二重积分的计算法教案
二重积分的计算法[精编文档]
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一、利用直角坐标计算二重积分
X-型积分区域 Y-型积分区域
二、利用极坐标计算二重积分
将二重积分化为二次积分 与直系下二次积分互化
一、利用直角坐标计算二重积分
直角坐标系下化二重积分为二次积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
f x, y 关于x奇，D关于y轴对称
0,
f
x, y
关于y奇，D关于x轴对称
D
f
x,
y
dxdy
2
f
x,
y
dxdy
f x, y 关于x偶，
D关于y轴对称
D`1
f x, y 关于y偶，
D关于x轴对称
f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为奇， f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为偶，
例1. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
0
a rer2 d r
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
例2：求I= y2 3x 6 y 9 dxdy,其中: x2 y2 a2.
例5. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
则
D
:
y
1
2
y x
2 y
2
二重积分的计算教案
二重积分的计算教案教案标题：二重积分的计算教学目标：1. 理解二重积分的概念和意义；2. 学会利用直角坐标系下的二重积分及其性质计算二重积分；3. 掌握变量替换法计算二重积分。
教学准备：1. 幻灯片及投影仪；2. 教学板及白板笔；3. 直角坐标纸；4. 计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 讲师介绍二重积分的概念和意义：二重积分是对二元函数在一个有界区域上的积分运算，可以用来计算平面区域的面积、质量等物理量。
2. 引导学生思考：如何计算函数在某个区域的面积？二、直角坐标系下的二重积分（20分钟）1. 讲解二重积分的概念和符号表示；2. 利用直角坐标系下的二重积分性质，分别介绍极坐标系和直角坐标系下的二重积分计算方法；3. 通过示例，详细讲解直角坐标系下二重积分的计算步骤。
三、变量替换法计算二重积分（25分钟）1. 介绍变量替换法的基本思想和要点；2. 通过示例，引导学生掌握变量替换法计算二重积分的步骤和技巧；3. 鼓励学生积极思考、探索新的变量替换方法，提升解题能力。
四、练习与巩固（15分钟）1. 提供一些典型的计算二重积分的练习题，让学生自主完成并讨论解法；2. 教师逐个讲解练习题的解题思路和方法。
五、拓展应用（10分钟）1. 引导学生思考并讨论：二重积分在实际问题中的应用；2. 讲解几个具体实例，让学生理解二重积分在不同领域中的应用。
六、总结与反思（5分钟）1. 客观回顾本节课所学内容；2. 鼓励学生提出问题、分享心得；3. 解答学生提出的问题，澄清疑惑。
教学延伸：1. 建议学生参考相关教材，复习和巩固本节课所学内容；2. 鼓励学生应用二重积分解决实际问题，提升实际运用能力；3. 教师可布置相关的作业，以检查学生对本节课内容的掌握情况。
教学评价：1. 通过课堂教学中的互动讨论，观察学生的参与度和理解程度；2. 教师根据学生作业的完成情况和答案的正确性评价学生对知识点的掌握程度；3. 反馈学生的问题和困惑，及时给予指导和解答。
高等数学课件D92二重积分的计算
电磁学中电荷分布问题
电荷分布概述
在电磁学中，电荷分布是研究电场和 磁场的基础。了解电荷分布对于预测 电场强度、电势差以及电磁波的传播 等具有重要意义。
二重积分在电荷分布 中的应用
二重积分在电磁学中广泛应用于计算 电荷分布。通过将电荷区域离散化为 微小单元，对每个单元的电荷密度进 行积分，并利用二重积分对整个区域 进行积分，可以得到总电荷量和电荷 分布。
在每个子区域内分别进行积分计算，然后将结果相加得到最 终的二重积分值。这种策略可以降低计算难度，提高计算效 率。
03 典型例题分析与求解
平面区域上函数积分问题
确定积分区域
根据题目要求，确定需要积分的平面区域，通常是由 不等式组或曲线围成。
选择积分次序
根据积分区域的形状和复杂性，选择合适的积分次序， 即先对哪个变量进行积分。
图像处理算法与二重积分
在实际应用中，图像处理算法（如直方图均衡化、滤波算法）经常需要利用像素值统计来实现图像增强和特 征提取。二重积分作为计算像素值统计的重要工具，在这些算法中发挥着关键作用。
其他领域应用举例
地理学中的地形分析
在地理学中，地形分析是研究地 表形态和地貌特征的重要手段。 二重积分可以用于计算地表高程、 坡度、坡向等地形参数，进而实 现地形分类、地貌特征提取等应 用。
梯形法
将积分区域划分为若干个小梯形， 以梯形的面积近似代替被积函数 的面积，通过求和所有梯形的面 积得到二重积分的近似值。
辛普森法
在梯形法的基础上，通过采用更 精确的插值多项式来逼近被积函 数，从而提高二重积分计算的精 度。
误差估计及收敛性判断
误差估计
对于不同的数值方法，可以通过理论分析和实际计算来估计其误差的大小，以便更好地控制计算精度 。
二重积分计算法名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
D
R
8 dx
R2 x2
R2 x2 dy
00
提醒 由对称性, 所求体积是第一卦限部分体积旳8倍.
第一卦限部分是以区域 D {(x, y)|0 y R2 x2,0 x R} 为底
为底, 以曲面 z R2 x2 顶的曲顶柱体.
【例5】求两个底圆半径都等于R旳直交圆柱面所围 成旳立体旳体积.
解由对称性, 立体体积为第一卦限部分旳四倍.
V 4 4a2 x2 y2dxdy ,
D
其中 D 为半圆周 y 2ax x2 及 x 轴所围成旳闭区域. 在极坐标系中D可表达为
02acosq , 0 q .
2
【例9】求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得
旳(含在圆柱面内旳部分)立体旳体积. 解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分旳四倍.
dq
0
4
(q )dq
1q2
2
0
2
32
4
D
极点包围在积分区域D旳内部
（3）
（4）
j (q )
(3) f ( cosq , sinq )d dq 0 dq 0 f ( cosq , sinq )d
D
2
j (q )
(4) f ( cosq , sinq )d dq dq 0 f ( cosq , sinq )d
D
极点包围在积分区域D旳内部
假如D是X型区域 j1(x)yj2(x), axb, 则
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
假如D是Y型区域 y1(y)xy2(y), cyd, 则
f (x, y)d
9.7二重积分的计算
环节
说明
新知识
利用直角坐标系计算二重积分
1．积分区域D的分类
（1）积分区域D为X-型区域
图1 图2
图1，图2表示的区域都是X-型区域.
X-型区域的特点：穿过D的内部平行于y轴的直线与D的边界的交点个数不超过两个.
用不等式组表示为
（2）积分区域D为Y-型区域
图3图4
图3，图4表示的都是Y-型区域.
作业布置：
P247 T1 （1）、（2）
板书设计：9.7二重积分的计算
1、二重积分在直角坐标系下x-型区域计算
2、二重积分在直角坐标系下y-型区域计算
改进措施：
.
.
根据平行截面面积已知的立体求体积的方法，可得
.
于是 .
（2）积分区域D为Y-型区域时 的计算公式
知识巩固
例1. 计算 ，其中D是抛物线 及直线 所围成的闭区域.
解：把 看成Y-型区域（图6），则
图6
另解：把 看成X-型区域（图7），则
图7
课堂小结：
1、二重积分在直角坐标系下x-型区域计算
2、二重积分在直角坐标系下y-型区域计算
理 论 课 授 课 教 案
任课教师：课程名称：高等数学
授课班级
16秋大专______
授课日期
授课节次
缺课学生
【授课章节】
9.7二重积分的计算
【教学目标】
掌握二重积分的计算方法
【教学重点】
掌握二重积分的计算
【教学难点】
掌握二重积分的计算
【重难点处理措施】
讲练结合ห้องสมุดไป่ตู้
【课时安排】
2课时
【教具准备】
多媒体、粉笔
二重积分的计算法教案
二重积分的计算法教案一、教材分析本节课的内容是二重积分的计算法。
在高中阶段的数学教学中，二重积分的计算是重要的内容之一、根据高中数学课程标准要求，学生需要掌握二重积分定义、二重积分的计算法以及应用等内容。
本节课的教学目标是使学生能够掌握二重积分的计算方法，提高学生的综合运算能力和解题能力。
二、教学目标1.知识与能力目标(1)掌握二重积分的计算方法；(2)熟练掌握二重积分的定义；(3)能够运用二重积分的计算方法解决实际问题。
2.过程与方法目标(1)通过示例引入，让学生理解二重积分的概念；(2)结合图形进行讲解，培养学生的几何直观；(3)通过分析具体题目，培养学生的计算能力与解题思路。
3.情感、态度与价值观目标(1)培养学生的数学兴趣，提高学生对数学的认知和理解；(2)培养学生解决问题的能力，让学生能够将数学知识应用到实际中。
三、教学重难点1.教学重点(1)二重积分的计算方法；(2)几何图形与二重积分的关系。
2.教学难点(1)解决实际问题时的二重积分的计算；(2)综合运用二重积分的知识与解题能力。
四、教学过程与方法1.模块一：复习导入（10分钟）复习上节课的内容，引入本节课的主题。
2.模块二：二重积分的定义（20分钟）(1)通过几何图形解释二重积分的含义；(2)介绍二重积分的定义，并进行示例讲解；(3)引导学生进行练习题。
3.模块三：二重积分的计算方法（40分钟）(1)对可分离变量的函数进行计算；(2)对相对简单的函数进行计算；(3)利用换元法进行计算；(4)利用极坐标进行计算；(5)引导学生进行练习题。
4.模块四：实际问题的应用（20分钟）(1)提供一些实际问题，并引导学生用二重积分来求解；(2)引导学生进行练习题。
5.模块五：课堂小结（10分钟）总结本节课的重点内容，强调二重积分的计算方法和应用。
五、教学手段与学具设备1.教学手段：讲授、示范、练习、提问等；2.学具设备：黑板、多媒体设备、教材、练习册等。
二重积分优秀教学设计
二重积分优秀教学设计二重积分优秀教学设计教学目标1.理解二重积分的概念和意义；2.学会计算可积函数的二重积分；3.掌握二重积分的性质和计算方法；4.能够应用二重积分解决实际问题。
教学内容1.二重积分的概念和意义–了解累次积分和二重积分的概念；–探究二重积分的物理意义和几何意义；–通过例题理解二重积分的计算过程。
2.可积函数的二重积分计算–学习二重积分的计算方法；–掌握使用定积分计算二重积分；–理解可积函数的二重积分和累次积分的关系。
3.二重积分的性质–掌握二重积分的线性性质、可加性和保号性质等；–了解二重积分对交换次序的影响。
4.二重积分的计算方法–学习使用极坐标、换元法等方法计算二重积分；–通过例题巩固计算方法。
5.应用二重积分解决实际问题–学习如何应用二重积分计算面积、质量、重心等物理量；–通过实际问题的讲解和解答，培养应用二重积分解决问题的能力。
教学步骤1.导入知识，介绍二重积分的概念和意义；2.通过具体的例题引入可积函数的二重积分计算；3.讲解二重积分的性质和计算方法，并进行例题演示；4.分组讨论、合作解题，巩固所学的二重积分计算方法；5.引入实际问题，讲解如何应用二重积分解决问题；6.完成课堂练习和作业，检验学生的掌握情况；7.总结课程内容，梳理知识点，解答学生提出的问题。
教学资源1.教科书《高等数学》或相关参考书籍；2.教学投影仪、电脑等多媒体设备；3.课堂练习题和作业。
教学评价1.课堂参与度：学生在课堂中的积极参与程度；2.反馈问题：学生提出的问题和疑惑；3.课堂练习和作业：学生对所学知识的掌握和运用能力；4.学习成果：学生对二重积分相关概念和计算方法的理解和应用。
参考书目1.严蔚敏，李冬梅. 高等数学[M]. 清华大学出版社, 2018.2.斯图尔特. 单变量微积分学：早期变量函数的概念[M]. 科学出版社, 2008.3.Anton Howard, Bivens Irl，Davis Stephen. 微积分[M]. 高等教育出版社, 2006.教学方法1.探究式教学：通过引导学生进行探究，从而加深对二重积分概念和意义的理解；2.演示教学：通过解题演示，让学生掌握二重积分计算方法；3.合作学习：组织学生进行小组讨论和合作解题，培养团队合作能力；4.实际问题解决：引入实际问题讲解，帮助学生应用二重积分解决实际问题；5.提问和讨论：通过提问和讨论，激发学生的思考和参与度。
第九章-2二重积分的计算法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
2 x
应为_________________________.
6、将二次积分
dx
sin x x
f ( x, y)dy 改换积分次序,
0
sin
2
应为_________________________.
7、将二次积分 1 dy 2 f ( x, y)dx
e2
ln y
1 2
2
dy
f ( x, y)dx 改换积分次序,
若是X—型， 就先 y 后 x 若是Y—型，就先 x 后 y ，
注意内层积分限是外层积分变量旳函数，外层 积分限是常数。
例1 解
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy的次序.
00
积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx .
00
例 2 改变积分
1
dx
2 x x2
若区域如图， 则必须分割.
在分割后旳三个区域上分别 使用积分公式
.
D
D1
D2
D3
注ⅰ）二重积分化累次积分旳环节
①画域，②选序，③定限
D3 D1
D2
ⅱ）累次积分中积分旳上限不不大于 下限
ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限 要根据积分区域旳形状来拟定，这首先要画好 区域旳草图，——画好围成D旳几条边界线，
2 1
1
(3
sin
3)
2
以上各例阐明
化二重积分为累次积分时选择积分顺序旳 主要性，有些题目两种积分顺序在计算上难易程 度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至 有些题目对一种顺序能积出来，而对另一种顺序 却积不出来
二重积分教案设计三个导入方式
二重积分教案设计三个导入方式二重积分教案设计导入方式一：图形引入目标：通过观察图形引入二重积分的概念和应用。
步骤：1. 准备一个简单的图形，如一个矩形或三角形。
2. 引导学生观察图形，并提问相关问题，如图形的面积如何计算？3. 引导学生思考如何将图形划分为更小的部分，并估计每个小部分的面积。
4. 引导学生思考如何计算整个图形的面积，进而引出二重积分的概念。
导入方式二：实际问题引入目标：通过实际问题引入二重积分的概念和应用。
步骤：1. 提供一个实际问题，如某地区一天内的降雨量分布情况。
2. 引导学生思考如何描述和计算这种降雨量分布。
3. 引导学生思考如何将地区划分为更小的部分，并估计每个小部分的降雨量。
4. 引导学生思考如何计算整个地区的总降雨量，进而引出二重积分的概念。
导入方式三：数学公式引入目标：通过数学公式引入二重积分的概念和应用。
步骤：1. 提供一个简单的数学公式，如函数f(x, y) = x^2 + y^2。
2. 引导学生思考如何计算该函数在某个区域上的积分。
3. 引导学生思考如何将该区域划分为更小的部分，并估计每个小部分的贡献值。
4. 引导学生思考如何计算整个区域上的积分，进而引出二重积分的概念。
教学目标：1. 理解二重积分的概念和应用；2. 掌握二重积分的计算方法；3. 能够将实际问题转化为二重积分并求解。
教学内容：1. 二重积分的定义和性质；2. 二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的面积法和极坐标系下的面积法；3. 二重积分在实际问题中的应用。
教学步骤：第一步：引入二重积分概念1. 导入方式一：图形引入- 学生观察图形，并讨论图形面积如何计算。
- 引导学生思考如何将图形划分为更小的部分，并估计每个小部分的面积。
- 引导学生思考如何计算整个图形的面积，进而引出二重积分的概念。
第二步：二重积分的定义和性质1. 定义：介绍二重积分的定义，即将函数在一个有限区域上的值乘以该区域的面积，并求和。
高等数学(第二版)课件：二重积分的计算法
所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶 柱体，它的底为
D (x, y) | 0 y R2 x2 , 0 x R
如图所示。它的顶是柱面 z R2 x2。于是
V1 R2 x2 d.
D
V1 D
R2 x2 d
R
R2 X 2
0 0
R2 x2 dydx
R 0
d
dy
2 y
f (x, y)dx
c
1 y
D
如果积分区域D是非简单区域，即D的边界与穿 过D的内部且平行于坐标轴的直线的交点多于两 个，则可把D分成若干部分，使每个部分都是简 单区域。再在每个区域上用前面两个公式来计算。
定理 (富比尼定理)设 f x, y在平面闭区域 D 上连续，
（1）若闭区域 D 可表示为：a x b, 1 x y 2 x ， 其中 1(x) 和 2 (x) 在 a,b 上连续，则
且穿过区域D内部平行于 y 轴的直线与D的边界 至多交于两点。
2．水平型区域 设区域D为由介于上下两条自变量为 y 的单值连续 曲线 x 1( y)与 x 2 ( y) 和两条竖直线 y c与y d 之间所构成的，即可表示为
D (x, y) | c y d,1( y) x 2 ( y)
f
cos ,
sin
d d
d
0
f
cos ,
sin
d
D
(3)极点O 在积分区域 D 的内部，如图所示，这时 区域 D可表示为
D , | 0 ( ),0 2
f cos, sin dd
D
2
d
f cos , sin d
0
0
由二重积分的性质3可知，闭区域 D 的面积 可表示为
二重积分的计算法教案
教案参赛教师:职称: 助教所在院系: 数学与统计学院所授课程: 高等数学20XX年5月第十章重积分第二节二重积分的计算法（第1课时）教学目的：理解二重积分计算公式导出的方法，理解公式中符号的意义；熟练掌握X-型区域与Y-型区域上的积分公式，并能根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.重点：X-型区域上二重积分的积分公式；根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.难点：选择合适的方法计算二重积分.教学方法：直观教学，启发式讲授.教学过程：一、利用直角坐标系计算二重积分1．积分区域D的分类（1）积分区域D 为X-型区域图1 图2 图1，图2表示的区域都是X-型区域.X-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 的边界的交点个数不超过两个. 用不等式组表示为).()(21x y x b x a D ϕϕ≤≤≤≤，： （2）积分区域D 为Y-型区域图3 图3，图4表示的都是Y-型区域.Y-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 边界交点的个数不多于两个. 当积分区域为Y-型区域时，即12:,()()D c y d y x y ψψ≤≤≤≤2．二重积分计算公式（1）积分区域D 为X-型区域时(,)Df x y d σ⎰⎰的计算公式.当0),(≥y x f 时，由二重积分的几何意义(,)Df x y d σ⎰⎰的值等于以D 为底，以(,)z f x y =为顶的曲顶柱体（图5）的体积V .即⎰⎰=Dd y x f V σ),(.过x 轴上x 点作平行于yOz 的平面x π, 0a x b ≤≤ . 图5x π截V 得一以1020[(),()]x x ϕϕ长为底,0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形, 其面积为2010()00()()(,)x x A x f x y dyϕϕ=⎰.y x O )(2y d c[]21()(),,()(,)x x x a b A x f x y dyϕϕ∀∈=⎰对.根据平行截面面积已知的立体求体积的方法，可得21()()()(,)bbx a a x V A x dx f x y dy dxϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ EMBED Equation.DSMT4 21()()(,)bx a x dx f x y dyϕϕ=⎰⎰.于是21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dyϕϕσ=⎰⎰⎰⎰.（2）积分区域D 为Y-型区域时(,)Df x y d σ⎰⎰的计算公式2121()()()()(,)[(,)](,)dy c y Dd y cy f x y d f x y dx dy dy f x y dxψψψψσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰说明：这是在(,)0f x y ≥的条件下得到的计算公式, 但是对于一般的情况这个公式依然成立.当(,)f x y 在D 上变号时，由于(,)(,)(,)-(,)(,)22f x y f x y f x y f x y f x y +=-，记1(,)(,)(,)2f x y f x y f x y +=EMBED Equation.DSMT42(,)(,)(,)2f x y f x y f x y -=， 则12(,),(,)f x y f x y 在D 上非负，12(,),(,)f x y f x y 在D 上可以应用上面的公式计算.于是12(,)(,)(,)D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 3．例题应用例1. 计算Dyd σ⎰⎰，其中D 是抛物线2y x =及直线2y x =-所围成的闭区域. 解：把D 看成Y-型区域（图6），则22:12y x y D y ⎧≤≤+⎨-≤≤⎩222122134221(2)[]3494y yDyd dy ydxy y y dyy y y σ+---∴==+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ 图6另解：把D 看成X-型区域（图7），则122::0114y x y D D x x ⎧⎧≤≤-≤≤⎪⎪⎨⎨≤≤≤≤⎪⎪⎩⎩121401224421110[](54)2294DD D x yd yd yd dx ydy dx ydyy dx x x dxσσσ-∴=+=+=+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图7例2.计算二次积分1122sin (sin )xD dx y dy y d σ=⎰⎰⎰⎰解：将所给的积分区域D 用不等式组表示:01,1D x x y ≤≤≤≤画出草图（图8），改写D 为：01,0y x y ≤≤≤≤ 图81112220001sin sin sin (1cos1)2y x D dx y dy y d dy y dx σ∴===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 二次积分交换积分次序的步骤： （1）写出积分区域D ； （2）画出草图；（3）将D 改写为另一类型的不等式组，交换积分次序。
第二节 二重积分的计算法(全面版)资料
第二节二重积分的计算法（全面版）资料第二节 二重积分的计算法教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D(,)σ⎰⎰的计算问题.讨论中,我们假定f x y (,)≥0；假定积分区域D 可用不等式 a x b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()表示,其中ϕ1()x , ϕ2()x 在[,]a b 上连续.据二重积分的几何意义可知,f x y d D(,)σ⎰⎰的值等于以D 为底,以曲面z f x y =(,)为顶的曲顶柱体的体积.在区间[,]a b 上任意取定一个点x 0,作平行于yoz 面的平面x x =0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[(),()]ϕϕ1020x x 为底,曲线z f x y =(,)0为曲边的曲边梯形,其面积为A x f x y dy x x ()(,)()()001020=⎰ϕϕ一般地,过区间[,]a b 上任一点x 且平行于yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为A x f x y dy x x ()(,)()()=⎰ϕϕ12利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为V A x a dx f x y dy dx bx x a b ==⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎰⎰⎰()(,)()()ϕϕ12从而有dx dy y x f d y x f ba x x D⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)(2)(1),(),(ϕϕσ (1)上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把x 看作常数,),(y x f 只看作y 的函数,对),(y x f 计算从)(1x ϕ到)(2x ϕ的定积分,然后把所得的结果( 它是x 的函数 )再对x 从a 到b 计算定积分.这个先对y , 后对x 的二次积分也常记作f x y d dx f x y dy Dabx x (,)(,)()()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=12在上述讨论中,假定了0),(≥y x f ，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的),(y x f (在D 上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 I x d D x y x y D=-=-≤≤≤≤⎰⎰(){(,)|,}111022σ解: []dx y xdy x dx I 21122211)1()1(⎰⎰⎰---=-=38322)1(2113112=-=-=--⎰x x dx x类似地,如果积分区域D 可以用下述不等式c yd y x y ≤≤≤≤,()()φφ12表示,且函数φ1()y ,φ2()y 在[,]c d 上连续,f x y (,)在D 上连续,则f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c dc d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=1212 (2)显然,(2)式是先对x ,后对y 的二次积分.二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I 型(或II 型)区域, 用平行于y 轴(x 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集.2、积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法-- 几何法.画出积分区域D 的图形(假设的图形如下 )在],[b a 上任取一点x ,过x 作平行于y 轴的直线,该直线穿过区域D ,与区域D 的边界有两个交点))(,(1x x ϕ与))(,(2x x ϕ,这里的)(1x ϕ、)(2x ϕ就是将x ,看作常数而对y 积分时的下限和上限；又因x 是在区间[,]a b 上任意取的,所以再将x 看作变量而对x 积分时,积分的下限为a 、上限为b .例1计算322x y d D⎰⎰σ,其中D 是由x 轴,y 轴和抛物线yx =-12在第一象限内所围成的区域.类似地,D y x y :,0101≤≤≤≤-[]==-⎰⎰-x y dy y y dy y3211322011()令y t t t dt =⋅=⋅--=⎰sin cos sin ()!!()!!!!24502224151916315π例2计算xyd D⎰⎰σ, 其中D 是由抛物线y x 2=及直线y x =-2所围成的区域.3322012201x y d dy x y dx D y⎰⎰⎰⎰=-σD y y x y :,-≤≤≤≤+1222xyd dy xydx x y dy D y y y y σ⎰⎰⎰⎰⎰==⎡⎣⎢⎤⎦⎥-+-+12221222212[]=+-=-⎰1224582512y y y dy () 例3求由曲面zx y =+222及z x y =--6222所围成的立体的体积.解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在xoy 面上的投影区域消去变量z 得一垂直于xoy 面的柱面 x y 222+=,立体镶嵌在其中,立体在xoy 面的投影区域就是该柱面在xoy 面上所围成的区域 D x y :222+≤2、列出体积计算的表达式V x y x y d D=---+⎰⎰[()()]6222222σ =--⎰⎰()63323x y d Dσ3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算V d x d y d DDD=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰63322σσσ而 d Dσπ⎰⎰=2由x ,y 的对称性有 x d y d DD22σσ⎰⎰⎰⎰=x d x dx dy x x dx Dx x 22222222222222σ⎰⎰⎰⎰⎰==------=-=⎰⎰42442222202xx dx sin cos θθπ=⋅--+⋅162121222()!!()!!()!!π=⋅⋅⋅⋅1611422π=π所求立体的体积为V =-=1266πππ二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式按照二重积分的定义有f x y d f Di i i i n(,)lim (,)σξησλ⎰⎰∑=→=01∆现研究这一和式极限在极坐标中的形式.用以极点0为中心的一族同心圆 r =常数以及从极点出发的一族射线θ=常数,将D 剖分成个小闭区域.除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域∆σi的面积可如下计算i i i i i i i i i i r r r r r r θθθσ∆∆∆+=∆-∆∆+=∆)2(2121)(2122i i i i i i i i r r r r r r θθ∆∆=∆∆∆++=2)(其中,r i 表示相邻两圆弧半径的平均值.(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)在小区域∆σi 上取点(,)r i iθ,设该点直角坐标为(,)ξηi i ,据直角坐标与极坐标的关系有ξθηθi i i i i i r r ==cos ,sin于是lim (,)lim (cos ,sin )λλξησθθθ→=→=∑∑=⋅0101f f r r r r i i i i n i ni i i i i i i ∆∆∆即f x y d f r r rdrd DD(,)(cos ,sin )σθθθ⎰⎰⎰⎰=由于f x y d D (,)σ⎰⎰也常记作f x y dxdy D (,)⎰⎰, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式f x y dxdy f r r rdrd D D(,)(cos ,sin )⎰⎰⎰⎰=θθθ (1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,rdrd θ就是极坐标中的面积元素.(1)式的记忆方法:x r →cos θy r →sin θdxdy rdrd →θf x y dxdyD(,)⎰⎰f r r rdrd D(cos ,sin )θθθ⎰⎰2、极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算. 【情形一】积分区域D 可表示成下述形式αθβϕθϕθ≤≤≤≤12()()r其中函数ϕθ1(), ϕθ2()在[,]αβ上连续.则 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()()θθθθθθαβϕθϕθ⎰⎰⎰⎰=12【情形二】积分区域D 为下述形式显然,这只是情形一的特殊形式ϕθ10()≡( 即极点在积分区域的边界上 ).故 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθαβϕθ⎰⎰⎰⎰=0【情形三】积分区域D 为下述形式显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域D 的内部 ),D 可剖分成D 1与D 2,而D r D r 120020:,():,()≤≤≤≤≤≤≤≤θπϕθπθπϕθ故 D r :,()020≤≤≤≤θπϕθ则 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθπϕθ⎰⎰⎰⎰=020由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域D 用极坐标变量r ,θ表示成如下形式αθβϕθϕθ≤≤≤≤,()()12r下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示. 例4将下列区域用极坐标变量表示 1、D x y y 1222:+≤2、D R x R R y R R x 222:,-≤≤≤≤+-D x y 31:+≤先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围[,]αβ；再过[,]αβ内任一点θ作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围[(),()]ϕθϕθ12.注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.利用此题结果可求出著名概率积分 Iedx x =-+∞⎰2.而被积函数满足022>--y x e,从而以下不等式⎰⎰⎰⎰⎰⎰------<<22222122D y x Sy x D y x dxdy edxdy edxdy e成立，再利用例二的结果有)1(42122RDy x e dxdy e ----=⎰⎰π, )1(422222RDy x e dxdy e ----=⎰⎰π , ⎰⎰⎰⎰⎰⎰------==Ry RxRyx R S yx dy e dx e dy edx dxdy e22222220000022222⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰-----Rx R x R x Ry Rx dx e dx e dx e dy e dx e于是不等式可改写成下述形式ππππ441414222022R R x R R R e e dx e →+∞---→+∞←−−−−-<⎛⎝ ⎫⎭⎪<-−→−−−⎰()()故当R →+∞时有edx x-+∞⎰⎛⎝ ⎫⎭⎪=224π, 即 Iedx x ==-+∞⎰22π.3、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含()x y 22+α, α为实数 ). 例6计算I dxdyx y a x y a axa a x =+⋅-+>⎰⎰--+-022*******()()解此积分区域为D x a x y a a x :,022≤≤-≤≤-+-区域的简图为该区域在极坐标下的表示形式为D r a :,sin -≤≤≤≤-πθθ4002I rdrd r a rd dra r r a d Da a =-=-=⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰⎰⎰⎰⎰----θθθπθθπ44222402202024sin sin arcsin=-=-=--⎰()θθθπππd 42421232 小结 二重积分计算公式直角坐标系下 ⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφ X —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ Y —型极坐标系下 ⎰⎰⎰⎰=Ddr r r f d rdrd r r f βαϑφϑφϑϑϑϑϑϑ)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (作业 教材P 161 习题2（I ）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）第二节教学目标1. 了解小提琴常见的演奏技法，及其音乐表现特色。
第二节 二重积分的计算法
第二节 二重积分的计算法 一．本课的基本要求掌握在直角坐标系、极坐标系中二重积分的计算． 二．本课的重点、难点二重积分的计算为重点、积分限的确定为难点． 三．教学内容由⎰⎰∑→→∆=Dni iif d y x f 10),(),(lim σηξσλ；引入本次课题． 一． 直角坐标系中的累次积分法假定0),(≥y x f ，按照二重积分的几何意义⎰⎰Dd y x f σ),(的值等于以D 为底、以曲面),(y x f Z =为顶的曲顶柱体的体积．在上一章第一节我们知道区域D 的不等式组表示法通常有两种：1．⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21x y x bx a ϕϕ 或2．⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21y x y d y c ψψ 图1为方便，不妨以表示法1为例讨论．设⎰⎰Dd y x f σ),(所表示图形为图1．思路：⑴ 曲顶柱体的体积V 等于二重积分的值A ．⑵ 能否找到另一种计算曲顶柱体体积V 的方法；如能找到，设其表达式为B ． ⑶ 由传递关系可得到二重积分的计算方法，即A=B ．在定积分的应用中我们已讨论过“平行截面面积为已知的立体的体积” 的求法．下面我们就利用其求法之一的切片法来计算二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(所表示的柱体的体积．在区间[a,b]上任意取定一点0x ，作平行于yoz 面的平面0x x =，它与曲顶柱体相截所得截面是一个以区间[])(),(0201x x ϕϕ为底、曲线),(0y x f Z =为曲边的曲边梯形（图1中阴影部分）．所以，这载面的面积为：⎰=)()(000201),()(x x dy y x f x A ϕϕ．由0x 的任意性，过区间[a,b]上任一点x 且平等yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为：⎰=)()(21),()(x x dy y x f x A ϕϕ应用平行截面面积为已知的立体体积的求法，得曲顶柱体体积为：⎰⎰⎰==bax x badx dy y x f dx x A V )()(21]),([)(ϕϕ即⎰⎰⎰⎰=bax x Ddx dy y x f d y x f )()(21]),([),(ϕϕσ ⑴同理由表示法2可得：⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddy dx y x f d y x f )()(21]),([),(ϕϕσ ⑵由此看到，二重积分的计算可化为两次定积分来计算．把二重积分化为两次定积分的方法称为累次积分法．在上述讨论中，我们假定0),(≥y x f ，但实际上述公式的成立并不受此条件限制． 以后我们称图1所示的积分区域为X ─型区域，后者为Y ─型区域。
二重积分的计算教案(一)
二重积分的计算教案(一)二重积分的计算教案一、知识概述•二重积分的定义及含义。
•二重积分的计算方法：累次积分法、极坐标法。
•二重积分的性质和应用。
二、教学目标1.理解二重积分的定义及其意义。
2.掌握累次积分法计算二重积分的基本步骤。
3.掌握极坐标法计算二重积分的基本步骤。
4.能够应用二重积分解决实际问题。
三、教学内容1. 二重积分的定义及含义•介绍二重积分的概念和符号表示。
•解释二重积分的几何意义和物理意义。
2. 累次积分法计算二重积分•讲解累次积分法的基本思想。
•详细解释累次积分法计算二重积分的步骤。
•提供一些具体例子进行演示计算。
3. 极坐标法计算二重积分•介绍极坐标法的基本原理。
•讲解极坐标法计算二重积分的步骤。
•演示使用极坐标法计算一些例题。
4. 二重积分的性质•介绍二重积分的线性性质和可加性质。
•解释累次积分法和极坐标法计算二重积分的等价性。
5. 二重积分的应用•探讨二重积分在几何学中的应用，如计算平面区域面积。
•掌握二重积分在物理学中的应用，如计算质量、重心、转动惯量等。
四、教学过程1.引入问题：通过一个具体的例子引发学生对二重积分的思考。
2.知识讲解：分块进行知识点的讲解，让学生逐步理解二重积分的概念和计算方法。
3.演示计算：通过一些实例演示如何使用累次积分法和极坐标法计算二重积分。
4.知识总结：概括总结二重积分的定义、计算方法和应用领域。
5.练习与讨论：进行一些练习题，鼓励学生积极参与讨论与思考。
6.实践应用：提供一些实际问题，让学生能够应用二重积分解决问题。
7.拓展延伸：介绍更高维度积分的概念，激发学生对数学的进一步兴趣。
五、教学评估•在课堂上进行小测验，检查学生对二重积分的理解程度。
•提供一些综合性的练习题评估学生的掌握情况。
•监督学生在实际问题中是否能够正确应用二重积分。
六、教学反思•检查学生的学习效果，对掌握情况良好的学生进行表扬和鼓励。
•分析学生容易出错的地方，针对性地进行强化巩固。
二重积分教案
二重积分教案一、教学目标：1. 理解二重积分的概念和意义；2. 掌握计算二重积分的方法；3. 能够运用二重积分解决实际问题。
二、教学重点：1. 二重积分的定义和性质；2. 二重积分的计算方法。
三、教学难点：1. 运用二重积分解决实际问题的能力。
四、教学准备：1. 教科书和课件；2. 黑板和粉笔；3. 计算工具。
五、教学过程：步骤一：导入（5分钟）引入二重积分的概念和意义，通过举例说明二重积分的应用领域，如物理学、经济学等。
步骤二：二重积分的定义和性质（15分钟）1. 介绍二重积分的定义，即将给定区域的函数值乘以微小区域的面积，并对整个区域进行累加；2. 讲解二重积分的性质，如线性性、区域可加性和中值定理等。
步骤三：二重积分的计算方法（40分钟）1. 直角坐标系下的计算方法：a. 利用累加求和的思想，将区域分割成微小矩形，并逐一计算每个矩形的面积和函数值，最后将结果累加；b. 讲解二重积分的计算顺序，先对 x 进行积分，再对 y 进行积分；c. 求解二重积分时，可通过换序积分法简化计算；d. 引入二重积分的求面积公式，通过对区域边界的积分计算出区域的面积。
2. 极坐标系下的计算方法：a. 介绍极坐标系的转换关系，并讲解如何在极坐标系下计算二重积分；b. 给出极坐标系下的二重积分计算公式。
步骤四：实际问题的求解（30分钟）结合实际问题，如质心、质量、概率等问题，引导学生运用二重积分的计算方法进行求解。
步骤五：课堂练习（20分钟）布置一些练习题，提供学生自主练习和思考时间，并在课堂上共同讨论解题思路和方法。
六、课堂总结与作业布置（10分钟）对本节课所学内容进行总结，并布置相关的课后作业，要求学生进行二重积分的计算和实际问题的应用练习。
七、教学反思：通过本节课的教学，学生能够初步理解和掌握二重积分的概念、性质和计算方法，并能够初步运用二重积分解决实际问题。
在教学过程中，通过举例和实际问题的引入，增加了学生的兴趣和参与度。
D813-14二重积分的计算法
D
D1
D2
D3
具体计算的步骤：
1. 按题意画出积分区域的草图； 2. 判定积分区域是X型，Y型或必须分块处理； 3. 将二重积分化为二次积分（即两个定积分）；
注： 是否需要改变积分次序？ （要掌握改变积分次序的方法）
例1. 计算 xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及y＝x 所围的闭区域.
24 3
6 1 8
例4. 计算 sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0,
x
Dx
所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
yx
因此取D 为X – 型域 :
D x
D:
0 0
yx
x
o x
Dsixnxdxdy
0
sixnxdx
y2(x)
D
y1(x)
y2(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
f(x,y)d的值等D于 为以 底，以 z曲面 D f(x,y)为曲顶柱体的体z积 f(． x,y) z
应用计算“平行截
面面积为已知的立 体求体积”的方法, y
2
I d y
1
y2x y d x
2
1
1 2
x
2
y
2dy 2
y
1
2y1 2y3 dy
9 8
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例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
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教
案
参赛教师:
职称: 助教
所在院系: 数学与统计学院
所授课程: 高等数学
20XX年5月
第十章重积分
第二节二重积分的计算法
（第1课时）
教学目的：理解二重积分计算公式导出的方法，理解公式中符号的意义；熟练掌握X-型区域与Y-型区域上的积分公式，并能根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.重点：X-型区域上二重积分的积分公式；根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.
难点：选择合适的方法计算二重积分.
教学方法：直观教学，启发式讲授.
教学过程：
一、利用直角坐标系计算二重积分
1．积分区域D的分类
（1）积分区域D 为X-型区域
图1 图2 图1，图2表示的区域都是X-型区域.
X-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 的边界的交点个数不超过两个. 用不等式组表示为
).()(21x y x b x a D ϕϕ≤≤≤≤，： （2）积分区域D 为Y-型区域
图3 图3，图4表示的都是Y-型区域.
Y-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 边界交点的个数不多于两个. 当积分区域为Y-型区域时，即
12:,()()
D c y d y x y ψψ≤≤≤≤
2．二重积分计算公式
（1）积分区域D 为X-型区域时
(,)D
f x y d σ
⎰⎰的计算公式.
当0),(≥y x f 时，由二重积分的几何意义
(,)D
f x y d σ
⎰⎰的值等于以D 为底，以(,)z f x y =为顶的
曲顶柱体（图5）的体积V .
即
⎰⎰=D
d y x f V σ
),(.
过x 轴上
x 点作平行于yOz 的平面
x π, 0a x b ≤≤ . 图5
x π截V 得一以1020[(),()]x x ϕϕ长为底,0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形, 其面积为
2010()
00()
()(,)x x A x f x y dy
ϕϕ=⎰
.
y x O )
(2y d c
[]21()
()
,,()(,)x x x a b A x f x y dy
ϕϕ∀∈=⎰
对.
根据平行截面面积已知的立体求体积的方法，可得
21()
()()(,)b
b
x a a x V A x dx f x y dy dx
ϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ EMBED Equation.DSMT4 21()
()
(,)b
x a x dx f x y dy
ϕϕ=⎰⎰
.
于是21()
()
(,)(,)b
x a
x D
f x y d dx f x y dy
ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰
.
（2）积分区域D 为Y-型区域时
(,)D
f x y d σ
⎰⎰的计算公式
2121()
()
()
()
(,)[(,)](,)d
y c y D
d y c
y f x y d f x y dx dy dy f x y dx
ψψ
ψψσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
说明：这是在(,)0f x y ≥的条件下得到的计算公式, 但是对于一般的情况这个公式依然成立.
当(,)f x y 在D 上变号时，由于
(,)(,)(,)-(,)
(,)22f x y f x y f x y f x y f x y +=
-
，
记1(,)(,)(,)2f x y f x y f x y +=
EMBED Equation.DSMT4
2(,)(,)
(,)2f x y f x y f x y -=
， 则
12(,),(,)f x y f x y 在D 上非负，12(,),(,)f x y f x y 在D 上可以应用上面的公式计算.
于是1
2
(,)(,)(,)D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy
=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
. 3．例题应用
例1. 计算
D
yd σ
⎰⎰，其中D 是抛物线
2
y x =及直线2y x =-所围成的闭区域. 解：把D 看成Y-型区域（图6），则
2
2:12y x y D y ⎧≤≤+⎨
-≤≤⎩
222
12
21
342
21
(2)[]3494
y y
D
yd dy ydx
y y y dy
y y y σ+---∴==+-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ 图6
另解：把D 看成X-型区域（图7），则
122::0114y x y D D x x ⎧⎧≤≤-≤≤⎪⎪⎨⎨
≤≤≤≤⎪⎪⎩⎩
1
2
140
1
2
24
4
21110[](54)2294D
D D x yd yd yd dx ydy dx ydy
y dx x x dx
σσσ
-∴=+=+=+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图7
例2.计算二次积分
11
22
sin (sin )
x
D dx y dy y d σ=⎰⎰⎰⎰
解：将所给的积分区域D 用不等式组表示
:01,1D x x y ≤≤≤≤
画出草图（图8），改写D 为：
01,0y x y ≤≤≤≤ 图8
1
112220001sin sin sin (1cos1)2y x D dx y dy y d dy y dx σ∴
===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 二次积分交换积分次序的步骤： （1）写出积分区域D ； （2）画出草图；
（3）将D 改写为另一类型的不等式组，交换积分次序。
例题反思：化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分次序。
这时，既要考虑积分区域D 的形状，又要考虑被积函数(,)f x y 的特性。
y
o x
y
小结
直角坐标系下计算二重积分的步骤： 一、画出积分区域D
二、选择积分次序（依据：容易积分；分块少）
三、⎧⎨
⎩定外限——域边两线夹（是常数）
定积分限定内限——域中一线穿
若D 为X-型区域： 若D 为Y-型区域：
左右夹，从下向上穿 上下夹，从左向右穿
12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 1
2()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩
四、计算两个定积分
X-型按下公式计算： 21()
()
(,)(,)b
x a x D
f x y d dx f x y dy
ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰
.
Y-型按下公式计算： 21()
()
(,)(,)d
y c
y D
f x y d dy f x y dx
ψψσ=⎰⎰
⎰⎰
.。