全等三角形的判定 课件
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全等三角形判定ppt课件
若两个三角形全等，则它们的周长也 相等。
对应角相等
在全等三角形中，任意两个对应 的角都相等。
若两个三角形全等，则它们的内 角和也相等，且均为180度。
可以通过测量两个三角形的三个 内角来判断它们是否全等。
面积相等
若两个三角形全等，则它们的面积也相等。 可以通过计算两个三角形的面积来判断它们是否全等。
1 2
定义
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
图形语言
若a=a'，∠B=∠B'，b=b'，则⊿ABC≌⊿A'B'C'。
3
符号语言
∵a=a'，∠B=∠B'，b=b'，∴⊿ABC≌⊿A'B'C'（ SAS）。
角边角判定法（ASA）
01
02
03
定义
两角和它们的夹边分别相 等的两个三角形全等。
图形语言
实例1
证明两个三角形全等并求出未知 边长
实例2
利用全等三角形判定方法证明两个 四边形面积相等
实例3
利用全等三角形判定方法解决一个 实际问题，如测量一个不可直接测 量的距离
06
总结与展望
判定全等三角形的方法总结
三边分别相等的两个三角形全等。这是最基本的判定 方法，通过比较三角形的三边长度来确定两个三角形
证明过程
可以通过AAS（角角边）全等条件进行证明，即 如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分 别相等，则这两个三角形全等。这也是一种常用 的全等三角形判定方法。
实际应用举例
在实际应用中，角角边判定法常用于解决与角度 和边长有关的问题。例如，在建筑设计中，如果 需要确保两个建筑结构的角度和边长完全相等， 就可以利用角角边判定法来进行验证。
三角形全等的判定ppt课件
尺
作图区
规
例题解析
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB。
求证：∠A=∠C
D
要证明∠A=∠C,需先证明△ABD和△CDB
全等, 然后由全等三角形的性质定理得到结论.A
证明:
在△ABD和△CDB中, AB=CD (已知) AD=CB (已知) BD=DB (公共边)
∴△ABD≌△CDB (SSS)
B E CF
＿＿AC＿=DF ( 已知 )
BC=＿E＿F (已证 ) ∴△ABC≌△DEFS(SS )
新知探究
如图,在∠CAB中，AF=DE, DF=DE. 求证:AD是∠CAB的角平分线.
C
1 2
A
D B
例题解析
已知∠BAC，用直尺和圆规∠BAC的角平分线AD
C
C
作法:
A
D
B
A
B
1、以点A为圆心，适当的长为半径，与角的两边分别交于E、F两点;
注意几何语言规范
2.三角形具有稳定性。房屋的人字架、大桥的钢梁、 起重机的支架、自行车的车座等，采用三角形结构， 起到稳固的作用。
课堂小结
内容
有三边对应相等的 两个三角形全等
边 边边
应用
思路分析
结合图形找隐含条件和 现有条件，证准备条件
书写步骤 四个步骤
注意
1. 说明两三角形全等所需的条 件应按对应边的顺序书写. 2. 结论中所出现的边必须在所 证明的两个三角形中.
A
D
C
B
E
图1
图2
新知探究
如图 ,把两根木条的一端用螺栓固定在一起,木条可以自由转动.在转 动过程中,连结另两个端点所成的三角形的形状、大小随之改变.如 果把另两个端点用螺栓固定在第三根木条上,那么构成的三角形的形 状、大小就完全确定.
人教版《三角形全等的判定》PPT全文课件
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
0
探究一：探索三角形全等的条件
建立模型，探索发现
只给定一条边相等：
只给定一个角相等：
3cm
3cm
3cm
30°
30°
30°
满足一个条件相等时，两个三角形不一定全等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
0
探究一：探索三角形全等的条件
问题：两个三角形满足六个条件中的两个条件，两个三角形全等吗？两个条件有几种情况?
证明：连接AC，
【解题过程】
如图, 在四边形ABCD中, AB=AD, CB=CD, 求证:∠B=∠D.
∴∠B=∠D．(全等三角形对应角相等)
【思路点拨】先连接AC, 由于AB=AD, CB=CD, AC=AC, 利用SSS可证△ABC≌△ADC, 于是∠B=∠D. 要求学生从“形”思维到“质”的思维飞跃, 实现将“文字语言”, “图形语言”转化为“符号语言”.
∥
∵BC=DE, ∴BC+CD=DE+CD. 即BD=CE.
【数学思想】 数形结合思想，分类讨论思想.
∴ ∠ADB＝∠FEC，AD=EF (全等三角形对应角相等) ∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)
在△ABD和△FCE中
∴△ABD≌△FCE (SSS).
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例4
0
探究三：利用三角形全等的判定“SSS”解决问题
△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，请问AD⊥BC吗？请说明理由．
在△ABD和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
0
探究一：探索三角形全等的条件
建立模型，探索发现
只给定一条边相等：
只给定一个角相等：
3cm
3cm
3cm
30°
30°
30°
满足一个条件相等时，两个三角形不一定全等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
0
探究一：探索三角形全等的条件
问题：两个三角形满足六个条件中的两个条件，两个三角形全等吗？两个条件有几种情况?
证明：连接AC，
【解题过程】
如图, 在四边形ABCD中, AB=AD, CB=CD, 求证:∠B=∠D.
∴∠B=∠D．(全等三角形对应角相等)
【思路点拨】先连接AC, 由于AB=AD, CB=CD, AC=AC, 利用SSS可证△ABC≌△ADC, 于是∠B=∠D. 要求学生从“形”思维到“质”的思维飞跃, 实现将“文字语言”, “图形语言”转化为“符号语言”.
∥
∵BC=DE, ∴BC+CD=DE+CD. 即BD=CE.
【数学思想】 数形结合思想，分类讨论思想.
∴ ∠ADB＝∠FEC，AD=EF (全等三角形对应角相等) ∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)
在△ABD和△FCE中
∴△ABD≌△FCE (SSS).
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例4
0
探究三：利用三角形全等的判定“SSS”解决问题
△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，请问AD⊥BC吗？请说明理由．
在△ABD和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
三角形全等的判定ppt课件
知4－讲
1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全 等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
感悟新知
2. 书写格式：如图12 . 2-8， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∠ B= ∠ B′， BC=B′C′， ∠ C= ∠ C′， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA).
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
感悟新知
知识点 1 基本事实“边边边”或“SSS”
知1－讲
1. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成 “边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后， 其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的 依据.
感悟新知
感悟新知
知5－练
例5 如图12.2-11，AB=AE，∠ 1= ∠ 2，∠ C= ∠ D． 求证：△ ABC ≌△ AED．
感悟新知
思路引导：
知5－练
感悟新知
知5－练
技巧点拨：判定两个三角形全等，可采用执果 索因的方法，即根据结论反推需要的条件. 如本 题还缺少∠ BAC= ∠ EAD，需利用已知条件∠ 1= ∠ 2 进行推导.
感悟新知
知2－练
③以点M′为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠ BAC 内 部交②中所画的弧于点N′； ④过点N′作射线DN′交BC 于点E． 若∠ B=52°，∠C=83°，则∠ BDE= ___4_5_°__.
感悟新知
知识点 3 基本事实“边角边”或“SAS”
知3－讲
1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全 等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
感悟新知
解：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD， 即∠BAC＝∠EAD.
完整版三角形全等的判定ppt课件
12.5 三角形全等的判定
初二（5、6）班
1
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
B
CE
F
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
40
例 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？
A
B
1
C
2
E
D
41
证明：在△ABC 和△DEC 中，
AC = DC（已知），
(4) 两角一边 ?
27
3.角边角公理(ASA)：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简 写成“角边角”或“ASA ”
A
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
B
∠A =∠A′
AB = A′B′
∠B =∠B′
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）． B′
C A′
C′
28
4.角角边公理(AAS)：
AB =AC ，
∵ BD =CD ， B
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
32
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：
初二（5、6）班
1
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
B
CE
F
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
40
例 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？
A
B
1
C
2
E
D
41
证明：在△ABC 和△DEC 中，
AC = DC（已知），
(4) 两角一边 ?
27
3.角边角公理(ASA)：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简 写成“角边角”或“ASA ”
A
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
B
∠A =∠A′
AB = A′B′
∠B =∠B′
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）． B′
C A′
C′
28
4.角角边公理(AAS)：
AB =AC ，
∵ BD =CD ， B
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
32
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：
17.4 直角三角形全等的判定课件(共18张PPT)
复习引入
1.全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等.
2.判别两个三角形全等的方法：
SSS SAS ASA AAS
知识点1 直角三角形全等的判定定理
新知探究
我们已经知道，三边对应相等的两个三角形全等.由勾股定理可知，两边对应相等的两个直角三角形，其第三边一定相等.从而，这两个直角三角形一定全等.因此，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点2 角平分线性质定理的逆定理
角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
归纳：
随堂练习
1.判断下列命题的真假，并说说你的理由．（1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；（2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；（3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；（4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线也相等的两个直角三角形全等.
2.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F. 求证：CE=DF.
证明：∵ AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ ACB= ∠ BDA=90°.在Rt △ ABC 和Rt △ BAD 中，AB=BA，BC=AD，∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ BAD(HL).∴∠ CBE= ∠ DAF.∵ CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠ CEB=∠ DFA=90°.
在△ BCE 和△ ADF 中， ∠ CEB= ∠ DFA， ∠ CBE= ∠ DAF， BC=AD，∴△ BCE ≌△ ADF(AAS). ∴ CE=DF.
归纳小结
直角三角形全等的判定定理：
斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等．
角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
1.全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等.
2.判别两个三角形全等的方法：
SSS SAS ASA AAS
知识点1 直角三角形全等的判定定理
新知探究
我们已经知道，三边对应相等的两个三角形全等.由勾股定理可知，两边对应相等的两个直角三角形，其第三边一定相等.从而，这两个直角三角形一定全等.因此，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点2 角平分线性质定理的逆定理
角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
归纳：
随堂练习
1.判断下列命题的真假，并说说你的理由．（1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；（2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；（3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；（4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线也相等的两个直角三角形全等.
2.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F. 求证：CE=DF.
证明：∵ AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ ACB= ∠ BDA=90°.在Rt △ ABC 和Rt △ BAD 中，AB=BA，BC=AD，∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ BAD(HL).∴∠ CBE= ∠ DAF.∵ CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠ CEB=∠ DFA=90°.
在△ BCE 和△ ADF 中， ∠ CEB= ∠ DFA， ∠ CBE= ∠ DAF， BC=AD，∴△ BCE ≌△ ADF(AAS). ∴ CE=DF.
归纳小结
直角三角形全等的判定定理：
斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等．
角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
《三角形全等的判定》全等三角形PPT课件
好的△ ′′′剪下来，放到△ 上，它们全等吗？
画一个△ ′′′，使′′ = ，′’ =
，∠′ = ∠：
（1）画∠′ = ∠；
（2）在射线′上截取′′ = ，在
射线′上截取′′ = ；
（3）连接′′.
【结论】两边和它们的夹角分别相等的三角形全等。也就是说，三角形的两
⫽ .
∠4. 求证：∠5 = ∠6.
∵ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， = ，
根据易证△ ≌△ ，
∴有 = ，
又∵ ∠3 = ∠4， = ，
则可根据判定△ ≌△ ，
故∠5 = ∠6.
知识梳理
例4：如图，、交于点，、为上两点， = ， =
就全等了.如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直
角三角形全等吗？
教学新知
探索5：任意画出一个△，使∠=90°.再画一个 △ ′’’，使
∠′=90°，′′=，′′=.把画好的△′′′剪下来，放
到△上，它们全等吗？
画 一 个 △ ′′′ ， 使 ∠′ = 90° ， ′′ =
求证 = .
∵⊥，⊥
∴∠与∠都是直角
在R △ 和Rt △ 中，
=
=
∴ △ ≌ △ （）
∴ = .
知识梳理
知识点1：“边边边”（或“SSS”）
1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”
两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的.
能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角
形全等呢？
探索1：先任意画出一个△ ABC.再画一个△ A′B′C′，使△ ABC与
△ A′B′C′满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别
相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你
画一个△ ′′′，使′′ = ，′’ =
，∠′ = ∠：
（1）画∠′ = ∠；
（2）在射线′上截取′′ = ，在
射线′上截取′′ = ；
（3）连接′′.
【结论】两边和它们的夹角分别相等的三角形全等。也就是说，三角形的两
⫽ .
∠4. 求证：∠5 = ∠6.
∵ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， = ，
根据易证△ ≌△ ，
∴有 = ，
又∵ ∠3 = ∠4， = ，
则可根据判定△ ≌△ ，
故∠5 = ∠6.
知识梳理
例4：如图，、交于点，、为上两点， = ， =
就全等了.如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直
角三角形全等吗？
教学新知
探索5：任意画出一个△，使∠=90°.再画一个 △ ′’’，使
∠′=90°，′′=，′′=.把画好的△′′′剪下来，放
到△上，它们全等吗？
画 一 个 △ ′′′ ， 使 ∠′ = 90° ， ′′ =
求证 = .
∵⊥，⊥
∴∠与∠都是直角
在R △ 和Rt △ 中，
=
=
∴ △ ≌ △ （）
∴ = .
知识梳理
知识点1：“边边边”（或“SSS”）
1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”
两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的.
能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角
形全等呢？
探索1：先任意画出一个△ ABC.再画一个△ A′B′C′，使△ ABC与
△ A′B′C′满足上述六个条件中的一个（一边或一角分别
相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你
全等三角形的判定ppt课件
全等三角形也是数学竞赛中常见 的考点之一，涉及到的知识点包
括边角关系、判定方法等。
02
全等三角形的判定方法
边边边定理
总结词
三边对应相等的两个三角形全等 。
详细描述
根据三角形的基本性质，如果两 个三角形的三边长度相等，则这 两个三角形必然全等。
边角边定理
总结词
两边对应相等且夹角相等的两个三角 形全等。
全等三角形的判定
• 全等三角形概述 • 全等三角形的判定方法 • 全等三角形的证明步骤 • 全等三角形在几何中的应用 • 全等三角形的实际应用案例
01
全等三角形概述
全等三角形的定义
定义
两个三角形全等，是指能够完全重合的两个三角形，即它们的形状相同，大小 也相同。
符号表示
记作△ABC≌△DEF或ABCDH≌EFGH。
全等三角形在几何中的其他应用
证明其ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何命题
通过证明两个三角形全等，可以证明一些其他几何命题，比如平 行线性质、勾股定理等。
研究三角形和多边形的性质
利用全等三角形研究三角形和多边形的性质，可以发现一些新的几 何定理和性质。
解决其他实际问题
利用全等三角形解决其他实际问题，比如面积计算、周长计算等。
THANKS
证明线段相等
总结词
全等三角形的对应边相等
详细描述
全等三角形的对应边也称为对应边。因此，全等三角形的对应边是相等的。这个性质常常被用来证明 两条线段相等。
证明线段垂直
总结词
全等三角形可以用来证明线段垂直
详细描述
在几何图形中，有时候需要证明某条线段与 另一条线段垂直。这时，可以利用全等三角 形的性质，通过证明两个三角形全等来证明 这两条线段垂直。
全等三角形的判定PPT课件共34张
24
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
15
SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
15
SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。
直角三角形全等的判定ppt课件
分
析 锐角和任意一边对应相等判断两个直角三角形全等的方法
是“AAS”或“ASA”.
相等，故只需找另外两个条件即可.
17.4 直角三角形全等的判定
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对点典例剖析
考
点
典例
如图，四边形 ABCD 是一条河堤坝的横截面，
清
单
解 AE=BF，且 AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为 E，F，AD=BC，求
读 证：∠C=∠D.
17.4 直角三角形全等的判定
考
点
清
单
解
读
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［解题思路］
突
破 过点 A 且垂直于 AC 的射线 AQ上运动，问点 P 运动到 AC
上什么位置时，△ABC 才能和△APQ 全等．
17.4 直角三角形全等的判定
返回目录
重
［答案］ 解：①当点 P 运动到 AC 中点时，AP=
难
题 AC=5=BC，∵∠C=∠QAP=90°，在 Rt△ABC 和 Rt△QPA 中
型 ∵DF=DB，DC=DE，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF=EB；
突
破
（2）设 CF=BE=x，则 AE=AB-BE=12-x，∵AD 平分∠BAC
，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．在 Rt△ACD 和 Rt△AED
中，∵AD=AD，CD=ED，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
型
突 ， CB=AP，BA=PQ ，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即
破
AP=BC=5 cm，此时点 P 是 AC 的中点；②当点 P 运动到
与点 C 重合时，AP=AC，在 Rt△ABC 和 Rt△PQA 中，
析 锐角和任意一边对应相等判断两个直角三角形全等的方法
是“AAS”或“ASA”.
相等，故只需找另外两个条件即可.
17.4 直角三角形全等的判定
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对点典例剖析
考
点
典例
如图，四边形 ABCD 是一条河堤坝的横截面，
清
单
解 AE=BF，且 AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为 E，F，AD=BC，求
读 证：∠C=∠D.
17.4 直角三角形全等的判定
考
点
清
单
解
读
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［解题思路］
突
破 过点 A 且垂直于 AC 的射线 AQ上运动，问点 P 运动到 AC
上什么位置时，△ABC 才能和△APQ 全等．
17.4 直角三角形全等的判定
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重
［答案］ 解：①当点 P 运动到 AC 中点时，AP=
难
题 AC=5=BC，∵∠C=∠QAP=90°，在 Rt△ABC 和 Rt△QPA 中
型 ∵DF=DB，DC=DE，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF=EB；
突
破
（2）设 CF=BE=x，则 AE=AB-BE=12-x，∵AD 平分∠BAC
，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE．在 Rt△ACD 和 Rt△AED
中，∵AD=AD，CD=ED，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
型
突 ， CB=AP，BA=PQ ，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即
破
AP=BC=5 cm，此时点 P 是 AC 的中点；②当点 P 运动到
与点 C 重合时，AP=AC，在 Rt△ABC 和 Rt△PQA 中，
《三角形全等的判定》-完整版课件
观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的几 何图形吗？
你能再举出生活中的一些类似例子吗？
请同学们把一块三角尺按在纸板上， 画下图形后，比较观察这两个三角形 有何关系？从同一张底片冲洗出来的 两张尺寸相同的照片上的图形，放在 一起也能够完全重合吗？
全等三角形的概念
全等三角形： 能够完全重合的两个三角
全等三角形对应角相等．
B
C
请说出目前判定三角形全 等的4种方法：
SAS，ASA，AAS，SSS
问题 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画 一个Rt△A＇B＇C＇，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC， A＇B＇=AB，然后把画好的Rt△A＇B＇C＇剪下来放到 Rt△ABC上，你发现了什么？
F
C
B
E
L
从上面的图形中可以看出，若已知 ∠A=60°，∠B=80°，相信你一 定可以求出△ABC的各个角的大小： ∠D=__6_0_°_，∠E=_8_0_°_， 40° ∠F=___．
已知：如图，△ABC ≌△DEF． （1）若DF =10 cm，则AC 的长为 10 cm ； （2）若∠A =100°，则：
C1
比眼力：找全等．
8
Ⅰ 30o
9
8Ⅱ 30o
5
8 30o
8Ⅲ
5 30o
Ⅴ 8
8Ⅵ 30o8
8 Ⅶ
30o 9
Ⅳ8 5
8 Ⅷ
5
如图，有一池塘，为测量池塘两端A、B的距
离，设计了如下方案：如图，先在平地上取 一个可直接到达A、B的点C，再连结AC、
BC并分别延长AC至D、BC至E，使CD=CA，
CE=CB，最后测得DE的距离即为AB的 长．你知道其中的道理吗？
你能再举出生活中的一些类似例子吗？
请同学们把一块三角尺按在纸板上， 画下图形后，比较观察这两个三角形 有何关系？从同一张底片冲洗出来的 两张尺寸相同的照片上的图形，放在 一起也能够完全重合吗？
全等三角形的概念
全等三角形： 能够完全重合的两个三角
全等三角形对应角相等．
B
C
请说出目前判定三角形全 等的4种方法：
SAS，ASA，AAS，SSS
问题 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画 一个Rt△A＇B＇C＇，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC， A＇B＇=AB，然后把画好的Rt△A＇B＇C＇剪下来放到 Rt△ABC上，你发现了什么？
F
C
B
E
L
从上面的图形中可以看出，若已知 ∠A=60°，∠B=80°，相信你一 定可以求出△ABC的各个角的大小： ∠D=__6_0_°_，∠E=_8_0_°_， 40° ∠F=___．
已知：如图，△ABC ≌△DEF． （1）若DF =10 cm，则AC 的长为 10 cm ； （2）若∠A =100°，则：
C1
比眼力：找全等．
8
Ⅰ 30o
9
8Ⅱ 30o
5
8 30o
8Ⅲ
5 30o
Ⅴ 8
8Ⅵ 30o8
8 Ⅶ
30o 9
Ⅳ8 5
8 Ⅷ
5
如图，有一池塘，为测量池塘两端A、B的距
离，设计了如下方案：如图，先在平地上取 一个可直接到达A、B的点C，再连结AC、
BC并分别延长AC至D、BC至E，使CD=CA，
CE=CB，最后测得DE的距离即为AB的 长．你知道其中的道理吗？
三角形全等的判定ppt课件
追问1：这个尺规作图的方法利用了上节课中的哪个知识点？
追问2：根据前面的操作，你能探究到什么结论？
例1. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平 Nhomakorabea上取一个可以
直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，
使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两
个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？
解：BD=CD
在Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴ BD=CD
例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证：BC =AD．
（1）
AD = BC
（ HL ）；
（2）
AC = BD
（ HL ）；
（3） ∠DAB = ∠CBA
（ AAS ）；
（4） ∠DBA = ∠CAB
（ AAS ）．
D
A
C
B
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个三
特殊方法
角形就全等了？
HL定理
SSS
一
般
方
法
SAS
AAS
AAS
直角三角形全等
问题:三角分别相等的两个三角形全等吗？
追问:证明两个三角形全等的方法有哪些？
评价3.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
追问2：根据前面的操作，你能探究到什么结论？
例1. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平 Nhomakorabea上取一个可以
直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，
使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两
个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？
解：BD=CD
在Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴ BD=CD
例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证：BC =AD．
（1）
AD = BC
（ HL ）；
（2）
AC = BD
（ HL ）；
（3） ∠DAB = ∠CBA
（ AAS ）；
（4） ∠DBA = ∠CAB
（ AAS ）．
D
A
C
B
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个三
特殊方法
角形就全等了？
HL定理
SSS
一
般
方
法
SAS
AAS
AAS
直角三角形全等
问题:三角分别相等的两个三角形全等吗？
追问:证明两个三角形全等的方法有哪些？
评价3.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
13.3 全等三角形的判定 - 第1课时课件(共18张PPT)
使用几何拼接条探究三个元素相等的三角形是否全等？1.用绿色、蓝色、橙色拼条为边长作2个三角形，把两个三角形比较，它们能重合吗？2.用红色、蓝色、黄色拼条为边长作2个三角形，把两个三角形比较，它们能重合吗？
三角相等：
三边相等：
基本事实一
如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等.
基本事实一可简记为“边边边”或“SSS”.
拓展提升
1.如图，已知AB=AE，AD=AC，BC=ED，BC，DE交于点O.求证：∠BAD=∠EAC.
证明：在△BAC和△EAD中，AB＝AE，AC＝AD，BC＝ED．∴△BAC≌△EAD（SSS）．∴∠BAC=∠EAD.∴∠BAC－∠DAC=∠EAD－∠DAC，即∠BAD=∠EAC.
归纳小结
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
探究一
新知探究
知识点1 边边边
通过作图探究一个元素相等能否判定两个三角形全等？
一条边相等：
一个角相等：
探究二
通过几何拼接条探究两个元素相等的三角形是否全等？
两条边相等：
两个角相等：
一边一角相等：
探究三
探究四
知识点2 三角形的稳定性
用拼接条制作三角形和四边形框架,并拉动它们，你发现了什么？
三角形的形状和大小是固定不变的，而四边形的会改变.
三角形所具有的这一性质叫做三角形的稳定性.四边形具有不稳定性.
在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子.
在生活中，我们也经常会看到应用四边形不稳定性的例子.
随堂练习
1.已知：如图，AB=EF，AC=ED，BF=CD.求证：∠A=∠E.
证明：∵BF=CD，∴BF+FC=CD+FC∴BC=FD∵AB=EF，AC=ED∴△ABC≌△EFD（SSS）∴∠A=∠E.
三角相等：
三边相等：
基本事实一
如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等.
基本事实一可简记为“边边边”或“SSS”.
拓展提升
1.如图，已知AB=AE，AD=AC，BC=ED，BC，DE交于点O.求证：∠BAD=∠EAC.
证明：在△BAC和△EAD中，AB＝AE，AC＝AD，BC＝ED．∴△BAC≌△EAD（SSS）．∴∠BAC=∠EAD.∴∠BAC－∠DAC=∠EAD－∠DAC，即∠BAD=∠EAC.
归纳小结
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
探究一
新知探究
知识点1 边边边
通过作图探究一个元素相等能否判定两个三角形全等？
一条边相等：
一个角相等：
探究二
通过几何拼接条探究两个元素相等的三角形是否全等？
两条边相等：
两个角相等：
一边一角相等：
探究三
探究四
知识点2 三角形的稳定性
用拼接条制作三角形和四边形框架,并拉动它们，你发现了什么？
三角形的形状和大小是固定不变的，而四边形的会改变.
三角形所具有的这一性质叫做三角形的稳定性.四边形具有不稳定性.
在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子.
在生活中，我们也经常会看到应用四边形不稳定性的例子.
随堂练习
1.已知：如图，AB=EF，AC=ED，BF=CD.求证：∠A=∠E.
证明：∵BF=CD，∴BF+FC=CD+FC∴BC=FD∵AB=EF，AC=ED∴△ABC≌△EFD（SSS）∴∠A=∠E.
《三角形全等的判定》课件
《三角形全等的判定》
知识回顾
1.什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
A
2.三边分别相等的两个三角形全等(可以
简写成“边边边”或“SSS”).
符号语言表示：在△ABC和△A'B'C'中，B
C
AB=A'B'，
A'
AC=A'C'，
BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C' (SSS). B'
C'
3.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以
简写成“边角边”或“SAS”）.
A
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′， ∠B=∠B′， BC=B′C′，
B
C
A'
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). B'
C'
4.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以
简写成“角边角”或者“ASA”）.
FE
BE=CF，
A
B
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）. ∴AE=DF.
随堂练习
1.已知，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90〫，
有如下几个条件：①AC=A′C′，∠A=∠A′；②AC=A′C′， AB=A′B′；③AC=A′C′，BC=B′C′；④ AB=A′B′，
∠A=∠A′.其中，能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的条件的
需寻找的条件
可证直角与已知锐角的夹边对 应相等或者与锐角（或直角）
的对边对应相等
可证一直角边对应相等或证一 锐角对应相等
知识回顾
1.什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
A
2.三边分别相等的两个三角形全等(可以
简写成“边边边”或“SSS”).
符号语言表示：在△ABC和△A'B'C'中，B
C
AB=A'B'，
A'
AC=A'C'，
BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C' (SSS). B'
C'
3.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以
简写成“边角边”或“SAS”）.
A
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′， ∠B=∠B′， BC=B′C′，
B
C
A'
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). B'
C'
4.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以
简写成“角边角”或者“ASA”）.
FE
BE=CF，
A
B
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）. ∴AE=DF.
随堂练习
1.已知，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90〫，
有如下几个条件：①AC=A′C′，∠A=∠A′；②AC=A′C′， AB=A′B′；③AC=A′C′，BC=B′C′；④ AB=A′B′，
∠A=∠A′.其中，能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的条件的
需寻找的条件
可证直角与已知锐角的夹边对 应相等或者与锐角（或直角）
的对边对应相等
可证一直角边对应相等或证一 锐角对应相等
三角形全等的判定ppt课件
（2）取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中 两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成 一个五 边形，又会怎么样？
（3）上面的现象说明了什 么？
三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的， 三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
你能举几个应用三角形稳定性的例子吗？
练一练 1.如图，已知AB＝AC，AE＝AD，BD＝CE，试说明 △AEB △ADC．
解： BD＝CE， BD－ED＝CE－ED（等式的性质）
即BE＝CD． 在△AEB和△ADC中，
AB＝AC，(已知) AE＝AD，(已知) BE＝CD，(已证) △AEB △ADC(SSS)
2、如图，AB=CD，BF=DE，E，F是AC上两 点，且AE=CF.请你判断BF与DE的位置关系， 并说明理由.
有一个角对应相等的三角形 不一定全等
做一做 2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？ 每种情况下作出的三角形一定全等吗？
两个条件（两个角） (2)三角形的两个角分别是：30°，50°；
30°
不一定全等
两个条件（两条边） (3)三角形的两条边分别是：4cm，6cm.
不一定全等 两个条件不能保证三角形全等.
这节课你学到了什么？
1. 三角形全等的条件： 三边对应相等的两个三角形全等 (“边边边”或“SSS”)
2. 三角形具有稳定性。
三角形全等的条件：
三边对应相等的两个三角形全等，简 写为“边边边”或“SSS”。
数学表达式： 在△ABC和△A'B'C'中
例题 已知：如图AB=CD,AD=BC.则∠A与∠C相等 吗？为什么？
动手做一做
准备几根硬纸条
（1）取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动 其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？
三角形全等的判定ppt课件
∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）
5.HL（H.L.） 在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知）
BC=B1C1（已证） ∴△ABC≌△A1B1C1（HL）
例题精讲
例：已知:如图，点A，C，B，D在同一条直线上，
AC=BD，AM=CN，BM=DN 求证:AM∥CN，BM∥DN.
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
为BC边的中点，那么图中的全等三角形有哪几对?并选
择一对进行证明
△ABD≌△ACD
证明：∵D为BC边的中点
A
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
E
AB=AC
BD=CD
AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD（SSS)
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
证明：∵AC=BD ∴AC+CB=BD+BC 即AB=CD
M
N
在△AMB和△CND中 AM=CN
BM=DN
A
C
B
D
AB=CD
∴ △AMB≌△CND（SSS)
∴∠A=∠NCD,∠MBA=∠D ∴AM∥CN，BM∥DN
例：如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，
AE=FC
求证:△ABC≌△FDE.
（2）全等三角形对应角相等
PART II 全等三角形的判定 1.SSS（S.S.S.） 在△ABC与△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知） BC=B1C1（已知） AC=A1C1（已证）
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）
5.HL（H.L.） 在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知）
BC=B1C1（已证） ∴△ABC≌△A1B1C1（HL）
例题精讲
例：已知:如图，点A，C，B，D在同一条直线上，
AC=BD，AM=CN，BM=DN 求证:AM∥CN，BM∥DN.
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
为BC边的中点，那么图中的全等三角形有哪几对?并选
择一对进行证明
△ABD≌△ACD
证明：∵D为BC边的中点
A
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
E
AB=AC
BD=CD
AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD（SSS)
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
证明：∵AC=BD ∴AC+CB=BD+BC 即AB=CD
M
N
在△AMB和△CND中 AM=CN
BM=DN
A
C
B
D
AB=CD
∴ △AMB≌△CND（SSS)
∴∠A=∠NCD,∠MBA=∠D ∴AM∥CN，BM∥DN
例：如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，
AE=FC
求证:△ABC≌△FDE.
（2）全等三角形对应角相等
PART II 全等三角形的判定 1.SSS（S.S.S.） 在△ABC与△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知） BC=B1C1（已知） AC=A1C1（已证）
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）
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三角形全等的判定(一)（SSS）
A
E
B
F
C
教学目标
1、掌握三角形全等的“边边边”条件，初步体会并运用 综合推理证明命题。 2、经历探索三角形全等条件的过程
3、会用尺规作图画已知三角形。
1、 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ A′B′C′,找出其中相等的边与角
注意： 对应顶点写在对应位置.
课堂练习: 已知：如图，AB=AD，BC=DC， 求证：△ABC≌ △ADC
证明：在△ABC和△ADC中 AB=AD ( 已知 ) B BC=DC (已知 ) AC = AC (公共边 ) ∴ △ABC ≌ △ADC（SSS）
A
D
C
小结
1.已知三角形三条边的长度怎样画三角形。 2. 三角形全等的判定条件：三边对应相等的 两个三角形全等（边边边或SSS）； 3.书写格式：①准备条件； ②三角形全等书写的三步骤。 注意：对应顶点写在对应位置.
这说明有三个角对应相等的两个三角形 不一定全等
⑵三条边 已知两个三角形的三条边都分别为3cm、 4cm 、 6cm 。它们一定全等吗？ 3cm
6cm 4cm 6cm 3cm 4cm 6cm 3cm 4cm
已知：画一个 △ ABC，使AB=6cm，AC=4cm，BC=3cm
C
A
画法：1. 画线段AB=6cm. 2. 分别以A、B为圆心，4cm、 3cm为半径画弧，两弧相交于 点C. 3. 连接AC、BC. B △ ABC就是所要画的三角形.
练习2. 已知：如图1 ，AC=FE，AD=FB,BC=DE 求证：△ABC≌△ FDE ， 求证：∠C=∠E 求证：AC∥EF；DE∥BC 证明：∵ AD=FB ∴AB=FD（等式性质） 在△ABC和△FDE 中 AC=FE（已知） BC=DE（已知） AB=FD（已证） ∴△ABC≌△FDE（SSS）
两个条件 一个条件 ①两角； ①一角； ②两边； ②一边； ③一边一角。 结论：只给出一个或两个 条件时，都不能保证所画 的三角形一定全等。
探索三角形全等的条件
3.如果满足三个条件，你能说出有 哪几种可能的情况？
①三角； ②三边； ③两边一角；
④两角一边。
⑴三个角
已知两个三角形的三个内角分别为30°， 60° ，90° 它们一定全等吗？
布置作业
1.习题12.2 第1, 9题 2.练习册12.2第一课时
练习1.已知：AC=AD,BC=BD, 求证：AB是∠DAC的平分线. 证明:在△ABC和△ABD中 ∵ AC=AD( 已知 ) BC=BD( 已知 ) A ) 1 2
C B
AB=AB( 公共边
∴△ABC≌△ABD( SSS ) D ∴∠1=∠2 （全等三角形的对应角相等） ∴AB是∠DAC的平分线 （角平分线定义）
1.满足这六个条件可以保证△ABC≌△A′B′ C′吗？
1.只给一个条件
1.只给一条边时； 3㎝ 2.只给一个角时；
45◦ 45◦
3㎝
结论:只有一条边或一个角对应相等的 两个三角形不一定全等.
2.如果满足两个条件，你能说出 有哪几种可能的情况？
①两边；
②一边一角；
③两角。
①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢
叫判 A′ A 做断 证两 明个 B′ C′ B C 三三 角角 在△ABC与△ A′B′C′中 形形 全全 AB=A′B′ 等等 。的 AC=A′C′ 推 BC=B′C′ 理 过 ∴△ABC≌ △ A′B′C′ （SSS） 程 ，
?
例1 如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A 与BC中点D的支架，求证： △ABD ≌△ 求证：∠ B=∠ C ACD 证明：∵D是BC的中点
构造公共边是常添的辅助线
A′B′ ④ ∠A= ∠A′
② BC=B′C′
⑤ ∠B=∠B′
③ CA=C′A′
⑥ ∠C= ∠C′
A
A′
①AB=A′B′
B
② BC=B′C′
C
B′
C′
③ CA=C′A′
④ ∠A= ∠A′ ⑤ ∠B=∠B′
⑥ ∠C= ∠C′
思考：
2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证 △ABC ≌△ A′B′ C′吗?
4cm
4cm
6cm
6cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:
30◦ 4cm
30◦ 4cm
结论:一条边一个角对应相等的两个
三角形不一定全等.
③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时
30◦
45◦
30◦
45◦
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
A
D B ?
c
E ?
图1
F
（2）∵ △ABC≌△FDE（已证） ∴ ∠C=∠E （全等三角形的对应角相等）
• 练习3.已知: 如图, 四边形ABCD中， AD=CB,AB=CD • 求证： ∠A＝ ∠C。
D
C
A
B
分析：要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段 所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。
A C D
∴BD=CD
B
在△ABD与△ACD中 AB=AC（已知） BD=CD（已证） AD=AD（公共边） ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C（全等三角形对应边相等）
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先 证好； ②三角形全等书写三步骤：
1.写出在哪两个三角形中 2.摆出三个条件用大括号括起来 3.写出全等结论（标明所用方法）
以小组为单位，把画好的三角形重叠在一起 它们能够完全重合吗？ 问：通过实验可以发现什么事实？
全等三角形的判定（一）（SSS）：
三边对应相等的两个三角形全等。
简写为“边边边”或“SSS” 注： 这个定理说明，只要三角形的 三边的长度确定了，这个三角形的形 状和大小就完全确定了，这也是三角 形具有稳定性的原理。
A
E
B
F
C
教学目标
1、掌握三角形全等的“边边边”条件，初步体会并运用 综合推理证明命题。 2、经历探索三角形全等条件的过程
3、会用尺规作图画已知三角形。
1、 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ A′B′C′,找出其中相等的边与角
注意： 对应顶点写在对应位置.
课堂练习: 已知：如图，AB=AD，BC=DC， 求证：△ABC≌ △ADC
证明：在△ABC和△ADC中 AB=AD ( 已知 ) B BC=DC (已知 ) AC = AC (公共边 ) ∴ △ABC ≌ △ADC（SSS）
A
D
C
小结
1.已知三角形三条边的长度怎样画三角形。 2. 三角形全等的判定条件：三边对应相等的 两个三角形全等（边边边或SSS）； 3.书写格式：①准备条件； ②三角形全等书写的三步骤。 注意：对应顶点写在对应位置.
这说明有三个角对应相等的两个三角形 不一定全等
⑵三条边 已知两个三角形的三条边都分别为3cm、 4cm 、 6cm 。它们一定全等吗？ 3cm
6cm 4cm 6cm 3cm 4cm 6cm 3cm 4cm
已知：画一个 △ ABC，使AB=6cm，AC=4cm，BC=3cm
C
A
画法：1. 画线段AB=6cm. 2. 分别以A、B为圆心，4cm、 3cm为半径画弧，两弧相交于 点C. 3. 连接AC、BC. B △ ABC就是所要画的三角形.
练习2. 已知：如图1 ，AC=FE，AD=FB,BC=DE 求证：△ABC≌△ FDE ， 求证：∠C=∠E 求证：AC∥EF；DE∥BC 证明：∵ AD=FB ∴AB=FD（等式性质） 在△ABC和△FDE 中 AC=FE（已知） BC=DE（已知） AB=FD（已证） ∴△ABC≌△FDE（SSS）
两个条件 一个条件 ①两角； ①一角； ②两边； ②一边； ③一边一角。 结论：只给出一个或两个 条件时，都不能保证所画 的三角形一定全等。
探索三角形全等的条件
3.如果满足三个条件，你能说出有 哪几种可能的情况？
①三角； ②三边； ③两边一角；
④两角一边。
⑴三个角
已知两个三角形的三个内角分别为30°， 60° ，90° 它们一定全等吗？
布置作业
1.习题12.2 第1, 9题 2.练习册12.2第一课时
练习1.已知：AC=AD,BC=BD, 求证：AB是∠DAC的平分线. 证明:在△ABC和△ABD中 ∵ AC=AD( 已知 ) BC=BD( 已知 ) A ) 1 2
C B
AB=AB( 公共边
∴△ABC≌△ABD( SSS ) D ∴∠1=∠2 （全等三角形的对应角相等） ∴AB是∠DAC的平分线 （角平分线定义）
1.满足这六个条件可以保证△ABC≌△A′B′ C′吗？
1.只给一个条件
1.只给一条边时； 3㎝ 2.只给一个角时；
45◦ 45◦
3㎝
结论:只有一条边或一个角对应相等的 两个三角形不一定全等.
2.如果满足两个条件，你能说出 有哪几种可能的情况？
①两边；
②一边一角；
③两角。
①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢
叫判 A′ A 做断 证两 明个 B′ C′ B C 三三 角角 在△ABC与△ A′B′C′中 形形 全全 AB=A′B′ 等等 。的 AC=A′C′ 推 BC=B′C′ 理 过 ∴△ABC≌ △ A′B′C′ （SSS） 程 ，
?
例1 如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A 与BC中点D的支架，求证： △ABD ≌△ 求证：∠ B=∠ C ACD 证明：∵D是BC的中点
构造公共边是常添的辅助线
A′B′ ④ ∠A= ∠A′
② BC=B′C′
⑤ ∠B=∠B′
③ CA=C′A′
⑥ ∠C= ∠C′
A
A′
①AB=A′B′
B
② BC=B′C′
C
B′
C′
③ CA=C′A′
④ ∠A= ∠A′ ⑤ ∠B=∠B′
⑥ ∠C= ∠C′
思考：
2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证 △ABC ≌△ A′B′ C′吗?
4cm
4cm
6cm
6cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:
30◦ 4cm
30◦ 4cm
结论:一条边一个角对应相等的两个
三角形不一定全等.
③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时
30◦
45◦
30◦
45◦
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
A
D B ?
c
E ?
图1
F
（2）∵ △ABC≌△FDE（已证） ∴ ∠C=∠E （全等三角形的对应角相等）
• 练习3.已知: 如图, 四边形ABCD中， AD=CB,AB=CD • 求证： ∠A＝ ∠C。
D
C
A
B
分析：要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段 所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。
A C D
∴BD=CD
B
在△ABD与△ACD中 AB=AC（已知） BD=CD（已证） AD=AD（公共边） ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C（全等三角形对应边相等）
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先 证好； ②三角形全等书写三步骤：
1.写出在哪两个三角形中 2.摆出三个条件用大括号括起来 3.写出全等结论（标明所用方法）
以小组为单位，把画好的三角形重叠在一起 它们能够完全重合吗？ 问：通过实验可以发现什么事实？
全等三角形的判定（一）（SSS）：
三边对应相等的两个三角形全等。
简写为“边边边”或“SSS” 注： 这个定理说明，只要三角形的 三边的长度确定了，这个三角形的形 状和大小就完全确定了，这也是三角 形具有稳定性的原理。