弹簧模型功能问题
弹簧类型题
弹簧类型题弹簧类问题是高中物理中非常典型的变力作用模型,因这类问题过程复杂,涉及的力学规律多,综合性强,能全面考查学生的科学思维、实验探究等物理核心素养,是历年高考命题的热点,但大部分学生解决弹簧类问题感觉比较困难,思路不清,甚至无从下手.本文通过典型实例分析牛顿运动定律中的弹簧类问题、功能关系中的弹簧类问题、动量守恒定律中的弹簧类问题和实验中的弹簧问题,旨在帮助学生深刻剖析力学中弹簧类问题,抓住解题要点,提高备考效率.一、弹簧类问题命题突破要点1.弹簧的弹力是一种由弹性形变决定大小和方向的力,在弹性限度内,根据胡克定律可知F弹＝kx,当题目中出现弹簧时,要注意弹力的大小和方向时刻要当时的形变相对应.一般从分析弹簧的形变入手,先确定弹簧原长位置、形变后位置、形变量x 与物体空间位置变化的关系后,分析形变所对应的弹力大小和方向,进而分析物体运动状态及变化情况.2.弹簧的形变发生改变需要时间,瞬间可认为无形变量,弹力不变,弹性势能不变.F弹＝kx 中x 表示形变量,弹力和弹性势能为某特定值时,可能对应两种状态(即弹簧伸长或压缩),高考经常在此设置题目.3.求弹簧的弹力做功时,因F弹随位移呈线性变化,可先求平均力,再用功的定义式W＝Fx 进行计算,也可根据功能关系ΔEp＝－W (弹性势能的变化等于物体克服弹力做的功)计算,弹性势能表达式Ep＝1/2kx２在目前高考中不做定量计算要求.4.弹簧连接物体组成的系统,因弹力为系统的内力,当系统外力合力为零时,系统动量守恒,应用动量守恒定律可快速求解物体的速度,此类问题涉及物体多,过程复杂,常以选择题或计算题的形式出现,注意抓住临界状态及条件,结合能量守恒定律便可求解.二、四种弹簧类问题题型一牛顿运动定律中的弹簧类问题1.弹簧弹力的特点:(１)瞬时性.弹力随形变的变化而变化,弹簧可伸长可压缩,两端同时受力,大小相等方向相反;(２)连续性.弹簧形变量不能突变,约束弹簧的弹力不能突变;(３)对称性.弹力以原长为对称,大小相等的弹力对应压缩和伸长两种状态.2.此类问题经常伴随临界问题.当题目中出现“刚好”“恰好”“正好”,表明过程中存在临界点;若出现取值范围、多大距离等词时表示过程存在“起止点”,这往往对应临界状态;若题目要求“最终加速度”“稳定速度”,即求收尾加速度和收尾速度.【例１】如图１所示,光滑水平地面上,可视为质点的两滑块A、B 在水平外力的作用下紧靠在一起压缩弹簧,弹簧左端固定在墙壁上,此时弹簧的压缩量为x０,以两滑块此时的位置为坐标原点建立如图１所示的一维坐标系,现将外力突然反向并使B 向右做匀加速运动,下列关于外力F、两滑块间弹力FN 与滑块B 的位移x 变化的关系图像可能正确的是( )【小结】准确理解胡克定律F＝kx中各物理量的含义,注意x 为形变量(伸长量或缩短量),分析弹力一般从形变量入手,抓住弹力与物体位置或位置变化的对应关系,对物体进行受力分析,结合牛顿运动定律确定物体的运动状态或各物理量随位置坐标的变化情况.题型二功能关系中的弹簧类问题1.题型特点:由轻弹簧连接的物体系统,一般有重力和弹簧弹力做功,这时系统的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化机械能守恒,注意应用功能关系或机械能守恒定律进行求解.2.注意三点:(１)对同一弹簧,弹性势能的大小由弹簧的形变量决定,与弹簧伸长或压缩无关;(２)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关;(３)如果系统中两个物体除弹簧弹力外所受合外力为零,则弹簧形变量最大时两物体速度相同.【例２】如图３所示,B、C 两小球由绕过光滑定滑轮的细线相连,C 球放在固定的光滑斜面上,A、B 两小球在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连,A 球放在水平地面上.现用手控制住C 球,并使细线刚刚拉直但无拉力作用,并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行.已知C 球的质量为４m,A、B 两小球的质量均为m ,重力加速度为g,细线与滑轮之间的摩擦不计.开始时整个系统处于静止状态;释放C 球后,B 球的速度最大时,A 球恰好离开地面,求:来计算),或者采用功能关系法(利用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律求解).特别注意弹簧有相同形变量时,弹性势能相同.题型三动量守恒定律中的弹簧类问题1.题型特点:两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统在相互作用过程中,若系统不受外力或所受合外力为零,则系统的动量守恒;同时,除弹簧弹力以外的力不做功,则系统的机械能守恒.2.注意三点:(１)此类问题一般涉及多个过程,注意把相互作用过程划分为多个依次进行的子过程,分析确定哪些子过程动量或机械能守恒,哪些子过程动量或机械能不守恒;(２)对某个子过程列动量守恒和能量守恒方程时,初末状态的动量和能量表达式要对应;(３)一个常见的临界状态,即当弹簧最长或最短时,弹性势能最大,弹簧两端物体速度相等.题型四实验中的弹簧类问题实验中的弹簧类问题涉及的实验是“探究弹簧弹力与弹簧伸长量的关系”,即胡克定律F＝kx.力F的测量要注意弹簧竖直且处于平衡状态,x的测量要注意不能超过弹性限度,用测量总长减去弹簧原长,不能直接测量形变量,否则会增大误差.胡克定律还可表述ΔF＝kΔx,根据此式即使不测量弹簧的原长也可求劲度系数,通常以弹力F 为纵坐标,弹簧长度或伸长量x 为横坐标,通过图像斜率求劲度系数.【小结】本题用固定在弹簧上的７个指针探究弹簧的劲度系数与弹簧长度的关系,将探究劲度系数k与弹簧圈数n的关系转化为探究1/k与n之间的关系,体现了化曲为直的思想,通过实验探究让学生感受弹力与形量之间的对应关系.三、结语弹簧因它的弹力、弹性势能与形变量之间有独特的关系,牛顿运动定律、机械能守恒定律及动量守恒定律等力学核心内容均可以以弹簧为载体进行考查,试题综合性强,难度大,能全面考查学生逻辑思维能力和运用数学知识解决物理问题的能力,备受命题专家的青睐,所以,备考当中应引起足够的重视.。
弹簧类问题的几种模型及其处理办法
精心整理弹簧类问题的几种模型及其处理方法学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先，由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化，加速度不断变化，从而使物体的运动状态和运动过程较复杂。
其次，这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。
还有，学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。
根据近几年高考的命题特点和知识的考查，笔者就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析，供读者参考。
一、弹簧类命题突破要点1．弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。
当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形23，高考不1例1．m2此过程中，m分析：，分别是弹簧k1、k2当用力缓慢上提m1，使k2下端刚脱离桌面时，，弹簧k2最终恢复原长，其中，为此时弹簧k1的伸长量。
答案：m2上升的高度为，增加的重力势能为，m1上升的高度为，增加的重力势能为。
点评：此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题，题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出。
注意缓慢上提，说明整个系统处于动态平衡过程。
例2．如上图2所示，A物体重2N，B物体重4N，中间用弹簧连接，弹力大小为2N，此时吊A物体的绳的拉力为T，B对地的压力为F，则T、F的数值可能是A．7N，0??????B．4N，2N?????C．1N，6N???????D．0，6N分析：对于轻质弹簧来说，既可处于拉伸状态，也可处于压缩状态。
所以，此问题要分两种情况进行分析。
（1）若弹簧处于压缩状态，则通过对A、B受力分析可得：，（2，答案：点评：2例3．分析：（2弹力和剪断，方向水平向右。
点评：此题属于细线和弹簧弹力变化特点的静力学问题，学生不仅要对细线和弹簧弹力变化特点熟悉，还要对受力分析、力的平衡等相关知识熟练应用，此类问题才能得以解决。
突变类问题总结：不可伸长的细线的弹力变化时间可以忽略不计，因此可以称为“突变弹力”，轻质弹簧的弹力变化需要一定时间，弹力逐渐减小，称为“渐变弹力”。
高三物理复习物理模型组合讲解——弹簧模型(功能问题)
模型组合讲解——弹簧模型（功能问题）［模型概述］弹力做功对应的弹簧势能，分子力做功所对应的分子势能、电场力做功对应的电势能、重力做功对应的重力势能有区别，但也有相似。
例：（2005年江苏高考）如图1所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直，磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略。
初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。
（1）求初始时刻导体棒受到的安培力。
（2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，则这一过程中安培力所做的功W1和电阻R上产生的焦耳热Q1分别为多少？（3）导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？图1解析：（1（2）由功和能的关系，得安培力做电阻R上产生的焦耳热（3［模型要点］在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系或能量转化和守恒定律求解，图象中的“面积”功也是我们要熟悉掌握的内容。
高考不作定理要求，可作定性讨论。
因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般从能量的转化与守恒的角度来求解。
分子力、电场力、重力做正功，对应的势能都减少，反之增加。
都具有相对性系统性。
弹簧一端连联物、另一端固定：当弹簧伸长到最长或压缩到最短时，物体速度有极值，弹簧的弹性势能最大，此时也是物体速度方向发生改变的时刻。
若关联物与接触面间光滑，当弹簧恢复原长时，物体速度最大，弹性势能为零。
若关联物与接触面粗糙，物体速度最大时弹力与摩擦力平衡，此时弹簧并没有恢复原长，弹性势能也不为零。
此时有两个方案：一是严格带符号运算，q考虑正和负，所得W的正、负直接表明电场力做功的正、负；二是只取绝对值进行计算，所得W只是功的数值，至于做正功还是负功？可用力学知识判定。
专题04 弹簧模型(解析版)
2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题04 弹簧模型一、高考真题1．（2022年江苏卷）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A 连接在一起，处于压缩状态，A 由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B 轻放在A 右侧，A 、B 由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中A 、B 始终不分离，当A 回到初始位置时速度为零，A 、B 与斜面间的动摩擦因数相同、弹簧未超过弹性限度，则（ ）A ．当上滑到最大位移的一半时，A 的加速度方向沿斜面向下B ．A 上滑时、弹簧的弹力方向不发生变化C ．下滑时，B 对A 的压力先减小后增大D ．整个过程中A 、B 克服摩擦力所做的总功大于B 的重力势能减小量【答案】B【详解】B ．由于A 、B 在下滑过程中不分离，设在最高点的弹力为F ，方向沿斜面向下为正方向，斜面倾角为θ，AB 之间的弹力为F AB ，摩擦因素为μ，刚下滑时根据牛顿第二定律对AB 有()()()A B A B A B sin cos F m m g m m g m m a θμθ++−+=+对B 有B B AB B sin cos m g m g F m a θμθ−−=联立可得AB A B BF F m m m =−+由于A 对B 的弹力F AB 方向沿斜面向上，故可知在最高点F 的方向沿斜面向上；由于在最开始弹簧弹力也是沿斜面向上的，弹簧一直处于压缩状态，所以A 上滑时、弹簧的弹力方向一直沿斜面向上，不发生变化，故B 正确；A ．设弹簧原长在O 点，A 刚开始运动时距离O 点为x 1，A 运动到最高点时距离O 点为x 2；下滑过程AB 不分离，则弹簧一直处于压缩状态，上滑过程根据能量守恒定律可得()()22121211sin 22kx kx mg f x x θ=++− 化简得()122sin mg f k x x θ+=+当位移为最大位移的一半时有()121in =s +2F f x x k x mg θ−⎛⎫−− ⎪⎝⎭合带入k 值可知F 合=0，即此时加速度为0，故A 错误；C ．根据B 的分析可知AB A B BF F m m m =−+再结合B 选项的结论可知下滑过程中F 向上且逐渐变大，则下滑过程F AB 逐渐变大，根据牛顿第三定律可知B 对A 的压力逐渐变大，故C 错误；D ．整个过程中弹力做的功为0，A 重力做的功为0，当A 回到初始位置时速度为零，根据功能关系可知整个过程中A 、B 克服摩擦力所做的总功等于B 的重力势能减小量，故D 错误。
数学模型之弹簧模型
一个弹簧质量系统
问题
一个弹性系数为k的弹簧左端固定，右端连接一个质量为m的滑块，放在一个光滑的水平面上，给出一定的初始位移后让其运动，求该弹簧质量系统的运动规律。
问题的数学模型为：2
2d x m kx dt
=−22020d x x dt ω+= = ()x t + 62()
cos t
1个弹簧连接1个物体水平运动的动画演示
1个弹簧连接1个物体竖直运动的动画演示
3个弹簧连接2个物体的运动
这里建立一个这样的模型，两个物体之间连有弹簧，两个物体两端又分别连接1个弹簧，两个弹簧的另一端又分别固定在墙上。
将两个物体分别拉伸一段距离后放开物体，弹簧-质量系统就会做往复运动，观察它们的运动情况，列出它们的运动方程。
= ∂∂2
t
2()x1t − + 2()x1t ()
x2t = ∂∂
2t 2()x2t − + 2()x2t ()
x1t 求解系统的微分方程得
= ()x2t + 52()cos t 1
2
()cos 3t = ()x1t − 52()cos t 12()cos 3t
系统的动态演示图
2个弹簧连接2个物体竖直运动
个物体竖直运动动态演示图
6个弹簧连接5个物体水平运动的动画演示
= + + ⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟∂∂2t 2()x t 15⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟∂∂t ()x t ()x t
0欠阻尼状态
受到重击的弹簧质量系统示意图
5()t δπ−
3cos(2/5)cos(/8)t e t t ππ−+++周期外力。
动量之弹簧类问题
动量之弹簧类问题第一部分弹簧类典型问题1.弹簧类模型的最值问题在高考复习中，常常遇到有关“弹簧类”问题，由于弹簧总是与其他物体直接或间接地联系在一起，弹簧与其“关联物”之间总存在着力、运动状态、动量、能量方面的联系，因此学生普遍感到困难，本文就此类问题作一归类分析。
1、最大、最小拉力例1. 一个劲度系数为k＝600N/m的轻弹簧，两端分别连接着质量均为m＝15kg的物体A、B，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图1所示，现加一竖直向上的外力F在物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.5s，B物体刚离开地面（设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内，且g＝10m/s2）。
求此过程中所加外力的最大和最小值。
图12、最大高度例2. 如图2所示，质量为m的钢板与直立弹簧的上端连接，弹簧下端。
一物体从钢板正上方距离为固定在地面上，平衡时弹簧的压缩量为x3x的A处自由下落打在钢板上，并立即与钢板一起向下运动，但不粘连，0它们到达最低点后又向上运动，已知物块质量也为m时，它们恰能回到O 点，若物体质量为2m仍从A处自由下落，则物块与钢板回到O点时还有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。
图23、最大速度、最小速度例3. 如图3所示，一个劲度系数为k 的轻弹簧竖直立于水平地面上，下端固定于地面，上端与一质量为m 的平板B 相连而处于静止状态。
今有另一质量为m 的物块A 从B 的正上方h 高处自由下落，与B 发生碰撞而粘在一起，已知它们共同向下运动到速度最大时，系统增加的弹性势能与动能相等，求系统的这一最大速度v 。
图3例4. 在光滑水平面内，有A 、B 两个质量相等的木块，mm k g A B==2，中间用轻质弹簧相连。
现对B 施一水平恒力F ，如图4所示，经过一段时间，A 、B 的速度等于5m/s 时恰好一起做匀加速直线运动，此过程恒力做功为100J ，当A 、B 恰好一起做匀加速运动时撤除恒力，在以后的运动过程中求木块A 的最小速度。
弹簧模型不同情况分析
摘要：此类模型是涉及弹簧在内的系统机械能守恒，在这类模型中，一般涉及动能、重力势能和弹性势能，列等式一般采用“转移式”或“转化式”。
学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先，由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化，加速度不断变化，从而使物体的运动状态和运动过程较复杂。
其次，这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。
还有，学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。
根据近几年高考的命题特点和知识的考查，笔者就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析，供读者参考。
一、弹簧类命题突破要点1．弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。
当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态。
2．因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。
3．在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解。
同时要注意弹力做功的特点：弹力做功等于弹性势能增量的负值。
弹性势能的公式，高考不作定量要求，可作定性讨论，因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。
二、弹簧类问题的几种模型1．平衡类问题例1．如图1所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块m2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。
现施力将m1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。
在此过程中，m2的重力势能增加了______，m1的重力势能增加了________。
重点高中物理必修一弹簧问题
精心整理高中物理弹簧模型问题一、物理模型：轻弹簧是不计自身质量，能产生沿轴线的拉伸或压缩形变，故产生向内或向外的弹力。
二、模型力学特征：轻弹簧既可以发生拉伸形变，又可发生压缩形变，其弹力方向一定沿弹簧方向，弹簧两端弹力的大小相等，方向相反。
三、弹簧物理问题：1．弹簧平衡问题：抓住弹簧形变量、运动和力、促平衡、列方程。
2．弹簧模型应用牛顿第二定律的解题技巧问题：（1） 弹簧长度改变，弹力发生变化问题：要从牛顿第二定律入手先分析加速度，从而分析物体运动规律。
而物体的运动又导致弹力的变化，变化的规律又会影响新的运动，由此画出弹簧的几个特殊状态（原长、平衡位置、最大长度）尤其重要。
（2） 弹簧长度不变，弹力不变问题：当物体除受弹簧本身的弹力外，还受到其它外力时，当弹簧长度不发生变化时，弹簧的弹力是不变的，出就是形变量不变，抓住这一状态分析物体的另外问题。
（3） 弹簧中的临界问题：当弹簧的长度发生改变导致弹力发生变化的过程中，往往会出现临界问题：如“两物体分离”、“离开地面”、“恰好”、“刚好”……这类问题找出隐含条件是求解本类题型的关键。
3．弹簧双振子问题：它的构造是：一根弹簧两端各连接一个小球（物体），这样的装置称为“弹簧双振子”。
本模型它涉及到力和运动、动量和能量等问题。
本问题对过程分析尤为重要。
1．弹簧称水平放置、牵连物体弹簧示数确定【例1】物块1、2放在光滑水平面上用轻弹簧相连，如图1所示。
今对物块1、2分别施以相反的水平力F1、F2，且F1>F2，则：A ．弹簧秤示数不可能为F1B ．若撤去F1，则物体1的加速度一定减小C ．若撤去F2，弹簧称的示数一定增大D ．若撤去F2，弹簧称的示数一定减小即正确答案为A 、D【点评】对于轻弹簧处于加速状态时要运用整体和隔离分析，再用牛顿第二定律列方程推出表达式进行比较讨论得出答案。
若是平衡时弹簧产生的弹力和外力大小相等。
主要看能使弹簧发生形变的力就能分析出弹簧的弹力。
高考物理弹簧模型例题解析
高考物理弹簧模型例题解析 在高考复习中，常常遇到有关“弹簧类”问题，由于弹簧总与其他物体直接或间接地联系在一起，弹簧与其“关联物”之间总存在着力、运动状态、动量、能量方面的联系，如果你感到困难，本文就此类问题逐一归类分析。
最大、最小拉力问题 例1. 一个劲度系数为k=600N/m的轻弹簧，两端分别连接着质量均为m=15kg的物体A、B，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图1所示，现加一竖直向上的外力F在物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.5s，B物体刚离开地面(设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内，且g=10m/s2)。
求此过程中所加外力的最大和最小值。
最大高度问题2019-12-07高中物理最大速度、最小速度问题 例3. 如图3所示，一个劲度系数为k的轻弹簧竖直立于水平地面上，下端固定于地面，上端与一质量为m的平板B相连而处于静止状态。
今有另一质量为m的物块A从B的正上方h高处自由下落，与B发生碰撞而粘在一起，已知它们共同向下运动到速度最大时，系统增加的弹性势能与动能相等，求系统的这一最大速度v。
最大转速和最小转速问题 最大加速度问题 例6. 两木块A、B质量分别为m、M，用劲度系数为k的轻质弹簧连在一起，放在水平地面上，如图6所示，用外力将木块A压下一段距离静止，释放后A做简谐运动，在A振动过程中，木块B刚好始终未离开地面，求木块A的最大加速度。
最大振幅 例7. 如图7所示，小车质量为M，木块质量为m，它们之间静摩擦力最大值为Ff，轻质弹簧劲度系数为k，振动系统沿水平地面做简谐运动，设木块与小车间未发生相对滑动，小车振幅的最大值是多少?最大势能问题 例8. 如图8所示，质量为2m的木板，静止放在光滑的水平面上，木板左侧固定着一根劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧的自由端到小车右端的距离为L0，一个质量为m的小木块从板的右端以初速度v0开始沿木块向左滑行，最终回到木板右端，刚好不从木板右端滑出，设木板与木块间的动摩擦因数为ц，求在木块压缩弹簧过程中(一直在弹性限度内)弹簧所具有的最大弹性势能。
高考经典物理模型：弹簧类问题(一)
弹簧类问题〔一〕——常见弹簧类问题分析轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考察力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见.应引起足够重视.弹簧类命题打破要点1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.2.因弹簧〔尤其是软质弹簧〕其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进展计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：W k =-〔21kx 22-21kx 12E p =21kx 2，高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.下面就按平衡、动力学、能量、振动、应用类等中常见的弹簧问题进展分析。
一、与物体平衡相关的弹簧问题1.(1999年，全国)如图示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚分开上面弹簧．在这过程中下面木块挪动的间隔 为( )1g/k 12g/k 2 C.m 1g/k 22g/k 2此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题．题中空间间隔 的变化，要通过弹簧形变量的计算求出．注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡过程，直至m1分开上面的弹簧．开场时，下面的弹簧被压缩，比原长短(m1 + m2)g／k2，而m l刚分开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短m2g／k2，因此m2挪动△x＝(m1 + m2)·g／k2 - m2g／k2＝m l g／k2．此题假设求m l挪动的间隔又当如何求解?参考答案:Ck1，和k2两根轻质弹簧，k1>k2；A和B表示质量分别为1和S2表示劲度系数分别为m A和m B的两个小物块，m A>m B,将弹簧与物块按图示方式悬挂起来．现要求两根弹簧的总长度最大那么应使( )．1在上，A在上1在上，B在上2在上，A在上2在上，B在上参考答案:D3.一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长，它们的一端固定，另一端自由，如下图，求这两根弹簧的劲度系数k1(大弹簧)和k2(小弹簧)分别为多少?(参考答案k1=100N/m k2=200N/m)4.(2001年上海高考)如下图，一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2的两根细线上，L1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L2程度拉直，物体处于平衡状态．现将L2线剪断，求剪断瞬时物体的加速度．(1)下面是某同学对该题的一种解法：解设L1线上拉力为T l，L2线上拉力为T2，重力为mg，物体在三力作用下保持平衡T l cosθ=mg，T l sinθ=T2，T2=mgtanθ，剪断线的瞬间，T2突然消失，物体即在T2反方向获得加速度．因为mgtanθ=ma，所以加速度a=g tanθ，方向在T2反方向．你认为这个结果正确吗?清对该解法作出评价并说明理由．解答：错．因为L2被剪断的瞬间，L1上的张力大小发生了变化．此瞬间T2=mgcosθ， a=gsinθ(2)假设将图中的细线L l改为长度一样、质量不计的轻弹簧，其他条件不变，求解的步骤和结果与(1)完全一样，即a=gtanθ，你认为这个结果正确吗?请说明理由．解答：对，因为L2被剪断的瞬间，弹簧L1的长度未及发生变化，T1大小和方向都不变．二、与动力学相关的弹簧问题5.如下图，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为M的木板，木板下面再挂一个质量为m的物体．当剪掉m后发现：当木板的速率再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不考虑剪断后m、M间的互相作用)那么M与m之间的关系必定为 ( )参考答案:B6.如下图，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，那么重物将被弹簧弹射出去，那么在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况是 ( ) 参考答案：CA.一直加速运动 B．匀加速运动C.先加速运动后减速运动 D．先减速运动后加速运动[解析] 物体的运动状态的改变取决于所受合外力．所以，对物体进展准确的受力分析是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用．刚放手时，弹力大于重力，合力向上，物体向上加速运动，但随着物体上移，弹簧形变量变小，弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间，合力为零，加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者别离．7.如下图，一轻质弹簧竖直放在程度地面上，小球A由弹簧正上方某高度自由落下，与弹簧接触后，开场压缩弹簧，设此过程中弹簧始终服从胡克定律，那么在小球压缩弹簧的过程中，以下说法中正确的选项是( ) 参考答案:C(试分析小球在最低点的加速度与重力加速度的大小关系)8.如下图，一轻质弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点．今用一小物体m把弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能运动到C点静止，物体与程度地面间的动摩擦因数恒定，试判断以下说法正确的选项是 ( )A.物体从A到B速度越来越大，从B到C速度越来越小B.物体从A到B速度越来越小，从B到C加速度不变C.物体从A到B先加速后减速，从B一直减速运动参考答案:C9.如下图，一轻质弹簧一端与墙相连，另一端与一物体接触，当弹簧在O点位置时弹簧没有形变，现用力将物体压缩至A点，然后放手。
专题受力分析之弹簧问题
弹簧类问题的几种模型及其处理方法学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先,由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化,加速度不断变化,从而使物体的运动状态和运动过程较复杂.其次,这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。
还有,学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。
根据近几年高考的命题特点和知识的考查，就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析。
一、弹簧类命题突破要点１.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。
当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向,结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态.２．因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此,在分析瞬时变化时,可以认为弹力大小不变,即弹簧的弹力不突变。
3．在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化,可以先求平均力，再用功的定义进行计算,也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点:弹力做功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式，高考不作定量要求,可作定性讨论，因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.二、弹簧类问题的几种模型1．平衡类问题例1.如图1所示,劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、ｍ2的物块拴接,劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块m2拴接,下端压在桌面上(不拴接），整个系统处于平衡状态。
现施力将ｍ1缓慢竖直上提,直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。
在此过程中,ｍ2的重力势能增加了_＿__＿_,m1的重力势能增加了__＿__＿＿_。
例2．如上图２所示，A物体重２N，B物体重4Ｎ,中间用弹簧连接,弹力大小为2Ｎ，此时吊A物体的绳的拉力为Ｔ，B对地的压力为F,则Ｔ、Ｆ的数值可能是Ａ．7N，0 B.4N，2N C.1N，６N Ｄ．０,6N平衡类问题总结：这类问题一般把受力分析、胡克定律、弹簧形变的特点综合起来，考查学生对弹簧模型基本知识的掌握情况.只要学生静力学基础知识扎实,学习习惯较好，这类问题一般都会迎刃而解，此类问题相对较简单。
弹簧类问题的几种模型及其处理方法
弹簧类问题的几种模型及其处理方法直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。
在此过程中，m2的重力势能增加了______，m1的重力势能增加了________。
分析：上提m1之前，两物块处于静止的平衡状态，所以有：，，其中，、分别是弹簧k1、k2的压缩量。
当用力缓慢上提m1，使k2下端刚脱离桌面时，，弹簧k2最终恢复原长，其中，为此时弹簧k1的伸长量。
答案：m2上升的高度为，增加的重力势能为，m1上升的高度为，增加的重力势能为。
点评：此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题，题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出。
注意缓慢上提，说明整个系统处于动态平衡过程。
例2．如上图2所示，A物体重2N，B物体重4N，中间用弹簧连接，弹力大小为2N，此时吊A物体的绳的拉力为T，B对地的压力为F，则T、F的数值可能是A．7N，0 B．4N，2N C．1N，6N D．0，6N分析：对于轻质弹簧来说，既可处于拉伸状态，也可处于压缩状态。
所以，此问题要分两种情况进行分析。
（1）若弹簧处于压缩状态，则通过对A、B受力分析可得：，（2）若弹簧处于拉伸状态，则通过对A、B受力分析可得：，答案：B、D。
点评：此题主要针对弹簧既可以压缩又可以拉伸的这一特点，考查学生对问题进行全面分析的能力。
有时，表面上两种情况都有可能，但必须经过判断，若某一种情况物体受力情况和物体所处状态不符，必须排除。
所以，对这类问题必须经过受力分析结合物体运动状态之后作出判断。
平衡类问题总结：这类问题一般把受力分析、胡克定律、弹簧形变的特点综合起来，考查学生对弹簧模型基本知识的掌握情况。
只要学生静力学基础知识扎实，学习习惯较好，这类问题一般都会迎刃而解，此类问题相对较简单。
2．突变类问题例3．（2001年上海）如图3所示，一质量为m的小球系于长度分别为l1、l2的两根细线上，l1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l2水平拉直，小球处于平衡状态。
专题4.1 弹簧模型(解析版)
第四部分 重点模型与核心问题深究专题4.1 弹簧模型目录模型一 静力学中的弹簧模型 (1)模型二 动力学中的弹簧模型 (3)模型三 与动量、能量有关的弹簧模型 (5)专题跟踪检测 (9)模型一 静力学中的弹簧模型静力学中的弹簧模型一般指与弹簧相连的物体在弹簧弹力和其他力的共同作用下处于平衡状态的问题，涉及的知识主要有胡克定律、物体的平衡条件等，难度中等偏下。
【例1】如图所示，一质量为m 的木块与劲度系数为k 的轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定在斜面顶端。
木块放在斜面上能处于静止状态。
已知斜面倾角θ＝37°，木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。
弹簧在弹性限度内，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ，sin37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
则( )A ．弹簧可能处于压缩状态B ．弹簧的最大形变量为3mg 5kC ．木块受到的摩擦力可能为零D ．木块受到的摩擦力方向一定沿斜面向上【答案】C【解析】木块与斜面间的最大静摩擦力f max ＝μmg cos θ＝0.4mg ，木块重力沿斜面方向的分力为G 1＝mg sin θ＝0.6mg ，由G 1>f max 可知，弹簧弹力的方向不可能向下，即弹簧不可能处于压缩状态，故A 错误；弹簧有最大形变量时满足G 1＋f max ＝k Δx m ，解得Δx m ＝mg k，故B 错误；当G 1＝F 弹时，木块受到的摩擦力为零，故C 正确；当G 1>F 弹时，木块受到的摩擦力沿斜面向上，当G 1<F 弹时，木块受到的摩擦力沿斜面向下，故D 错误。
【规律方法】(1)弹簧的最大形变量对应弹簧弹力的最大值。
(2)当木块刚好不上滑时所受静摩擦力达到最大值，此时弹簧弹力最大。
【分类训练】类型1 形变情况已知的弹簧模型1.木块A、B分别重50 N和70 N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.2，与A、B相连接的轻弹簧被压缩了5 cm，系统置于水平地面上静止不动，已知弹簧的劲度系数为100 N/m。
微专题一动量守恒之弹簧模型
一、弹簧模型
1.对于光滑水平面上的弹簧类问题，在作用过程中，系统所受合外力为零，
满足动量守恒条件；
2.系统只涉及弹性势能、动能，因此系统机械能守恒；
3.弹簧压缩至最短或拉伸到最长时，弹簧连接的两物体共速，此时弹簧的弹
性势能最大。
4.弹簧从原长到最短或最长相当于完非，从原长再到原长相当于完弹。
1
解得 v3＝ v1＝1 m/s
6
由机械能守恒定律有
1
1
2
Ep＝2(mA＋mB)v2 －2(mA＋mB＋mC)v32
解得Ep＝3 J
被压缩弹簧再次恢复自然长度时，滑块C脱离
弹簧，设此时滑块A、B的速度为v4，滑块C的
速度为 v5 ，由动量守恒定律和机械能守恒定
律有
(mA＋mB)v2＝(mA＋mB)v4＋mCv5
5.具体过程及规律如下：
vB′是滑块B全程最大的速度，若A未与弹簧连接，则3状态是滑块A脱离弹
簧的时刻，脱离时的速度为vA′，其大小方向如何由mA、mB决定。
6.A、B运动过程的v-t图像如图所示。
1.A、B 两小球静止在光滑水平面上，用轻质弹簧相连接，A、B 两球
的质量分别为 mA 和 mB(mA <mB)。若使A球获得初速度 v (图甲)，弹
C.两物块的质量之比为m1∶m2＝1∶2
D.在t2时刻A与B的动能之比Ek1∶Ek2＝1∶8
3.如图所示，质量为2m的小球B与轻质弹簧连接后静止于光滑水平面上，质量为m的小球A
以初速度v0向右运动逐渐压缩弹簧，A，B通过弹簧相互作用一段时间后A球与弹簧分离。若
以水平向右为正方向，且A球与弹簧分离时A，B小球的动量分别为pA和pB，运动过程中弹簧
机械能守恒定律专题10 能量守恒定律(4) 弹簧模型18.5.23
机械能守恒定律专题10 能量守恒定律应用（4）弹簧类问题弹簧类动力学观点和功能观点解题综合问题：弹簧初末态形变量相同，弹性势能相等，或者两个过程弹簧的形变量变化量相等，弹性势能变化两相同或者弹性势能与形变量的平方成正比例题1、如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。
若将小球A换为质量为3m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，则小球B下降h时的速度为（重力加速度为g，不计空气阻力。
）（B）A．B．C．D．试题分析：小球A下降h过程，根据动能定理，有mgh-W1=0；小球B下降h过程，根据动能定理，有，联立解得v=.选项B正确。
例题2、如图所示，轻质弹簧的劲度系数为k，下面悬挂一个质量为m的砝码A，手持木板B托住A缓慢向上压弹簧，至某一位置静止.此时如果撤去B，则A的瞬时加速度为1.6g现用手控制B使之以a=0.4g的加速度向下做匀加速直线运动.求:(1):砝码A能够做匀加速运动的时间？(2):砝码A做匀加速运动的过程中，弹簧弹力对它做了多少功?木板B对它的支持力做了多少功？小题1:小题2:（1）设初始状态弹簧压缩量为x1则kx1＋mg=m×可得x1=……………（1分）当B以匀加速向下运动时，由于a＜g，所以弹簧在压缩状态时A、B不会分离，分离时弹簧处于伸长状态. ……（2分）设此时弹簧伸长量为x2，则mg－kx2= m×可得x2=（1分）A匀加速运动的位移s=x1+x2=（1分）s=解得: …（2分）（2）∵x 1=x 2∴这一过程中弹簧对物体A 的弹力做功为0…………（3分）A 、B 分离时（2分）由动能定理得：…（2分）代入得： （2分）例题3、如图甲，质量为m 的小木块左端与轻弹簧相连，弹簧的另一端与固定在足够大的光滑水平桌面上的挡板相连，木块的右端与一轻细线连接，细线绕过光滑的质量不计的轻滑轮，木块处于静止状态．在下列情况中弹簧均处于弹性限度内，不计空气阻力及线的形变，重力加速度为g ．（1）图甲中，在线的另一端施加一竖直向下的大小为F 的恒力，木块离开初始位置O 由静止开始向右运动，弹簧开始发生伸长形变，已知木块过P 点时，速度大小为v ，O 、P 两点间距离为s ．求木块拉至P 点时弹簧的弹性势能；（2）如果在线的另一端不是施加恒力，而是悬挂一个质量为M 的物块，如图乙所示，木块也从初始位置O 由静止开始向右运动，求当木块通过P 点时的速度大小．（1）用力F 拉木块至P 点时，设此时弹簧的弹性势能为E P ，根据功能关系有Fs=E P +1/2mv 2…①代入数据可解得：E P =Fs-1/2mv 2…（2）悬挂钩码M 时，当木块运动到P 点时，弹簧的弹性势能仍为E p ，设木块的速度为v′，由机械能守恒定律得：Mgs=E P +1/2(m+M)v′2…③联立②③解得v′= √(mv 2+2(Mg-F)s)/(M+m)例题4、如图，质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k , A 、B 都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m 3的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升.若将C 换成另一个质量为（m 1+ m 3）的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g解析： 开始时，A 、B 静止，设弹簧压缩量为1x ，有11g kx m =挂C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚要离地时弹簧伸长量为2x ，有22kx m g =B 不再上升，表示此时A 和C 的速度为零，C 已降到其最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为 312112=m ()()E g x x m g x x ∆+-+C 换成D 后，当B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得311311211211()()()()2222m m υm υm m g x x m g x x E ++=++-+-∆联立解得υ=例题5、如图，一个倾角θ＝30°的光滑直角三角形斜劈固定在水平地面上，顶端连有一轻质光滑定滑轮。
专题04 弹簧模型(解析版)
2024年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题04 弹簧模型【特训典例】一、高考真题1．（2023·山东·统考高考真题）餐厅暖盘车的储盘装置示意图如图所示，三根完全相同的弹簧等间距竖直悬挂在水平固定圆环上，下端连接托盘。
托盘上叠放若干相同的盘子，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平。
已知单个盘子的质量为300g，相邻两盘间距1.0cm，重力加速度大小取10m/s2。
弹簧始终在弹性限度内，每根弹簧的劲度系数为（）A．10N/m B．100N/m C．200N/m D．300N/m【答案】B【详解】由题知，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平，则说明一个盘子的重力可以使弹簧形变相邻两盘间距，则有mg= 3·kx解得k= 100N/m故选B。
2．（2022·湖北·统考高考真题）如图所示，质量分别为m和2m的小物块Р和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地面上，Р通过一根水平轻绳连接到墙上。
P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
用水平拉力将Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q恰好能保持静止。
弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g。
若剪断轻绳，Р在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位移大小为（）A ．μmgkB ．2mgkμ C ．4mgkμ D ．6mgkμ 【答案】C【详解】Q 恰好能保持静止时，设弹簧的伸长量为x ，满足2kx mg μ=若剪断轻绳后，物块P 与弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的最大压缩量也为x ，因此Р相对于其初始位置的最大位移大小为42mgs x kμ== 故选C 。
3．（2023·辽宁·统考高考真题）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为d 和2d ，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B 和B 。
已知导体棒MN 的电阻为R 、长度为d ，导体棒PQ 的电阻为2R 、长度为2d ，PQ 的质量是MN 的2倍。
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弹簧模型（功能问题）［模型概述］弹力做功对应的弹簧势能，重力做功对应的重力势能有区别，但也有相似。
弹簧类题的动量分析和能量分析1．受力分析、运动分析明确（1）何时：v max、v min、E pmax、E pmin、E k总max、E k总min、E kimax、E kimin弹簧伸长最长E pmax、E k总max（2）三个典型状态弹簧压缩最短原加速的物体v最大恢复原长伸长→原长原减速的物体v不一定最小2．动量守恒的系统和过程的确定（F外= 0之后）3．能量守恒的系统和过程的确定（注意：v突变中的能量转化）例题1、如图所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相等的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是( )A ．A 开始运动时B ．A 的速度等于v 时C ．弹簧压缩至最短时D ．A 和B 的速度相等时 例题2、如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m 1和m 2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平面上．现使m 1瞬时获得水平向右的速度 3 m/s ，以此刻为时间零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图象信息可得( ) A ．在t 1、t 3时刻两物块达到共同速度1 m/s 且弹簧都是处于压缩状态 B ．从t 3到t 4时刻弹簧由伸长状态逐渐恢复原长 C ．两物体的质量之比为m 1∶m 2＝1∶2D ．在t 2时刻两物体的动能之比为E K1∶E K2＝1∶2例题3、．如图14所示，水平轨道AB 与半径为R 的竖直半圆形轨道BC 相切于B 点。
质量为2m 和m 的a 、b 两个小滑块（可视为质点）原来静止于水平轨道上，其中小滑块a 与一轻弹簧相连。
某一瞬间给小滑块a 一冲量使其获得弹gR v 23的初速度向右冲向小滑块b ，与b 碰撞后簧不与b 相粘连，且小滑块b 在到达B 点之前已经和弹簧分离，不计一切摩擦，求：（1）a 和b 在碰撞过程中弹簧获得的最大弹性势能； （2）小滑块b 经过圆形轨道的B 点时对轨道的压力； （3）试通过计算说明小滑块b 能否到达圆形轨道的最高点C 。
例题4、如图所示，半径为R 的光滑半圆环轨道与高为10R的光滑斜轨道放图14在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD 相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。
在水平轨道上，轻持弹簧被a 、b 两小球挤压，处于静止状态。
同时释放两个小球，a 球恰好能通过圆环轨道最高点A ，b 球恰好能到达斜轨道的最高点B 。
已知a 球质量为m ，重力加速度为g 。
求： (1)a 球释放时的速度大小； (2)b 球释放时的速度大小； (3)释放小球前弹簧的弹性势能。
典型训练1.如图所示，半径为R 的光滑半圆环轨道竖直固定在一水平光滑的桌面上，桌距水平地面的高度也为R 。
在桌面上轻质弹簧被a 、b 两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态。
同时释放两个小球，小球a 、b 与弹簧在水平桌面上分离后，a 球从B 点滑上光滑半圆环轨道并恰能通过半圆环轨道最高点A ，b 球则从桌面C平距离为R 25。
已知小球a 质量为m 求：（1）释放后a (2）释放后b (3）释放小球前弹簧具有的弹性势能。
2.如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上有质量均为m 的A 、B 、C 三个相同物块，其中A 和B 用劲度系数为k 的轻弹簧相连，静止在斜面上．在斜面的底端有一个固定挡板．现在将C 从斜面上某点由静止释放，B 和C 碰撞时间极短，B 和C 碰撞后粘连一起不再分开，以后的运动过程中A恰好不离开挡板．整个过程中，弹簧处在弹性限度以内。
求：(1)物块B上升的最高点与最初位置之间的距离；(2)物块C释放时离B物块的距离d．3、如图所示，半径R=0.5m的光滑半圆轨道竖直固定在高h=O.8m的光滑水平台上并与平台平滑连接，平台CD长L=1.2m．平台上有一用水平轻质细线栓接的完全相同的物块m1和m2组成的装置Q，Q处于静止状态。
装置Q中两物块之间有一处于压缩状态的轻质小弹簧（物块与弹簧不栓接）．某时刻装置Q中细线断开，待弹簧恢复原长后，m1、m2两物块同时获得大小相等、方向相反的水平速度，m1经半圆轨道的最高点A后，落在水平地面上的M点，m2落在水平地面上的P点．已知m l= m2 = 0.2kg，不计空气阻力，g取10m／s2．若两物块之间弹簧被压缩时所具有的弹性势能为7.2J，求（1）物块m1通过平台到达半圆轨道的最高点A时对轨道的压力；（2）物块m1和m2相继落到水平地面时PM两点之间的水平间距.4、如图所示，光滑的水平导轨MN右端N处与水平传送带理想连接，传送带长度L=0.8m，皮带以恒定速率v=3.0m/s向右匀速运动。
传送带的右端处平滑连接着一个在竖直平面内、半径为R=0.4m 的光滑半圆轨道PQ ，两个质量均为m=0.2kg 的滑块A 、B 置于水平导轨MN 上，开始时滑块A 、B 之间用细绳相连，其间有一压缩的轻弹簧，系统处于静止状态。
现使细绳断开，弹簧伸展，滑块B 脱离弹簧后滑上传送带，从右端滑出并沿半圆轨道运动到最高点Q 后水平飞出，又正好落回N 点。
已知滑块B 与传送带之间的动摩擦因数μ=165，取g=10m ／s 2。
求：（1）滑块B 到达Q 点时速度的大小；（2）滑块B 在半圆轨道P 处对轨道的压力； （3）压缩的轻弹簧的弹性势能E p 。
参考答案例题1、解析：开始压缩时，A 的速度为零，B 的速度最大，随着弹簧的压缩，弹力增大，对B 向左，对A 向右，使B 减速，使A 加速，在A 和B 的速度相等时，弹簧压缩至最短，弹性势能最大，系统动能损失最大．接着，B 继续减速，A 继续加速，弹簧开始恢复原长，弹性势能减少，系统动能增大． 答案：CD例题2．解析：在t 1、t 3时刻两物块达到共同速度1 m/s ，但t 1时刻弹簧处于最大压缩状态，t 3时刻弹簧处于最大伸长状态，从t 3到t 4时刻弹簧由伸长状态逐渐恢复原长；整个过程动量守恒，有m 1·3＝(m 1＋m 2)·1，解得m 1∶m 2＝1∶2；动能之比为E k1∶E k2＝12m 1v 21∶12m 2v 22＝1∶8.答案：BC例题3、解：（1）a 与b 碰撞达到共速时弹簧被压缩至最短，弹性势能最大。
设此时ab 的速度为v ，则由系统的动量守恒可得2m v 0＝3m v由机械能守恒定律解得：mE 43pm =（2分）（2）当弹簧恢复原长时弹性势能为零，b 开始离开弹簧，此时b 的速度达到最大值，并以此速度在水平轨道上向前匀速运动。
设此时a 、b 的速度分别为v 1和v 2，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得2m v 0＝2m v 1+m v 2解得： gR v 22=（1分）滑块b 到达B 时，根据牛顿第二定律有Rv m mg N 22=- 解得 N =5mg （2分）根据牛顿第三定律滑块b 在B 点对轨道的压力N ′=5mg ，方向竖直向下。
（1分）（3）设b 恰能到达最高点C 点，且在C 点速度为v C ，此时轨道对滑块的压力为零，滑块只受重力，由牛顿第二定律Rv m mg 2C=解得 gR v =C （1分）再假设b 能够到达最高点C 点，且在C 点速度为v C ＇,由机械能守恒定律可得：解得v C ＇=0＜gR 。
所以b 不可能到达C 点，假设不成立。
（1分）用其他方法证明结果正确同样得分。
例题4、解：(1)a 球过圆轨道最高点A 时R v mmg A2= ……………………(2分)求出gR v A =a 球从C 运动到A ，由机械能守恒定律2212122⨯+=mg mv mv A C R…………………………(2分)由以上两式求出gR v v C a 5==……………………(2分) (2)b 球从D 运动到B ，由机械能守恒定律求出gR v v D b 52== ……………………………… (4分) (3)以a 球、b 球为研究对象，由动量守恒定律 mva=mbvb ……………………………………(2分) 求出m m b 21=弹簧的弹性势能222121b b a p v m mv E +=……………(2分)求出 E ρ=7.5mgR ………………………………………(2分) 典型训练1(1)小钢球从最高点摆至与Ａ碰撞的过程中，由机械能守恒定律有：m 0gH=21mv １2(2分) 得：v １=4m/s (1分)(2)设小物体Ａ被小钢球碰撞后的速度为v 2，Ａ与小钢球碰撞的过程动量守恒，有：m 0v 1＝-m 021v +mv 2 (2分)得：v 2=2m/s (1分)(3)设小物体Ａ运动至木板车Ｂ右端时的速度为v 3，木板车Ｂ的速度为v 4．Ａ与Ｂ发生相对运动的过程中，动量守恒，有mv 2＝mv 3＋Ｍv 4 (2分)Ａ与Ｂ发生相对运动的过程中，根据能量守恒定律，有：μmg Ｌ＝21mv 2２－（21mv 3２＋21Ｍv 4２） (2分) 以上两式联立解得：v 3＝34m/s ，v 4＝31m/s (2分) 因为v 3＞v 4，说明小物体Ａ能从木板车B 的右端飞出． （1分）小物体Ａ从木板车右端飞出后做平抛运动，根据平抛运动的规律，在竖直方向上，h ＝21gt 2 （2分）得Ａ作平抛运动的时间t =0.3s (1分)小物体Ａ落地与木板车Ｂ右端的水平距离s ＝(v 3-v 4)t ＝0.3m (2分)2.⑴设B 、C 碰撞前弹簧的压缩量为x 1,则由B 平衡得1sin 30kx mg =︒ （3分）设A 对挡板恰好无压力时弹簧伸长量为x 2,由A 受力平衡得2sin 30kx mg =︒ （3分）物体B 上升至最高点与开始平衡位置之间的距离为L =x 1+x 2=mgk（2分）⑵设B 、C 碰撞之前瞬间C 的速度为υ,由动能定理得21sin 302mgd m υ︒= （2分） B 、C 碰撞动量守恒,设碰撞后共同速度为υ1,则12m m υυ= （2分） 碰撞后整个系统机械能守恒,从碰撞结束到B 至最高点211212122()sin 302p p E m E mg x x υ+=++︒ （3分）由于x 1=x 2,故 12p p E E = （3分） 由以上各式解得 4mgd k=（2分 3．（15分）解析：（1）由题意知2122p E mv =⨯ 2分细线断开时，两物块获得的水平速度126m/sv v === 1分m 1由D 到A 过程由机械能守恒可得22111222Amv mg R mv =⋅+ 2分m 1到达A 点时由牛顿第二定律得2AN v F mg mR += 2分 联立解得 F N = 4.4N 1分由牛顿第三定律得m 1对轨道的压力 F N ' =F N = 4.4N 2分（2）由平抛运动知识可得m 1从A 点平抛位移m 4.2)2(21=+=g h R v x A2分m 1从D 点平抛位移m 4.2222==g hv x 2分故PM 之间的水平间距m 2.121=-+=∆x x L x 1分4（1）．滑块B 从Q 飞出后做平抛运动，有： t v L Q =……（1） （2分）2212gt R =……（2） （2分）由（1）（2）解得s m v Q 2=……（2分）（2）．滑块B 从P 运动到Q 过程中满足机械能守恒，有： 2221221P Qmv mgR mv =+（3）在Q 点有：Rmv mg N P2=-……（4） （2分）由（3）（4）解得：N Rmv mg N Q1252=+= （2分）（3）．由（3）得：s m gR v v Q P 5242=+= （1分）则有s m v v P 3=>，滑块B 在皮带上做匀减速运动（1分） 加速度g mf a μ-=-= aL v v N P222=- A 、B 组成的系统动量守恒A N mv mv = （2分）弹簧的弹性势能J mv mv E A N P 5212122=+= （1分）。