昆明理工大学线性代数试卷
专升本《线性代数》_试卷_答案
专升本《线性代数》一、（共12题,共150分）
1. 计算下列行列式（10分）
标准答案：
2. 已知,计算（12分）
标准答案：
3. 设均为n阶矩阵，且可逆，证明相似. （14分）
标准答案：,故相似
4. 求一正交变换,将二次型化成标准型. （14分）
标准答案：
5. 已知,求（12分）
标准答案：6. 设矩阵A和B满足,其中,求B （12分）
标准答案：
7. 解线性方程组（14分）
标准答案：
8. 判断下列向量组是线性相关还是线性无关？
（12分）
标准答案：线性相关.可用三种方法:用三阶行列式；用定义及线性方程组；用矩阵的初等行变换.
9. 已知求（12分）
标准答案：
10. 已知,其中求A （12分）
标准答案：
11. 解下列线性方程组（14分）
标准答案：
12. 判断下列向量组是线性相关还是线性无关？
（12分）
标准答案：线性相关.可用三种方法:用三阶行列式；用定义及线性方程组；用矩阵的初等行变换.。
大一线性代数期末考试试题
大一线性代数期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 向量空间的定义中，下列哪一项不是其公理化系统的一部分？A. 向量加法的封闭性B. 向量的数乘封闭性C. 向量加法的交换律D. 存在非零零向量2. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 - 2A + I = 0，其中I是3阶单位矩阵。
则A^3的值为：A. AB. 2AC. 3AD. 03. 在线性代数中，下列哪个矩阵是不可逆的？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 行最简矩阵D. 行阶梯矩阵4. 特征值和特征向量的定义中，下列说法正确的是：A. 特征向量可以是零向量B. 每个特征值都有对应的特征向量C. 一个矩阵的特征值是唯一的D. 一个矩阵可能没有特征值5. 设T是一个线性变换，且T保持向量加法和数乘，那么T是一个：A. 线性变换B. 非线性变换C. 仿射变换D. 恒等变换二、填空题（每题2分，共10分）6. 若向量v = (1, 2, 3)，向量w = (x, y, z)，且v与w垂直，则x + y + z = _______。
7. 设矩阵A = (\*, \*, \*; \*, \*, \*; \*, \*, \*)，若A的行列式为0，则称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
对于3阶方阵，其行列式计算公式为：det(A) = \*\*\* - \*\*\* + \*\*\* - \*\*\*+ \*\*\*。
8. 在求解线性方程组时，若系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则该方程组是_______的。
9. 设P是n阶置换矩阵，那么P的行（或列）向量中，有_______个1，n-_______个0。
10. 对于一个n维向量空间，其基可以通过_______个线性无关的向量来构造。
三、简答题（每题10分，共30分）11. 请简述线性相关与线性无关的定义，并给出一个例子说明两者的区别。
12. 给出一个具体的3维向量空间，并说明其基和维数。
13. 解释何为矩阵的秩，并举例说明如何计算一个矩阵的秩。
昆明理工大学数试题及答案下
昆明理工大学2001级高等数学［下］期末试卷、填空（每小题 4分，共24 分）2 21 •函数z ln （1 x y ）的定义域是 __________________________ ，函数在 _________________是间断的•2 2 2 2 2 2 24. 设:x y z a ，则曲面积分 ^（x y z ）dS= _______________________________________ .5.设 D : 1 x 1,0 y 2,则二重积分 x yd = .D6. 如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之为 ___________ 解.二、 解答下列各题（每小题 6分，共18分）2 b 21. 求函数z e ax by （ a,b 为常数）的全微分•2. 求曲面x 2 2y z 2 0在点（1,1, J3）处的切平面方程和法线方程.3. 求微分方程（1 e x ）yy e x 的通解.三、 解答下列各题（每小题 6分，共18分）1. 设z xy xF （u ）,而u —, F （u ）为可导函数，试计算 x —z y —.xx y2.计算三重积分 zdxdydz,.其中 是由曲面z 、2 x 2 y 2及z x 2 y 2所围成的闭区域• 3 .计算曲面积分xyzdydz ，其中 是柱面 x 2 y 2 a 2（x 0）介于平面 y 0及y h （h 0）之间部分的前侧。
22.设函数z sin(xz昆明理工大学2001级高等数学［下］期末试卷四、（12分）求微分方程y 3y' 2y cosx的通解•五、（12分）求曲线积分? ydx （x2 l d y,其中:■L（x 1） yl（8分）L为圆周x2 y2 2y 0的正向•22（2） （4分）L 为椭圆4x 2 y 2 8x 0的正向 六、（10分）求表面积为 36,而体积为最大的长方体的体积七、（7分）讨论函数f （x, y ）在（0, 0）处的连续性2 2x y昆明理工大学2002级高等数学(下)期末试卷•填空题(每小题4分，共40分)1 设函数z x3y y3x，则全微分dz _________________________2•设函数u f(x y,xy), f具有一阶连续偏导数，则— __________x1 2y3•二重积分I dy f (x, y)dx，改变积分次序后I = .0 01 J i X3J i X2 y2.—2 -------- 2 ------- 2一4.直角坐标系下的三次积分I i dx 斤^dy 0 f J x y z )dz化为球坐标系下的三次积分I = ____________2 2 2 25.若区域:x y z R，则三重积分_____ xyzdxdydz=6. _________________ 当 = 时，(x 2y)dx ( x y)dy为某二元函数u(x, y)的全微分.7•曲线积分I (x2 y2)dx，其中L是抛物线y x2上从点A(0,0)到B(2,4)的一段L弧，则I = __________ .&当为xoy面内的一个闭区域D时，曲面积分与二重积分的关系为f (x,y,z)dS= --------------- .昆明理工大学2002级高等数学(下)期末试卷9.二阶常系数齐次线性微分方程y'' 2y' y 0的通解为y= ______________10.二阶常系数非齐次线性微分方程y'' 2y' y 2e x的特解形式为y*= _________________(10分)(u,v)具有连续偏导数，证明由方程(cx az, cy bz) 0 所确定的函数z f (x, y)满足a」b— c x y(10分)由锥面z . x2 y2及抛物面z x2 y2所围立体体积四.(10分)求螺旋线x a cos , y asin ,z b在(a,0,0)处的切线方程及法平面方程•五.(10分)利用高斯公式计算曲面积分I ^丄f (X)dydz — f (X)dzdx zdxdy,y y x y 其中f (u)具有二阶连续导数，为上半球面z a2 x2 y2与z 0所围成空间闭区域的整个边界曲面的外侧.六.(10分)设曲线积分l yf (x)dx [2 xf (x) x 2]dy在右半平面(x 0)内与路径无关，其中f (x)可导且f (1) 1，求f (x).七.(10分)二阶常系数非齐次线性微分方程y” 2y' 3y 3x，求其通解.昆明理工大学2003级高等数学［下］期末试卷.填空题(每小题4 分卜，共32分)21.设函数z tg(Z)，贝y — ___________________ ,—xx y22.曲线x ____________________________________________________ t2, y t3, z t3在M (1,1,1)处的切线方程为 ___________________________________________________________ .2 2y3.交换二次积分次序，°dy『f (x, y)dx2 24. _____________________________________________________________________ 设L为右半圆周：x y 1(x 0)，则曲线积分I L yds _____________________________________________ .x y z5 .设刀为平面1在第一卦限中的部分，则曲面积分2 3 4x y z昆明理工大学2003级高等数学［下］期末试卷(x i 4)dSd y dy&求微分方程2 9 20y 0的通解为dx dx二•解答下列各题(每小题7分，共35分)1.设e z xyz 0,求dz .2•讨论函数z (x 1)2 2y2是否有极值.3.求幕级数nx n 1在收敛区间(1,1)内的和函数n 1dy4.求微分方程dx ' 的特解.y( ) 15.求微分方程y y 1的通解.三.(11分)利用格林公式计算曲线积分I l e x(1 cos y)dx (e x sin y 2x)dy，其中L为从原点O(O,O)到A( ,0)的正弦曲线y sin x .四. (11分)利用高斯公式计算曲面积分I ° ydydz x2dzdx z3dxdy，其中是球面x2 y2 z2 a2的内侧.五.(11分)求由锥面z x2 y2及旋转抛物面z x2 y2所围成的立体的体积昆明理工大学2004级高等数学［下］期末试卷3.设区域D 由y x, x 2及y 丄所围，则化二重积分Ixf(x,y)d 为先x 后y 的D•填空题(每小题 4分，共32 分)y1 •设函数Z f( ), f 可微，则x2•曲线 x t 2, y t 3, z 2t 3在t= 1处的法平面方程为:昆明理工大学2004级高等数学［下］期末试卷3x &二阶常系数非齐次线性微分方程 4y” 12 y' 9y e 4的特解形式为y*=（不要求计算） 二.解答下列各题（每小题 7分，共28分）1.求函数z=F （y,x ） 0，其中F 具有一阶连续偏导数，求 dz . z z2.讨论z 4(x y) x 2y 2的极值.1 的通解.sin 2y四.（10分）求由球面x 2 y 2 （z a ）2 a 2及z 2x 2 y 2所围成的立体的体积.3.将函数f （x ） ——3 2展开成x 的幕级数，并求展开式成立的区间4 x x.（10分）设 L 为x 2 2 2/ y a (a 0）沿顺时针方向的上半圆，计算曲线积分 I xy 2dyL x 2ydx . 五.（10分） 利用高斯公式计算曲面积分 4xzdydz y 2dzdx 2 yzdxdy ，其中 是 球面x 2 2 2 y z 1外侧的上半部分六、（10分） 求f （x ），使曲线积分| L [ y(2 xy) f(x)y]dx [x 2y f (x)]dy 与路径无关，其中 f （x ）具有二阶连续导数，且f (0) 0, f (0) 1 . 二次积分后的结果为4•设L 为圆弧：x * 2 y 22, y 0,则曲线积分I L (x 2 y 2)ds 5.设：Zz 1），则曲面积分I 2ds =4.求微分方程dxxcos y。
昆明理工大学线性代数试卷
昆明理工大学 2015级 试卷( A 卷 )考试科目： 线性代数 考试日期： 命题教师：集体命题 一、 填空题（每小题4分，共40分）1. 已知A 为3阶方阵，且2A =-，则12A -= ；2．已知200300020,030002003A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- =- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1=-A B ； 3. 已知1121A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的伴随矩阵*A = ；4. 设向量123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,)T T T t ααα= = =线性相关，则 t =；5. 如果n 维向量组含有1n +个向量，则该向量组的线性关系为__________；6. 设A 为34⨯阶的矩阵，且A 的行向量组线性无关，则()A r =__________；7. 已知n 元非齐次线性方程组Ax=b 有唯一解，则()A,b =r _________；8. 设A 为正交矩阵，且0A <，则A =__________；9. 设1010005t t ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵，则t 的取值范围是 ；10.设112 -，，是3阶方阵A 的特征值，则23A E -= .11（8分）、计算4阶行列式 40123210342403110D -=---.12（14分）、已知向量组A ： 123421234,1,3,52012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求向量组A 的秩；（2）求一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示.13（8分）、已知12325221,3134343A =B = ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 求矩阵X 使得AX B =.14（12分）、设线性方程组123123123+ 11x x x aax x x x x ax +=⎧⎪++=⎨++=⎪⎩，证明：（1）当1a ≠时方程组有唯一解，并求唯一解； (2) 当1a =时方程组有无穷多解，并求通解.15(4分)、设向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关. 证明向量1α可由23,αα线性表示.。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
昆明理工大学 线性代数 第4章 习题册答案
1习题4.1（线性方程组解的结构）一、下列齐次线性方程组是否有非零解？分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ⇔=⇔<；仅有零解0()A R A n ⇔≠⇔=（1）123412341234123442020372031260x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎪⎨++-=⎪⎪--+=⎩ ；解：11421112317213126A ----=---213241311420054045402168r r r r r r ---=-------21054054544544004016821682168r r -=---=-=-≠--------仅有零解。
（2）12451234123453020426340x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎨⎪-++-=⎩ .分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ⇔≤；仅有零解()R A n ⇔= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。
二、求齐次线性方程组12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩的一个基础解系。
解：322112314123512110121101201036130004000010051015000400000r r r r r r r r r A --------=--→-→--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以原方程组等价于1243200x x x x +-=⎧⎨=⎩（24,x x 可取任意实数）原方程组的通解为1122134220x k k x k xx k =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩（12,k k R ∈）2改写为11221211123422222101000000001x k k k k x k k x k k x x k k -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,k k R ∈）因此齐次线性方程组的基础解系为1221100001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且()12345Tη=，()231234Tηη=+, 求该方程组的通解。
昆明理工大学线性代数模拟 试卷1
2011-2012线性代数期末模拟试卷(一)一、判断（每小题1分，共10分）1、若.,,O B O A O AB =≠=则必有且（ ）2、222()AB A B =必成立. （ ）3、齐次线性方程组0m n A x ⨯=只有零解⇔()R A n =.（ ）4、A, B 均可逆，则AB 可逆. （ ）5、设A ，B ，C ，D 都是n 阶方阵，且ABCD=E, 则一定有CDAB=E. ( )6、5级排列41253是一个奇排列.（ ）7、A 为任意的m n ⨯矩阵, 则A T A, AA T 都是对称矩阵.（ ）8、对向量1234,,,αααα都线性无关，则123,,ααα线性无关. ( )9、A 为n 阶方阵，k 为常数，则||||kA k A =. ( )10、n 矩阵A 有n 个互不相同的特征值，则A 相似于对角矩阵. ( )二、填空题（每小题2分，共20分）1、设 1 0 00 2 00 0 3A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= .2、设2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为二阶单位阵，且满足2BA B E =+则B = .3、设34004-30000200022A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则2A = . 4、方阵A 满足220A A E --=，则1A -= . 5、若矩阵A 与B 等价，且()3R A =，则()R B = .6、已知向量组()11,2,1α=- ，()22,0,t α= ，()30,4,5α=- 的秩为2，则t = .7、向量空间V 的维数为m ，则V 中任意1m +个向量121,,...,m ααα+必线性 . 8、设四元非齐次线性方程组AX b = 的系数矩阵A 的秩为3，且已知它的两个解为12(1,1,2,1)T ηη-=- ，则对应齐次方程0AX = 的通解为X = .9、两向量()()121,6,,0,1,3t αα==-正交的条件是t = .10、已知三阶方阵A 的特征值为1,2,3,则3257A A A -+= .三、单项选择（每题1分，共10分）1..若=---=322212332313323122211211333231232221131211,1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则( ). )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0.2．设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则一定有( )．()();)B (;)A (n A R m A R ==()().)D (;)C (m A R n A R m ≤≤≤ 3. 下列结论错误的是( ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合;)B ( 若向量321,,ααα线性无关，则21,αα线性无关；)C ( n 阶方阵A 与对角阵相似是A 有n 个不同的特征值的必要条件;)D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解.4. 设矩阵n m A ⨯的秩n m A R <=)(，下述结论中正确的是 .)(A A 的任意m 个列向量必线性无关； )(B A 的任意一个m 阶子式不等于零；)(C 齐次线性方程组Ax b =只有零解； )(D 非齐次线性方程组0Ax =必有无穷多解.5. n 阶矩阵C B A ,,满足,E ABC =则下列各式中成立的是 .)(A E BCA D E BAC C E CBA B E ACB ====)(;)(;)(;6．设矩阵142242A ab a ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦2 12 的秩为2，则 （A ）0,0==b a ； （B ）0,0≠=b a ； （C ）0,0=≠b a ； （D ）0,0≠≠b a .7. B A ,均为n 阶方阵，则下列结论中 成立．（A ）,0=AB 则,O A =或O B =； （B ） ,0=AB 则,0=A 或0=B ；（C ）,O AB =则,O A =或O B =； （D ）,O AB ≠则,0≠A 或0≠B ．四*、（10分）1、求行列式1222222222322224A =的值.2*、(10分)设向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--，问：（1）参数t 取何值时，123,,ααα线性相关？ （2）t 取何值时123,,ααα线性无关？求出一个极大无关组。
线代第一章测试题及答案
线代第一章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是线性代数的研究对象？A. 向量空间B. 线性方程组C. 矩阵D. 微分方程答案：D2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行（或列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵答案：B4. 向量空间的基是指：A. 空间中的任意一组向量B. 空间中的一组线性无关的向量C. 空间中的一组线性相关的向量D. 空间中的一组正交向量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素个数称为矩阵的______。
答案：阶数2. 如果一个矩阵的行向量组线性无关，则该矩阵是______矩阵。
答案：满秩3. 向量空间中，一组向量如果满足线性组合的系数全为零，则称这组向量是______的。
答案：线性无关4. 一个n阶方阵的行列式等于______。
答案：0三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是线性方程组的解。
答案：线性方程组的解是指满足方程组中所有方程的未知数的取值。
2. 请解释什么是矩阵的转置。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行向量变成列向量，列向量变成行向量，即交换矩阵的行和列。
四、计算题（每题15分，共40分）1. 计算矩阵A的行列式，其中A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]。
答案：\[ \text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 已知矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求B的逆矩阵。
答案：\[ B^{-1} = \frac{1}{(2)(2) - (1)(4)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\-2 & 1 \end{bmatrix} \]。
大一线性代数期末考试试卷+答案
大一线性代数期末考试试卷+答案(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n 2② 12-n③ 12+n④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
昆明理工大学线性代数考试试题集及答案
《线性代数 B 》 2010～ 2011 学年第一 学期课程试卷 A一、填空11 1 12 345 12.1.=49 16 25 827641252． 设 A 、B 为 4阶方阵，且 | A 13 B81，则|AB | 1/2.| 2 ,3. 给定矩阵 A ，且 AE 可逆, 满足 ABEA 2B ,则B AE.1 0 01 0 04．设 A0 1 1 ，则 A 121 .0 12115．已知1,2, 3 线性相关 ,3不能由 1,2 线性表示，则1,2 线性 相关．116．设 12 ,2t ,32 ，且 1,2,3 线性相关， 则 t8．3611 2 37.设A 是43矩阵,且 R(A)2 ， B0 1 0 则R(AB) __2___3 12．设三阶方阵 A 的每行元素之和均为零， 又R(A) 2 ，则齐次线性方程组AxO 的通解为81 k 1 ( kR ).113 0 19. 向量组11的一个最大线性无关组为1, 22 ,3 1,4 1 1131,2,4.10. 设 A 为 n 阶方阵 , Ax0 有非零解 , 则 A 必有一个特征值为0.二、单项选择x3 1x2 y 4z2 1.. 若 y0 21 , 则30 2 ( A )z21121(A)1 ； (B )2 ； (C )1 ；(D) 0.2．设 A , B , C 均为二阶方阵， ABAC ，则当 (C ) 时，可以推出 B C ．1 0 1 1 0 1 1 1 (A) A;(B)A; (C) A; (D) A.1 011 13. 下列结论正确的是 ( A ) ．( A )1,2,,s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合 ;(B ) 若向量1,2,3 线性相关，则 1 , 2 线性相关；(C ) 若 n 阶方阵 A 与对角阵相似，则 A 有 n 个不同的特征值 ;( D ) 若方程组 AxO 有非零解，则 Axb 有无穷多解 .14 4. 已知, 3 是四元方程组 Ax2， 241 ,2b 的三个解，其中 R( A)3,13 3，444则以下不是方程组Axb 的通解为 ( D ) .21 11 123 1 0 2 ;0 2 0 2 ;( D ) k2 2 ( A ) k2 3 ( B ) k; ( C ) k2 1 .1 3 1 344242245. 设向量组1 ,2,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（B ）( A ) 12,23,31;( B ) 1,2 ,31;(C )1,2,213 2 ;( D )2,3,223.．若 n 阶矩阵 A , B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A）6( A ) A 与B 相似;(B) A B ，但|A B| 0;(C )AB ;(D) A 与 B 不一定相似，但 | A | |B |.7. 设 Ap11 p1, Ap22 p2 , 且12 , 则以下结论正确的是（ B ） .( A ) p1p2不一定是A的一个特征向量;( B )p1p2一定不是A的一个特征向量 ;(C ) p1p2一定是A的一个特征向量 ;( D )p1p2为零向量 .x 1x 2x 41,三、 k 为何值时 ,线性方程组x 1 2 x2x 3 2 x 4 3 ,有解，并在有解时求通解 . x 1x 2x 3x4 6 ,x 2x4k1101111011解 :1212301112A11160010510101k0101k1101111011011120111200105001050010k 20 0 00k 3当 k3时，方程组有解，1000401013A010，0500000x 1440 x 2 3 x 4，（12分）通解为 X3k1 x 3550 x 4x 401a0b四、已知矩阵 A010的特征值之和为1，特征值之积为 1 ．b00(1) 求a , b( b0) 的值；(2)求可逆矩阵 P 和对角阵，使得 P 1. APa101001解a0, b 1.A010, 21b10001E A010(21 )1, 3 1 .1 ) (121010110101当121时， E A000000,p11, p20101000011011011当31时，EA020010, p301010001 0111取 P10011有P AP0111a 11a1a1五、计算 D n a 2 a 21 a 2.a n a n a n1111 n a 2a21a2解 D r1r n a i（1)i1a n a n a n1c2c1100 n a210（ a i1)c ni1c1a n01 n（ a i 1 )(1) n 1i1六、设 A 为3阶矩阵， 1 ,2为 A 的分别属于特征值1,1特征向量，向量 3 满足A32 3，证明（ 1）1 ,2,3线性无关；（）令P1,2,3，求1.2P AP证明 k 11k2 2k 33O (1)，A ( k 1 1 k 22k 33)O即 k1 1k 22k 3 (23)O (2) (2)-(1)2 k 11k3 2O因为1,2 线性无关，k 1k 30 ,代入（ 1），得 k 22O ,2O , k 2 01,2,3 线性无关1 0（2）P 1AP0 1 1 01《线性代数 B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷 B一、填空1 2 3 61. 设2 2 2 2 又 是 aij 的代数余子式 则A42A 43 A 44 =0| A | | ( a ij )4 4 |1 0 7, A ij, A 41234182 设 A 、B 为 3阶方阵，且 | A|2, 3 B181 ，则|A1B| 1/6 .3. 设 A 为方阵 ,满足 A20,则 A1AE.A 2 E21 1 01 31 04．设 A130，则A 1 1 1 0.2 215．向量组 1 , 2 ,3 ,1 线性相 关．6．设 A 是 mn 矩阵 , R ( A )r ,则齐次线性方程组 Ax O 有非零解的充分必要条件是r n1 2 37.设A 是43矩阵,且 R(A)2 ， B0 1 0 则R(AB) __2___3128．设三阶方阵 A 的每行元素之和均为 3，则 A 有特征值3 .1 319. 向量组11 3 的一个最大线性无关组为1 ,2.1, 2,35 8 911710．属于方阵 A 的不同特征值的特征向量一定 线性无关.二、单项选择a11a 12 a 13 a11a 12a 21a221.. 若 a21a 22a 231 , 则a 13a 23a31a32 a33a12 a22(A)1；(B )2 ； (C)1；2．设 A 为 m n 矩阵，且 m n ，则一定有 ( D ) ．(A)RAm ;(B)R A n ; (C ) m R An ;(D) RAm .3. 下列结论错误的是 ( D ) ．a31a 32a 33(A).a32(D) 0.( A )1, 2 ,,s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合 ;(B ) 若向量 1,2 ,3 线性无关，则1,2 线性无关；(C )n 阶方阵 A 与对角阵相似是 A 有 n 个不同的特征值的必要条件;( D ) 若方程组 Ax O 有非零解，则Axb 有无穷多解 .4. 设矩阵 A m n 的秩 R ( A ) mn ，下述结论中正确的是D.( A ) A 的任意 m 个列向量必线性无关； ( B ) A 的任意一个 m 阶子式不等于零；(C ) 齐次线性方程组Ax0 只有零解；( D ) 非齐次线性方程组Axb 必有无穷多解 .5. n 阶矩阵 A , B , C 满足 ABCE , 则下列各式中成立的是D.( A ) ACBE ;( B )CBA E ;(C )BACE ;( D )BCAE1．设矩阵 Aab4 2 的秩为 2，则 C624a 2（ A ） a0 , b0 ； （ B ） a 0 , b 0 ； （ C ） a0 , b 0 ； （ D ） a0 , b 0 .7. A , B 均为 n 阶方阵，则下列结论中 B 成立．（ ） AB 0 , 则 A O , 或 B O ；（ ） 0 ,则A0, 或B0 ；AB AB（C）AB O,则A O,或B O ；（D）AB O,则 A0,或 B 0．三、 k 为何值时，线性方程组有解．并在有解时求通解．x1x2x 3x 4x 51,3 x1 2 x2x 3x4 3 x 50 ,x 2 2 x 3 2 x 4 6 x 5k .111111解 A32113001226k11111111111101226301226301226k00000k 3当 k3时， R( A)R(B )2 5 , 所以有依赖于 3 个独立参数的无穷多解．10115201226300000k3x1x 3x4 5 x52x 2 2 x 3 2 x 4 6 x53得 x 3x 3x 4x 4x 5x 511522263x c11c20c300(c1 , c2 , c3R ).01000000101四、已知矩阵A010 ,求可逆矩阵P 与对角阵,使得 P 1. AP101101解E A010( 1 )(2),10 , 21, 3 2 ，101进一步可求得相应的特征向量为101p10 , p21, p30。
昆明理工大学 线性代数 第1章 习题册答案
习题1.1（逆序数、行列式定义及行列式性质）一、求下列各排列的逆序数：⑴ 24351；解：τ(2 4 3 5 1)= 1+2+1+1 = 5 ⑵ 13425；解：τ(1 3 4 2 5)= 0+1+1+0 = 2⑶ n (n -1)…2 1. 解：τ( n (n -1)…2 1)=(n -1)+(n -2)+ … + 2 + 1 = n (n -1)/2 二、写出五阶行列式中含有112335a a a 及2412a a 的所有项.解：五阶行列式中含有112335a a a 的项为4511233545p p p p a a a a a τ45(135)(-1)，其中45p p 为2、4两个数的排列，共有2！= 2个，所以五阶行列式中含有112335a a a 的项分别是：11233542541123354254a a a a a a a a a a τ(13524)(-1)=-、11233542541123354452a a a a a a a a a a τ(13542)(-1)=。
五阶行列式中含有2412a a 的项为3451224345p p p p p p a a a a a τ345(24)(-1)，其中345p p p 为1、3、5三个数的排列，共有3！= 6个，所以五阶行列式中含有2412a a 的项分别是：24135122431435512243143551a a a a a a a a a a τ()(-)=-、 24153122431455312243145531a a a a a a a a a a τ()(-)=、 24315122433415512243341551a a a a a a a a a a τ()(-)=、 24351122433455112243345511a a a a a a a a a a τ()(-)=-、 24531122435435112243543511a a a a a a a a a a τ()(-)=、 24513122435415312243541531a a a a a a a a a a τ()(-)=-。
英文版院线性代数试卷A
3x + y + z = 4 − x + y − 2 z = −15 − 2 x + 2 y + z = −5
二．(10 points) Let A =
1 2 5 6 and B = . Find X such that 4 A + 2 X = B. 3 4 7 8
六．（15 points）Let the matrix A .
2 3 A= . Compute the inverse 1 1
A −1 and transpose AT of
七． （10 points） Find all values of a such that the matrix
三．（5 points）Find the symmetric matrix A such that X T AX = 5 x 2 + 6 xy + 7 y 2 , where
x . X = y
四 ． （ 10 points ） Prove that u = [1 linearly dependent vectors.
2 0] , v = [− 1 1 1] , w = [0 3 1] are
1 3 − 1 1 五．（10 points） Let A = 2 5 1 5 . Find a matrix P , expressed as a 1 1 1 3
product of elementary matrices, such that PA is a row echelon matrix.
昆 明 理 工 大 学 试 卷（A）
考试科目：线性代数（LinearAlgebra） 考试日期： 2012.6.4 学院： 任课教师：赵宁 专业班级： 上课班级： 学生姓名： 考试座位号： 命题教师：赵宁 学号：
线性代数期末考试考核试卷
4.以下哪个向量组构成一个基？
A. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)
B. (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)
C. (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1)
D. (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
二、多选题
1. BCD
2. ABCD
3. ABC
4. AB
5. ABC
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
三、填题
1. 1
2.线性无关
3.主
...
10.（根据实际题目内容填写答案）
四、判断题
1. √
2. √
3. √
...
10. ×
五、主观题（参考）
1.向量组线性无关，可以通过计算行列式不为零来证明。一个可以由给定向量组线性表示的向量可以是它们的线性组合，例如\(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3\)，其中\(a, b, c\)是适当的系数。
D. (1, 1), (1, -1)
（答题括号：________）
5.在求解线性方程组时，以下哪些情况下可以使用高斯消元法？
A.系数矩阵是方阵
B.系数矩阵是非奇异的
C.方程组中方程的个数等于未知数的个数
D.方程组可能有无穷多解
（答题括号：________）
（以下题目类似，省略以节约空间）
6. ...
A.若A为m×n矩阵，则A的转置为n×m矩阵
B.若A为m×n矩阵，则A的转置为m×n矩阵
昆明理工大学线性代数考试试题集与答案
《线性代数B》2010〜2011学年第一学期课程试卷A一、填空1 1 1 11. 2 3 4 5= 124 9 16 258 27 64 12512.设A、B 为4 阶方阵，且| A | 2, 3B 81，则| AB | 1/2 ________3. 给定矩阵A，且A E可逆,满足AB1 0 0 14.设A 0 1 1 ，则A 1 00 1 2 05.已知1, 2 ,3线性相关，3不能由1:1 1 06.设1 2 ,2 t , 3 2 ,且3 6 17. 设A是4 3矩阵,且R(A) 2 , B& 设三阶方阵A的每行元素之和均为零,又1k 1 (k 1 R) .11 30 19. 向量组 1 J 2 , 31 21 01 ,2 , 4 亠E A2 B ,则B A E0 02 1 —.1 12线性表示，则 1 , 2线性相关1 ,2 ,3线性相关，则t 8 .1 2 30 10 则R(AB) 23 1 2R(A) 2，则齐次线性方程组Ax O的通解为0 11 0J4的一个最大线性无关组为1 13 010.设A为n阶方阵，Ax0有非零解，则A必有一个特征值为、单项选择x 3 1x 2 y 4 z 21..若 y0 21,则 30 2 (A )z21121(A)1 ;(B)2 ;(C)1(D) 03.下列结论正确的是(A )(A ) 1, 2, , s 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合(B)若向量1, 2, 3线性相关，则 1, 2线性相关;(D)2 ,3 ,2 2 3 .6•若n 阶矩阵A, B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则( A )2•设A,B,C 均为二阶方阵,AB AC ，则当(C )时，可以推出B C •(A) A(B) A(C) A(D) A(C)若n 阶方阵A 与对角阵相似，则 A 有n 个不同的特征值(D)若方程组Ax O 有非零解，则 Axb 有无穷多解4.已知1, 2,3是四兀方程组Axb 的三个解，其中 R(A)3,则以下不是方程组Axb 的通解为( D )2 11 11 2 0222 (A) k;(B) k(C) k2 3 1 3 1 2 4424223 2 (D) k “1(C) 1 ,2,2 1(A) A 与B 相似;(B) A B ，但 | A B | 0;(C) A B ;(D) A 与B 不一定相似，但| A| |B|.5.设向量组 1, 2, 3线性无关，则下列向量组中线性无关的是( B )(A )12 , 2 3,3 1；( B ) 1 , 2 , 3 1；1 1 0 1 11 1 01 1- 1A2 1 23 0 1 1 1 21 1 1 1 6 0 0 1 0 50 1 0 1 k0 1 01 k1 1 0 1 j 11 1 0 1 10 111 • 20 1 1 1• 20 0 1 0: 50 0 15 0 0 1 0 :k 20 0 00 k 3当 i k3时， 方程组有解,1 0 0 0 : 1 40 1 01 i 3A10 0 1 0 d1 5 70 0 00 ■ ■x 1 4 X 2 3 X 4 X 3 5x 4x 4a0 b0 1 0的特征值之和为1,特征值之积为 1 .b0 0X 1 X 2 X 4 1, X 1 2X 2 X 3 2x 4 3 有解，并在有解时求通解X 1 X 2 X 3 X 4 6,X 2 X 4 k(D) P i P 2为零向量•三、k 为何值时,线性方程组 7.设 Ap 11P 1, AP 22 p 2 ,且 12,则以下结论正确的是( B )(A) P iP 2不— 1定是 A 的一个特征向量 (B) p 1 p 2一定不是A 的一个特征向量 (C) P i P 2 —定是 A 的一个特征向量4 0 (12分)通解为X3 1 k5 0四、已知矩阵A(1) 求 a, b(b 0)的值;(2)求可逆矩阵P 和对角阵 ，使得P 1AP0 1a 1 0 1b 2 1A 323，证明（1） 1, 2, 3线性无关；⑵令P 1, 2, 3，求P 1AP -0 0 1a 0,b 1. A 0 1 0 1 0 00 121 0 ( 1) ( 1) 01,1.当121时，E AP 1 1 , P 2 01时,P 30 1 11取P 10 0 1有P AP10 11五、计算 D na 1 1a 1 a 2a 2 1a n a na n 1 n解 D * r n ( a ii 1n(a ii 11)a 2 a 2 1a na na 2 a n 1a nn(a 1)( 1)n 1i 1六、设A 为3阶矩阵,1，2为A 的分别属于特征值1,1特征向量，向量3满足a 1 a 2 1C 2 C 1证明 k i i k 22 k 33 O ⑴,A(ki i k2 2 k3 3)O《线性代数B 》课程试卷A 解答第5页共9页1，2，3线性无关1 0 01(2) P AP 0 1 1 0 0 1、填空3.设A 为方阵，满足A 2 A 2E 0,则A6.设A 是m n 矩阵，R(A) r ,则齐次线性方程组 Ax O 有非零解的充分必要条件是 一 r n—&设三阶方阵 A 的每行元素之和均为 3,则A 有特征值 ____________ 3 ____1 1 03 1 0 4.设 A1 3 0，则 A 1 11 2 1 0 0 0 215.向量组 1 , 2, 3, 1 线性 一相一关.即k i1 k2 2 k 3( 23)。
昆工线代期末考试重点
昆明理工线性代数期末考试题型小题的题型一、行列式的计算和性质11）例题1：假设D =10332121024213221------ = -310）例题2：假设D =11212120112110----- = 4xx x x 111111111111 = 3)1)(3(-+x x 已知n 阶行列式D 中元素ija 的代数余子式为ijA ，则=+++njnijijiA a A a A a 2211îíì=¹)()(0j i D j i 12）例题3：假设3111131111311571-=D ,ijA 为D 中ij a 的代数余子式, 则=+++141312113A A A A 48 例题4：假设A 为4阶矩阵且2=A ，则3A = 162 .AA BA AB AA Tn===l l 例题5：3014A æö=ç÷èø，则2(2)(2)TA E A E --=8 . 例题6：设A 为2阶方阵，B 为3阶方阵，且2A =，2B =-，则A B -=16.例题7：1211,2111A B -éùéù==êúêú-ëûëû且(2)2()0A X B X -+-=， 则 X = -4.例题8：二、 矩阵的乘法、逆、及其性质1） 矩阵的逆公式[][]ïïïîïïíì¾®¾³====---1*11E 3211A AE n A A A n a A n 行 例题1：设矩阵1235A éù=êúëû，1101B éù=êúëû，且AX B =，则X = .úûùêëé--2335 2） 高阶的特殊矩阵记住公式（主对角形式的）高阶的特殊矩阵记住公式（主对角形式的）09）例题1：设1 0 00 2 00 0 3A æöç÷=ç÷ç÷èø，则1A -= úúúúúúûùêêêêêêëé31000210001. 例题2： n 阶方阵A 可逆， 且6A E =，则10A 可用1A -表示为 ()21-A例题3：设3113A éù=êúëû，则12(3)(9)A E A E -+-= úûùêëé0110 例题4：方阵A 满足220A A E --=，则1A -= . 例题5：假设200020002A éùêú=êúêúëû, 则3__________.A =úúúûùêêêëé800080008()()()()ïïïîïïïíì====--------11111111)(1A B AB AA AA A A T Tl l 已知A 为3阶方阵，且|A|=1/2，则()*152A A --= -16 已知A.B 均为3阶方阵，且|A|=2,|B|=3,则=--1*3B A -36 设AB=BC=CA=E ，则=++222C B A 3E 三、 向量组的相关性、秩例题1：假设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,3),T T T a a a ===则向量组 123,,a a a 线性 （相关或无关）.例题2：若向量123,,a a a 线性无关 ， 则112123,,a a a a a a +++ 线 性 关. 无例题例题3：12(6,1,3),(,2,2)TTa a a a =+=-，则当a = 1/2 时，12,a a 线性相关.例题4：已知向量组()11,2,1a=-，()22,0,ta =，()30,4,5a=-的秩为2，则t = .3 四、 正交方阵的定义例题1：. (1,1,2)Ta =-，(2,1(2,1,1),1)Tb =，则当k = 21-时，a 与k a b +正交. （两向量正交[]0,=b a ）例题例题2：设正交矩阵A 满足0A <，则A = -1 . （正交矩阵：1±=A ）例题3：两向量()()121,6,,0,1,3t a a ==-正交的条件是t = 2 . 五、 特征值的和与乘积分别表示什么例题例题1：若3阶矩阵111213212223313233a a a A a a a a a a éùêú=êúêúëû的特征值为123,,,l l l 则 123l l l ++= 332211a a a ++. 例题2：已知三阶方阵A 的特征值为1,-1,2,则E A A 23*-+ 9. 六、 方程组有解、无解、唯一解的条件 无解：r(A,b)¹r(A)ïîïíì<====n)(),(r n )(),(r )(),(r A r b A A r b A A r b A 多解：一解：有解： 例题1：设A 为m n ´矩阵，则n 元线性方程组Ax b = 有无穷多解的充分必 要条件是_____________. 例题2：方程组 1220n x x nx +++= 的基础解系为_________________. 例题3：设四元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为3，且该方程的三个解向量321h h h 满足TT)5,0,1,3(,)4,2,0,2(3121=+-=+h h h h ，则通解为_____ __ . 例题4： 仅含一个方程的齐次线性方程组11220n n a x a x a x +++=满足12,,,n a a a 不全为零，则其基础解系中一定含有 n-1 个线性无关的解向量例题5：设四元非齐次线性方程组AX b =的系数矩阵A 的秩为3，且已知它的两个解为12(1(1,,1,2,1)Th h -=-，则对应齐次方程0AX =的通解为X = . 例题6：设四元线性方程组Axb =中，()3R A =，且其三个解向量为123(1,0,1,2),(2,1,0,1,0,1)),(4,3,1(4,3,1,,4)TTTh h h =-==-，则该方程组的通解为x =七、 相似矩阵的定义例题1：n 阶矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 A 有n 个线性无关的特征向量. 例题2：若三阶方阵A 与对角阵100020003éùêúL =êúêúëû相似，则A = 6 .八、 二次型1：设二次型3121232221,2,1442)(x x x x tx tx x x x x f -+++=为正定的, 则t 的取值范围是______________.(各阶主子式全为正）t>4 例题2： 若二次型2213122322f x ax x x ax x =++-的秩为2，则a = .3.3.已知已知b a ,为正交阵A 的两个相异的列向量，则内积[]b a ,= 04.4.若若P 是n 阶正交阵，则P P T= 1.秩、行列式、特征值一样大题的题型一、 行列式的计算（1）求行列式Dn = xa aa x a a a x的值。
昆明理工大学线性代数试卷及答案
k1
0
10 0
k1
k2
0 ，∵ 系数行列式 1 1 0 =10，
k1 k2 k3 0
11 1
由克莱姆法则，方程组只有零解，即 k1=k2=k3=0，
故1 2 3 ， 2 3 ，3 线性无关。
（6 分） （10 分）
三、证明题（10 分） 设向量组1,2,3线性无关，求证1 2 3 ，2 3，3 也线性无关。（10 分）
班 级_________________姓 名_________________学 号_________________
……………………………………………装 订 线……………………………………………………
d n 1 dn
an1
bn 1
0
0
a n1
bn1
=an
a1 b1
c1 d1
+bn(1)1+2n
a1 b1
c1 d1
4 分）
c
n 1
0
d n1
d n
cn
c n 1
d
n 1
0
=andnD2n 2 bncn(1)2 n1+1D2n2=(andnbncn)D2(n1)
4 5 1
1.解： 2 3
04
3 1
2 3
0 4 c4 c2 0 4
3 0
2 =4(1)3+2 2 3
0
2
1 2 5
1 4 2 1
1 4 2 5
=4(60+104+3+16+50) =4135=540
（4 分） （8 分）
an
an 1
bn
昆明理工大学级高等数学A期末试卷及参考答案
昆明理工大学级高等数学A期末试卷及参考答案standalone； self-contained； independent； self-governed；autocephalous； indie； absolute； unattached； substantive昆明理工大学2011级《高等数学》A （2）期末试卷（A 卷） (2012年6月 日)一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.设),(y x f z =在点),(00y x 处取极小值，则函数),()(0y x f y =ϕ在0y 处（ ）。
)(A 取最小值，)(B 取最大值，)(C 取极大值，)(D 取极小值。
2.已知全微分dy y x dx xy x y x df )()2(),(222-++=，则).(),(=y x f ,33)(323y y x x A +-,33)(323y y x x B -- ,33)(323y y x x C -+.33)(323C y y x x D +-+ 3.设),0(:222>≤+a a y x D 要使,222π=σ--⎰⎰d y x a D 则.)(=a .21)(,43)(,23)(,1)(333D C B A 4.微分方程y y dx dy x ln =满足条件2)1(e y =的特解为.)(=y .)(,)(,)(,)(2221x e D e C e B e A x x x + 5. 微分方程x xe y y 22='-''的特解*y 的形式为.)( .)()(,)(,)(,)()(22222x x x x e B Ax x y D e Ax y C Axe y B e B Ax y A +===+=**** 二、填空题（每小题4分，共20分） 1.过曲面224y x z --=上点P 处的切平面平行于,0122=-++z y x 则P 点的坐标是 .2.设10,10:≤≤≤≤y x D ，则=-⎰⎰dxdy x y D.3.设曲面∑为上半球面229y x z --=的上侧，则zdxdy ∑=⎰⎰ .4.设曲线L 为)0(222>=+a ax y x ，则=⎰Lds . 5设)(x ϕ在),0(+∞有连续导数，,1)(=πϕ要使积分 dy x dx xy x x I L )()]([sin ϕ+ϕ-=⎰在0>x 时与路径无关，则=ϕ)(x .三 (9分).设),(y x z z =是由0),(=--bz y az x F 确定的隐函数，而),(v u F 可微，验证1z z a b x y∂∂+=∂∂.四(9分)计算,222dv z y x I ++=⎰⎰⎰Ω其中Ω是.2222z z y x ≤++ 五(9分)用格林公式计算,)2(2ydx x dy x xy I L --=⎰其中L 为闭区域41:22≤+≤y x D 的正向边界曲线。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（共10小题，每题2分，共20分）1. 在线性空间R^3中，向量的维数是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 无穷大2. 已知向量组{v1, v2, v3}线性无关，向量v4可以由向量组{v1, v2,v3}线性表示，那么向量组{v1, v2, v3, v4}（）。
A. 线性无关B. 线性相关C. 只存在部分线性相关D. 无法确定3. 若A是一个n×n矩阵，且满足A^2 = -I，其中I为n阶单位矩阵，则矩阵A的特征值为（）。
A. -1B. 1C. iD. -i4. 设A为n×n矩阵，若A^2=0，则（）。
A. A非奇异B. A是零矩阵C. A的特征值全为0D. A的特征向量全为05. 设A为3×3矩阵，若A的秩为2且|A|=0，则（）。
A. A的特征值必为0B. A的特征值至少有2个为0C. A的特征值可能全为非零数D. A的特征值全为非零数6. 设A为m×n矩阵，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则（）。
A. A的列向量组线性无关B. A的行向量组线性无关C. A的列向量组线性相关D. A的行向量组线性相关7. 设A、B为m×n矩阵，若AB=0，则（）。
A. A=0或B=0B. A和B至少有一方为0C. AB为零矩阵D. AB不一定为零矩阵8. 若二次型f(x) = x^T Ax恒大于等于零，其中x为非零向量且A为n×n对称矩阵，则A（）。
A. 不一定是正定矩阵B. 一定是正定矩阵C. 一定是半正定矩阵D. 不一定是半正定矩阵9. 若矩阵A=（a1，a2，a3，...，an）为方阵，并且满足AtA=In，其中In为n阶单位矩阵，则（）。
A. A非奇异B. A为对角阵C. A为正交阵D. A为对称阵10. 对于线性方程组Ax = b，若方程组有解，则（）。
A. A的行向量数等于b的个数B. A的列向量数等于b的个数C. A的秩等于b的个数D. A的秩小于等于b的个数二、简答题（共4题，每题15分，共60分）1. 请证明：若n×n矩阵A与B的秩相等，即rank(A)=rank(B)，则AB与BA的秩也相等。
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昆明理工大学 2015级 试卷( A 卷 )
考试科目： 线性代数 考试日期：2016.6.21 命题教师：集体命题 一、 填空题（每小题4分，共40分）
1. 已知A 为3阶方阵，且2A =-，则1
2A -= ；
2．已知200300020,030002003A B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=- =-
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则1=-A B ； 3. 已知1121A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的伴随矩阵*
A = ；
4. 设向量123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,)T T T t ααα= = =线性相关，则 t =
；
5. 如果n 维向量组含有1n +个向量，则该向量组的线性关系为
__________；
6. 设A 为34⨯阶的矩阵，且A 的行向量组线性无关，则
()A r =__________；
7. 已知n 元非齐次线性方程组Ax=b 有唯一解，则()A,b =r _________；
8. 设A 为正交矩阵，且0A <，则A =__________；
9. 设1010005t t ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
为正定矩阵，则t 的取值范围是 ；
10.设112 -，，是3阶方阵A 的特征值，则23A E -= .
二、计算题（共30分）
11（8分）、计算4阶行列式 40
12321
34240
3
110
D -=
---.
12（14分）、已知向量组A ： 123421234,1,3,52012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
（1）求向量组A 的秩；（2）求一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示.
13（8分）、已知12325221,3134343A =B = ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
. 求矩阵X 使得AX B =.
三、 证明题（共16分）
14（12分）、设线性方程组123123123+ 11
x x x a
ax x x x x ax +=⎧⎪++=⎨++=⎪⎩，
证明：（1）当1a ≠时方程组有唯一解，并求唯一解； (2) 当1a =时方程组有无穷多解，并求通解.
15(4分)、设向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关. 证明向量1α可由23,αα线性表示.
四、综合应用题（共14分）
16（14分）、已知对称矩阵202040205-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭A =，
试求：(1) A 的特征值及其对应的特征向量； (2) 正交矩阵P 使得1P AP -为对角矩阵.。