八年级全等三角形中的中点、中线问题1

全等三角形中的中点、中线问题

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

中线中位线相关问题(涉及中点的问题)

见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．

【例1】 如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：

AE EC CD =+

F

E D

C

B A

【例2】 在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()1

2

MN AD BC +≤

，当且仅当AD BC ∥时等号成立．

N M

D

C

B

A

【例3】 在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD 中点，试判断EC 与EB

的位置关系，并写出推理过程．

A

B

C

D

E

【例4】 如图所示，在ABC ∆的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：

AC BC +>EC FC +．

F E C

B

A

【例5】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接

DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．

⑴如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ；线段AM 与DE 的数量关系是 ；

⑵将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

图①

N

M E

D

C

B A

图②

N M E

D

C

B

A

【例6】 在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1，已知ABC ∆，

90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，分别以AB BC ，

为边向外作ABD ∆和BCE ∆，且DA DB =，EB EC =，90ADB BEC ∠=∠=︒，连接DE 交AB 于点F ，探究线段DF 与EF 的数量关系。

小慧同学的思路是：过点D 作DG AB ⊥于G ，构造全等三角形，通过推理使问题得解 小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，30ABC ∠=︒，60ADB BEC ∠=∠=︒ 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题： （1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系

（2）如图2，若30ABC ∠=︒，60ADB BED ∠=∠=︒，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；

（3）如图3，若2,ADB BEC ABC ∠=∠=∠原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。

图1

F

E

D

C

B

A

图2

F

E

D

C

B

A

图3

F

E

D

C

B

A

【例7】 已知：在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM

和BM ．

⑴ 若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；

⑵ 如果将图①中的ADE ∆绕点A 逆时针旋转小于45︒的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

图1

A

B

C

D

E

M

图2

M

E

D

C

B

A

【巩固】已知：如图，在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，且D 在边AB 上，连结EC ，取

EC 的中点M ，连结DM 和BM ．将等腰直角三角形ADE 绕A 点按逆时针方向旋转45︒，结论：BMD ∆为等腰直角三角形，成立吗?

M

D E C

B

A

【巩固】如图，在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，且AD AC ⊥，连结EC ，取EC 的中

点M ，连结DM 和BM ．结论：BMD ∆为等腰直角三角形还成立吗?

M

D

E

C

B

A

【巩固】如图，在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，且A 在线段EC 上，连结EC ，取EC

的中点M ，连结DM 和BM ．证明：MBD MDB ∠=∠．

M

D

E C B

A