《高等数学》3-6节_函数图形的描绘

A ( 1,0),
B (0,1),
3 5 C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点: 上页 下页 返回
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
1 ( , ) 3


1 3
1 1 ( , ) 3 3
0
极大值

32 27

y
1 3
1 ( ,1) 3
解
D : ( , ), 无奇偶性及周期性.
f ( x ) 2( 3 x 1).
f ( x ) ( 3 x 1)( x 1),
令 f ( x ) 0, 令 f ( x ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0,
1 得驻点 x , 3
x 1.
1 得特殊点 x . 3
补充点 :
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线 .
例 解
2( x 2)( x 3) 求 f ( x) 的渐近线. x 1
D : ( ,1) (1,).
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lim f ( x ) ,
x 1

lim f ( x ) ,
x 1
x 1 是曲线的铅直渐近线 .
sin x y x
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练习题
一、填空题： 1 、曲线 y e 的水平渐近线为_______________. 1 2 、曲线 y 的水平渐近线为______________ ， x 1 铅直渐近线为______________. 二、描出下列函数的图形： 1 2 1、 y x ； x 2 2 2 、 y x ( x 1) ； y ln sin x 3、 . 1 三、求曲线 y x 的渐近线并画图 . x 上页 下页 返回
3
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补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
A ( 1,2), B (1,6), y C ( 2,1).
作图
6 B
1
C
1 2
3 2 1
o
x
2
A
3
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4( x 1) f ( x) 2 2 x
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四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察. y 凸的
1 x
练习题答案
一、1、 y 1 ； 2、 y 0, x 1 .
二、
y y
1

33 2 2

o
1 3 2
2 3 9
x
o
1 3
1
x
1图 上页
2图 下页 返回
2



y
o


y
2
3

x
3图
三、
斜渐近线 y x ; 铅直渐近线 x 0 .

1

o1
x
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y . 2
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3.斜渐近线 如果 lim [ f ( x) (ax b)] 0
x
或 lim [ f ( x) (ax b)] 0 (a, b 为常数)
x
那么 y ax b 就是 y f ( x) 的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法:
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) 或 lim f ( x)
x x0 x x0
那么 x x0 就是 y f ( x) 的一条铅直渐近线 .
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1 , 例如 y ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
x2 2
的图形.
1 W : 0 ( x ) 0.4. 2
x2 2
偶函数, 图形关于y轴对称.
( x )
令 ( x ) 0, 令 ( x ) 0,
x e 2
x2 2
, ( x ) ( x 1)( x 1) e 2
.
得驻点 x 0,
得铅直渐近线 x 0.
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列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 ( 2,0)
f ( x ) f ( x )
f ( x)
0
不存在
( 0, )

0
拐点
( 3, 26 ) 9


0



间 断 点
极值点
第三步
确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
第五步 描出与方程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的根对
第四步
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
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三、作图举例
例1 作函数 f ( x ) x 3 x 2 x 1 的图形.
单增
y f ( x)
凹的 最 小 值
拐 点 极 大 值
单减
最 大 值
极 小 值
a
o
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b
x
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思考题
两坐标轴 x 0 ， y 0 是否都是
sin x 函数 f ( x ) 的渐近线？ x
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思考题解答
sin x lim 0 x x y 0 是其图象的渐近线. sin x lim 1 x 0 x x 0 不是其图象的渐近线.
f ( x) 2( x 2)( x 3) 又 lim lim 2, x x x x( x 1)
2( x 2)( x 3) lim[ 2 x] x x 1
2( x 2)( x 3) 2 x ( x 1) 4, lim x x 1
x 3.
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2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线) 如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数 )
x x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线 .
例如
y arctan x,
有水平渐近线两条: y , 2
f ( x) lim a, x x
lim[ f ( x ) ax] b.
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
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注意:
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线 .
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2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
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二、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
确定函数 y f ( x ) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论 , ' " 求出函数的一阶导数 f ( x ) 和二阶导数 f ( x ) ;
得特殊点 x 1, x 1.
x2 2
1 lim ( x ) lim e x x 2
0, 得水平渐近线 y 0.
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列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x ( ,1) 1 ( 1,0) 0
( x ) ( x )
4( x 2) 8( x 3) f ( x ) , f ( x ) . 3 4 x x 令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x ) 0,
得特殊点 x 3.
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] 2, 得水平渐近线 y 2; 2 x x x 4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] , 2 x 0 x 0 x
( x )
( 0,1)
1
(1, )


0
拐点
1 ( 1, ) 2e
0
极大值

1 2

(1,

0
拐点
1 ) 2e

y
1 2
1
o
1
x
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上页
1 ( x ) e 2
x2 2
上页
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4( x 1) 例3 作函数 f ( x ) 2 的图形. 2 x 解 D : x 0, 非奇非偶函数,且无对称性.
第一步
' " f ( x ) 0 f 求出方程 和 ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第二步
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确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
1
(1, )

0
极小值

拐点
1 16 ( , ) 3 27

0
B (0,1)
3 5 C( , ) 2 8
A ( 1,0) 1 1 3
o
1 3
1
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x
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y x3 x2 x 1
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1 例2 作函数 ( x ) e 2
解
D : ( , ),
第六节
函数图形的描绘
一、渐近线 二、图形描绘的步骤 三、作图举例 四、小结 思考题
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一、渐近线
定义: 当曲线 y f ( x) 上的一动点 P 沿着曲线移向无穷点时,
如果点 P 到某定直线 L 的距离趋向于零,
那么直线 L 就称为曲线 y f ( x) 的一条渐近线.