性滑动，摩擦系数为零，则质点运动轨迹一定是曲面上的测地线．□曲面S: r(u1, u2) 上测地线的微分方程可以以不同的方式表示．外在形式可写为C: (T'(s), n(u1(s), u2(s)), T(s)) ≡0 或(r'(s),r"(s), n(u1(s), u2(s))) ≡0 ，或等价变形为一般参数t下的形式(d r d t , d2rd t2 , n)≡ 0 ．测地线微分方程的常见内在形式分别为以下两种，一者为测地线弧长参数下关于曲面一般参数 (u1, u2) 的形式(1.4)C: d2u ld s2+Γi l jd u id sd u jd s= 0 , l= 1, 2;g ij d u id sd u jd s= 1 ;另一者为关于曲面正交网 (u1, u2) 的Liouville形式(1.5)C: dψd s+⎝⎛⎭⎪⎫-1G∂ln E∂u2cosψ+1E∂ln G∂u1sinψ= 0 ;cosψ=E d u1d s，sinψ=Gd u2d s．利用内在形式常微分方程组的解的唯一连续性理论，可证下述结论．定理1（测地线存在唯一性定理） 给定正则曲面 S : r (u 1, u 2) 之上任意一点 P 0(u 01, u 02) ，则存在点 P 0 的某个邻域 ∑0⊂S ，使得在 ∑0 内从点 P 0 出发沿指定单位切向 T 0∈T P 0 存在唯一一条测地线 C : r (u 1(s ), u 2(s )) 满足⎝⎛⎭⎫r i d u id s | s = s 0 = T 0 ，u i (s 0) = u 0i , i = 1, 2 ． 该定理的唯一性，强调了两条测地线若相切则必然重合．该定理的证明只要注意到下面的引理便容易得到．引理1 (1.4) 式第一式的满足初始条件 ⎝⎛⎭⎫g ij d u i d s d u j d s | s = s 0 = 1 的唯一解一定适合适定条件(1.4) 式第二式．证明 对于 (1.4) 式第一式的解函数有d d s ⎝⎛⎭⎫g ij d u i d s d u j d s = (g ij )l d u l d s d u i d s d u j d s + g ij d 2u i d s 2 d u j d s + g ij d u i d s d 2u jd s 2= (g ij )l d u l d s d u i d s d u j d s + g ij ⎝⎛⎭⎫ -Γl i m d u l d s d u m d s d u j d s + g ij d u i d s ⎝⎛⎭⎫ -Γl j m d u l d s d u m d s = (g ij )l d u l d s d u i d s d u j d s - Γljm d u l d s d u m d s d u j d s - Γlim d u l d s d u m d s d u id s= [(g ij )l - Γlji - Γlij ] d u l d s d u i d s d u jd s= 1 2 {2(g ij )l - [(g ji )l + (g lj )i - (g li )j ] - [(g ij )l + (g li )j - (g lj )i ]} d u l d s d u i d s d u jd s ≡ 0 ，此即 g ij d u i d s d u jd s取常值，故得结论． □ 关于测地线的内蕴确定方式，一般可以考虑两种．一种是求解对应的测地线内在形式的微分方程；其中在正交网下的测地线对应于Liouville 形式下的一阶常微分方程组 (1.5) 阶数较低，而当联络系数较为简单时测地线所对应的二阶常微分方程组 (1.4) 也有可能较易求解．另一种是利用测地线的内蕴属性，在一些特殊曲面上考虑测地线时，利用等距对应进行考虑；其前提是已经或容易了解等距对应曲面的测地线行为．前一种解法通常依赖于微分方程组的求解技巧；后一种解法通常依赖于几何直观能力．在下例中采用后一种解法是非常方便和有效的，同时也可以推广到一般可展曲面之上．例2 确定圆柱面上的测地线全体．解 将圆柱面局部等距对应于平面，使圆柱面的经纬网对应于平面的正交直线网．平面上的测地线全体是平面上的直线全体，可以划分为对应于圆柱面直纹的一族平行直线，以及与该族平行直线处处相交成非平凡定角的直线全体．于是，利用局部等距不变量和等距不变性可知，圆柱面上的测地线全体可以划分为两族，一族是直纹，另一族是与直纹处处相交成定角的曲线全体——圆柱螺线全体和纬圆全体． □三．弧长的第一变分公式与局部短程线同考察面积变分一样，为了考察曲面上的曲线段的形变对于其长度的影响，可以利用变分法进行一般化的讨论．本段将讨论较为简单的情形，对应的几何直观可以参照弦的振动．考虑曲面 S : r = r (u 1, u 2) 上的具有固定端点 A (u 1(a ), u 2(a )) 和 B (u 1(b ), u 2(b )) 的连续可微单参数 β 正则曲线段族C β : r : [a , b ]→S ⊂E 3s →r (u 1(s , β), u 2(s , β)) ,u i (a , β) = u i (a ) , u i (b , β) = u i (b ) , i = 1, 2 ，β∈(-ε, ε) ，其中 s 是 C 0 的弧长参数（未必是 C β 的弧长参数），ε 是某个正数．记C = C 0: r = r (u 1(s , 0), u 2(s , 0)) ，通常称曲线段族 { C β | β∈(-ε, ε)} 是曲线段 C 的具有固定端点的一个变分族．为考虑曲线段 C 的弧长变分，记曲线段 C 的单位切向为 T (s ) ，记曲线段 C β 的弧长为图6-1(1.6) L (β) = L (C β) = ⎰b a∂r ∂s • ∂r ∂s d s ； 则有算式L '(β) = ⎰b a ∂ ∂β∂r ∂s • ∂r ∂s d s = ⎰b a ∂r ∂s • ∂2r ∂β ∂s ∂r ∂s • ∂r ∂s d s = ⎰b a ∂r ∂s • ∂2r ∂s ∂β ∂r ∂s • ∂r ∂sd s ， (1.7) L '(0) = ⎰b a T • ⎝⎛⎭⎫∂∂s ∂r ∂β|β = 0 d s = ⎰b a T •d d s ⎝⎛⎭⎫∂r ∂β|β = 0 d s ． 记曲面 S 的沿曲线 C 的切向量场 v = ∂r ∂β|β = 0 ，通常称之为变分向量场．取曲面 S 的沿曲线 C 的单位法向 n = n (u 1(s , 0), u 2(s , 0)) = n (s ) ，则变分向量场可分解为v (s ) = l (s )T (s ) + h (s )n (s )⨯T (s ) ，l (a ) = l (b ) = h (a ) = h (b ) = 0 ， 其中系数函数是连续可微的．此时，(1.7) 式改写为(1.8) L '(0) = ⎰b a T • d v d sd s = ⎰ba T •( l 'T + h 'n ⨯T + l T ' + h n '⨯T + h n ⨯T ') d s= ⎰b a [ l '+ h (T , n , T ')] d s = l (b ) - l (a ) - ⎰b a h κg d s= - ⎰b a h κg d s ．公式 (1.8) 称为曲面上具有固定端点的曲线段的弧长的第一变分公式．由此可见，弧长的第一变分 L '(0) 由测地曲率 κg 和变分向量场 v 的垂直分量 h 确定，并且用以直接得到下列定理和推论．定理2 设曲面 S 上的连续可微单参数 β 正则曲线段族 { C β | β∈(-ε, ε)} 是测地线段 C 的具有固定端点的一个变分族，则 C 的弧长在该变分族中取逗留值．推论2 若曲面 S 上连接两点的曲线段 C 的弧长在所有连接这两点的曲线段的弧长值中达到最小值，则 C 必为测地线段．即：局部最短线一定是测地线．另一方面，在上述曲面S上，若指定连接两点A(u1(a), u2(a)) 和B(u1(b), u2(b)) 的弧长s参数化曲线段C: u i=u i(s) , i= 1, 2 ，并且指定连续可微函数h(s) 满足h(a) =h(b) = 0 ，则一定存在曲线段族 { Cβ|β∈(-ε, ε)} 是曲线段C 的一个固定端点的变分族，使变分向量场v(s) =h(s)n(s)⨯T(s) ；此种变分通常称为垂直变分．所指定的垂直变分可构造如下：分解h(s)n(s)⨯T(s) =v i(s)r i(s) ，作u i(s, β) =u i(s) +βv i(s) , i= 1, 2 ，则∂r ∂β|β= 0=r i∂u i∂β|β= 0=h(s)n(s)⨯T(s) ．由此可以得到定理2的逆定理，并综合为测地线段的一个特征．定理3曲面S上的正则曲线段C是测地线段的一个充要条件为：对其任何具有固定端点的变分族，C的弧长在该变分族中总取逗留值．证明只需证明充分性．已知连接两点A和B的弧长s参数化曲线段C: u i=u i(s) , s∈[a, b] , i= 1, 2 ，取连续可微函数h(s) =κg(s) sin2(s-a)πb-a作为垂直变分的变分向量场的分量函数，则弧长的第一变分L'(0) =-⎰b a hκg d s=-⎰b a (κg)2 sin2(s-a)πb-ad s= 0 ．注意到被积函数连续并保号，只能处处为零，故κg≡ 0 ，C是测地线．□根据测地线的定义，曲面上的测地线按照测地曲率衡量内蕴弯曲时是“直”的．根据弧长的第一变分公式及其相应定理进一步可见，曲面上的两点之间的最短线只能由测地线实现．因此有理由认为，测地线在曲面内蕴几何中的地位，应该相当于直线在平面几何中的地位．本章后续内容将不断支持这种看法．习题⒈设两张正则曲面S和S* 沿曲面S上的测地线C相切．试证：曲线C也是曲面S*上的测地线．⒉对球面，若其上圆周的半径等于球面的半径则称之为大圆周．试证：球面的测地线全体就是大圆周全体．⒊设曲面S上的测地线C无逗留点．试证：①若C是曲率线，则C也是平面曲线；②若C是平面曲线，则C也是曲率线．⒋设曲面S上的测地线都分别为平面曲线．试证S全脐．⒌已知下列曲面r(u, v) 的第一基本形式Ⅰ；试求其弧长参数化测地线．①Ⅰ=v (d u2+ d v2) ；②Ⅰ=c2v2 (d u2+ d v2) ，其中c= const. ∈ℝ．⒍设正则曲面S上存在两族测地线构成相交为定角的坐标曲线网．试证：①S上存在正交网使上述一族测地线为一族坐标曲线；②S局部等距对应于平面．⒎在E3直角坐标系O-xyz下，设光滑函数f(x , y , z) 的梯度向量处处非零．试证：由方程f(x , y , z) = 0 所确定的正则曲面的测地线微分方程为f x f y f zdx dy dzd2x d2y d2z= 0 ．⒏设正则曲面S上的正则曲线C无逗留点，并且曲线C的从切平面族的包络即为S．试证：C是S上的测地线．⒐已知正则曲面S: r(u1, u2) 上的弧长参数化曲线C: r(s)=r(u1(s), u2(s)) ，曲面的单位法向沿曲线C记为n(s)=n(u1(s), u2(s)) ，考虑曲线C上的单位正交右手标架 {r(s);e1(s), e2(s), e3(s)} = {r(s); T(s), n(s)⨯T(s), n(s)} ．称τg=-e2 (s)•e3'(s) 为S上沿曲线C 的测地挠率函数．①列出标架 {r(s); e1(s), e2(s), e3(s)} 的运动公式；②试证：沿曲线C，测地挠率τg=-Ωil g lj d u kd sd u id s (r j, r k, n) ；③试证：测地挠率为S上的关于点和切方向的函数，并且沿曲线C有τg=1g11g22-g122(d u2d s)2-d u1d sd u2d s(d u1d s)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22；④试证：曲线C成为S上的曲率线的充要条件是沿C的测地挠率恒为零．⒑设无逗留点曲线C: u i=u i(s) 为曲面S: r(u1, u2) 上的弧长参数化曲线，以τ和τg分别为其挠率函数和测地挠率函数．试证：沿曲线C，①若C为测地线，则τg=τ；②若C为渐近曲线，则τg=τ．⒒设曲面S: r(u1, u2) 的坐标曲线构成正交曲率线网，对应有主曲率函数κ1和κ2．在S的任意固定点P取切向a= (ξ1cosθ+ξ2sinθ) ∈T P，其中ξ1和ξ2分别为κ1和κ2所对应的单位主方向向量．试证：在点P沿切向a，测地挠率τg(P, θ) =12 [κ2(P) -κ1(P)] sin 2θ=12ddθκn(P, θ) ．⒓在曲面上试证：κn2+τg2- 2Hκn+K= 0 ．。
微分几何第二章曲面论第六节曲面上的测地线
在曲面上，连接两点 P , Q的线段中哪条最短？
6.1 曲面上曲线的测地曲率
一.测地曲率的概念
1 2 ( S ) : r r (u , u ) n (C ) : u u ( s),( 1,2) 令 n P 定义 曲线(C )在P点的曲率向量r k在上的投影 （也就是在S上P点的切平面上的投影） 称为曲线(C )在P点的测地曲率. 记作 : k g 即 k r k
i j 2 2 1 i j du1 d 2 u 2 du du du d u du du 2 1 kg g[ ( 2 ij ) ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
测地曲率的一般计算公 式.
F 0, 此时， 特别地， 在正交坐标网下，
2 i dui du j d u k [ ij rk Lij n] 2 ri ds i , j ds ds k i i j i j 2 k du du du du d u k ij rk Lij n 2 rk ds ds ds ds ds i , j ,k i, j k i j i j d 2 uk du du du du k [ 2 ij ] rk Lij n ds ds ds ds ds k i, j i, j i du , r ri k g (r r, n) ds i i j 2 2 1 i j du1 d 2 u2 du du du d u du du 2 1 [ ( 2 ij ) ( 2 ij )] (r1 , r2 , n) ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
微分几何26曲面上的测地线
contents
目录
• 测地线的定义与性质 • 曲面上的测地线 • 微分几何中的测地线 • 26曲面上的测地线 • 总结与展望
01
测地线的定义与性质
测地线的定义
01
测地线是曲面上的最短路径，即 连接两点间的曲线段长度最短。
02
在微分几何中，测地线被定义为 在曲面上具有常曲率的曲线，其 长度由曲面的第一，即其上任意两点的连 线都是连续且可微分的。
在某些特定条件下，26曲 面上的测地线可能具有闭 合性或周期性等特殊性质。
26曲面上的测地线与一般曲面上测地线的区别
01
一般曲面上测地线通常是定义在二维或三维空间中的曲线 ，而26曲面则是一个更高维度的几何对象。因此，26曲面 上的测地线需要考虑更多的维度和复杂性。
05
总结与展望
总结
测地线在微分几何26曲面上的研究具有重要的理论和应用价值，对于理解曲面的几何性质和拓扑结构 具有重要意义。
在过去的几十年里，研究者们在测地线的研究方面取得了丰硕的成果，包括测地线的存在性、唯一性和 稳定性等问题的解决，以及在黎曼几何和相对论等领域的应用。
然而，仍然存在许多未解决的问题和挑战，需要进一步的研究和探索。
02
26曲面可能具有特殊的几何和拓扑结构，这使得其测地线 的性质和计算方法与一般曲面有所不同。例如，在一般曲 面中，测地线通常是直线或平面曲线，而在26曲面上，测 地线可能是复杂的空间曲线。
03
由于26曲面可能具有特殊的几何和拓扑结构，因此其测地 线的存在性和唯一性也可能与一般曲面有所不同。例如， 在某些特定条件下，26曲面上的测地线可能不存在或不止 一条。
微分几何中的测地线性质
01
微分几何 §6 曲面上的测地线
r=r(u1 ,u 2 )，u1 =u1(s),u 2 =u 2(s)的 r k
n
..
若记 n ， n，
kg r k
k g r k （，n，） k n k sin k
..
..
命题1
k k k ,
下面给出测地曲率的一般计算公式 设曲面曲线 C : u s , u u s 其中s是自然参数 有
, 2 2
k g k ( , , n) ( , k , n)=( r , r , n) . du i r ri ds i
r ij k
i, j ..
2 2 2
d ds 1 2 G ln E v du ds dv ds cos 1 E 1 G 1 2 E cos sin ln G u sin
由此在给出初始条件下可求测地线惟一的解.
例:利用刘维尔公式证明：平面上的测地线为直线 证明：对于平面
ds 2 du 2 dv 2
d 2u k ds
2
ij k
i, j
du i du j ds ds
0, k 1, 2
du k ds ( du k ds
在初始要件 s s0 , u k u0 k ,
)0
由微分方程知识知有唯一解
曲面上任一点，给定一个的切方向，则存在唯一 一条测地线切于此方向
6.3. 曲面上的半测地坐标网 曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一的族
E G 1, F 0, Eu Ev Gu Gv 0
代入测地线的方程得
d ds
du ds
0, const .
曲面的曲率线、渐近曲线和测地线
对曲面上一点 的两个方向，如果他们既共轭又正交，则称在 点主方向.
设两个方向是 由于正交性， ，即
,由于共轭性： ，即
,
以上两个条件改写为
＝0.
还可以成以下形式
，
这是 ： 的二次方程，其判别式为
,所以当且仅当 时， =0上述判别式它可以写成
因此除上述的情况外，判别式 >0.
也就是说方程总有两个不相等的实根因而曲面上每一点处除了上述情况总有两个主方向.它们也是这一点的杜邦指标线的主方向，并且如何曲面上某一点处有
定理3若一共球面 和一个球面（或平面）沿一条曲线 相切，则 是 的一条曲率线， 沿 的法曲率是异于零的常数（或为0）.
而定理3的逆定理为
定理4若一个平面 沿一条曲率线 主曲率是异于0或常数（或等于0）则 沿 和一个球面（或平面）相切.
证明若 沿一条曲率线 的方向，主曲率 为常数，则将罗德里克方程（1）（ ）沿 的积分得 ，其中 为常矢，分别取两边和自己的数积即得 ，这表明 在一个球面上，而且根据前一式， 和 这个球面沿有相同的法矢 .
4 测地线
4.1测地曲率定义
给定一个曲面 ，考虑曲面 是 的自然参数，设 是曲线 上一点， 是 在 上单位切向量， 是 的夹角，那么曲线 在 点的曲率向量 在 的投影为 在 的测地曲率，若用 表示，则
另一方面若 沿一条曲率线 的方向主曲率 ，则将罗德里克方程，沿 ， 即 固定，因而 （常数）.这表明 在一个平面上，而平面法矢就是 .证毕.
3 渐近曲线
3.1渐近曲线定义
若曲面 上一条曲线 总是沿着一个渐进方向，即法曲率 的方向，则 成为 上的一条渐近曲线.平面上的任意一点的方向渐进方向，平面上的每一条曲线都是渐近曲线.
平行曲面上测地线的性质
平行曲面上测地线的性质在平行曲面上，测地线是沿着沟槽运动的最短路线，其中沟槽的定义是一系列水平曲线，它们的切线与侧壁都垂直。
平行曲面可以被形式化地定义为一组由相同曲率的曲线构成的曲面。
在这里，我们将讨论测地线在平行曲面上的性质。
1. 平行曲面上的测地线是最短路线在平行曲面上，测地线是最短的路径。
这是由于平行曲面上的每个点都具有相同的曲率。
因此，沿着曲面上的任何其他曲线运动都需要更多的路径长度，而测地线是连接两个点的最短路径。
因此，在平行曲面上，测地线是最优的路径选择。
2. 平行曲面上的测地线是沿着切线方向运动的在任何曲面上，测地线是沿着曲面上的切线方向运动的。
在平行曲面上，曲线的切线方向与水平相同，因此在平行曲面上，测地线是沿着水平方向运动的。
这是因为沟槽的定义是一组水平曲线，因此测地线必须沿着这些曲线移动。
3. 平行曲面上的测地线保持水平方向在平行曲面上，测地线保持水平方向。
这是因为平行曲面的每个点都有相同的曲率，因此测地线必须以水平方向移动，以保持其最短长度。
因此，测地线必须始终在水平面上移动，这意味着它必须沿着沟槽上的水平曲线移动。
4. 平行曲面上的测地线具有相同的弧长在平行曲面上，测地线具有相同的弧长。
这是因为平行曲面的每个点都具有相同的曲率，因此测地线必须以相同的弧长移动，以保持其最短长度。
因此，在沟槽上移动的测地线总是具有相同的长度。
5. 平行曲面上的测地线的运动遵循类似于悬链线的形状在平行曲面上，测地线的形状遵循类似于悬链线的形状。
这是因为在沟槽上移动的测地线必须沿着水平曲线移动，并保持其长度最短。
这种形状类似于悬链线或链线，这种线形是由于重力的作用而形成的。
在平行曲面上，测地线具有许多独特的性质。
由于曲面上的每个点都具有相同的曲率，因此测地线是最优的路径，具有相同的弧长，并且在水平方向上移动。
它们的形状类似于悬链线或链线，这种线形是由于其运动必须沿着水平曲线并保持最短长度而导致的。
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i j du2 d 2u1 du du 1 ( ( 2 ij )](r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j
i j 2 2 1 i j du1 d 2u 2 du du du d u du du 2 1 k g g [( ( 2 ij )( ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
i j du1 d 2u 2 du du 2 kg ( r1 , ( 2 ij )r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j 2 d 2u1 du du du 1 (( 2 ij )r1 , r2 , n ) ds ds ds ds i, j i j du1 d 2u 2 du du 2 k g [( ( 2 ij ) ds ds ds ds i, j
r1 r2 1 2 2 2 (r1 , r2 , n ) (r1 r2 ) (r1 r2 (r1 r2 ) ) g g 1 ( EG F 2 ) g g i j 2 2 1 i j du1 d 2u 2 du du du d u du du 2 1 k g g [( ( 2 ij )( ( 2 ij )] ds ds ds ds ds ds ds ds i, j i, j
在曲线上一点 P 有：
r n n cos n 令 n ，则 n, , 是两两正交的单位向量且成右手系， n, , , 都在 P 点的法面上。
定义：曲线（c）在 P 点的曲率向量 r k 在 上的投影（即在 S上P点的切平面上的投影） k g r k
由于 n k cos ，其中k为（ C）在P点的曲率， 为（C）的主 法向量和柱面在P点的法向量 之间的角，即
n k cos k k g .
推论：曲面上的直线的测地曲率为0。 这是因为曲面上的直线在任一点的切平面上的投影还 是直线，所以曲率为0。 习题3。
d 2u k dui du j k dui du j ( 2 ij )rk Lij n ds ds ds k i , j ds ds i, j dui d 2u k dui du j k dui du j k g ( ri , ( 2 ij )rk Lij n, n ) ds ds ds ds i k i , j ds ds i, j
第六节 曲面上的测地线 平面上的直线（1）任一点的切向量平行；（2）曲率为0； （3）直线段是连接点与点之间的最短线段。 曲面上的测地线相当于平面上的直线。 6.1 曲面上曲线的测地曲率 一、测地曲率的定义
1 2 r r (u , u ), （c）是曲面上的一曲线：u u (s) 给定曲面S：
称为曲线在 P 点的测地曲率。
二、性质
2 2 命题1：k 2 k g kn
证明： k k k (n ) k ( , n, ) k ( , , n ) g k ( ) n k n k g k cos(900 ) k sin
2 2 kn kg k 2 cos2 k 2 sin 2 k 2
于是
注意： n, , , 都在 P 点的法面上。
测地曲率的几何意义：曲面 S上的曲线（C），它在 P 点的测地 曲率绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线 (c* ) 的曲率。 证明：过（C）的每一点作曲面S在P点的切平面的垂线，于是得 * * ( c ) ( c 到一柱面，这个柱面和S在P点的交线是 ，（C）和 ) 都是 柱面上的曲线。在这个柱面上用梅尼埃定理。 取 为柱面上P点的法向量，由于柱面垂 (c ) 直于切平面，所以柱面上任一点的法向量平 行于切平面，又 P 在切平面上，所以柱面在 P * 的法向量 应在切平面上，而（ C ）点的切 ( c ) 向量 也在切平面上，所以柱面在 P的法截 面就是切向量 与法向量 所确定的平面， * 法截面与柱面的交线就是法截线 (c ) ，因此柱面在 方向的法 曲率 kn k * , kn k * (k *为(c* )在P点的曲率),
三、测地曲率的计算公式
k g k ( , , n) ( , k , n) (r , r , n)
k (rij ij rk Lij n)
k
1 2 i i du dv du du du du r ru rv r1 r2 ri ri ds ds ds ds ds ds i i i j 2 i i j 2 k du du d u du du d u r rij 2 ri rij 2 rk ds j ds ds ds i i i , j ds ds k