用向量方法解立体几何题

用向量方法求空间角和距离

前言：

在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题

空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角．

（１）求异面直线所成的角

设a r 、b r

分别为异面直线a 、b 的方向向量,

则两异面直线所成的角α=arccos ||||||a b

a b r r g r r

（２）求线面角 设l r 是斜线l 的方向向量，n r

是平面α的法向量，

则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin ||||||

l n

l n r r g r r

（３）求二面角

a r l ⊥，在β内

b r

l ⊥，其方向如图，则二

方法一：在α内平面角α=arccos ||||

a b

a b r r g r r

面角l αβ--的

方法二：设12,,n n u r u u r

是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角

α=1212arccos ||||

n n n n u r u u r

g u

r u u r

2.求空间距离问题

构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离

方法一：设n r

是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到

α的距离||

|||cos |||

AB n d AB n θ==u u u r r

u u u r g r

方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内

的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO uuu r

．

（２）求异面直线的距离

方法一：找平面β使b β⊂且a βP ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离．

方法二：在a 上取一点A, 在b 上

取一点B, 设a r 、b r

分别为异面直

线a 、b 的方向向量,求n r （n r a ⊥r

，

n r b ⊥r

），则异面直线a 、b 的距离

||

|||cos |||

AB n d AB n θ==

u u u r r

u u u r g r （此方法移植于点面距离的求法）．

例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是

棱1111,A D A B 的中点．

（Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离 （Ⅰ）记异面直线1

DE FC 与所成的角为α，

解：则α等于向量1DE FC u u u r u u u u r 与的夹角或其补角，

11||||

111111cos |

|()()||||||

222

||,arccos

5

555DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC α

α∴=++=-==∴=u u u r u u u u r

g u u u r u u u u r g u u u u r u u u u r u u u r u u u u r g u u u r u u u u r g

（II ）如图建立空间坐标系D xyz -，

则(1,0,2)DE =u u u r ，

(2,2,0)DB =u u u r 设面EFBD 的法向量为(,,1)n x y =r 由0

DE n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r

u u u r r

得(2,2,1)n =-r 又1(2,0,2)BC =-u u u u r

记1BC 和面EFBD 所成的角为θ

则 1112

sin |cos ,|||2||||BC n BC n BC n θ⋅=〈〉==u u u u r r

u u u u r r u u u u r r

∴ 1BC 和面EFBD 所成的角为

4

π． （III ）点1B 到面EFBD 的距离ｄ等于

向量1BB u u u r

在面EFBD 的法向量上的投影的绝对值， 1||||

BB n d n ∴==u u u r u u r g u u

r 2

3 点评：

1.作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―正方体为载体， 来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解．

2.解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）．

3.完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．

例2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形

B B A A '' 是矩形，。

平面平面ABCD B B A A ⊥'' （Ⅰ）若A A '＝１，求直线AB 到面'

DAC 的距离．

（II ） 试问：当A A '的长度为多少时，二面角