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高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件
9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．
【新人教A版】高中数学选修4-5课件(全套)
a b 0 a b; a b 0 a b;a b 0 a b. 4
问题
上述结论是用类比的方法得到的，它们一 定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
5
注意
1、注意公式成立的条件，要特别注意 “符号问题”; 2、要会用自然语言描述上述基本性质； 3、上述基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础。
（1）1-x （2）x(1-x)
解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以 做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运 算。本题常见的错误是将取值范围扩大。
变式:设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的
取值范围.
10
例5、已知 1 a 0, A 1 a2 , B 1 a2 ,C 1 , D 1 ,
44
定理 设
a1, a2 , a3,..., an , b1, b2 , b3,..., bn 是实数，则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
当且仅当 立。
b 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数k使得 i
24
【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小：
(1)1618与1816; (2)
1
与2 n (n N* )
n1 n
（3）比较aa bb和ab ba的
【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法.
25
作商比较法： 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小．
26
练习
1、若m 0,比较mm与2m的大小
2、选择题： 已知 a b ，在以下4个不等式中正确的是：
问题
上述结论是用类比的方法得到的，它们一 定是正确的吗？你能够给出它们的证明吗？
5
注意
1、注意公式成立的条件，要特别注意 “符号问题”; 2、要会用自然语言描述上述基本性质； 3、上述基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础。
（1）1-x （2）x(1-x)
解题回顾：同向不等式可以做加法运算，异向不等式可以 做减法运算。当同向不等式两边都为正时，可以做乘法运 算。本题常见的错误是将取值范围扩大。
变式:设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的
取值范围.
10
例5、已知 1 a 0, A 1 a2 , B 1 a2 ,C 1 , D 1 ,
44
定理 设
a1, a2 , a3,..., an , b1, b2 , b3,..., bn 是实数，则
(a12 a22 ... an2 ) (b12 b22 ... bn2 ) (a1b1 a2b2 ... anbn )2
当且仅当 立。
b 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数k使得 i
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【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小：
(1)1618与1816; (2)
1
与2 n (n N* )
n1 n
（3）比较aa bb和ab ba的
【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法.
25
作商比较法： 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小．
26
练习
1、若m 0,比较mm与2m的大小
2、选择题： 已知 a b ，在以下4个不等式中正确的是：
(精品)1.0《_不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)
a1 a2 n
an n a1a2
an ,
当且仅当a1 a2 an时，等号成立。
例 1求 函 数 y x 2 (1 5 x)(0 x 1 )的 最 值 。
5
解下：面y 的 解 5 x法 2 (对 2 吗2？ x) 5 x x( 2 2 x),
y124x x5(15x)21(4x5 x15x)3 1 ,
2a
2a
所以a2c+c3 >2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0
因为a>0,b>0,c>0，所以2a2+ac+c2>0，故a-c<0,即a<c.
从而a<c<b。当b-c=0，即b=c时，因为bc>a2，
所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，
3、培养学生的数感，渗透数形结合的思想 。
重点:
不等式的解集的表示；不等式的性质和解法； 不等式的性质和解法.在实际问题中建立一元 一次不等式的数量关系 ；绝对值三角不等式 的理解及应用；使学生掌握含绝对值的一次 不等式的解法，并用数形结合方法加深对解 法的理解；含绝对值不等式的解法。
难点:
不等式解集的确定；不等号方向的确定；根 据实际问题建立一元一次不等式；绝对值三 角不等式的代数证明；理解绝对值的几何意 义。
b
AB=a；在正方形 CEFG中，EF=b.
B
J
a
C
E
b
则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.
S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的 面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形， 此时有 a2+b2=2ab。
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不等式的综合应用 不等式的应用主要体现在两大方面：一是不 等式作为一种重要工具在研究解答数学学科 本身有关问题及其他学科有关问题方面的应 用；二是解决现实生活、生产及科学技术领 域中的实际问题．
不等式应用主要是：利用不等式求函数的定 义域、值域；利用不等式求函数最大值、最 小值；利用不等式讨论方程根及有关性质； 利用不等式解应用题．
1 则 f(x)＝ (1－t2)， 2 1 2 ∴y＝f(x)＋ 1－2fx＝ (1－t )＋t 2 1 1 1 ≤ t ≤ ＝－ (t－1)2＋1 . 2 2 3 1 1 ∵在 t∈ ， 上函数 y 是增函数， 2 3 1 7 ∴当 t＝ 时，y 有最小值为 ， 3 9 1 7 当 t＝ 时，y 有最大值为 . 2 8
例4
【思路点拨】 首先应根据函数单调性去掉 函数符号，转化为关于 sinx的不等式恒成立 问题． 【解】 ∵f(x)在(－∞，1]上是减函数，
∴k－sinx≤k2－sin2x≤1.
假设存在实数k符合题设．
∵k2－sin2x≤1即k2－1≤sin2x对一切x∈R恒 成立，且sin2x≥0， ∴k2－1≤0，－1≤k≤1.①
本讲优化总结
本 讲 优 化 总 结
知识体系网络
专题探究精讲
讲末综合检测
知识体系网络
专题探究精讲
柯西不等式证法一 构造二次函数(ai≠0，i＝1,2，„，n) 2 2 2 f(x ) ＝ (a 1 ＋a2 ＋„＋an )x2 － 2(a1b1 ＋ a2b2 ＋ „ ＋ 2 2 anbn)x＋(b2 ＋ b ＋„＋ b 1 2 n)． ∵ f(x)＝ (a1x－b1)2＋ (a2x－ b2)2＋„＋ (anx－ bn)2≥0， 2 2 ∴ Δ ＝ 4(a1b1 ＋ a2b2 ＋„＋ anbn)2 － 4(a 1 ＋a2 ＋„＋ 2 2 2 2 an )· (b1 ＋b2 ＋„＋bn )≤0. 2 2 2 ∴ (a1b1＋ a2b2＋„＋ anbn)2≤(a2 ＋ a ＋„＋ a )( b 1 2 n 1＋ 2 2 b2＋„＋bn)．
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引言
最新人教版高三数学选修4－5(全 套)精品课件Biblioteka 第一讲 不等式和绝对值不等 式
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一 不等式
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1.不等式的基本性质
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最新人教版高三数学选修4－5(全 套)精品课件目录
0002页 0092页 0130页 0209页 0266页 0326页 1168页 1201页 1230页 1301页 1399页
引言 一 不等式 2.基本不等式 二 绝对值不等式 2.绝对值不等式的解法 一 比较法 三 反证法与放缩法 一 二维形式柯西不等式 三 排序不等式 一 数学归纳法 学习总结报告
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式二2.绝对值不等式的解法2
(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最 大值即可，即 m≥1，m 的取值范围为[1，＋∞)．
法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋ 2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解，则 m∈(－∞，1)． (2)若不等式解集为 R，则 m∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则 m∈[1，＋∞)．
法三：原不等式的解集就是 1<(x－2)2≤9 的解集，即
x－22≤9， x－22>1，
解得－x<11≤或xx≤>35，，
∴－1≤x<1 或 3<x≤5.
∴原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]．
(2)由不等式|2x＋5|>7＋x，
可得 2x＋5>7＋x 或 2x＋5<－(7＋x)，
整理得 x>2 或 x<－4.
∴原不等式的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
(3)①当 x2－2<0 且 x≠0，即－ 2<x< 2，且 x≠0 时，原不 等式显然成立． ②当 x2－2>0 时， 原不等式可化为 x2－2≥|x|，即|x|2－|x|－2≥0， ∴|x|≥2，∴不等式的解为|x|≥2， 即 x≤－2 或 x≥2. ∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－ 2，0)∪(0， 2)∪[2， ＋∞)．
法三：将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0， 构造函数 y＝|x＋7|－|x－2|－3，
即 y＝－2x＋12，2，x－＜－7≤7，x≤2， 6，x＞2.
作出函数的图象，由图可知，当 x≤－1 时，有 y≤0， 即|x＋7|－|x－2|－3≤0， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质
探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作
人教版高中数学选修4-5-不等式选讲(绝对值不等式)ppt课件
x 3、 解不等式|x＋3|－|2x－1|＜ ＋1. 2
x 解 ①当 x＜－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜ ＋1，解得 x＜10， 2 ∴x＜－3. 1 x 2 ②当－3≤x＜ 时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜ ＋1，解得 x＜－ ， 2 2 5 2 ∴－3≤x＜－ . 5 1 x ③当 x≥ 时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜ ＋1，解得 x＞2，∴x＞2. 2 2 2 综上可知，原不等式的解集为xx＜－5，或x＞2 .
第三节
绝对值不等式
[最新考纲] 1．理解绝对值的几何意义；理解绝对值三角不等式的代数 证明和几何意义，并了解其等号成立的条件；能利用绝对 值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式． 2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式 的解法．
1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ |a|＋|b| ，当且仅当 时，等号成立； ab≥0 (2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ ， |a－b|＋|b－c| 当且仅当 时，等号成立． (a－ b)(b－c)≥0 (3)性质： ________≤| a±b|≤________；
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
法三：(数形结合法)将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
－2x－6，x≤－2， 令 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝－2，－2＜x＜1， 2x－4，x≥1.
作出函数的图像，如图所示．
由图像可知，当 x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
|a|－|b| |a|＋|b|
高中数学(人教版选修4-5)配套课件第二讲 2.1 比较法
第二讲
证明不等式的基本方法 2.1 比较法
栏 目 链 接
1．了解用作差比较法证明不等式．
2．了解用作商比较法证明不等式．
3．提高综合应用知识解决问题的能力．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即
可，即利用不等式的性质：
＞ a＞b⇔a－b________0 ＝ a＝b⇔a－b________0 ＜ a＜b⇔a－b________0 思考1 比较两个代数式值的大小： x2与x2－x＋1.
栏 目 链 接
变 式 训 练
2． 已知 a≥1， 利用作商比较法求证： a＋1－ a＜ a－ a－1.
左边 a＋1－ a a＋ a－1 证明： ＝ ＝ ＜1， 右边 a－ a－1 a＋1＋ a 又 a＋1－ a＞0， a－ a－1＞0. ∴原不等式成立． 点评：根据左、右两边都含无理号的特点，也可以采取两边平方的方 法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于 0 时，两边平方是等价 变形，否则要改变不等号．
栏 目 链 接
变 式 训 练 1．已知a，b∈R＋，求证： (a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)(n∈N*)． 证明：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1 ＝an(b－a)＋bn(a－b)＝(a－b)(bn－an)， 又∵a，b∈R＋，n∈N*，
题型二
作商比较法证明不等式
＋
a＋b 例 3 已知 a，b∈R ，求证：a b ≥(ab) . 2
a b
aabb a－b b－a aa－b 证明： ＝a ·b ＝ . b a＋b 2 2 2 ab
2 aa－b 当 a＝b 时， ＝1 ； b 2 aa－b a a －b 当 a>b 时， >1， >0，由指数函数的性质知 ＞1， b b 2 2 aa－b a a －b 当 a<b 时，0< <1， <0，由指数函数的性质知 >1. b b 2 2 a＋b a b ∴a b ≥(ab) . 2
证明不等式的基本方法 2.1 比较法
栏 目 链 接
1．了解用作差比较法证明不等式．
2．了解用作商比较法证明不等式．
3．提高综合应用知识解决问题的能力．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即
可，即利用不等式的性质：
＞ a＞b⇔a－b________0 ＝ a＝b⇔a－b________0 ＜ a＜b⇔a－b________0 思考1 比较两个代数式值的大小： x2与x2－x＋1.
栏 目 链 接
变 式 训 练
2． 已知 a≥1， 利用作商比较法求证： a＋1－ a＜ a－ a－1.
左边 a＋1－ a a＋ a－1 证明： ＝ ＝ ＜1， 右边 a－ a－1 a＋1＋ a 又 a＋1－ a＞0， a－ a－1＞0. ∴原不等式成立． 点评：根据左、右两边都含无理号的特点，也可以采取两边平方的方 法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于 0 时，两边平方是等价 变形，否则要改变不等号．
栏 目 链 接
变 式 训 练 1．已知a，b∈R＋，求证： (a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)(n∈N*)． 证明：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1 ＝an(b－a)＋bn(a－b)＝(a－b)(bn－an)， 又∵a，b∈R＋，n∈N*，
题型二
作商比较法证明不等式
＋
a＋b 例 3 已知 a，b∈R ，求证：a b ≥(ab) . 2
a b
aabb a－b b－a aa－b 证明： ＝a ·b ＝ . b a＋b 2 2 2 ab
2 aa－b 当 a＝b 时， ＝1 ； b 2 aa－b a a －b 当 a>b 时， >1， >0，由指数函数的性质知 ＞1， b b 2 2 aa－b a a －b 当 a<b 时，0< <1， <0，由指数函数的性质知 >1. b b 2 2 a＋b a b ∴a b ≥(ab) . 2
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引言
最新人教版高三ห้องสมุดไป่ตู้学选修4－5全册 课件【完整版】
第一讲 不等式和绝对值不等 式
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一 不等式
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1.不等式的基本性质
最新人教版高三数学选修4－5全 册课件【完整版】目录
0002页 0056页 0116页 0143页 0209页 0248页 0292页 0325页 0337页 0408页 0506页
引言 一 不等式 2.基本不等式 二 绝对值不等式 2.绝对值不等式的解法 一 比较法 三 反证法与放缩法 一 二维形式柯西不等式 三 排序不等式 一 数学归纳法 学习总结报告
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2.基本不等式
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3.三个正数的算术-几何平均不 等式
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人教A版高中数学选修4-5全册课件
∴2x＋y 的取值范围为[－2,0]．
•实数大小的比较
【例 3】
已知
a，b
为正整数，试比较
a＋ b
b与 a
a＋
b的
大小．
• 【解题探究】 利用作差法比较其大小．
【解析】由题知
a＋ b
ba－(
a＋
Hale Waihona Puke b)＝a－ b
b＋
b－ a
a＝a－bb＋b－aa
＝a－b a－ ab
b＝
【解析】把已知式子配方可得2x＋122＋y＋122＝12.
设2x＋12＝ 22cos θ，
y＋12＝
2 2 sin
θ，
x＝ 则
42cos
θ－14，
y＝
2 2 sin
θ－12.
∴2x＋y＝2×
2 4 cos
θ－14＋
22sin
θ－12＝
22cos
θ＋
22sin
θ－1＝sinθ＋π4－1.
∵－1≤sinθ＋π4≤1，∴－2≤sinθ＋π4－1≤0，
• 推论2：a＞b，c＞d⇒___a_＞___c_－__b__(不等式的加法法则)；
a＋c＞b＋d
• •
性乘推质性论ac4)：；：＜aa＞b＞bcb＞，0c，＞c0＞⇒d_＞__0_⇒_______；__a_＞_a_(bc不，＞等c＜b式c0的⇒_乘__法__法__则_()可；
• 性质5：a＞b＞0⇒________(n∈N，anc≥＞2)(b乘d方法则)；
• 2．设f(x)＝(x＋1)(x＋2)，g(x)＝(x－3)(x＋6)，则有( ) • A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x) • C．f(x)＜g(x) D．以上都有可能 • 【答案】A • 【解析】f(x)－g(x)＝20＞0.
人教版高中数学选修4-5课件：专题总结4 (共48张PPT)
第30页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
例 8 证明：不等式212＋312＋…＋n12<1，其中 n≥2，n∈N*.
第31页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
【证明】 原不等式成立可强化为 212＋312＋…＋n12<1－1n.① 对①运用数学归纳法证明： (1)当 n＝2 时，①显然成立． (2)设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式①成立，即
第21页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
【证明】 设 f(n)＝n2＋2n＋2. (1)当 n＝1 时，一条直线将平面分成两部分， f(1)＝2，∴n＝1 时命题成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时， k 条直线将平面分成k2＋2k＋2个部分．
第22页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
第四讲 专题总结
第1页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
专题讲解
第2页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明， 而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法 是十分重要的．其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题， 归纳假设“P(k)成立”是问题的条件，而“命题 P(k＋1)成立”就 是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归 纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．
第33页
高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
专题训练
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修4-5）
1．设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)·an＋12－nan2＋an＋ 1·an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项 an＝________．
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例 8 证明：不等式212＋312＋…＋n12<1，其中 n≥2，n∈N*.
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【证明】 原不等式成立可强化为 212＋312＋…＋n12<1－1n.① 对①运用数学归纳法证明： (1)当 n＝2 时，①显然成立． (2)设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式①成立，即
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【证明】 设 f(n)＝n2＋2n＋2. (1)当 n＝1 时，一条直线将平面分成两部分， f(1)＝2，∴n＝1 时命题成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时， k 条直线将平面分成k2＋2k＋2个部分．
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第四讲 专题总结
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专题讲解
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在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明， 而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法 是十分重要的．其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题， 归纳假设“P(k)成立”是问题的条件，而“命题 P(k＋1)成立”就 是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归 纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．
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专题训练
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1．设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)·an＋12－nan2＋an＋ 1·an＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项 an＝________．
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第一章 不等式的基本性质和 证明的基本方法 1.1 不等
式的基本性质和一元二次不等 人教版高三式数学的选解修法4－5(B版)电子
课本课件【全册】
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第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1 1.3 绝对值不等式的解法 1.5 不等式证明的基本方法 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯 2.3 平均值不等式（选学） 本章小结 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳 本章小结 数学归纳法简史
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引言
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第一讲 不等式和绝对值不等 式
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一 不等式
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1.不等式的基本性质
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绝对值不等式的解法 一 比较法 三 反证法与放缩法 一 二维形式柯西不等式 三 排序不等式 一 数学归纳法 学习总结报告
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2.基本不等式
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【证明】设m=( a x, b y),n=( a , b ),
则|ax+by|=|m·n|≤|m||n|
= ( ax)2 ( by)2
( a )2 ( b)2
= ax2 by2 a b ax2 by2 .
所以(ax+by)2≤ax2+by2.
【方法技巧】应用二维形式柯西不等式向量形式求最 值及证明不等式的技巧 在应用二维形式柯西不等式向量形式求式子的最值或 证明不等式时要根据式子的结构特征构造两个向量,通 常我们使构造的向量满足积为待求式子或待证不等式 一侧的形式,再利用柯西不等式的向量形式求解或证明.
即 1 1 4 ,当且仅当a-b=b-c即a+c=2b时,
ab bc ac
等号成立.故kmax=4.
答案:4
2.求函数y= 2sin x 3cos x 4 的最大值及最小值.
cos x 2
【解析】由原函数式得2sinx+(3-y)cosx=4-2y,
设a=(2,3-y),b=(sinx,cosx),
【归纳总结】 1.柯西不等式三种形式的关系 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯 西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不 等式的向量形式的坐标表示.
2.理解并记忆三种形式取“=”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad=bc时取等号. (2)向量形式中当 α =k β 或 β =0时取等号. (3)三角形式中当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线 且P1,P2在原点O两旁时取等号.
所以
(x12
x22 )(y12
y
2 2
)
≥x1y1+x2y2,
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所以f(x)>g(x).
答案:f(x)>g(x)
2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系. 【解析】x3+y3-x2y-xy2
=x2(x-y)-y2(x-y)
=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),
因为x>0,y>0, 所以(x-y)2y+xy2.
n
a >
n
b
【即时小测】 1.若a<b<0,则下列结论不正确的是 ( )
A.a2<b2
B.ab<a2
b a C. 2 A.因为a<b<0, D.| a | |0<-b<-a, b || a b | 【解析】选 所以 a b
故B,C,D都正确,A错误.
2.下列不等式: (1)x2+3>2x(x∈R).
(2)要判断一个命题为假命题,或者举反例,或者由题中
条件推出与结论相反的结果.其中,举反例在解选择题 时用处很大.
2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 (1)倒数法则要求两数同号.
(2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数
的正负而定. (3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.
【归纳总结】 1.符号“⇒”和“⇔”的含义
“⇒”与“⇔”,即推出关系和等价关系,或者说“不
可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不 同性质的条件.
2.性质(3)的作用 它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以
把它从一边移到另一边.即a+b>c⇒a>c-b.性质(3)是可
逆的,即a>b⇔a+c>b+c.
3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆
的.
4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然
成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的
正负,乘方、开方性质中的“正数”及“n∈N,且n≥2” 都需要注意.
类型一
作差法比较大小
(2)a5+b5≥a3b2+a2b3(a,b∈R).
(3)a2+b2≥2(a-b-1).其中正确的个数 A.0 B.1 C.2 D.3 ( )
【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+2>0, 所以(1)正确;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正负不确定,
故不正确.
(4)因为a- 1 <b- 1 ,且a>0,b>0, b a 所以a2b-b<ab2-a⇒a2b-ab2-b+a<0,
⇒ab(a-b)+(a-b)<0⇒(a-b)(ab+1)<0,
所以a-b<0,即a<b,正确.
【方法技巧】
1.利用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)要判断一个命题为真命题,必须严格证明.
所以(2)不正确;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0. 所以(3)正确.
【知识探究】 探究点 不等式的基本性质
1.若a>b,c>d,那么a-c>b-d吗?
提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可 减性. 如2>1,5>1,但2-5>1-1不成立.
2.若a>b,c>d,一定有ac>bd吗? 提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立.
【变式训练】1.下列命题中正确的是_________
.
①若a>b>0,c>d>0,那么
a b ; d -b). c ②若a,b∈R,则a2+b2+5≥2(2a
【典例】设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什 么?
提示:常用作差比较法.
【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)
=(m-n)m3-n3(m-n)
=(m-n)(m3-n3)
=(m-n)2(m2+mn+n2)
n 2 3 2 m n [(m ) n ], 2 4
类型二
不等式性质的简单应用
【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1)a>b>0,则
1 1 . (2)c>a>b>0,则 a b a b . (3)若 ,则cad>bc. a cb a b (4)设a,b 为正实数,若a- <b- ,则a<b. ＞ c d 1 1 a b
【解题探究】判断上述每个命题真假的关键是什么? 提示:关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断.
第一讲
不等式和绝对值不等式
一
不
等 式
1.不等式的基本性质
【自主预习】 1.两个实数a,b的大小关系
a-b>0 a-b=0 a-b<0
2.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b⇔____. b<a (2)传递性:a>b,b>c⇒____. a>c (3)可加性:____⇔a+c>b+c. a>b
(4)可乘性:如果a>b,c>0,那么______; ac>bc 如果a>b,c<0,那么______. ac<bc (5)乘方:如果a>b>0,那么an__bn(n∈N,n≥2). > (6)开方:如果a>b>0,那么 __ (n∈N,n≥2).
【解析】(1)因为a>b>0,所以a>b两边同乘以 1 ab 得 1 1 得 1 > 1 ,故正确. a ＞b ， b a ab ab (2)因为c-a>0,c-b>0,且c-a<c-b 所以
1 1 ＞ 又a>b>0, c a 所以 cb a b ＞ ca cb
>0, ,正确.
(3)由 a b ,所以 a b >0, ＞ c d c d ad bc＞0， ad bc＜0， ad bc 即 ＞0，所以 或 ＞0，且cd<0, cd 且cd>0或 即ad>bc ad<bc cd cd＜0.
2
又m≠n,所以(m-n)2>0, 因为
n 2 3 2 [(m ) n ] 0, 2 故x>y. 4 所以x-y>0,
【方法技巧】作差比较法的四个步骤
【变式训练】 1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大
小关系是_________.
【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1) =x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,