二重积分的计算方法
二重积分计算法
2
12
22
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
例8 求两个底圆半径相等的直角圆柱面所围成的立体 的体积. 解 : 设圆柱的底半径为R，两个圆柱面的方程为
x2 y2 R2, x2 z2 R2 它们在第一象限的图形如下
二、利用极坐标系计算二重积分
由二重积分的定义知
n
D
f
(x,
y)d
lim
0 i 1
f
(i ,i ) i
极坐标与直角坐标之间的关系
__
__
i ri cos i , i ri sin i
n
lim
0
i1
f
(i
,i
)
i
n_
__ _ _
D
c 1(y)
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这
个积分也常记作
d 2 (y)
f (x,y)d dy f (x, y)dx 2'
Dc 1(y)来自二重积分化为二次积分时,确定积分限是解题关键.
若将其交换积分次序,先对x积分后对y积分,则其积分 区域如下图
交换积分次序为
2x
dx f (x, y)dy
lim
0
i1
f
(ri
cosi
,
ri
sin
i
)
ri
ri
i
即： f (x, y)d f (r cos ,r sin )rdrd
二重积分计算方法
二重积分计算方法
二重积分是指同时计算两个复杂变量，如空间或一维时间尺度上均有复杂变量，即进行双重多元积分运算。
二重积分法是科学研究和工程分析的β解析最常用的
计算方法。
由于经常需要解决复杂的数学问题，因此二重积分的计算在现代科学和工程领域有着广泛的应用。
二重积分计算方法是以一维自变量再组合成双维自变量，它首先将单重积分划
分为两个子题，即沿着一个方向进行单重积分，其次再沿着另一个方向进行单重积分。
例如，有一个变量专为u，如果将u偏导后的复杂函数用二维变量X和y来表示，则：
du=f(x,y)dxdy
二重积分可以通过两个步骤来完成:在第一步中，x先作为自变量，上下限的
特定的h, k ,f (x, y) 求定积分，第二步中，y作为自变量，对每一个固定的x，求解特定h, k 等积分。
二重积分法在微分方程、概率理论、拟静力学，拉格朗日
方法以及费马多元法等领域得到了广泛应用。
此外，二重积分法可以进行在线计算，在互联网领域有着重要应用。
现代技术
在二重积分法方面取得了新的进展，特别是机器学习等技术对二重积分法的计算和应用有着深远的影响。
现有的技术可以更加聪明的理解和处理信息，这也大大提高了利用二重积分法研究互联网数据的效率。
综上所述，二重积分计算方法是一种数学运算的技术，在现代科学和工程领域，它被广泛应用于多种多样的领域，特别是在互联网领域，二重积分法为研究者提供了更大的可能性，研究互联网数据更快更有效地获取信息。
二重积分的计算法
式，其中积分区域
{( x, y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}. D
解
在极坐标系下 x r cos y r sin
x y 1
2 2
所以圆方程为
r 1,
1 直线方程为 r , sin cos
x y 1
d
x 1( y)
D
x 1( y) x 2( y)
D
x 2( y)
c
c
D
f ( x , y )d
d
dy
c
1
2
( y)
f ( x , y ) dx .
( y)
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域 边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边 界相交不多于两个交点.
D
f ( x , y ) dxdy
2
d
0
1 1
f ( r cos , r sin ) rdr .
sin cos
例2
计算
e
D
x2 y2
dxdy ，其中
D 是由中心在
原点，半径为 的圆周所围成的闭区域
解
.
在极坐标系下
D： 0 r a ， 0 2 .
D
f ( x , y ) dxdy
D
f [ x ( u , v ), y ( u , v )] J ( u , v ) dudv .
y x
例1
计算
e
D
y x
二重积分的概念与计算
二重积分的概念与计算二重积分是微积分中的重要概念，在数学和物理学等领域有广泛应用。
本文将介绍二重积分的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。
通常表示为∬_Df(x,y)dxdy，其中D为积分区域。
二重积分的结果是一个实数。
二、二重积分的计算方法1. 通过迭代积分计算如果积分区域D可以表示为两个范围有限的连续函数g(x)和h(x)之间的交集，即D={(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)}，则二重积分可以通过先计算内层积分再计算外层积分的方式进行计算。
具体计算步骤如下：步骤1：计算内层积分将变量y看作常数，将二元函数f(x,y)带入到内层积分中，进行y 的积分运算。
得到一个关于x的函数。
步骤2：计算外层积分将步骤1得到的关于x的函数带入到外层积分中，进行x的积分运算。
得到最终的结果。
2. 通过坐标变换计算在某些情况下，二重积分的计算可以通过坐标变换来简化。
常见的坐标变换包括极坐标变换和直角坐标变换。
以极坐标变换为例，如果积分区域D可以用极坐标表示，则可以通过将二元函数f(x,y)转化为二元函数g(r,θ)来计算二重积分。
具体计算步骤如下：步骤1：进行坐标变换将二元函数f(x,y)用极坐标变换的公式来表示，并计算坐标变换的Jacobi行列式。
步骤2：计算新函数的二重积分将坐标变换后得到的二元函数g(r,θ)进行二重积分计算，得到最终结果。
三、二重积分的应用二重积分在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。
对于给定区域D和一个常数函数f(x,y)=1，在D上进行二重积分即可得到该区域的面积。
2. 质量和质心的计算已知二元函数f(x,y)表示平面上的质量密度分布，二重积分∬_Df(x,y)dxdy可以用来计算平面上有界区域D的质量。
质心的坐标可以通过以下公式计算：x_0=1/m∬_Dxf(x,y)dxdyy_0=1/m∬_Dyf(x,y)dxdy其中m为区域D的总质量。
二重积分的计算方法
x2
11 ( x y )dy dx 2 ( y x )dy . 1 x 15
1 0
x 1
e
t 2
1 dt , 求0 f ( x )dx.
1 解(一)： f ( x )dx [ xf ( x )] 0 xf ( x )dx 1 0
f (1) xe
1 0
x2
dx [ 1 e x ]1 1 (e 1 1). 0 2 2
2
解(二) I ( e dt )dx
1 x 0 1
t 2
t
2 t t 0
( e dt )dx dt e dx
1 0 1 x
1 0
t 2
1 t 2 e tdt 0
1 1 (e 1). 2
练习设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，并设 f ( x )dx A ，
1 0
求 dx f ( x ) f ( y )dy .
解
2a
y 2ax
y 2ax x 2 x a a 2 y 2
a
2a
a
原式 = dy 2 y 0
a
a a2 y2
f ( x , y )dx
2a 2a
0 dy a
a
2a
2a
a y
2 2
f ( x , y )dx a dyy 2 f ( x , y)dx.
x
f ( x )dx f ( y )dy,
0
故2 I
f ( x )dx
1 0
1
x
f ( y )dy f ( x )dx f ( y )dy
二重积分的基本计算方法
二重积分的基本计算方法二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上某个区域内的面积、质量、质心等物理量。
在本文中，我们将介绍二重积分的基本计算方法。
我们来看二重积分的定义。
对于二元函数f(x,y)，在平面上的一个闭区域D上，可以定义二重积分为：∬D f(x,y) dA其中，dA表示平面上的面积元素，可以表示为dx dy或者dy dx。
二重积分的计算方法主要有两种：先对x进行积分，再对y进行积分；或者先对y进行积分，再对x进行积分。
第一种方法是先对x进行积分，再对y进行积分。
具体步骤如下：1. 将区域D在x轴上的投影为[a, b]，在y轴上的投影为[c, d]，则二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = ∫[a,b]∫[c,d] f(x,y) dy dx2. 针对y进行积分时，将x看作常数，即将f(x,y)中的x替换为常数，然后对y进行积分。
积分的上限为d，下限为c。
3. 最后对x进行积分，将y看作常数，即将上一步得到的结果作为一个关于x的函数，然后对x进行积分。
积分的上限为b，下限为a。
第二种方法是先对y进行积分，再对x进行积分。
具体步骤如下：1. 将区域D在y轴上的投影为[c, d]，在x轴上的投影为[a, b]，则二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = ∫[c,d]∫[a,b] f(x,y) dx dy2. 针对x进行积分时，将y看作常数，即将f(x,y)中的y替换为常数，然后对x进行积分。
积分的上限为b，下限为a。
3. 最后对y进行积分，将x看作常数，即将上一步得到的结果作为一个关于y的函数，然后对y进行积分。
积分的上限为d，下限为c。
无论采用哪种方法，最终的结果都是相同的。
在实际计算中，可以根据具体情况选择合适的积分顺序，以简化计算过程。
除了基本的计算方法之外，还可以利用二重积分来计算一些特殊区域的面积、质量、质心等物理量。
例如，对于平面上的一个闭区域D，可以使用二重积分来计算该区域的面积。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要内容，用于计算平面上的曲线与坐标轴所围成的面积或求平面上的散布点的平均性质等。
在实际运用中，可以通过直接计算、换元法、极坐标法等多种方法来进行二重积分的计算。
一、直接计算法直接计算法是最常用也是最基础的计算二重积分的方法。
其基本步骤是将所给的二重积分转化为累次积分，先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
1.内部积分内部积分即对于每个固定的y值，对x进行积分。
可以根据具体的题目决定如何进行内部积分，常用的有定积分、不定积分和积分换元等方法。
2.外部积分外部积分即对内部积分的结果再进行一次积分，这一步是对y进行积分。
同样的，可以根据具体题目决定如何进行外部积分，可以选择定积分、不定积分和积分换元等方法。
需要注意的是，直接计算法在面对比较复杂的函数或曲线时计算量较大，需要进行复杂的代数计算，常常需要对整个积分范围进行划分，或者使用边界定理简化计算。
二、换元法换元法是将二重积分变换到坐标系上的简单区域。
换元法分为直角坐标系的变换和极坐标系的变换两种情况。
1.直角坐标系的变换直角坐标系的变换是指将原先的积分变为关于新的变量的积分，使得积分计算更加简化。
常见的直角坐标系变换有平移变换、旋转变换和放缩变换等。
例如，当变量的变化范围较大或边界不规则时，使用平移变换可以将积分范围变为一个更加简单的区域，从而简化计算。
2.极坐标系的变换极坐标系的变换是将原先的直角坐标系变为极坐标系，使得计算过程更加简单明了。
极坐标系变换常用于对称图形或圆形区域进行积分计算。
极坐标系变换需要通过变量替换来实现，通常需要将原函数和积分上下限由直角坐标形式转换为极坐标形式，再进行计算。
换元法可以大大简化积分计算过程，但需要选择合适的坐标变换，有时会引入更多的计算量。
需要根据具体问题的特点来决定选择哪种变换。
三、几何意义根据题目所给的条件，可以确定积分范围和被积函数形式，将二重积分转化为面积或长度的几何问题。
二重积分公式
二重积分公式“二重积分公式”是指将复杂的定积分变形成两层积分，从而使计算简单易行的数学方法。
在微积分中，二重积分公式可用来计算含有两个变量的函数的定积分。
一般地，二重积分公式的积分限定应当是单变量连续函数f (x, y) 上的闭区间（a，b）×（c，d），即：∫a b ∫c d f (x, y) dx dy其中，a、b、c、d 四个数值都是已知的，两个积分符号表示对 f (x, y) 进行双重积分。
二重积分公式的计算步骤如下：（1）首先将复杂的定积分表达式变形成两层积分的形式：∫a b ∫c d f (x, y) dx dy（2）然后内层积分，即将 x 变量作为不变量，固定y 的值，用其他技巧把 y 和 f (x, y) 表示的函数抽象出来，这样就得到一个关于 x 的积分：∫a b F (x, y) dx（3）最后外层积分，先把 y 变量作为不变量，把 F (x, y) 抽象出来，再用其他技巧将 y 和 F (x, y) 表示的函数抽象出来，这样就得到一个关于 y 的积分：∫c d G (y) dy（4）通过计算内层积分和外层积分，就可以得到最终的定积分结果：∫a b ∫c d f (x, y) dx dy = ∫c d G (y) dy ∫a b F (x, y) dx总而言之，二重积分公式就是将复杂的定积分变形成两层积分，并用计算内层积分和外层积分的方法来求解定积分的数学方法。
除此之外，二重积分公式还有一些特殊情况。
例如，如果 a=b 或 c=d，那么就可以将二重积分公式变成单重积分。
另外，如果 a=c 且 b=d，那么就可以将二重积分公式变成求面积的公式。
总之，二重积分公式是一种非常有用的数学工具，能够帮助我们快速求解含有双重变量的定积分问题，简化复杂的计算过程，使得定积分的计算变得更加简单易行。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学中，二重积分是一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用，比如物理学、工程学、经济学等。
理解和掌握二重积分的计算方法对于解决相关的实际问题和理论研究都至关重要。
二重积分的定义是在平面区域上对函数进行积分。
直观地说，它可以用来计算平面区域上某个量的总和，比如平面薄片的质量、平面区域的面积等。
那么，如何计算二重积分呢？常见的计算方法主要有直角坐标法和极坐标法。
直角坐标法是我们最常接触的方法之一。
当积分区域是由直线边界围成的矩形、三角形或者其他简单形状时，直角坐标法往往比较适用。
我们先来看 X 型区域。
如果积分区域可以表示为＼（a\leq x\leqb\），＼（＼varphi_1(x)＼leq y\leq ＼varphi_2(x)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{a}＾｛b}dx ＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) dy＼这里要先对＼（y\）积分，再对＼（x\）积分。
再来看 Y 型区域。
如果积分区域可以表示为＼（c\leq y\leq d\），＼（＼psi_1(y)＼leq x\leq ＼psi_2(y)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{c}＾｛d}dy ＼int_{＼psi_1(y)｝＾｛＼psi_2(y)｝ f(x,y) dx＼在使用直角坐标法计算二重积分时，关键是要正确确定积分区域的类型，以及积分的上下限。
接下来我们说一说极坐标法。
当积分区域具有圆形、扇形或者是与圆相关的形状时，极坐标法通常会更加简便。
在极坐标系中，点用＼（（＼rho,＼theta)＼）表示，其中＼（＼rho\）表示点到原点的距离，＼（＼theta\）表示极角。
如果积分区域可以表示为＼（＼alpha\leq\theta\leq\beta\），＼（＼varphi_1(＼theta)＼leq\rho\leq\varphi_2(＼theta)＼），那么二重积分可以写成：＼＼int\！＼！＼int_D f(x,y) d\sigma ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta}d\theta ＼int_{＼varphi_1(＼theta)｝＾｛＼varphi_2(＼theta)｝ f(＼rho\cos\theta,＼rho\sin\theta)＼rho d\rho＼在极坐标法中，要注意＼（＼rho\）的积分上下限以及函数在极坐标下的表达式。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法2. 二重积分的计算法目前所能接触到的方法是：将二重积分化为两次单积分将二重积分化为两次单积分_接下来介绍：①直角坐标系②极坐标③二重积分的换元法（至于二重积分的换元法，仅作简单介绍）2.1 利用直角坐标计算二重积分本质思想是通过画图来判断是先对x还是先对y积分。
（先对哪一个积分不绝对，需要具体问题具体分析，但仍需考虑图形，这里不过多解释为什么，仅给出相关题型的做法）下面的介绍中，默认f(x,y)≥0①有如下闭区域D：∬Df(x,y) dσ=∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y) dy（先对y后对x）②∬Df(x,y) dσ=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y) dx（先对x后对y）（注：这里未考虑在立体空间中的形状，但只研究物体在xOy面上的投影即可解决问题）我们称①、②中的区域分别为X型区域、Y型区域。
（按先对、x、y中的哪个积分来命名）若闭区域D既是X型区域，又是Y型区域，则选择哪一种都可以（尽量找简单的）不管先对还是进行积分，要找准积分限不管先对x还是y进行积分，要找准积分限“每个人都有每个人的理解方式，这里我有些解释不出来，大家自行领会吧”注：在解题时，注意使用可加性"可加性"，区间可以分为X型、Y型，既是X型又是Y型的，此时我们对其分别求二重积分即可。
这里给出一个例子来让大家认识到选择正确的积分次序的重要性：计算∬Dy1+x2−y2 dσ，其中区域D是由、、y=x、x=−1、y=1围成的闭区域。
显然D既是X型，又是Y型积分区域，现在我们用两种方法来看一下：①先对y后对x：∫−11dx∫x1y1+x2−y2 dσ（偶函数，想想为什么这里是）=−13∫−11[(1+x2−y2)32|x1] dx=−13∫−11(|x|3−1) dx_（偶函数，想想为什么这里是|x|3）=−23∫01(x3−1)dx=−23(x44−x)|01 =−23⋅(14−1)=12②先对x后对y：∫−11dy∫y1y1+x2−y2dx=∫−11[xy(1+x2−y2)12|1y−∫1yx d[y(1+x2−y2)12]]=∫−11[y2−y2−y2−∫1yx2y1+x2−y2 dx]dy此时还需求∫1yx2y1+x2−y2 dx，难免比较麻烦。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将讨论二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
首先，我们来看直角坐标系下的二重积分计算方法。
设函数f(x, y)在闭区域D上连续，要计算二重积分∬D f(x, y) dxdy。
其中D是有界闭区域，可以表示为D={(x, y)|a≤x≤b, c≤y≤d}。
我们可以将D分割成若干个小区域，每个小区域用矩形来逼近，然后计算每个小矩形的面积乘以函数值的和，再对所有小矩形的面积和进行求和，即可得到二重积分的近似值。
当小矩形的数量趋向于无穷大时，即可得到二重积分的精确值。
接下来，我们来看极坐标系下的二重积分计算方法。
在极坐标系下，二重积分的计算通常更加简便。
设函数f(r, θ)在闭区域D 上连续，要计算二重积分∬D f(r, θ) r drdθ。
其中D可以表示为D={(r, θ)|α≤θ≤β, g(θ)≤r≤h(θ)}。
在极坐标系下，我们可以直接利用极坐标系下的面积元素r drdθ来进行计算，即将函数f(r, θ)乘以r后再进行积分即可得到二重积分的值。
除了直角坐标系和极坐标系外，二重积分还可以在其他坐标系下进行计算，如柱坐标系、球坐标系等。
不同的坐标系下，二重积分的计算方法会有所不同，但原理都是类似的，即将闭区域分割成小区域，然后计算每个小区域的面积乘以函数值的和，再对所有小区域的面积和进行求和。
在实际应用中，二重积分常常用于计算平面图形的面积、质心、转动惯量等物理量，以及计算二元函数在闭区域上的平均值、方差等统计量。
因此，掌握二重积分的计算方法对于深入理解微积分的应用具有重要意义。
总之，二重积分的计算方法是微积分中的重要内容，通过对不同坐标系下的二重积分进行计算，可以更好地解决实际问题。
希望本文对读者对二重积分的计算方法有所帮助。
求二重积分的方法
求二重积分的方法
首先，我们来介绍一种常用的方法——直角坐标系下的二重积
分求解。
在直角坐标系下，二重积分的计算通常可以通过将被积函
数化为两个变量的乘积形式，然后利用定积分的性质进行计算。
在
实际应用中，我们常常需要对二维区域上的函数进行积分，这时可
以通过将区域分割成小的面积元素，然后对每个面积元素上的函数
值进行加总，最后求和得到最终的积分结果。
除了直角坐标系下的方法，极坐标系下的二重积分求解也是一
种常用的方法。
在极坐标系下，我们可以通过变量代换将被积函数
化为极坐标系下的形式，然后进行积分计算。
这种方法在处理具有
极轴对称性的函数时特别有效，可以大大简化计算过程。
另外，还有一种常用的方法是利用变量代换进行二重积分求解。
当被积函数的形式较为复杂时，我们可以通过适当的变量代换将其
化简为简单的形式，然后再进行积分计算。
这种方法在处理一些特
殊函数或者特殊区域上的积分时非常有效，可以大大提高计算的效率。
除了上述几种方法外，还有一些其他的方法可以用来求解二重
积分，比如利用对称性简化计算、利用积分的性质进行变形等。
在
实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来进行计算，以提高计算的效率和准确性。
总之，求解二重积分是微积分中的重要内容，掌握好求解方法
对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
希望本文介绍
的几种方法能够对大家有所帮助，也希望大家能够在实际应用中灵
活运用这些方法，提高自己的数学建模能力和解决问题的能力。
二重积分的计算法
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
8 x2 x2 2
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f (x, y y
y)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) a f (x, y)dx a
d
y
d
二重积分的计算法直角坐标
二重积分的计算法直角坐标二重积分是微积分中的重要概念，用来计算平面区域上的其中一种性质，比如面积、质心等。
在直角坐标系中，二重积分的计算需要将被积函数表示成两个变量的函数，并确定积分区域的边界。
下面将介绍二重积分的计算方法及其应用。
一、二重积分的定义二重积分是对一个平面区域上的函数进行积分，其定义如下：设函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上有定义，且$D$为$x$轴上$[a,b]$的一个闭区间，$y$轴上$[c,d]$的一个闭区间，将$D$划分为有限个小区域，每个小区域用$(\Delta x_i,\Delta y_j)$表示，其中$i=1,2,...,m$，$j=1,2,...,n$，则二重积分$\iint_D f(x,y)dxdy$定义为：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(x_{ij}^*,y{j}^*)\Delta A_{ij}$$其中$x_{ij}^*,y_{ij}^*$为$(x,y)$在第$i$行第$j$列小区域内的任意一点，$\Delta A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j$为第$i$行第$j$列小区域的面积，$\lambda$为小区域的最大直径，$\lambda=\max\{\Deltax_1,\Delta x_2,...,\Delta x_m,\Delta y_1,\Delta y_2,...,\Delta y_n\}$。
二、二重积分的计算在直角坐标系中，二重积分的计算分为三种情况：换序积分、累次积分和极坐标积分。
下面将依次介绍这三种情况的计算方法。
1.换序积分当被积函数是可分离变量的函数时，可以进行换序积分。
换序积分可以简化计算过程。
设函数$f(x,y)=g(x)h(y)$，则有：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^bg(x)dx\int_c^dh(y)dy$$也可以先对$y$积分再对$x$积分，即：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_c^dh(y)dy\int_a^bg(x)dx$$2.累次积分对于一般的被积函数，可以通过累次积分的方法进行计算。
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分是数学分析中的一个重要概念，它在计算物理量、求解微分方程等方面有着广泛的应用。
在计算二重积分时，我们可以采用以下四种方法：
1. 矩形法：将积分区域划分为若干个矩形，然后在每个矩形内
求出对应的积分值，最后将这些积分值相加即可得到二重积分的值。
2. 改变积分次序：将二重积分中的积分顺序改变，然后利用Fubini 定理将其化为两次一重积分，最后再分别求解两次一重积分，最终得到二重积分的值。
3. 极坐标变换法：将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系
下的二重积分，然后再利用极坐标下的积分公式进行计算。
4. 牛顿-莱布尼茨公式：利用牛顿-莱布尼茨公式，将原函数在
积分区域的两个端点处的函数值相减，即可得到二重积分的值。
这四种方法各有优劣，具体使用哪种方法取决于积分区域的形状、积分被积函数的特点等因素。
熟练掌握这些方法，有助于提高二重积分计算的效率和准确度。
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二重积分的概念和计算方法
二重积分的概念和计算方法二重积分是在二维平面上对一些区域上的函数进行求和的操作。
它可以用于求解平面区域上的面积、质量、重心等物理量，也可以用于解决求解二元函数的平均值、概率密度等问题。
在本文中，我们将讨论二重积分的概念以及几种常见的计算方法。
一、二重积分的概念二重积分是对二维平面上的一个闭区域D上的函数f(x,y)进行求和的操作，可以表示为：∬Df(x,y)dA其中D表示区域D上的面积，f(x,y)表示在点(x,y)上的函数值，dA 表示在D上的一个微小面积元素。
对于二重积分的计算，可以分为定积分和区域积分两种方法。
定积分的计算是将区域D划分成许多小的矩形面积，并将这些小矩形的面积乘以对应的函数值求和。
区域积分的计算是将区域D分成许多小的曲面元素，并将这些小曲面的面积乘以对应的函数值求和。
二、二重积分的计算方法1.直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，我们可以通过在区域D上设置两个变量x和y，将原来的二重积分转化为两个一重积分的问题。
将区域D分成许多小的矩形面积，每个小矩形的面积为ΔA，左下角的坐标为(x,y)，则我们可以得到二重积分的计算公式为：∬D f(x,y) dA = lim ΔA→0 Σ f(x,y)ΔA其中Σ表示对所有小矩形面积求和。
对于简单的区域D，我们可以直接通过计算极限来求解二重积分。
但对于较为复杂的区域D，可以使用变量替换、拆分区域等方法来简化计算过程。
2.极坐标系下的二重积分计算在极坐标系下，我们可以通过引入极角θ和极径ρ，将二重积分转化为极坐标下的一重积分问题。
区域D可以用极坐标表示为：D={(ρ,θ)，α≤θ≤β，g(θ)≤ρ≤h(θ)}。
对于极坐标下的二重积分公式，我们有：∬D f(x,y) dA = ∫βα ∫h(θ)g(θ) f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ。
通过将二重积分转化为极坐标系下的一重积分问题，可以简化复杂区域的计算过程。
3.坐标变换方法对于一些特殊的区域D，我们可以通过坐标变换来简化二重积分的计算过程。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在数学的广袤领域中，二重积分是一个重要的概念，它在许多实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法，对于我们解决诸如计算平面区域的面积、物体的质量、重心等问题具有关键意义。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是用来计算在一个平面区域上的函数的累积量。
简单来说，就是把这个区域划分成无数个小的部分，对每个小部分上的函数值乘以小部分的面积，然后把这些乘积加起来。
接下来，我们探讨几种常见的二重积分计算方法。
直角坐标系下的计算方法是基础且重要的。
当积分区域是一个矩形时，计算相对简单。
假设积分区域为＄D ＝＼｛（x,y) ｜ a ＼leq x ＼leq b, c ＼leq y ＼leq d\｝＄，被积函数为＄f(x,y)＄，则二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_c^d f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这意味着我们先对＄y$ 进行积分，把＄x$ 看作常数，得到一个关于＄x$ 的函数，然后再对＄x$ 进行积分。
如果积分区域不是矩形，而是由直线围成的一般区域，比如＄D ＝＼｛（x,y) ｜＼varphi_1(x) ＼leq y ＼leq ＼varphi_2(x)， a ＼leq x ＼leq b\｝＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这种情况下，我们先对＄y$ 积分，然后对＄x$ 积分。
极坐标系下的计算方法在处理具有圆形或扇形特征的积分区域时非常有用。
在极坐标系中，点的坐标表示为＄（r,＼theta)＄，其中＄r$ 表示点到原点的距离，＄＼theta$ 表示极角。
如果积分区域可以用极坐标表示为＄D ＝＼｛（r,＼theta) ｜＼alpha ＼leq ＼theta ＼leq ＼beta, ＼varphi(＼theta) ＼leq r ＼leq ＼psi(＼theta)＼｝＄，被积函数为＄f(x,y) ＝ f(r\cos\theta, r\sin\theta)＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta} ＼left(＼int_{＼varphi(＼theta)｝＾｛＼psi(＼theta)｝ f(r\cos\theta, r\sin\theta) r ＼，dr ＼right)d\theta＼这里需要注意的是，多了一个＄r$ ，这是因为在极坐标下，面积元素＄dx\，dy$ 要换成＄r\，dr\，d\theta$ 。
二重积分四则运算公式
二重积分四则运算公式二重积分的定义是求某一域内的函数的积分，概念是由一重积分到二重积分扩展而来的，而二重积分的计算一般是采用一些公式进行运算。
这里，我们介绍一下二重积分中四则运算的公式，以便读者能够更准确、更方便地积分并得到想要的计算结果。
1.法二重积分加法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy+∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)+g(x,y)]dxdy其中，f(x,y)代表积分中的函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy 代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)+g(x,y)]不过是把两个函数相加而已。
2.法二重积分减法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy-∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)-g(x,y)]dxdy 其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)-g(x,y)]不过是把两个函数相减而已。
3. 乘法二重积分乘法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy×∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)g(x,y)]dxdy其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)g(x,y)]不过是把两个函数相乘而已。
4.法二重积分除法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy÷∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)÷g(x,y)]dxdy 其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)÷g(x,y)]不过是把两个函数相除而已。
以上就是二重积分四则运算的公式，它们都能够帮助人们快速、准确地算出二重积分。
在现实应用中，这些公式是实现计算机自动求积分的重要基础，对于域内的函数积分及数值求解有极大的帮助，值得大家反复研习、积极运用。
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第二节 二重积分的计算法教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题.讨论中,我们假定；假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续.据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.f x y d D(,)σ⎰⎰f x y (,)≥0D a x b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()ϕ1()x ϕ2()x [,]a b f x y d D(,)σ⎰⎰D z f x y =(,)在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为从而有(1) 上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分.这个先对, 后对的二次积分也常记作[,]a b x 0yoz x x =0[(),()]ϕϕ1020x x z f x y =(,)0A x f x y dy x x ()(,)()()001020=⎰ϕϕ[,]a b x yoz A x f x y dy x x ()(,)()()=⎰ϕϕ12V A x a dx f x y dy dx bx x a b ==⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎰⎰⎰()(,)()()ϕϕ12dx dy y x f d y x f ba x x D⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)(2)(1),(),(ϕϕσx ),(y x f y ),(y x f )(1x ϕ)(2x ϕx x a b y x在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的.例如:计算解:类似地,如果积分区域可以用下述不等式表示,且函数,在上连续,在上连续,则(2)显然,(2)式是先对,后对的二次积分.二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I 型(或II 型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集.f x y d dx f x y dy Dabx x (,)(,)()()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=120),(≥y x f ),(y x f D I x d D x y x y D=-=-≤≤≤≤⎰⎰(){(,)|,}111022σ[]dx y x dy x dx I 211220211)1()1(⎰⎰⎰---=-=38322)1(2113112=-=-=--⎰x x dx x D c y d y x y ≤≤≤≤,()()φφ12φ1()y φ2()y [,]c d f x y (,)D f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c dc d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=1212x y y x2、积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二次积分限的方法-- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 )在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为.例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.类似地,D ],[b a x x y D D ))(,(1x x ϕ))(,(2x x ϕ)(1x ϕ)(2x ϕx y x [,]a b x x a b 322x y d D⎰⎰σD x y y x =-12D y x y :,0101≤≤≤≤-[]==-⎰⎰-x y dy y y dy y3211322011()3322012201x y d dy x y dx Dy ⎰⎰⎰⎰=-σ例2计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域.例3求由曲面及所围成的立体的体积.解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域消去变量得一垂直于面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域令y t t t dt =⋅=⋅--=⎰sin cos sin ()!!()!!!!24502224151916315πxyd D⎰⎰σD y x 2=y x =-2D y y x y :,-≤≤≤≤+1222xyd dy xydx x y dy D y y y y σ⎰⎰⎰⎰⎰==⎡⎣⎢⎤⎦⎥-+-+12221222212[]=+-=-⎰1224582512y y y dy ()zx y =+222z x y =--6222xoy z xoy x y 222+=xoy xoy2、列出体积计算的表达式3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算而由,的对称性有所求立体的体积为二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式按照二重积分的定义有D x y :222+≤V x y x y d D=---+⎰⎰[()()]6222222σ=--⎰⎰()63323x y d DσV d x d y d DDD=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰63322σσσd Dσπ⎰⎰=2x y x d y d DD22σσ⎰⎰⎰⎰=x d x dxdy x x dx Dx x 22222222222222σ⎰⎰⎰⎰⎰==------=-=⎰⎰42442222202xx dx sin cos θθπ=⋅--+⋅162121222()!!()!!()!!π=⋅⋅⋅⋅1611422π=πV =-=1266πππ现研究这一和式极限在极坐标中的形式.用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线,将剖分成个小闭区域.除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算其中,表示相邻两圆弧半径的平均值.(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有于是即由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式(1)f x y d f Di i i i n(,)lim (,)σξησλ⎰⎰∑=→=01∆0r =常数θ=常数D ∆σi i i i i i i i i i i r r r r r r θθθσ∆∆∆+=∆-∆∆+=∆)2(2121)(2122i i i i i i i i r r r r r r θθ∆∆=∆∆∆++=2)(r i ∆σi (,)r i i θ(,)ξηi i ξθηθi i i i i i r r ==cos ,sin lim (,)lim (cos ,sin )λλξησθθθ→=→=∑∑=⋅0101f f r r r r i i i i n i ni i i i i i i ∆∆∆f x y d f r r rdrd DD(,)(cos ,sin )σθθθ⎰⎰⎰⎰=f x y d D (,)σ⎰⎰f x y dxdy D (,)⎰⎰f x y dxdy f r r rdrd DD(,)(cos ,sin )⎰⎰⎰⎰=θθθ(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素. (1)式的记忆方法:2、极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算.【情形一】积分区域可表示成下述形式其中函数, 在上连续.则【情形二】积分区域为下述形式显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 ). 故【情形三】积分区域为下述形式显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部),rdrd θr →cos θr →sin θrdrd →θf x y dxdyD(,)⎰⎰D αθβϕθϕθ≤≤≤≤12()()r ϕθ1()ϕθ2()[,]αβf r rrdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()()θθθθθθαβϕθϕθ⎰⎰⎰⎰=12D ϕθ10()≡f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθαβϕθ⎰⎰⎰⎰=D D D可剖分成与,而故则由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示. 例4将下列区域用极坐标变量表示 1、 2、先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围；再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围.D 1D 2D r D r 120020:,():,()≤≤≤≤≤≤≤≤θπϕθπθπϕθD r :,()020≤≤≤≤θπϕθf r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθπϕθ⎰⎰⎰⎰=020D r ,θαθβϕθϕθ≤≤≤≤,()()12r D x y y 1222:+≤D R x R R y R R x 222:,-≤≤≤≤+-D x y 31:+≤[,]αβ[,]αβθ[(),()]ϕθϕθ12注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.利用此题结果可求出著名概率积分 .而被积函数满足 ,从而以下不等式成立，再利用例二的结果有,,于是不等式可改写成下述形式I e dx x =-+∞⎰2022>--y xe ⎰⎰⎰⎰⎰⎰------<<22222122D y x Sy x D y x dxdy e dxdy e dxdy e )1(42122R D y x e dxdy e----=⎰⎰π)1(422222R D y x e dxdy e----=⎰⎰π⎰⎰⎰⎰⎰⎰------==Ry Rx Ry x R S y x dy e dx e dy edx dxdy e22222220000022222⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰-----Rx R x R x Ry Rx dx e dx e dx e dy e dx e故当时有 , 即 .3、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ).例6计算解此积分区域为区域的简图为该区域在极坐标下的表示形式为小结 二重积分计算公式ππππ441414222022R R x RR R e e dx e →+∞---→+∞←−−−−-<⎛⎝ ⎫⎭⎪<-−→−−−⎰()()R →+∞e dx x -+∞⎰⎛⎝ ⎫⎭⎪=2024πIedx x ==-+∞⎰22π()x y 22+ααI dxdyx y a x y a axa a x =+⋅-+>⎰⎰--+-0222224022()()D x a x y a a x :,022≤≤-≤≤-+-D r a :,sin -≤≤≤≤-πθθ4002I rdrd r a rd dra r r a d Da a =-=-=⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰⎰⎰⎰⎰----θθθπθθπ44222402202024sin sin arcsin =-=-=--⎰()θθθπππd 42421232直角坐标系下 X —型Y —型极坐标系下作业 教材161 习题2（I ）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφ⎰⎰⎰⎰=dc y y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ⎰⎰⎰⎰=Ddr r r f d rdrd r r f βαϑφϑφϑϑϑϑϑϑ)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (P。